¿Por qué no se puede dividir por cero? - TED-Ed: apuntes para aprender inglés
TED-Ed
Resumen del video: El video explica por qué el hecho de que un cociente tienda al infinito cuando el divisor se acerca a cero no significa que dividir entre cero sea igual a infinito. Define la división mediante inversos multiplicativos y demuestra que declarar el infinito como inverso de cero genera contradicciones como 1 = 2, aunque otros sistemas matemáticos pueden modificar las reglas. Principales puntos de inglés: 1. all we really know is that — Discurso, narración y retórica: Aprende a limitar un argumento a la conclusión que las pruebas realmente permiten sostener. Aquí, la expresión distingue entre afirmar que los valores crecen sin límite cuando el divisor se aproxima a cero y afirmar, sin justificación, que la división entre cero equivale al infinito. 2. If we want to divide by zero, we need to find its multiplicative inverse, — Gramática y patrones oracionales: Reconoce y usa If we want to..., we need to... para relacionar un objetivo con un requisito o paso necesario. Este patrón permite explicar procesos y condiciones lógicas con claridad, sin presentar la acción siguiente como una decisión arbitraria. 3. make up a new rule? — Verbos frasales: Entiende que make up aquí significa inventar o definir algo, no reunir piezas físicamente. La pregunta propone una regla hipotética para comprobar sus consecuencias; el mismo verbo puede emplearse al hablar de reglas, historias, explicaciones o sistemas inventados.
En esta lección
In the world of math: cómo delimitar el ámbito del tema
In the world of math es un marco de apertura que indica al oyente a qué campo pertenece la afirmación que sigue. Aquí world se usa en sentido figurado: significa el ámbito de las ideas, prácticas y reglas relacionadas con las matemáticas, no un lugar físico aparte. Como la frase aparece al principio y termina con una coma, fija el alcance antes de que llegue la afirmación principal. Puedes reutilizar In the world of + campo para introducir lo que es común, importante o posible dentro de un tema.
Práctica
Completa el inicio con el marco exacto de la lección para delimitar el tema: ____ robotics, even tiny errors can matter.
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In the world of
many strange results are possible when we change the rules. Modismos
0:09son posibles muchos resultados extraños cuando cambiamos las reglas.
change the rules: cambiar las condiciones básicas de un sistema
Aquí, change the rules significa alterar las condiciones básicas que determinan lo que puede suceder. En matemáticas, esas reglas pueden ser supuestos, definiciones u operaciones permitidas, por lo que reglas diferentes pueden producir resultados diferentes. La expresión también se aplica fuera de las matemáticas cuando alguien reescribe deliberadamente el funcionamiento de un juego, una organización o un proceso.
Práctica
Un diseñador de juegos modifica la forma de contar los puntos. ¿Qué oración describe esto correctamente?
- The designer decides to change the rules.
- The designer decides to follow the rules.
- The designer decides to break the rules.
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The designer decides to change the rules.
But there's one rule that most of us have been warned not to break. Gramática
0:13Pero hay una regla que a la mayoría de nosotros nos han advertido que no rompamos.
have been warned not to + verbo
“Have been warned” es la forma pasiva del presente perfecto de “warn”. Centra la atención en las personas que recibieron la advertencia, no en quien la hizo. El presente perfecto sitúa la advertencia antes del momento actual y muestra que todavía es relevante. El patrón activo “warn someone not to do something” pasa a ser “someone has/have been warned not to do something” en pasiva. Aquí, “not to break” nombra la acción prohibida, y “break a rule” significa incumplir una regla. En esta oración, la estructura presenta la advertencia como algo que la mayoría de las personas ya ha recibido.
Práctica
Completa la oración con el patrón pasivo de advertencia: For safety, visitors ____ enter the closed area.
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have been warned not to
divide A by B: dividir A entre B
En matemáticas, “divide A by B” significa calcular A ÷ B. A es el dividendo, el número que se divide, y B, que aparece después de “by”, es el divisor. Por tanto, “divide by zero” significa usar cero como divisor. En la aritmética común, esa operación no está definida, por eso la oración dice que no se debe hacer.
Práctica
¿Qué frase lee correctamente la expresión 18 ÷ 6?
