¿Qué es la paradoja de la dicotomía de Zenón? - Colm Kelleher: apuntes para aprender inglés
TED-Ed
Resumen del video: La paradoja de la dicotomía de Zenón parece demostrar que el movimiento es imposible, pues todo trayecto contiene infinitas etapas cada vez menores. Al representar una caminata de una milla mediante una serie infinita y compararla con un cuadrado dividido repetidamente, el video explica por qué esas etapas suman una hora. Puntos principales de inglés: 1. paradoxes, arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory. — Significado y registro del vocabulario: Comprender la definición contextual de «paradox» y no reducirla a una simple afirmación desconcertante; además, reconocer cómo una aposición permite explicar un término técnico a un público general. 2. turn the story into a math problem. — Expresiones lexicalizadas y colocaciones: Aprender a usar turn X into Y para describir la transformación de un relato o una situación real en un modelo formal, e identificar que aquí la expresión señala el paso de la historia de Zenón al cálculo matemático. 3. sum to a finite answer, — Significado y registro del vocabulario: Reconocer sum to como un verbo matemático que indica el total de una serie y usarlo para expresar el resultado contraintuitivo de que infinitos términos positivos pueden tener un valor finito.
En esta lección
Zeno of Elea: identificar a una persona por un lugar
Zeno es el nombre de la persona, y of Elea lo identifica por su relación con Elea, una antigua ciudad griega. En esta oración, el nombre completo significa «Zeno procedente de Elea»; Elea no es un apellido moderno. Los textos históricos suelen usar Name + of + Place para ubicar o distinguir a una persona. Interpreta of + lugar como una referencia geográfica, salvo que el contexto indique otra relación.
Práctica
¿Qué función cumple of Elea en el nombre histórico Zeno of Elea?
- Indica que Elea es el apellido de Zeno.
- Identifica a Zeno por el lugar del que procedía.
- Significa que Zeno es dueño de la ciudad de Elea.
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Identifica a Zeno por el lugar del que procedía.
an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, Notas
0:17un antiguo filósofo griego famoso por inventar una serie de paradojas,
famous for inventing: indicar por qué alguien es famoso
En famous for inventing, for introduce la razón por la que Zeno es conocido. Inventing lleva la forma -ing porque aparece después de la preposición for; por eso, la frase significa «conocido porque inventó algo», no «para inventar». Usa el patrón reutilizable be famous for + sustantivo o forma en -ing: un lugar puede ser famoso por su comida y una persona puede ser famosa por hacer algo.
Práctica
Completa la oración con el patrón famous for + -ing: The engineer is ____ a low-cost water filter.
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famous for inventing
a number of: varios o muchos
En a number of paradoxes, a number of es una expresión de cantidad que significa «varios» o «muchos». Va delante del sustantivo contable plural paradoxes. Interpreta a number of como una sola unidad. Aquí, number no se refiere a un número concreto ni a la cantidad total.
Práctica
Completa la oración usando a number of: We received ____ useful suggestions.
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a number of
arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory.
0:21argumentos que parecen lógicos pero cuya conclusión es absurda o contradictoria.
paradoxes, arguments that...: una definición en aposición
El sintagma nominal arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory está en aposición a paradoxes. Después de la coma, reformula y define paradoxes; no introduce otro grupo de arguments independiente. Aquí, arguments significa razonamientos, no disputas. Las dos descripciones presentan la tensión esencial: el razonamiento parece lógico, pero la conclusión es absurda o contradictoria.
Práctica
¿Qué función cumple en esta oración el sintagma nominal que aparece después de la coma?
- Define paradoxes como razonamientos que parecen lógicos pero tienen una conclusión absurda o contradictoria.
- Afirma que todo razonamiento lógico tiene una conclusión absurda.
- Introduce arguments como un tema separado que no guarda relación con paradoxes.
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Define paradoxes como razonamientos que parecen lógicos pero tienen una conclusión absurda o contradictoria.
Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. Notas
0:27los acertijos alucinantes de Zenón han inspirado a matemáticos y filósofos a comprender mejor la naturaleza del infinito.
mind-bending riddles: acertijos que desafían la mente
Mind-bending es un adjetivo expresivo y figurado que indica que algo resulta extremadamente difícil, extraño o sorprendente de comprender. No significa que el cerebro se doble físicamente. Aquí modifica riddles y presenta los problemas de Zenón como ideas que desafían las formas habituales de pensar. El patrón mind-bending + sustantivo puede describir algo que nos hace reconsiderar lo que parece posible o lógico.
Práctica
¿Qué significa mind-bending riddles aquí?
- acertijos que cambian físicamente la forma del cerebro
- acertijos sencillos que casi no requieren pensar
- acertijos extremadamente difíciles o sorprendentes que obligan a pensar
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acertijos extremadamente difíciles o sorprendentes que obligan a pensar
have inspired ... to better understand: influencia presente y patrón inspire + objeto + to
El patrón inspire someone to do something significa dar a una persona o grupo motivación o nuevas ideas para realizar una acción. En esta oración, mathematicians and philosophers son quienes reciben la influencia, y to better understand indica lo que se sintieron impulsados a hacer; no expresa el propósito de Zenón. Have inspired está en presente perfecto. Conecta la influencia pasada de los acertijos con su importancia continua hasta el presente. Better modifica understand y significa “de manera más completa” o “con mayor claridad”.
Práctica
Completa la oración con la forma de presente perfecto de inspire: These discoveries ____ young scientists to explore the ocean.
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have inspired
the nature of infinity: nature con el sentido de «carácter esencial»
La estructura the nature of + sustantivo significa el carácter básico o las cualidades esenciales de algo. Aquí, the nature of infinity se refiere a qué es fundamentalmente el infinito y cómo se comporta; nature no significa «el mundo natural». Esta estructura es común en el lenguaje explicativo y académico cuando se habla de un concepto, un problema o un fenómeno.
Práctica
En la oración "The course explores the nature of memory," ¿qué significa the nature of memory?
- el carácter básico de la memoria
- un lugar en la naturaleza para recordar
- un recuerdo del mundo natural
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el carácter básico de la memoria
One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, Gramática
0:33Uno de los problemas más conocidos de Zenón se llama la paradoja de la dicotomía,
One of the best known: un miembro famoso de un grupo
One of the best known identifica a un miembro muy conocido dentro de un grupo mayor. En esta oración, of Zeno's problems indica cuál es el grupo, y después de best known se sobreentiende la palabra problems. La frase significa «uno de los problemas más famosos de Zenón», no «su único problema más famoso». Esta estructura resulta útil para presentar a un miembro representativo de un grupo ordenado por importancia o reconocimiento.
Práctica
¿Qué oración usa correctamente la estructura one of the best-known + sustantivo plural?
- One of the best-known museums in Paris are the Louvre.
- One of the best-known museums in Paris is the Louvre.
