La paradoja en el corazón de las matemáticas: el teorema de incompletitud de Gödel - Marcus du Sautoy: apuntes para aprender inglés

Completa la fórmula introductoria exacta que presenta una oración para analizar: ____: "Water freezes at zero degrees Celsius."

¿Por qué “This statement is false.” crea una paradoja en este acertijo?

1. La oración no tiene sujeto.
2. “This statement” se refiere a la propia oración.
3. La palabra “false” solo puede usarse en matemáticas.

Completa la oración con la expresión de dos palabras de esta lección que significa «si eso es cierto»: The library may still be open. ____, we can return the books tonight.

Usa would make + objeto + adjetivo para completar el resultado hipotético: Removing the warning label ____ the box unsafe.

Completa el enunciado lógico con if ... then ...: ____ a number ends in zero, ____ it is divisible by ten.

Usa by + la forma en -ing de read para completar la oración: ____ the instructions carefully, Mia finished the project correctly.

¿Qué situación se describe mejor como an unresolvable paradox?

1. Una regla hace que la misma afirmación sea verdadera y falsa, y no ofrece ninguna salida.
2. Un problema de matemáticas es difícil, pero tiene una respuesta conocida.
3. Una pregunta sigue sin respuesta porque nadie la ha comprobado todavía.

¿Cuál es la principal función discursiva de la pregunta destacada en este contexto?

1. Muestra que la clasificación habitual entre verdadero y falso ha fallado e introduce la siguiente idea.
2. Pregunta dónde se encuentra físicamente la afirmación.
3. Anuncia que la afirmación es definitivamente falsa.

Completa la oración con la expresión objetivo de tres palabras que presenta una primera impresión de forma atenuada: This shortcut ____ a good idea, but it creates more work.

¿Qué opción es un experimento mental y no un experimento realizado en el mundo real?

1. Imagine that nobody needed sleep and reason through how schools and jobs would change.
2. Plant two seeds and record which one grows faster.
3. Measure how long three batteries power the same flashlight.

Completa la oración con el pasado de lead y la preposición necesaria: A strange clue ____ the detective ____ an important discovery.

En la oración She found an idea that would change her life, ¿qué expresa would change?

1. Una petición cortés para que la idea le cambie la vida.
2. Una predicción desde el presente sobre un cambio que todavía no ha ocurrido.
3. Un cambio posterior visto desde un momento anterior del relato.

Completa la oración con la forma en pasado de have to do with: The delay ____ a damaged cable.

¿Qué expresión significa límites de lo que los sistemas de demostración pueden establecer, y no errores en demostraciones individuales?

1. mistakes in mathematical proofs
2. steps in mathematical proofs
3. limitations of mathematical proofs

¿Qué oración sigue el mismo patrón de información: término + is + categoría + una cláusula con that que describe su función?

1. An algorithm can solve a specific problem very quickly.
2. An algorithm is a set of steps that solves a specific problem.
3. Can an algorithm solve this specific problem?

¿Qué oración usa el orden correcto en una cláusula incrustada con why?

1. The teacher explained why was the answer correct.
2. Why was the answer correct?
3. The teacher explained why the answer was correct.

Completa la oración con la expresión de dos palabras de la lección que significa «partes básicas»: Trust and communication are the ____ of a strong team.

Completa la oración con el patrón pasivo de denominación be called: Closed shapes with three sides ____ triangles.

En la frase the numbers involved, ¿qué significa involved?

1. los números que son difíciles de calcular
2. los números pertinentes para el asunto
3. los números que ya han sido demostrados

Completa la oración con from ... to ... para mostrar todo el rango: The workshop welcomes participants ____ complete beginners ____ experienced designers.

Usa built y constructed para completar la oración: The platform is ____ open-source technology and ____ reusable modules.

¿Qué oración expresa una expectativa razonable de capacidad basada en una condición, en vez de afirmar directamente una capacidad o imponer un requisito?

1. If the code is correct, the user must sign in.
2. If the code is correct, the user should be able to sign in.
3. If the code is correct, the user can sign in.

Completa la oración con la expresión doble de esta lección que significa «demostrar que algo es verdadero o demostrar que es falso»: A second measurement could ____ the scientist's claim.

Completa la oración con la frase de esta lección que significa «sin ninguna duda»: After checking the original file, Maya could identify the author ____.

Completa la oración con la expresión de tres palabras de esta lección que significa «empezó a trabajar en esa área profesional»: After finishing her cybersecurity training, Ava ____.