- six divided by eighteen
- eighteen divided by six
- eighteen divided into six
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eighteen divided by six
How can the simple combination of an everyday number and a basic operation cause such problems? Discurso
0:19¿Cómo puede la simple combinación de un número cotidiano y una operación básica causar tales problemas?
How can ... cause such problems? como pregunta gancho para introducir una explicación
La pregunta How can X cause Y? hace más que preguntar por un método. Aquí contrapone un número corriente y una operación básica con los problemas inesperados que causan, de modo que el contraste resulta sorprendente. Como gancho inicial, la pregunta plantea el enigma antes de dar la explicación. Así organiza la información con claridad: primero presenta el resultado sorprendente y después explica cómo o por qué ocurre.
Práctica
¿Qué pregunta inicial usa mejor How can...? para presentar un enigma sorprendente que pueda responderse con una explicación?
- How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
- Where is the packet of seeds?
- Can you put this seed in the blue pot?
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How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
Normally, dividing by smaller and smaller numbers gives you bigger and bigger answers. Gramática
0:26Normalmente, dividir por números cada vez más pequeños te da respuestas cada vez más grandes.
smaller and smaller ... bigger and bigger para expresar un cambio continuo
En smaller and smaller y bigger and bigger, la misma forma comparativa se repite con and. El patrón comparativo + and + comparativo indica que una cualidad sigue cambiando en una misma dirección con el tiempo o a lo largo de una secuencia. Aquí, smaller and smaller describe números que disminuyen paso a paso, mientras que bigger and bigger describe respuestas que aumentan paso a paso. El patrón expresa una tendencia continua, no solo que algo sea muy pequeño o muy grande.
Práctica
Completa la oración con el patrón de comparativo repetido que significa «cada vez más fuerte»: The music grew ____ as the parade came closer.
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louder and louder
La elipsis en By 1 ... By 1 millionth
By 1 y By 1 millionth son elementos paralelos abreviados. El primer cálculo establece el marco repetido 10 divided by ..., así que los elementos posteriores significan 10 divided by 1 y 10 divided by one millionth. Es un caso de elipsis: se omite la información compartida porque la lista permite recuperarla fácilmente. En una explicación rápida, conserva mentalmente el marco común e inserta cada nuevo divisor.
Práctica
En esta lista de cálculos, ¿cuál es la forma completa de By 1 millionth?
- 10 divided by 1 millionth
- 10 multiplied by 1 millionth
- 1 millionth divided by 10
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10 divided by 1 millionth
And so on para cerrar una lista incompleta
And so on aparece al final de una lista o serie. Indica que siguen más elementos o pasos del mismo tipo o patrón, pero que el hablante no los nombrará todos. El oyente debe poder deducir lo que seguiría a partir de los ejemplos o de la regla ya presentada.
Práctica
Completa la oración con la expresión de la lección que indica que la lista continúa: We need paper, pencils, folders, ____.
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and so on
So it seems like if you divide by numbers that keep shrinking all the way down to zero, Notas
0:40Así que parece que si divides por números que siguen reduciéndose hasta llegar a cero,
it seems like if ...: una inferencia condicional provisional
En it seems like if ..., it seems like presenta la idea que sigue como una impresión basada en lo que se observa o se sabe hasta ese momento, no como una conclusión demostrada. La palabra if introduce la condición en la que se basa esa impresión. Esta formulación permite plantear un posible patrón y deja margen para comprobarlo, limitarlo o corregirlo.
Práctica
¿Qué oración presenta una condición como una inferencia provisional y no como un hecho demostrado?
- Every battery definitely runs down faster in the cold.
- We have proved that every battery runs down faster in the cold.
- It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
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It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
keep shrinking: keep + -ing para expresar un cambio continuo
Keep + una forma en -ing indica que una acción o un cambio continúa o se repite. Aquí, keep shrinking significa «seguir haciéndose más pequeño». Describe una tendencia en curso, no un estado fijo de tamaño pequeño. El verbo concuerda con el sujeto: numbers keep shrinking, pero a number keeps shrinking.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta de keep + changing: The weather ____ throughout the day.
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keeps changing
all the way down to zero: énfasis en todo el descenso
En all the way down to zero, all the way intensifica el alcance del cambio: este continúa a lo largo de todo el intervalo hasta el punto final mencionado. Down indica la dirección descendente y to zero señala que el punto final es cero. El patrón all the way down to + punto bajo puede describir cantidades, niveles, temperaturas o movimiento físico. Destaca todo el recorrido descendente, no solo el valor final.