- One of the best-known museum in Paris is the Louvre.
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One of the best-known museums in Paris is the Louvre.
is called the dichotomy paradox: nombrar un concepto
Aquí, is called the dichotomy paradox significa «tiene el nombre the dichotomy paradox». Is called es la forma pasiva de call: el sujeto es el problema que recibe el nombre, mientras que no se menciona a la persona que da o usa ese nombre. La estructura be called + nombre es una forma habitual de presentar un término y relacionar un concepto con su nombre aceptado. En este uso, called significa «denominado», no «contactado por teléfono».
Práctica
Completa la oración con la estructura pasiva de denominación be called en presente: This visual effect ____ the wagon-wheel effect.
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is called
which means the paradox of cutting in two in ancient Greek. Discurso
0:37que significa la paradoja de cortar en dos en griego antiguo.
which means ...: añadir una explicación
Aquí, which remite al nombre the dichotomy paradox. La oración de relativo explicativa which means ... añade el significado de ese nombre: «la paradoja de cortar en dos». No abre un tema aparte. Esta estructura organiza la información así: primero el nombre y después una explicación breve. La coma antes de which indica que la explicación es información adicional vinculada al término o la idea anterior.
Práctica
¿Qué función cumple which means ... en la oración del ejemplo?
- Inicia un tema que no guarda relación.
- Explica brevemente el término anterior.
- Indica quién inventó el término.
Ver respuesta
Explica brevemente el término anterior.
It goes something like this: introducir una versión aproximada
It goes something like this significa «A continuación se cuenta, se formula o se explica más o menos así». En este uso, goes describe cómo se desarrolla un relato, una explicación o una secuencia; no significa «camina». La oración funciona como transición: pasa de una idea general a un ejemplo simplificado o una versión contada de nuevo. something like this avisa de que lo que sigue presenta la forma general, no necesariamente las palabras originales ni todos los detalles.
Práctica
Completa la oración con la expresión de cuatro palabras que introduce una versión aproximada: I cannot remember the exact announcement, but it ____: 'The museum will close at six.'
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goes something like this
After a long day of sitting around thinking, Phrasal verbs
0:43Después de un largo día de estar sentado pensando,
sitting around: permanecer sentado sin mucha actividad
En sitting around, around añade la idea de permanecer en un lugar sin mucha actividad con un propósito. Significa «estar sentado sin hacer gran cosa» o «pasar el tiempo sentado», no sentarse en círculo ni moverse alrededor de algo. thinking es una forma en -ing que muestra lo que ocurría durante ese tiempo. La persona sí estaba pensando, así que la frase no significa que no hiciera absolutamente nada; aun así, sitting around da a la escena un tono relajado o ligeramente improductivo.
Práctica
En la oración After lunch, we sat around talking for an hour, ¿qué sugiere sat around?
- Nos sentamos formando un círculo alrededor de otro objeto.
- Pasamos de estar de pie a sentarnos y luego nos fuimos de inmediato.
- Permanecimos sentados de forma relajada y relativamente inactiva mientras hablábamos.
Ver respuesta
Permanecimos sentados de forma relajada y relativamente inactiva mientras hablábamos.
Zeno decides to walk from his house to the park.
0:46Zenón decide caminar desde su casa hasta el parque.
The fresh air clears his mind and helps him think better. Modismos
0:48El aire fresco le despeja la mente y le ayuda a pensar mejor.
clears his mind: le despeja la mente
Clears his mind significa que algo hace que sus pensamientos estén menos saturados o confusos, de modo que puede pensar con más calma y claridad. En esta oración, el aire fresco provoca ese cambio mental. Mind se refiere a sus pensamientos y a su estado mental. No se está limpiando nada físicamente, y la expresión tampoco significa que se borren sus recuerdos.
Práctica
¿Qué significa "A quiet walk clears Ben's mind"?
- Hace que Ben olvide todo lo que sabe.
- Ayuda a Ben a pensar con más claridad.
- Limpia físicamente el cerebro de Ben.
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Ayuda a Ben a pensar con más claridad.
he first has to get halfway to the park. Gramática
0:53primero tiene que llegar a la mitad del camino al parque.
In order to + verbo base: expresar un propósito
In order to introduce un propósito u objetivo y va seguido de un verbo en forma base. En esta oración, in order to get to the park indica que el objetivo es llegar al parque; llegar a mitad de camino es un paso para alcanzar ese objetivo. La frase de propósito no indica que el objetivo ya se haya alcanzado. Explica por qué importa la acción o el requisito principal.
Práctica
Usa la frase objetivo para completar la oración: Ava wore a helmet ____ protect her head.
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in order to
first has to get halfway: el primer paso necesario
La frase marca el primer paso necesario del razonamiento. first sitúa este paso antes de las etapas posteriores, has to expresa necesidad y get halfway significa llegar al punto que está a mitad de camino del destino. Aquí, has to no sugiere que otra persona haya dado una orden. El propio trayecto hace inevitable pasar por el punto medio antes de llegar al parque.
Práctica
En la oración, ¿qué expresa he first has to get halfway?
- Ya ha completado todo el trayecto.
- Llegar a la mitad es el primer paso necesario.
- Otra persona le ha ordenado que vaya solo hasta la mitad.
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Llegar a la mitad es el primer paso necesario.
This portion of his journey takes some finite amount of time. Vocabulario
0:55Esta parte de su viaje toma una cantidad finita de tiempo.
finite amount of time: limitado, pero no necesariamente breve
A finite amount of time es un intervalo temporal con un límite: no continúa para siempre. finite indica si la duración está acotada, no si parece pequeña o breve. En esta oración, cada parte del trayecto requiere una duración acotada. La formulación sustenta el contraste lógico entre el tiempo finito de una parte y la idea de una cantidad infinita de partes.
Práctica
¿Qué afirmación explica mejor a finite amount of time?
- Debe durar solo unos segundos.
- Continúa para siempre sin ningún límite.
- Tiene un límite, pero no es necesariamente breve.
Ver respuesta
Tiene un límite, pero no es necesariamente breve.
he needs to walk half the remaining distance. Frases
1:00necesita caminar la mitad de la distancia restante.
half the remaining distance: la mitad de lo que queda
Half the remaining distance significa la mitad de la distancia que todavía queda en ese momento. Remaining fija la cantidad de referencia, así que no significa la mitad de la distancia total original. El patrón reutilizable es half the remaining + sustantivo: primero se identifica lo que queda y después se toma la mitad de esa cantidad.
Práctica
Un sendero mide 12 kilómetros. Mia ya ha recorrido 8 kilómetros. ¿Qué significa aquí half the remaining distance?
- 4 kilómetros, que son toda la distancia que aún falta.
- 6 kilómetros, que son la mitad del recorrido completo.
- 2 kilómetros, que son la mitad de los 4 kilómetros que aún faltan.