¿Qué oración usa threaten de la misma manera abstracta que el ejemplo?

1. The child whispered a warning to her friend.
2. Several errors threatened confidence in the report.
3. The speaker threatened the audience with punishment.

Completa la oración con la forma pasada de be eager to: The researchers ____ confirm the result.

En la oración mathematics had no contradictions, ¿qué interpretación es correcta?

1. Los problemas matemáticos nunca eran difíciles.
2. El sistema no podía establecer conclusiones incompatibles entre sí.
3. Los matemáticos estaban de acuerdo en todas las cuestiones.

¿Qué interpretación encaja mejor con Gödel himself wasn't so sure?

1. Gödel desconocía por completo el problema.
2. Gödel rechazaba tajantemente todos los enfoques matemáticos.
3. Gödel, personalmente, tenía algunas dudas, a diferencia del grupo más seguro.

Usa even + la forma comparativa de confident para mostrar una nueva caída de la confianza: After two more errors, the reviewers were ____ that the figures were accurate.

Completa la oración con la expresión objetivo que significa el método adecuado para esta tarea: A survey may be ____ understand why customers leave.

¿Qué oración usa while con el mismo sentido concesivo que el ejemplo?

1. While the instructions look simple, the machine is difficult to operate.
2. While I was washing the dishes, the doorbell rang.
3. Please wait here while I check the schedule.

¿Qué descripción corresponde mejor a a self-referential paradox?

1. Una afirmación crea una contradicción al referirse a sí misma.
2. Una persona se niega a compartir con los demás.
3. Una oración remite a un dato de otro libro.

¿Qué significa aquí “numbers don't typically talk about themselves”?

1. Los números prefieren hablar de otros números.
2. Los números generalmente no se refieren ni se describen a sí mismos.
3. Los números suelen guardar silencio cuando las personas los leen en voz alta.

¿Qué función cumple la parte resaltada en esta oración?

1. Establece un marco conocido de verdadero o falso antes de que la oración cambie de rumbo.
2. Dice que todas las partes de las matemáticas son fáciles.
3. Explica los detalles de la idea de Gödel.

¿Qué función cumple but Gödel had an idea en la narración?

1. Pasa de la regla de contexto a una idea nueva que se explicará a continuación.
2. Demuestra que la idea de Gödel ya era correcta.
3. Repite la regla de verdadero o falso sin cambiar de rumbo.

Completa el patrón translate A into B: The scanner translates printed pages ____ searchable text.

Completa la oración con so that y la forma pasiva correcta de understand: The safety message was rewritten ____ it could ____ by children.

¿Qué función cumple This meant that en el ejemplo?

1. Introduce un hecho sin relación con el paso anterior.
2. Da una definición de diccionario de la palabra mathematics.
3. Vincula el paso anterior de codificación con una consecuencia que se derivó de él.

En encoded statements of mathematics, ¿qué nos indica encoded?

1. Los enunciados se han convertido en una forma codificada.
2. Los enunciados se han ocultado sin duda para mantenerlos en secreto.
3. Los enunciados se han extraído de un código y restaurado a su forma original.

¿Qué significa allowed mathematics to talk about itself en esta oración?

1. Hizo que las matemáticas hablaran en voz alta.
2. Hizo posible que las matemáticas expresaran enunciados sobre sí mismas.
3. Dio permiso a los matemáticos para hablar sobre codificación.

¿Qué afirma el enunciado entre comillas?

1. Dice que ese mismo enunciado no puede demostrarse dentro del sistema.
2. Dice que este enunciado no puede demostrar otra ecuación.
3. Dice que nadie tiene permiso para escribir una demostración.

Completa la estructura objetivo con as y la forma en -ing de make: She rewrote the results ____ a chart, ____ the pattern easier to see.

Completa el patrón objetivo However, unlike + sintagma nominal: ____, ____ the old model, this one uses less energy.

En mathematical statements must be true or false, ¿qué expresa must?

1. El marco lógico exige que cada enunciado tenga uno de los dos valores.
2. Los enunciados prometen decir la verdad.
3. Alguien les ordena a los enunciados que elijan cómo comportarse.

¿Qué función cumple So, which is it? después de plantear dos posibilidades?

1. Vuelve a centrar la conversación en elegir entre esas posibilidades.
2. Introduce un tema nuevo sin relación con el razonamiento anterior.
3. Afirma que las dos posibilidades son definitivamente correctas.

Lee esta oración: “If the screen is blank, that means the computer is not receiving a signal.” ¿Qué función cumple “that means”?