Práctica
Completa la oración con la expresión de la lección que significa «a lo largo de todo el descenso hasta cero»: The gauge fell ____.
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all the way down to zero
the answer will grow to the largest thing possible.
0:45la respuesta crecerá hasta la cosa más grande posible.
Then isn't the answer to 10 / 0 actually infinity? Intención
0:48Entonces, ¿la respuesta a 10 / 0 no es en realidad infinito?
Then isn't ... actually ...?: presentar una conclusión esperada
Then conecta la pregunta con el razonamiento anterior: si eso es cierto, esta conclusión parece seguirse. La pregunta negativa isn't ...? no es totalmente neutral; presenta infinito como la respuesta que el hablante espera que suene natural. Actually añade un pequeño desafío a la idea anterior, como si se preguntara si este es el resultado verdadero. La pregunta invita a confirmar o plantea una idea para examinarla, pero no demuestra que la conclusión sea correcta.
Práctica
¿Qué comunica principalmente la pregunta negativa en esta oración?
- Pregunta por cualquier respuesta sin sugerir ninguna.
- Demuestra que dividir entre cero es igual a infinito.
- Presenta infinito como la conclusión que el hablante espera que parezca natural.
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Presenta infinito como la conclusión que el hablante espera que parezca natural.
may sound plausible: razonable a primera vista, no demostrado
En esta oración, may sound plausible significa «puede parecer razonable o creíble». May mantiene la valoración como incierta, sound describe la impresión que produce la idea y plausible indica que la idea podría ser cierta según lo que se sabe. La expresión suele conceder que un argumento parece convincente al principio antes de examinarlo con más cuidado. No afirma que el argumento sea correcto.
Práctica
¿Qué oración indica que una explicación parece razonable, pero todavía no está demostrada?
- The explanation is easy to hear, but hard to understand.
- The explanation is certainly true, so no evidence is needed.
- The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
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The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
but all we really know is that if we divide 10 by a number that tends towards zero, Notas
0:54pero todo lo que realmente sabemos es que si dividimos 10 por un número que tiende a cero,
all we really know is that: limitar una afirmación a lo que respalda la evidencia
La estructura all we really know is that... reduce la discusión al contenido que las pruebas realmente respaldan. Gramaticalmente, all we really know funciona como sujeto, y la oración introducida por that expresa todo lo que se puede saber. Aquí, all tiene un valor restrictivo cercano a «lo único», mientras que really enfatiza la certeza real. Se usa este marco para frenar una inferencia demasiado segura y sustituirla por una afirmación prudente basada en pruebas.
Práctica
Una sola huella demuestra que alguien estuvo presente, pero no quién. ¿Qué oración se mantiene dentro de lo que permite afirmar la evidencia?
- The footprint proves that nobody was here.
- All we really know is that someone was here.
- We know exactly who was here.
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All we really know is that someone was here.
tends towards zero ... tends towards infinity: acercarse a un límite
Aquí, tends towards significa “acercarse cada vez más a” mientras cambia otro valor. La palabra o cantidad que aparece después de towards indica el objetivo o la dirección del límite: tends towards zero y tends towards infinity describen la dirección del cambio. En matemáticas, esta expresión describe un comportamiento límite, no un valor que ya se haya alcanzado. Un denominador puede tender a cero sin ser cero; un resultado que tiende al infinito crece sin límite, en vez de convertirse en un número común llamado infinito.
Práctica
Un valor se acerca cada vez más a cero, pero quizá nunca sea igual a cero. ¿Qué oración lo expresa con mayor precisión?
- The value is equal to zero.
- The value tends towards zero.
- The value moves away from zero.
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The value tends towards zero.
And that's not the same thing as saying that 10 / 0 is equal to infinity. Notas
1:03Y eso no es lo mismo que decir que 10 / 0 es igual a infinito.
not the same thing as saying: rechazar una equivalencia falsa
La estructura that's not the same thing as saying that X rechaza una equivalencia falsa. Indica al oyente que la afirmación anterior no justifica la conclusión más fuerte o diferente introducida después de saying that. Organiza el argumento en dos pasos: primero conserva la afirmación original y luego marca el límite de lo que esa afirmación no dice. En esta oración, «tender al infinito» se distingue de afirmar que dividir entre cero es igual a infinito.