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2 kilómetros, que son la mitad de los 4 kilómetros que aún faltan.
he still needs to walk half the distance that's left,
1:07todavía necesita caminar la mitad de la distancia que queda,
again and again and again: una repetición que parece continuar
Again and again ya significa repetidamente. Añadir otro and again alarga la expresión de forma intencionada y hace que la repetición parezca más intensa o casi interminable; normalmente no significa exactamente tres veces. En esta oración, la frase repetida agrupa muchas repeticiones en un solo patrón continuo. Indica que el mismo proceso vuelve a empezar, no que se estén presentando tres sucesos separados.
Práctica
Juzga la afirmación sobre esta oración: The screen froze again and again and again. La frase indica que la pantalla se bloqueó exactamente tres veces.
- Verdadero
- Falso
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Falso
You can see that we can keep going like this forever, Notas
1:15Puedes ver que podemos seguir así para siempre,
You can see that para guiar hacia una conclusión
En esta oración, You can see that introduce una conclusión que el oyente puede comprender a partir de la explicación dada hasta ese momento. See significa «reconocer o entender», no necesariamente «mirar con los ojos». La estructura organiza la explicación al pasar del razonamiento anterior a la afirmación que viene después. También invita al oyente a considerar que él mismo puede llegar a esa conclusión.
Práctica
Completa la oración con la expresión de la lección que guía al oyente hacia una conclusión: From these results, ____ the new method is faster.
Ver respuesta
you can see that
can keep going para una actividad o un proceso que continúa
Can keep going significa «poder continuar». Su estructura es can + keep + verbo en -ing: can expresa capacidad o posibilidad, y keep indica que la actividad o el proceso continúa. En esta oración, going no describe el acto de caminar. Representa la repetición del mismo proceso de razonamiento; like this indica que el método no cambia y forever señala que no hay un punto en el que se detenga.
Práctica
Completa la oración con la expresión de tres palabras de la lección que significa «puede continuar»: The discussion is useful, so it ____ for ten more minutes.
Ver respuesta
can keep going
dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, Gramática
1:18dividiendo cualquier distancia restante en pedazos cada vez más pequeños,
whatever distance is left: toda la distancia que quede, sea cual sea
En esta oración, whatever distance is left significa «toda la distancia que quede, sin importar cuánta sea». Whatever introduce una construcción de relativo libre; la frase completa funciona como aquello que se divide. Aquí, whatever no significa «da igual» ni «elegir sin cuidado». Deja abierta la cantidad porque la distancia restante puede cambiar.
Práctica
¿Qué significa whatever time is left en esta oración: “Use whatever time is left to check your work.”?
- el tiempo que ya se ha utilizado
- todo el tiempo que queda, sin importar cuánto sea
- una cantidad de tiempo elegida al azar y sin cuidado
Ver respuesta
todo el tiempo que queda, sin importar cuánto sea
smaller and smaller: cada vez más pequeño
Smaller and smaller sigue el patrón comparativo + and + el mismo comparativo. Describe una tendencia continua: cada etapa es más pequeña que la anterior. En la oración, las piezas disminuyen de tamaño de forma continua. La repetición no describe dos cosas separadas. El mismo patrón aparece en faster and faster y more and more difficult.
Práctica
Usa smaller en el patrón de comparativo repetido para completar la oración: As the balloon lost air, it became ____.
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smaller and smaller
each of which takes some finite time to traverse. Notas
1:21cada uno de los cuales requiere un tiempo finito para ser recorrido.
each of which: añadir información sobre cada elemento
Each of which significa «cada uno de esos elementos». Which remite al conjunto plural mencionado en la cláusula anterior —aquí, smaller pieces— y each considera sus miembros uno por uno. Después de la coma, each of which takes... introduce una oración de relativo explicativa que añade información sobre todos los elementos. Como each es singular, el verbo también va en singular: takes, no take.
Práctica
En la oración “The plan has four steps, each of which is important,” ¿a qué se refiere each of which?
- El plan en su conjunto
- Solo el último paso
- Cada uno de los cuatro pasos
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Cada uno de los cuatro pasos
to traverse: recorrer por completo una ruta o zona
En esta oración, to traverse significa recorrer o atravesar por completo una sección o ruta. El infinitivo completa takes some finite time: ese tiempo es el necesario para terminar el recorrido de cada sección. Traverse es un verbo relativamente formal que destaca el paso completo de un lado o extremo al otro. No significa simplemente viajar en general.
Práctica
Un manual dice: “The robot needs ten minutes to traverse the tunnel.” ¿Qué significa traverse aquí?
- Atravesar el túnel de un extremo al otro
- Hacer un viaje cerca del túnel
- Medir el túnel sin atravesarlo
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Atravesar el túnel de un extremo al otro
So, how long does it take Zeno to get to the park? Gramática
1:25Entonces, ¿cuánto tiempo le toma a Zenón llegar al parque?
How long does it take ...?: preguntar cuánto tarda algo
How long does it take + persona + to + verbo? pregunta cuánto tiempo necesita una persona para completar una acción. Aquí, it no se refiere a una cosa; ocupa la posición de sujeto, mientras que Zeno to get to the park identifica a la persona y la acción cuyo tiempo se mide. Se usa does porque el sujeto gramatical es it. En una respuesta, el mismo patrón se convierte en It takes + persona + cantidad de tiempo + to + verbo, como en It takes me ten minutes to get ready.
Práctica
Completa el patrón estándar con take para preguntar por la duración: ____ you to walk to school?
Ver respuesta
How long does it take
Well, to find out, we need to add the times of each of the pieces of the journey. Phrasal verbs
1:28Bueno, para averiguarlo, necesitamos sumar los tiempos de cada una de las partes del viaje.
to find out: averiguar una respuesta desconocida
To find out significa «para conocer o descubrir información que todavía no se sabe». En esta oración, sumar los tiempos es el método para obtener la respuesta, por lo que find out no significa localizar un objeto físico. El objeto de find out no se expresa porque el contexto ya deja claro qué pregunta se quiere responder. El to inicial indica finalidad: el cálculo se hace para averiguarlo.
Práctica
Completa el verbo frasal que significa «conocer un dato desconocido mediante una consulta»: To ____ what time the library closes, check its website.
Ver respuesta
find out
there are infinitely many of these finite-sized pieces. Gramática
1:33hay una cantidad infinita de estas partes de tamaño finito.
The problem is, ...: presentar la dificultad clave
The problem is, ... dirige la atención del oyente hacia la dificultad principal de una explicación o un argumento. La oración que sigue a la coma dice cuál es exactamente esa dificultad; aquí, es que existe una cantidad infinita de piezas de tamaño finito. En el habla y en las explicaciones conversacionales, es común The problem is, + oración. La forma más integrada The problem is that + oración cumple la misma función organizativa: marca la información siguiente como el obstáculo, la contradicción o la limitación importante.