1. Introduce la conclusión que se deduce de la condición.
2. Traduce la palabra “blank”.
3. Inicia un tema sin relación.

Usa el does enfático + el verbo base have para completar la corrección: “You said the plan has no benefit, but it ____ one important advantage.”

Completa la oración con el patrón exacto if ..., then it must ...: ____ an integer ends in 0, ____ it ____ divisible by 10.

En este argumento, ¿qué función cumple This contradiction means ...?

1. Resume una incoherencia e introduce la conclusión que se extrae de ella.
2. Cambia el tema a un ejemplo no relacionado.
3. Da una definición de diccionario de la palabra contradiction.

¿Qué significa can't en “The answer can't be false because it follows from the rule”?

1. No está permitido que la respuesta sea falsa.
2. El hablante no tiene la capacidad de hacer que la respuesta sea falsa.
3. Es lógicamente imposible que la respuesta sea falsa.

Completa la estructura formal de conclusión: The machine accepts only valid tickets. This ticket was accepted, ____ this ticket is valid.

¿Qué función cumple el comienzo destacado en la oración?

1. Dice que el resultado todavía no ha ocurrido.
2. Introduce una razón, pero no establece ningún contraste con un punto anterior.
3. Contrasta con el punto anterior, intensifica la valoración e introduce una razón.

En una conversación sobre matemáticas, ¿qué significa aquí a true equation?

1. Una ecuación que existe realmente, sea o no verdadera su afirmación matemática.
2. Una ecuación cuya afirmación matemática es verdadera.
3. Una ecuación que utiliza únicamente números reales.

En esta oración, ¿qué indica asserts sobre la ecuación?

1. Demuestra la afirmación con razones que la respaldan.
2. Habla con una voz muy alta.
3. Presenta formalmente una afirmación que puede considerarse verdadera o falsa.

Usa la expresión idiomática de la lección para completar la oración: Trust is ____ a healthy friendship.

En el nombre Gödel's incompleteness theorem, ¿a qué se refiere incompleteness?

1. La afirmación de que las matemáticas no tienen demostraciones válidas.
2. Una demostración sin terminar que necesita más páginas.
3. Un límite de algunos sistemas formales: ciertos enunciados verdaderos no pueden demostrarse dentro del sistema.

Completa la oración con la palabra relativa que añade un comentario no restrictivo: The update adds a search tool, ____ makes old files easier to find.

En la oración, ¿qué significa paradigm?

1. una sola fórmula matemática
2. un marco amplio para comprender y organizar ideas
3. un caso ilustrativo

Completa la estructura emparejada con either ... or: A binary answer is ____ yes ____ no.

¿Qué indica la frase resaltada en esta oración?

1. La demostrabilidad se evalúa usando un conjunto específico de axiomas.
2. Todos los conjuntos de axiomas demuestran el enunciado.
3. El enunciado está rodeado físicamente por axiomas.

¿Qué opción conserva correctamente el sentido de unprovable true statements?

1. Son enunciados verdaderos cuyas demostraciones aún no se han encontrado, pero sin duda se encontrarán.
2. Son falsos porque no existe una demostración.
3. Son verdaderos, aunque el sistema no puede demostrarlos.

Completa la oración con la estructura objetivo para indicar que no es posible abrir la ventana: The broken handle ____ open the window.

Completa con la forma futura de there be y always para mostrar que la limitación continuará: ____ cases the rule does not cover.

Completa el patrón de concesión, método y función. Usa Even if, by y as una vez cada uno: ____ you improve the plan ____ adding a checklist ____ a safety tool, some risks may remain.

En la oración original, ¿qué significa account for?

1. Depender de las afirmaciones
2. Explicar por qué las afirmaciones son verdaderas
3. Abordar o tener en cuenta las afirmaciones dentro del sistema

En la oración “That very decision caused the delay,” ¿qué indica very?

1. The exact decision already mentioned caused the delay.
2. The decision was extremely difficult.
3. A different decision prevented the delay.

Completa la oración con la expresión de cuatro palabras que empieza por No y significa “sin importar el número”: ____ books you read, there will always be more to discover.

¿Qué interpretación coincide mejor con la oración?

1. El sistema quizá contenga enunciados que probablemente sean verdaderos.
2. El sistema contendrá inevitablemente algunos enunciados verdaderos que no pueden demostrarse dentro de él.
3. Todos los enunciados verdaderos ya se han demostrado en el sistema.

¿Qué significa aquí It's Gödels all the way down?