Práctica
Completa la oración con la estructura destacada: The forecast says rain is possible. That is ____ it will definitely rain.
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not the same thing as saying
is equal to para expresar una igualdad matemática exacta
Is equal to expresa una igualdad exacta: la expresión anterior tiene el mismo valor que la expresión posterior. La estructura es A + be + equal to + B, por lo que be concuerda con A. Aquí, la frase forma parte de una afirmación sobre 10 / 0. El hablante dice que una idea no equivale a hacer esa afirmación de igualdad; is equal to marca la relación que se afirma, pero no demuestra que sea verdadera.
Práctica
Completa la ecuación con la estructura be equal to: Twelve divided by three ____ four.
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is equal to
Well, let's take a closer look at what division really means. Frases
1:11Bueno, echemos un vistazo más de cerca a lo que realmente significa la división.
take a closer look at como transición hacia un análisis más profundo
Take a closer look at significa examinar algo con más cuidado o detalle. Lo que sigue a at puede ser algo físico, como una imagen, o abstracto, como una idea o un problema. Con Let's, el hablante invita al público a examinar el tema en conjunto. En una explicación, la expresión suele servir como transición entre presentar una pregunta y analizarla.
Práctica
Completa la invitación con la expresión objetivo take a closer look at: Let's ____ the evidence.
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take a closer look at
how many times must we add 2 together to make 10? Gramática
1:18¿cuántas veces debemos sumar 2 para que dé 10?
How many times must we ... to make ...?: preguntar cuántas repeticiones hacen falta para lograr un resultado
How many times pregunta por el número de repeticiones. En How many times must we + verbo en forma base ... to + verbo en forma base ...?, must presenta la acción como necesaria y la cláusula con to indica el resultado que se quiere alcanzar. Aquí, add 2 together significa incluir otro 2 repetidamente en la suma hasta que el total sea 10. La pregunta reformula 10 ÷ 2 como «cuántos 2 hacen 10»: cinco.
Práctica
Completa la pregunta con la expresión que pide el número necesario de repeticiones: ____ must we add 4 together to make 20?
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How many times
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it in the following way. Vocabulario
1:26Dividir por un número es esencialmente el reverso de multiplicar por él de la siguiente manera.
the reverse of multiplying by it / in the following way: cómo se divide la estructura
The reverse of + sustantivo o forma en -ing nombra un proceso que deshace otro o avanza en la dirección contraria. En A is the reverse of B, A y B se presentan como procesos inversos. Aquí, it se refiere a a number: dividir por ese número se describe como la operación inversa de multiplicar por él. El in final del fragmento resaltado no forma parte de the reverse of. Inicia in the following way, que anuncia que a continuación habrá una explicación o demostración.
Práctica
¿Qué oración presenta claramente un proceso como la acción que deshace otro?
- Unzipping a jacket happens after zipping it up.
- Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
- Unzipping a jacket is similar to zipping it up.
Ver respuesta
Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
If we multiply any number by a given number x, Vocabulario
1:32Si multiplicamos cualquier número por un número dado x,
a given number x: un número x especificado de antemano
Aquí, given es un adjetivo que significa «especificado o elegido de antemano». En a given number x, x representa un número que se considera ya fijado, aunque no se escriba su valor concreto. En textos matemáticos y técnicos, given suele señalar información que el problema ya ha establecido. No significa que alguien haya regalado el número.
Práctica
¿Qué significa given en la instrucción “Choose a given value for x”?
- Especificado o elegido de antemano
- Que cambia todo el tiempo
- Recibido como regalo
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Especificado o elegido de antemano
we can ask if there's a new number we can multiply by afterwards
1:35podemos preguntar si hay un nuevo número por el que podamos multiplicar después
get back to where we started: volver al estado inicial
En get back to where we started, get back to significa «volver a» y where we started se refiere al punto o estado original. Aquí la frase es figurada: después de otra multiplicación, el valor vuelve a ser el que era antes de las operaciones. La misma expresión puede describir la recuperación de un estado anterior en un plan, una conversación o un proceso; no requiere movimiento físico.
Práctica
¿Qué oración significa que deshacer los cambios restauró el estado original?
- Undoing the update forced us to start from scratch.
- Undoing the update got us back to where we started.
- Undoing the update moved us to a new stage.