Práctica
Completa con el marco de tres palabras que empieza por The problem y presenta la dificultad clave: ____, the room is too small for the whole group.
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The problem is
there are infinitely many: expresar una cantidad ilimitada
There are infinitely many ... es una estructura existencial que indica que la cantidad de cosas no es finita. Infinitely modifica a many y juntos forman una expresión de cantidad; no significa solamente “una cantidad muy grande”. Puede ir seguida directamente de un sustantivo contable en plural, como en infinitely many points, o de of + un grupo definido, como en infinitely many of these pieces. Se usa are porque lo que se presenta está en plural. En esta oración, cada pieza tiene un tamaño finito, pero la cantidad de piezas es infinita; finite-sized describe cada pieza, mientras que infinitely many indica cuántas piezas existen.
Práctica
Completa con la expresión existencial de cuatro palabras que usa infinitely many para indicar una cantidad ilimitada: A line has length, but ____ points on it.
Ver respuesta
there are infinitely many
So, shouldn't the total time be infinity? Intención
1:36Entonces, ¿no debería ser infinito el tiempo total?
Shouldn't the total time be infinity? para presentar una conclusión esperada
La pregunta negativa shouldn't the total time be infinity? se construye con should not. Aquí equivale a decir: «Según el razonamiento hasta ahora, ¿no es infinito el resultado que deberíamos esperar?». El hablante presenta el infinito como la respuesta aparentemente lógica e invita al oyente a considerarla o confirmarla. Una pregunta negativa de este tipo comunica una expectativa; no es una petición neutral de información desconocida. No demuestra la conclusión, sino que la presenta como algo que parece desprenderse del razonamiento.
Práctica
En "Shouldn't the total time be infinity?", ¿qué implica aquí la pregunta negativa?
- El hablante espera que el infinito se desprenda del razonamiento y pide al oyente que considere esa conclusión.
- El hablante pregunta de forma neutral y no sugiere ninguna respuesta esperada.
- El hablante afirma que el tiempo total definitivamente no es infinito.
Ver respuesta
El hablante espera que el infinito se desprenda del razonamiento y pide al oyente que considere esa conclusión.
This argument, by the way, is completely general. Notas
1:40Este argumento, por cierto, es completamente general.
by the way como marcador de un inciso relacionado
By the way es un marcador discursivo que coloca un comentario ligeramente fuera de la línea principal de la explicación. Las comas muestran que es parentético: la oración sigue siendo gramaticalmente completa si se elimina. Aquí no abandona el argumento para pasar a un tema sin relación. Presenta is completely general como un inciso relacionado con el alcance del argumento, no como el siguiente paso del razonamiento.
Práctica
¿Qué función cumple by the way en "This argument, by the way, is completely general."?
- Reformula la idea anterior con otras palabras.
- Indica que el hablante retoma el argumento principal después de una interrupción.
- Marca la afirmación como un inciso relacionado, no como el siguiente paso principal.
Ver respuesta
Marca la afirmación como un inciso relacionado, no como el siguiente paso principal.
completely general: válido para todos los casos pertinentes
En matemáticas y lógica, completely general significa que el razonamiento no depende de un único ejemplo especial. Se aplica a todos los casos pertinentes del mismo tipo. Aquí, general significa «de aplicación amplia», no «corriente». La expresión indica que la conclusión puede extenderse más allá del ejemplo que se está tratando.
Práctica
En una explicación matemática, ¿qué significa “This argument is completely general”?
- No contiene un razonamiento detallado.
- Se aplica a todos los casos pertinentes.
- Es corriente y poco interesante.
Ver respuesta
Se aplica a todos los casos pertinentes.
It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. Gramática
1:42Afirma que viajar de cualquier lugar a cualquier otro lugar debería tomar una cantidad infinita de tiempo.
from any location to any other location: de cualquier lugar a cualquier otro lugar
El patrón from any X to any other X incluye cualquier posible X inicial y cualquier X final diferente. En esta oración, se refiere a todos los pares posibles de lugares distintos. Other es importante porque indica que el destino no es el lugar de partida. El patrón se puede reutilizar con sustantivos como station, folder o node.
Práctica
Completa el patrón from any X to any other X con la frase de destino de tres palabras: This pass lets you travel from any station to ____.
Ver respuesta
any other station
In other words: señal de reformulación
In other words indica que el hablante va a expresar de nuevo la idea anterior de forma más clara, breve o directa. En esta oración, convierte el razonamiento anterior en una conclusión tajante: el argumento equivale a decir que el movimiento no puede ocurrir. No introduce una razón nueva.
Práctica
Después de In other words, ¿qué relación se debe esperar normalmente?
- Una reformulación más clara de la idea anterior
- Un ejemplo concreto de la idea anterior
- Una razón adicional que apoya la idea anterior
Ver respuesta
Una reformulación más clara de la idea anterior
all motion is impossible: motion como movimiento en general
all motion is impossible expresa una conclusión lógica muy amplia: no puede producirse ningún movimiento de una persona o un objeto. all da alcance universal a la afirmación; no se refiere solo a una caminata o a un objeto concreto. Aquí motion es un sustantivo abstracto incontable que significa movimiento o cambio de posición. No significa un gesto con la mano ni una propuesta formal en una reunión.
Práctica
Lee esta oración: A strange theory claims that all motion is impossible. ¿Qué significa motion?
- Movimiento o cambio de posición en general
- Una propuesta presentada durante una reunión
- Un solo gesto con la mano
Ver respuesta
Movimiento o cambio de posición en general
clearly absurd: una valoración contundente de una conclusión
Clearly absurd significa que algo es evidentemente irrazonable o imposible de aceptar porque contradice la lógica o los hechos básicos. Absurd es más fuerte que strange: no significa simplemente que algo sea poco común. En esta oración, la expresión presenta primero la valoración del hablante. Después, but dirige la atención a la verdadera pregunta: si la conclusión no puede ser correcta, ¿qué paso del razonamiento falló?
Práctica
¿Qué significado corresponde mejor a clearly absurd en la oración?
- Evidentemente ilógico o irrazonable
- Difícil de pronunciar
- Un poco inusual, pero aceptable
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Evidentemente ilógico o irrazonable
flaw in the logic: un defecto en el razonamiento
A flaw in the logic es una debilidad o un error en el razonamiento que impide que la conclusión se derive correctamente. Aquí, flaw es algo abstracto, no una marca ni una grieta física. La estructura a flaw in + sustantivo identifica el sistema o la idea que contiene el defecto, como en a flaw in the argument o a flaw in the design. La pregunta busca qué paso del razonamiento no es válido.
Práctica
Usa la expresión de la lección que significa «una debilidad en el razonamiento»: The conclusion does not follow, so there must be ____.
Ver respuesta
a flaw in the logic
it helps to turn the story into a math problem. Frases
1:56ayuda convertir la historia en un problema de matemáticas.