1. Un solo teorema resuelve todas las posibles ampliaciones del sistema.
2. Varias personas llamadas Gödel están bajando.
3. Los límites tipo Gödel siguen reapareciendo a medida que se amplía el sistema.

En esta oración, ¿qué significa rocked the foundations of the field?

1. Cuestionó profundamente las creencias básicas del campo.
2. Produjo un cambio pequeño y rutinario en el campo.
3. Dañó físicamente los cimientos de un edificio.

¿Qué oración usa una frase final en -ing para añadir el resultado del acontecimiento anterior?

1. Because the storm closed the airport, hundreds of travelers were stranded.
2. The storm closed the airport and hundreds of travelers waited nearby.
3. The storm closed the airport, leaving hundreds of travelers stranded.

Completa la oración con would one day y la forma pasiva de solve: In 1995, researchers believed the puzzle ____.

¿Qué función cumple while en esta oración? “While most neighbors supported the plan, some opposed it.”

1. Contrasta las reacciones de dos grupos.
2. Explica la razón por la que algunas personas se opusieron al plan.
3. Indica que dos acciones duraron exactamente lo mismo.

En “Some fervently debated it,”, ¿qué nos indica fervently?

1. Debatieron con un fuerte sentimiento y convicción.
2. Debatieron muchas veces.
3. Debatieron en voz baja para no llamar la atención.

¿Qué oración usa others still para presentar la reacción persistente de un grupo distinto?

1. Most families went home, and every family left at the same time.
2. Most families went home, but others still waited for the final announcement.
3. The families stood still while they waited for the final announcement.

¿Qué significa newly uncovered hole in the heart of their field en esta oración?

1. Una limitación grave recién descubierta en el centro de su campo académico
2. Un agujero físico excavado recientemente en medio de una granja
3. Un problema médico que afecta el corazón de los investigadores

¿Qué oración usa as con el mismo sentido de desarrollo temporal que la cláusula destacada?

1. As more evidence emerged, the team grew more confident.
2. The box is as heavy as the chair.
3. She works as an engineer.

¿Qué oración centra la atención en el momento en que comienza la preocupación?

1. After an hour with no reply, Leo began to worry that something was wrong.
2. After an hour with no reply, Leo never worried that something was wrong.
3. After an hour with no reply, Leo had stopped worrying that something was wrong.

En el ejemplo, ¿a qué se refiere their life's work?

1. Al trabajo principal al que habían dedicado muchos años
2. A los trabajos que pensaban hacer durante una tarde
3. A las tareas rutinarias que hacían cada día

¿Qué oración utiliza mejor la metáfora de las puertas para decir que una norma creó y limitó oportunidades en una medida aproximadamente igual?

1. The new rule opened as many doors as it closed.
2. The new rule opened a door after the office closed.
3. The new rule closed every door and created no new options.

Usa el patrón de cuatro palabras inspire + key innovations + in, con inspire en pasado: The discovery ____ battery design.

Completa la oración con el pasado de dedicate her career to: Maria ____ improving rural health care.

¿Qué significado corresponde mejor a provably unprovable statements?

1. Probablemente sea difícil demostrar los enunciados.
2. Se puede demostrar que los enunciados son indemostrables.
3. Ya se ha demostrado que los enunciados son falsos.

¿Qué continuación completa mejor este resumen concesivo con una conclusión principal positiva: “So while the trip may have cost more than expected, ...”?

1. the tickets had blue numbers printed on them.
2. we still made memories we will always value.
3. it also took two hours longer than planned.

Completa con la expresión objetivo de dos palabras que significa “debido a, atribuyendo el resultado de forma positiva”: ____ Noah's quick repair, the robot worked again.

¿Qué opción explica mejor la oración?

1. Pueden evitar las preguntas sin respuesta hasta que se demuestren todos los hechos.
2. Pueden aceptar la incertidumbre como una parte central de la búsqueda de la verdad.
3. Pueden sostener físicamente algo desconocido durante un viaje.

¿Qué indica theorem en el nombre Pythagorean theorem?

1. Es una conjetura sin comprobar sobre todos los triángulos.
2. Es una afirmación matemática establecida mediante una demostración.
3. Es una instrucción común del aula.

¿Qué función cumple in the first place en esta oración?

1. Pregunta dónde se encontraba físicamente la primera demostración.
2. Pregunta cómo se estableció originalmente la demostración.
3. Pregunta si la demostración obtuvo el primer puesto.

Completa la oración con la estructura one of the cornerstones of: Reliable evidence is one ____ good research.