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Undoing the update got us back to where we started.
the new number is called the multiplicative inverse of x. Vocabulario
1:43el nuevo número se llama el inverso multiplicativo de x.
el inverso multiplicativo de x
En matemáticas, el inverso multiplicativo de x es un número que, al multiplicarse por x, da 1. Para cualquier x distinto de cero, es 1/x; por ejemplo, el inverso multiplicativo de 5 es 1/5. La parte of x identifica el número original. El cero no tiene inverso multiplicativo, porque ningún número multiplicado por cero es igual a 1.
Práctica
¿Qué número es el inverso multiplicativo de 5?
- 0
- 1/5
- -5
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1/5
For example, if you multiply 3 by 2 to get 6,
1:47Por ejemplo, si multiplicas 3 por 2 para obtener 6,
you can then multiply by 1/2 to get back to 3.
1:51luego puedes multiplicar por 1/2 para volver a 3.
As you might notice, para guiar una observación
As you might notice, es una frase inicial que dirige la atención de los oyentes hacia un patrón o rasgo que pueden observar en información ya mostrada. Conecta las pruebas o los ejemplos anteriores con el siguiente comentario del hablante. Might suaviza la suposición: los oyentes quizá ya lo hayan notado, pero el hablante no afirma que necesariamente sea así. Por eso suena más amable que una orden directa que comience con Notice that.
Práctica
Completa la oración con la expresión de cuatro palabras que dirige amablemente al público hacia un rasgo observable: ____, both bars reach the same height.
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As you might notice
the product of any number and its multiplicative inverse is always 1. Vocabulario
2:05el producto de cualquier número y su inverso multiplicativo es siempre 1.
el producto de A y B
En matemáticas, the product of A and B significa el resultado de multiplicar A por B. Aquí A corresponde a any number y B a its multiplicative inverse; product es el sustantivo matemático «producto», no su sentido cotidiano de «artículo fabricado o vendido». Todo el sintagma nominal resaltado es el sujeto de la oración. Las palabras posteriores is always 1 indican el valor de ese producto.
Práctica
Completa la oración matemática con el sustantivo que nombra el resultado de una multiplicación: The ____ of 4 and 3 is 12.
Ver respuesta
product
Si queremos..., necesitamos...
El esquema If we want to + verbo, we need to + verbo conecta una meta con una acción necesaria. La oración subordinada con if presenta la meta y la oración principal con need to señala lo que debe ocurrir o hacerse para intentar alcanzarla. Aquí, el esquema introduce un paso de razonamiento: para considerar la división por cero, el hablante busca primero el inverso multiplicativo de cero. La estructura expresa un requisito; no garantiza que ese requisito pueda cumplirse.
Práctica
Completa el esquema de meta y acción necesaria: If we want to protect our passwords, we ____ keep them private.
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need to
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give 1. Gramática
2:19Este tendría que ser un número tal que, al multiplicarlo por cero, diera 1.
such a number that... para expresar una propiedad necesaria
Aquí, such a number that... significa un número del tipo requerido cuya propiedad se indica después. La estructura es such + a/an + sustantivo contable singular + oración con that. La oración multiplying it by zero would give 1 indica qué propiedad tendría que tener ese número hipotético. Aunque such...that suele introducir un resultado, aquí su función es definir una condición dentro de un razonamiento matemático. Interpreta la oración con that como la prueba que debe cumplir el número.
Práctica
Completa la descripción matemática con la estructura exacta such a number that: We need ____ doubling it gives twelve.
Ver respuesta
such a number that
But because anything multiplied by zero is still zero, Gramática
2:25Pero como cualquier cosa multiplicada por cero sigue siendo cero,
anything multiplied by zero como relativa pasiva reducida
Multiplied by zero es un sintagma de participio pasado colocado después de anything. Tiene sentido pasivo: anything recibe la acción. La forma completa es anything that is multiplied by zero. Es una oración de relativo pasiva reducida: se omite that is, pero se mantiene multiplied. Este modificador pospuesto y compacto es frecuente en textos matemáticos, científicos y explicativos.
Práctica
¿Qué oración de relativo completa tiene el mismo significado que anything multiplied by zero?