To resolve the paradox como inicio de finalidad
To resolve the paradox es un grupo infinitivo de finalidad. Al aparecer antes de la oración principal, explica por qué el hablante recomienda el paso siguiente: convertir la historia en un problema matemático. Como señal del discurso, lleva la explicación de identificar una contradicción a mostrar cómo abordarla. Aquí resolve significa encontrar una solución o explicación satisfactoria, no decidir.
Práctica
¿Qué función cumple el grupo inicial To resolve the paradox en esta oración?
- Indica la finalidad del paso siguiente.
- Nombra el resultado del problema matemático.
- Afirma que la paradoja ya se ha resuelto.
Ver respuesta
Indica la finalidad del paso siguiente.
turn the story into a math problem: la estructura turn X into Y
Turn the story into a math problem usa la estructura turn X into Y, que significa hacer que X se convierta en Y o transformar X en una forma nueva. Aquí, the story es X y a math problem es Y. El hablante no pide que nadie haga girar físicamente la historia. El grupo describe la reformulación de los detalles narrativos como cantidades y relaciones que pueden analizarse matemáticamente.
Práctica
Completa la oración con el pasado de turn X into Y: Yesterday, the editor ____ the long interview ____ a short article.
Ver respuesta
turned · into
Let's supposed that Zeno's house is 1 mi from the park
1:58Supongamos que la casa de Zenón está a 1 milla del parque
at 1 mi per hour: at para introducir una tasa
En at 1 mi per hour, at introduce la velocidad a la que se camina. La estructura es at + una tasa; per significa «por cada», así que la frase quiere decir «a una velocidad de una milla por hora». Aquí at no indica lugar. mi es la abreviatura escrita de mile. La misma estructura at + una tasa también puede introducir otras tasas medibles, como meters per second o pages per minute.
Práctica
Completa la oración con at + 60 miles per hour: The bus was traveling ____.
Ver respuesta
at 60 miles per hour
Common sense tells us that the time for the journey should be 1 hour. Discurso
2:04El sentido común nos dice que el tiempo del viaje debería ser de 1 hora.
Common sense tells us that: presentar una afirmación como juicio intuitivo
Common sense tells us that no reproduce las palabras de una persona real. Personifica common sense, «el sentido común», y señala que la experiencia cotidiana nos lleva a esperar que la afirmación siguiente sea cierta. Como marco inicial, presenta la información después de that como la respuesta intuitiva. Después, quien escribe puede comparar esa intuición con un cálculo, un argumento formal o un resultado sorprendente.
Práctica
¿Qué función cumple Common sense tells us that en esta oración: Common sense tells us that the shorter route should take less time?
- Informa de que una persona nos dio la información.
- Demuestra la afirmación mediante un cálculo formal.
- Presenta la afirmación como un juicio intuitivo basado en la experiencia cotidiana.
Ver respuesta
Presenta la afirmación como un juicio intuitivo basado en la experiencia cotidiana.
But let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. Notas
2:08Pero veamos las cosas desde el punto de vista de Zenón y dividamos el viaje en partes.
from Zeno's point of view: presentar la perspectiva de Zenón
From Zeno's point of view presenta la explicación según la manera de razonar de Zenón. En esta oración, el hablante nos pide que adoptemos temporalmente su interpretación del trayecto; no indica un lugar físico desde el que mirar. La estructura reutilizable es from + persona en posesivo + point of view, como from Maya's point of view o from my point of view. Indica desde qué perspectiva se organiza la afirmación que sigue.
Práctica
Completa con la estructura from ... point of view que significa «tal como lo ve Daniel»: ____, the new schedule gives us more time.
Ver respuesta
From Daniel's point of view
divide up: dividir un todo en partes
Divide up significa separar un todo en varias partes o porciones más pequeñas. En la oración, el todo es the journey e into pieces indica cuáles son las partes resultantes. Up es una partícula del verbo compuesto, no una dirección. Añade la idea de ocuparse del todo dividiéndolo en partes, aunque divide the journey into pieces también sería gramatical.
Práctica
Completa con la forma de dos palabras de divide que destaca la separación de un todo en partes: Let's ____ the presentation into four short sections.
Ver respuesta
divide up
and so on: continuación de una lista o patrón ya entendido
En esta oración, and so on cierra la secuencia después de que se han dado suficientes términos para mostrar la regla. Indica al oyente que las partes posteriores continúan de la misma manera, por lo que el hablante no las enumera una por una. En general, la expresión marca una lista incompleta o un patrón repetido cuyos elementos omitidos se pueden deducir. Normalmente sugiere más de una posible continuación, no solo un elemento omitido.
Práctica
En “The pattern continues 2, 4, 8, 16, and so on,” ¿qué le indica and so on al oyente?
- Solo falta un elemento más.
- Los elementos anteriores son incorrectos.
- Hay más elementos que siguen el mismo patrón.
Ver respuesta
Hay más elementos que siguen el mismo patrón.
Summing up: sumar cantidades para obtener un total
Aquí, Summing up significa sumar todos los valores de tiempo para obtener el total. El complemento all these times se refiere a cantidades numéricas y el resultado es una serie, así que sum up tiene su sentido matemático, no el sentido cotidiano de resumir ideas. La cláusula en -ing al principio nombra la operación que conduce al resultado principal: después de sumar los tiempos, obtenemos la serie. Este patrón puede presentar un cálculo u otro paso antes de expresar su resultado.
Práctica
Usa la forma en -ing de sum up para expresar la suma de las cantidades: ____ the four monthly bills, we got a total of $800.
Ver respuesta
Summing up
a series that looks like this: introducción de una forma visual
En esta oración, a series that looks like this lleva la explicación desde el cálculo expresado oralmente hasta la serie matemática que se muestra a continuación. this señala la forma visible de la serie. Aquí, looks like this significa «tiene esta forma» o «está dispuesta como se muestra», no simplemente «tiene el mismo aspecto físico». El patrón dirige la atención desde las palabras habladas hacia una fórmula, un diagrama, una lista o una demostración.
Práctica
¿Qué función cumple a series that looks like this en esta oración?
- Dice que la serie tiene el mismo aspecto físico que otro objeto.
- Señala la forma de la serie matemática que se está mostrando.
- Dice que el hablante no conoce la forma de la serie.
Ver respuesta
Señala la forma de la serie matemática que se está mostrando.
since there are: introducir una razón
Aquí, since significa «porque» o «dado que». La oración subordinada que empieza con since there are aporta una razón: hay infinitos términos en el lado derecho y cada término es finito. La oración siguiente, the sum should equal infinity, se presenta como la conclusión. Since también puede marcar un punto de inicio temporal, pero aquí no tiene ese uso. Esta oración aporta una premisa para un razonamiento; no indica cuándo empezó algo.
Práctica
En el ejemplo, ¿qué función tiene since?
- Introduce una razón para la conclusión.
- Muestra un contraste entre dos ecuaciones.
- Indica el momento en que empezó la ecuación.
Ver respuesta
Introduce una razón para la conclusión.
the right hand side of the equation: el lado derecho de la ecuación
The right hand side of the equation es todo lo escrito a la derecha del signo igual. En a = b + c, el lado derecho es b + c. Aquí, hand forma parte de una expresión fija de posición: right hand side significa «lado derecho». No se refiere a la mano derecha de una persona. En las explicaciones matemáticas, esta expresión permite localizar una parte de la ecuación.
Práctica
En x + 2 = 7, ¿a qué parte se refiere the right hand side of the equation?
- x + 2
- el signo igual
- 7
Ver respuesta
7
might say: introducción de un punto de vista hipotético
Aquí, Zeno might say no presenta una cita confirmada. El hablante atribuye provisionalmente a Zenón una posible línea de razonamiento para poder examinarla y responderla. El patrón someone might say... puede introducir una objeción, interpretación o respuesta imaginada. might presenta el punto de vista como tentativo y lo separa de la afirmación propia del hablante.
Práctica
Juzga la afirmación: En Zeno might say, el hablante confirma que Zenón dijo realmente esas palabras exactas.
- Verdadero
- Falso
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Falso
This is the problem with Zeno's argument. Discurso
2:34Este es el problema con el argumento de Zenón.
This is the problem with ...: señalar un defecto
This is the problem with ... remite a un defecto o una dificultad que acaba de explicarse. This identifica ese punto anterior, mientras que with introduce el argumento, plan u otra cosa que contiene el problema. En esta oración, el hablante critica el argumento de Zenón. No significa que el problema pertenezca a Zenón.
Práctica
Usa la estructura resaltada para remitir al defecto anterior: The app drains the battery in an hour. ____ the app.
Ver respuesta
This is the problem with
As mathematicians have since realized, Gramática
2:37Como los matemáticos han descubierto desde entonces,
have since realized: una comprensión alcanzada más tarde
Have realized está en presente perfecto, y el adverbio since significa «después de aquel momento anterior» o «más tarde». En conjunto, have since realized indica que esa comprensión se alcanzó después y que sigue siendo pertinente ahora. Aquí since funciona por sí solo entre have y realized. No introduce una oración temporal, por lo que la frase no significa «desde que se dieron cuenta».
Práctica
En la oración “Historians have since realized that the date was wrong,”, ¿qué significa since?
- Más tarde, después del momento anterior
- Porque
- Desde el momento indicado por una oración que sigue a since
Ver respuesta
Más tarde, después del momento anterior
it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. Notas
2:38es posible sumar un número infinito de términos de tamaño finito y aun así obtener una respuesta finita.
It is possible to + verbo en forma base
It is possible to + verbo en forma base significa que una acción o un resultado puede ocurrir. Aquí, it es un sujeto de apoyo: no se refiere a ningún objeto. El contenido real es la frase de infinitivo que comienza con to add up. Este patrón coloca primero un sujeto gramatical corto y deja la acción más larga para después, lo que facilita seguir la explicación.
Práctica
Completa la oración con la apertura de dos palabras que contiene el sujeto formal: ____ possible to finish the route before sunset.
Ver respuesta
It is
add up infinitely many finite-sized terms: sumar infinitos términos finitos
Aquí, add up significa calcular un total mediante una suma. El objeto infinitely many finite-sized terms indica qué se suma: hay infinitos términos, pero cada término individual tiene un tamaño finito. En este contexto matemático, add up describe un cálculo real, no si una explicación tiene sentido.
Práctica
¿Qué oración usa add up con el sentido de calcular el total de varios valores?
- These test scores add up to 360.
- His explanation does not add up.
- Add up the four test scores.
Ver respuesta
Add up the four test scores.
still get a finite answer: still señala un resultado inesperado
En esta oración, still indica que un resultado sigue siendo posible pese a un hecho que parece apuntar en sentido contrario. Sumar infinitos términos puede hacer pensar en un total infinito, pero aun así puede obtenerse un resultado finito. Aquí, still tiene una función concesiva y contraria a lo esperado. Organiza la información como «a pesar del sorprendente hecho anterior, este resultado se mantiene», y no simplemente como la continuación de algo en el tiempo.
Práctica
¿Qué señala still en el ejemplo?
- Cada término de tamaño finito tiene el mismo valor numérico.
- El proceso de hallar la respuesta continúa durante mucho tiempo.
- Un resultado finito es posible pese a la expectativa creada por una cantidad infinita de términos.
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Un resultado finito es posible pese a la expectativa creada por una cantidad infinita de términos.
How, you ask?: anticipar la pregunta del público
How, you ask? significa «Quizá te estés preguntando cómo es posible». El hablante formula la pregunta que probablemente tenga el público; no informa de una interrupción real. Esta pregunta retórica crea un diálogo imaginario y hace avanzar la explicación. Normalmente apunta a una respuesta que aparece justo después.
Práctica
Indica si es verdadero o falso: en How, you ask?, el hablante cuenta que una persona del público lo interrumpió y formuló realmente la pregunta.
- Falso
- Verdadero
Ver respuesta
Falso
think of it this way: introducir una nueva perspectiva
'Think of it this way' invita al oyente a usar un nuevo marco para comprender el tema. Aquí, it se refiere a la idea que ya se estaba tratando, y this way señala la explicación que viene a continuación. La expresión organiza la explicación anunciando un cambio de perspectiva; no significa literalmente pensar en un objeto físico de una manera determinada.
Práctica
¿Qué indica 'Let's think of it this way' en la oración?
- Una descripción de la forma física de la idea
- Una orden de memorizar las palabras exactas
- Una nueva manera de entender la idea
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Una nueva manera de entender la idea
Let's start with a square that has area 1 unit. Frases
2:47Comencemos con un cuadrado que tiene un área de 1 unidad.
start with: nombrar el objeto inicial
'Start with' significa elegir algo como el primer objeto, material, ejemplo o paso de un proceso. En esta oración, un cuadrado con un área de 1 unidad es el objeto inicial para lo que sigue. El patrón es start with + sintagma nominal. With introduce el contenido inicial; aquí no significa «junto con».
Práctica
Usa start y la preposición que introduce el primer elemento de una secuencia: Let's ____ the easiest question.
Ver respuesta
start with
chop the square in half: cortar el cuadrado por la mitad
Chop the square in half significa cortar el cuadrado de modo que quede dividido en dos partes iguales. El patrón es chop + objeto + in half; in half indica el resultado de la acción. Aquí, chop es una forma gráfica e informal de hablar de dividir una figura dibujada. El mismo patrón puede describir el corte de un objeto físico en dos partes iguales.
Práctica
Completa la oración con la frase de resultado de dos palabras de esta lección que significa 'en dos partes iguales': Chop the sandwich ____.