- anything that is multiplied by zero
- anything that has multiplied zero
- anything that multiplies zero
Ver respuesta
anything that is multiplied by zero
So zero has no multiplicative inverse. Vocabulario
2:31Así que el cero no tiene inverso multiplicativo.
has no + sustantivo en zero has no multiplicative inverse
En zero has no multiplicative inverse, has no + sustantivo presenta lo que falta como algo que el sujeto no posee. Aquí enuncia un hecho matemático: no existe ningún número que, al multiplicarse por cero, dé 1. Usa sujeto + has/have no + sustantivo para afirmar directamente que algo carece de un objeto, resultado o propiedad. No ya vuelve negativa la frase nominal, así que no añadas not.
Práctica
Completa la oración con la frase exacta con has no + sustantivo que significa que un triángulo no tiene un cuarto lado: In ordinary geometry, a triangle ____.
Ver respuesta
has no fourth side
Does that really settle things though? como transición de duda
Settle things significa resolver por completo el asunto. La pregunta no se limita a pedir información: really pone en duda que la conclusión anterior sea suficiente. Colocar though al final añade un contraste parecido a «aun así» o «pero». En conjunto, la pregunta reabre la discusión y hace que la explicación pase de una respuesta aparente a un problema más profundo.
Práctica
En una conversación, ¿qué hace el hablante al preguntar Does that really settle things though?
- Cuestiona si la conclusión anterior resuelve por completo el asunto
- Confirma que la conversación ha terminado definitivamente
- Pide a alguien que coloque varios objetos en orden
Ver respuesta
Cuestiona si la conclusión anterior resuelve por completo el asunto
After all, mathematicians have broken rules before. Discurso
2:37Después de todo, los matemáticos han roto reglas antes.
After all para introducir una razón de apoyo
After all introduce un hecho que apoya o refuerza la idea que acaba de expresarse. Funciona como un recordatorio para considerar una razón que probablemente el oyente pueda aceptar; no indica orden temporal. Aquí indica al oyente que relacione el hecho de que los matemáticos ya hayan roto reglas con la afirmación o pregunta anterior. Un patrón habitual de organización es: afirmación o sugerencia + after all + hecho de apoyo.
Práctica
¿Qué oración usa after all para introducir un hecho que apoya la afirmación anterior?
- After all the meetings, we finally made a decision.
- We cleaned the room after all.
- We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
Ver respuesta
We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
for a long time there was no such thing as taking the square root of negative numbers. Notas
2:41durante mucho tiempo no existía tal cosa como sacar la raíz cuadrada de números negativos.
There was no such thing as ... para expresar inexistencia en el pasado
There was no such thing as ... indica que cierto tipo de objeto, práctica o concepto no existía, no estaba disponible o no era reconocido en un momento del pasado. La estructura reutilizable es there was no such thing as + sustantivo o forma en -ing. En esta oración, taking the square root of negative numbers es una frase en -ing que nombra una práctica o concepto matemático. Para hablar del presente, se usa there is no such thing as ....
Práctica
Completa la oración con la estructura en pasado no such thing as: In 1900, ____ online banking.
Ver respuesta
there was no such thing as
taking the square root of negative numbers: calcular la raíz cuadrada de números negativos
Take the square root of X es la expresión matemática estándar para hallar un número que, al multiplicarse por sí mismo, da X. Aquí se usa taking porque toda la operación aparece después de no such thing as y se trata como una actividad o un concepto. En esta expresión matemática, take no significa llevar o retirar algo físicamente.
Práctica
Completa la instrucción con la estructura take + the square root + of: To find the side length, ____ 81.
Ver respuesta
take the square root of
But then mathematicians defined the square root of -1 as a new number called i, Frases
2:47Pero luego los matemáticos definieron la raíz cuadrada de -1 como un nuevo número llamado i,
defined X as Y ... a new number called i: definir y nombrar
Define X as Y significa dar a X el significado o la categoría precisos expresados por Y. En esta oración, X es the square root of -1 y Y es a new number, por lo que la estructura introduce formalmente una definición matemática. Called i es una cláusula pasiva reducida que modifica la expresión a new number; equivale a a new number that is called i. Juntas, las dos partes indican tanto la definición como el nombre del número.
Práctica
Completa la oración de definición y nombre con define X as Y y called: We ____ a polygon with three equal sides ____ a special triangle ____ an equilateral triangle.