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in half
let's keep track of the areas of the pieces. Frases
2:57llevemos la cuenta de las áreas de las piezas.
keep track of the areas: llevar un registro de las áreas
Keep track of significa seguir controlando o registrando información a lo largo del tiempo. En esta oración, la información es el área de cada pieza a medida que las piezas cambian. La estructura es keep track of + la información que se controla. Aquí, track no es un camino físico; la expresión se centra en mantenerse al tanto para no olvidar ni pasar por alto nada.
Práctica
Completa la oración con la expresión de esta lección que contiene keep y track: Use this chart to ____ our weekly progress.
Ver respuesta
keep track of
each with an area of 1/2: añadir una propiedad a cada parte
En esta oración, each remite a las dos partes. La frase with an area of 1/2 indica el área de cada una, de modo que cada parte por separado tiene un área de 1/2. El patrón compacto sustantivo plural + each with + sintagma nominal añade una propiedad a todos los miembros sin repetir una oración completa. Aquí equivale a two parts, and each part has an area of 1/2.
Práctica
Usa la estructura compacta each with para completar la oración: The cabin has three bedrooms, ____ private bathroom.
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each with a
The next slice divides one of those halves in half, Gramática
3:04El siguiente corte divide una de esas mitades a la mitad,
one of those halves: elegir un elemento de un grupo conocido
Las palabras those halves remiten a las dos partes creadas por el corte anterior. One selecciona una sola mitad de ese grupo conocido, por lo que después solo se divide una de ellas. En el patrón one of + sintagma nominal plural, one está en singular porque representa el miembro seleccionado, mientras que halves permanece en plural porque nombra el grupo del que se elige.
Práctica
¿Qué frase selecciona correctamente una caja de un grupo mencionado anteriormente? Completa la oración: Please open ___ and check inside.
- one of those boxes
- one those boxes
- one of that boxes
Ver respuesta
one of those boxes
the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Vocabulario
3:10el área total sigue siendo la suma de las áreas de todas las piezas.
no matter how many times: un resultado que no cambia
No matter how many times + sujeto + verbo introduce una concesión sobre la frecuencia. El número de repeticiones puede variar, pero el resultado de la oración principal no cambia. Aquí, las figuras pueden dividirse una y otra vez; aun así, la regla sobre el área total sigue siendo válida. En este uso, no matter no significa que no haya ningún problema.
Práctica
Completa la oración con la expresión objetivo no matter how many times: ____ we try, the lock will not open without the correct code.
Ver respuesta
No matter how many times
slice up: cortar algo en varios trozos
Slice up + objeto significa cortar una cosa entera en varios trozos. La partícula up añade la idea de llevar a cabo la división por completo; no indica una dirección hacia arriba. En esta oración, boxes se refiere a figuras o bloques dibujados. El hablante imagina que esas figuras se dividen en partes más pequeñas, no que se cortan cajas de embalaje.
Práctica
En la oración del video, ¿qué significa slice up the boxes?
- Mover las cajas hacia arriba
- Dibujar cajas alrededor de todos los trozos
- Cortar las figuras en varios trozos
Ver respuesta
Cortar las figuras en varios trozos
the sum of the areas of all the pieces: sumar las áreas de las partes
Aquí, sum es un sustantivo que designa el total obtenido al sumar números o cantidades. En la estructura the sum of X, X nombra los valores que se suman. En the areas of all the pieces, cada parte aporta su área, no la parte física en sí. Por tanto, la frase completa significa todas las áreas individuales sumadas.
Práctica
Completa la oración con el patrón nominal objetivo que significa «el total obtenido al sumar»: The total score is ____ the points from all four rounds.
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the sum of
Now, you can see why we chose this particular way of cutting up the square. Notas
3:15Ahora puedes ver por qué elegimos esta forma particular de cortar el cuadrado.
you can see why: indicar que la razón ya está clara
En you can see why + una oración de causa, see significa entender, no mirar con los ojos. Las palabras después de why indican qué razón ahora se puede comprender. En una explicación, la expresión funciona como una señal organizadora: conecta las pruebas o los pasos recién presentados con el motivo de una elección o un resultado. Now destaca que la información anterior ha aclarado ese motivo.
Práctica
En una explicación, ¿qué comunica you can see why al oyente?
- El oyente debe elegir un motivo nuevo.
- El motivo puede verse como un objeto físico.
- La información anterior hace que el motivo sea comprensible.
Ver respuesta
La información anterior hace que el motivo sea comprensible.
particular way of cutting up the square: una manera concreta de dividir el cuadrado
En esta oración, particular significa «concreto» o «elegido expresamente»; aquí no significa «quisquilloso». This particular way señala un método exacto, no cualquier método. El hablante explica por qué se eligió ese método. La estructura way of + -ing indica cómo se realiza una acción. Aquí, way of cutting up the square significa el método utilizado para dividir el cuadrado en partes más pequeñas. El patrón reutilizable es a particular way of doing something.
Práctica
Completa la estructura objetivo con la preposición que va antes de una forma en -ing: This particular way ____ arranging the cards makes the pattern easy to see.
Ver respuesta
of
We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. Gramática
3:18Hemos obtenido la misma serie infinita que teníamos para el tiempo del viaje de Zenón.
the same infinite series as ...: la misma serie infinita que ...
La estructura the same + sustantivo + as ... relaciona dos cosas que son iguales en el aspecto relevante. Aquí, la serie que se acaba de obtener es idéntica a la serie infinita utilizada para el tiempo del viaje de Zenón. La información que aparece después de as proporciona el elemento de comparación: we had for the time of Zeno's journey. No te detengas en the same infinite series; la cláusula con as indica con qué serie se establece la correspondencia.
Práctica
Completa el patrón de comparación the same ... as: The second diagram shows the same pattern ____ the first one.
Ver respuesta
as
As we construct more and more blue pieces, Gramática
3:23A medida que construimos más y más piezas azules,
As we construct: as para dos procesos que avanzan juntos
Aquí, As we construct significa «mientras seguimos construyendo» o «a medida que avanza la construcción». La frase inicia una oración temporal y de proceso que relaciona la construcción en curso con otro cambio. La función principal de as aquí es mostrar que dos procesos se desarrollan a la vez. No equivale simplemente a because: la oración se organiza en torno a cambios paralelos, aunque el primer proceso pueda contribuir a causar el segundo.
Práctica
¿Cuál es la función principal de As we construct en esta oración?
- Afirma que la construcción es la única razón del otro cambio.
- Presenta la construcción como un proceso en curso junto con otro cambio.
- Contrasta la construcción con el otro cambio.
Ver respuesta
Presenta la construcción como un proceso en curso junto con otro cambio.
more and more blue pieces: un número cada vez mayor
En more and more blue pieces, more and more indica que el número de piezas azules sigue aumentando a medida que continúa el proceso. Debe entenderse como un solo patrón que significa «un número cada vez mayor de», no como dos usos separados de more.
Práctica
Completa la oración con el patrón que significa «un número cada vez mayor de»: ____ visitors come to the museum each year.
Ver respuesta
More and more
to use the math jargon: señalar el cambio a términos técnicos
La frase parentética to use the math jargon significa «expresar la idea que sigue con terminología matemática». No describe el proceso matemático en sí; indica al oyente cómo interpretar las palabras que vienen a continuación. Es una señal que organiza la información: el hablante pasa de una explicación sencilla o visual a una formulación más especializada. En esta frase, jargon es neutral y no presenta esas palabras como algo sin sentido.
Práctica
¿Qué señala el hablante con to use the math jargon?
- Los términos que siguen no tienen sentido.
- Se va a abandonar la explicación matemática.
- La formulación que sigue usará términos matemáticos especializados.
Ver respuesta
La formulación que sigue usará términos matemáticos especializados.
as we take the limit as n tends to infinity, Vocabulario
3:27a medida que tomamos el límite cuando n tiende a infinito,
take the limit as n tends to infinity: describir un proceso de límite
Take the limit es una expresión verbal matemática estándar que significa «calcular el límite», no «quitar una restricción». La cláusula as n tends to infinity fija la dirección del proceso: n crece sin límite. Aquí n representa el número de pasos o términos. El infinito no es un número final corriente al que n llegue; la expresión pregunta a qué valor se acerca la cantidad pertinente cuando n se hace arbitrariamente grande.
Práctica
En matemáticas, ¿qué te pide hacer take the limit as n tends to infinity?
- Igualar n a un número corriente llamado infinito.
- Quitar una restricción después de elegir un valor pequeño de n.
- Examinar el valor al que se acerca una cantidad mientras n crece sin límite.
Ver respuesta
Examinar el valor al que se acerca una cantidad mientras n crece sin límite.
becomes covered with blue: cambio a un estado afectado
Become + participio pasado describe un cambio hacia un estado que afecta al sujeto. Aquí, becomes covered indica que el cuadrado pasa de no estar completamente cubierto a estar cubierto. With blue señala qué cubre o llena su superficie. The entire square es la entidad afectada; no realiza activamente la acción de cubrir otra cosa.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta del presente de become + covered with: As autumn continues, the sidewalk ____ leaves.
Ver respuesta
becomes covered with
and so the infinite sum must equal 1. Notas
3:35y por lo tanto la suma infinita debe ser igual a 1.
and so: introducir una conclusión
And so conecta un hecho o motivo ya expresado con la conclusión que sigue. La información anterior es la base; la cláusula posterior presenta el resultado que se deduce de ella. En esta oración, el área del cuadrado es 1 unidad, y and so introduce la conclusión de que la suma infinita debe ser igual a 1. Aquí, so organiza el razonamiento; no significa muy ni modifica un adjetivo.
Práctica
¿Qué oración usa and so para introducir una conclusión a partir del hecho anterior?
- The road was icy, and so the school opened late.
- The road was so icy that buses could not move.
- Sam checked the map and the train schedule.
Ver respuesta
The road was icy, and so the school opened late.
infinite sum must equal 1: must expresa necesidad lógica
Aquí, infinite sum es el total que se obtiene al sumar una cantidad infinita de términos. La proposición afirma que ese total es 1. Must expresa necesidad lógica, no una orden. Como las partes del modelo llenan un cuadrado de área 1, el razonamiento obliga a que la suma sea 1. Este mismo uso de must marca una conclusión que se deriva necesariamente de los datos proporcionados.
Práctica
¿Qué comunica must en la oración del ejemplo?
- El resultado es solo una posibilidad.
- La suma ha recibido una orden.
- La conclusión se deriva necesariamente del razonamiento.
Ver respuesta
La conclusión se deriva necesariamente del razonamiento.
we can now see how the paradox is resolved. Gramática
3:40ahora podemos ver cómo se resuelve la paradoja.
Going back to Zeno's ...: transición para retomar un tema anterior
Going back to Zeno's journey es una transición inicial que devuelve la conversación a un tema mencionado antes. Organiza la explicación: después del modelo del cuadrado y la suma, el hablante vuelve a centrar la atención en el viaje de Zenón. La frase describe un movimiento dentro de la conversación, no un desplazamiento físico. La oración principal explica después qué queda claro al retomar el tema anterior.
Práctica
Usa going, back y to en el orden correcto para completar la transición que retoma un tema: ____ our earlier question, the answer is now clear.
Ver respuesta
Going back to
the paradox is resolved: un resultado en voz pasiva
The paradox is resolved usa la forma pasiva be + participio pasado: the paradox recibe la acción en vez de realizarla. La frase centra la atención en el resultado —el problema aparente ya puede explicarse— sin indicar qué persona o razonamiento lo resolvió. Cuando el sujeto es un problema, resolved significa «resuelto, zanjado o explicado con claridad». No significa «decidió hacer algo»; ese sentido suele llevar una persona como sujeto en una estructura como she resolved to continue.
Práctica
¿Qué significa “the paradox is resolved” en el ejemplo?
- La paradoja ha decidido actuar.
- La paradoja se ha vuelto más confusa.
- La paradoja ha sido resuelta o explicada.
Ver respuesta
La paradoja ha sido resuelta o explicada.
Not only does the infinite series sum to a finite answer, Notas
3:42La serie infinita no solo suma una respuesta finita,
sum to a finite answer: sumar y dar un resultado finito
Sum to + resultado significa “sumar hasta alcanzar o ser igual a ese resultado”. Aquí, the infinite series es el sujeto y a finite answer es el resultado obtenido al sumar sus términos. Sum no significa “resumir” en este caso. En matemáticas, una serie puede tener infinitos términos, pero los totales pueden acercarse cada vez más a un valor finito fijo a medida que se añaden términos. Cuando ocurre esto, se dice que la serie sums to ese valor.
Práctica
Completa la oración usando sum como verbo con la preposición necesaria: The three payments ____ $150.
Ver respuesta
sum to
but that finite answer is the same one that common sense tells us is true.
3:46sino que esa respuesta finita es la misma que el sentido común nos dice que es verdad.
Not only does ... but ...: inversión con Not only al inicio
Not only ... but ... une dos afirmaciones relacionadas y presenta la segunda como un punto adicional que suele tener más fuerza. Aquí, la primera afirmación es que la serie infinita tiene una suma finita; la cláusula con but añade que esa respuesta también coincide con el sentido común. Como Not only inicia la primera cláusula, se produce una inversión entre el sujeto y el auxiliar: does aparece antes del sujeto y sum se mantiene en su forma base. En este patrón del presente simple, se usa Not only does + sujeto singular + verbo base ..., but + cláusula con orden normal ....
Práctica
Completa la inversión en presente simple con el auxiliar necesario: Not only ____ the pattern repeat, but it also becomes easier to recognize.
Ver respuesta
does