Ver respuesta
define · as · called
opening up a whole new mathematical world of complex numbers. Notas
2:53abriendo todo un nuevo mundo matemático de números complejos.
open up a whole new world of: abrir un mundo de nuevas posibilidades
Aquí, opening up significa hacer accesibles nuevas posibilidades o una nueva área de conocimiento, no abrir físicamente un objeto. A whole new mathematical world of... refuerza esa idea al presentar el nuevo campo como un mundo que se puede explorar. La estructura reutilizable es open up a whole new world of + sustantivo. Indica que algo da acceso a muchas posibilidades dentro de ese ámbito.
Práctica
¿Qué oración usa opened up a whole new world of para indicar que aparecieron muchas posibilidades nuevas?
- Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
- Amir opened up a box of old photographs.
- Amir opened the kitchen window.
Ver respuesta
Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
complex numbers: el término matemático para los números complejos
La expresión complex numbers es el término matemático estándar para los números que pueden escribirse como a + bi, donde a y b son números reales e i² = -1. Por ejemplo, 3 + 2i es un número complejo. Aquí, complex forma parte de un término fijo; no significa simplemente que algo sea difícil de entender. Interpreta complex number como un nombre matemático completo.
Práctica
Completa la oración con el término matemático estándar para los números de la forma a + bi: Numbers such as 3 + 2i are called ____.
Ver respuesta
complex numbers
couldn't we just make up a new rule? Phrasal verbs
2:59¿no podríamos simplemente inventar una nueva regla?
make up a new rule: inventar una regla
En make up a new rule, make up significa inventar o crear una regla que antes no existía. Aquí es un verbo frasal y no se entiende combinando los sentidos literales de make y up. El objeto a new rule indica qué se inventa. Este uso aparece a menudo al crear reglas para un juego, una situación imaginaria o una solución rápida.
Práctica
Completa la oración con la expresión destacada que significa «inventar una regla nueva»: Before our new game begins, let's ____.
Ver respuesta
make up a new rule
Say that ... para introducir una suposición temporal
Al principio de esta oración, Say that ... significa supongamos o asumamos. No pide que alguien diga esas palabras en voz alta. La estructura establece una definición o condición temporal y después invita a explorar el resultado. Es frecuente en explicaciones orales y experimentos mentales.
Práctica
¿En qué oración se usa Say para introducir una suposición temporal?
- Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
- Say the number five clearly.
- Lena said that each box was heavy.
Ver respuesta
Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
see what happens: observar un resultado desconocido
En esta oración, see what happens significa «probar algo y observar el resultado». Aquí see quiere decir «averiguar mediante la observación», no solo «usar los ojos». What happens es una pregunta indirecta después de see. Deja el resultado abierto: el hablante todavía no afirma saber qué ocurrirá.
Práctica
Completa la oración con la expresión de tres palabras de la lección que significa «observar el resultado desconocido»: Let's change one setting and ____.
Ver respuesta
see what happens
imagining we don't know anything about infinity already. Gramática
3:08imaginando que no sabemos nada sobre el infinito todavía.
imagining we don't know... como supuesto añadido
Imagining we don't know anything about infinity already es una cláusula de participio presente que añade el supuesto utilizado durante la acción principal. El hablante nos pide dejar de lado los conocimientos previos para realizar el experimento mental. El sujeto implícito de imagining es we, las mismas personas que realizan la acción principal del contexto. En una oración completa, la idea puede desarrollarse como while we imagine that we don't know anything about infinity already.
Práctica
¿Qué oración muestra claramente que el sujeto de la oración principal es quien realiza la acción de imagining?
- Imagining that we knew nothing, the answer surprised us.
- We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
- The problem appeared on the screen, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Ver respuesta
We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Based on the definition of a multiplicative inverse, Frases
3:11Basado en la definición de un inverso multiplicativo,
Based on the definition of: indicar la definición que fundamenta una conclusión
Based on the definition of ... indica que la conclusión siguiente se deriva de lo que un término significa por definición. Primero nombra la definición que sirve de base para el razonamiento. La estructura es Based on the definition of + sintagma nominal, seguida de la conclusión. En el subtítulo, la definición de un inverso multiplicativo es la base del siguiente paso del hablante.
Práctica
Completa la oración con la expresión objetivo que significa «usar la definición como base»: ____ a square, we know that it has four equal sides.
Ver respuesta
Based on the definition of
must be equal to: expresar un resultado lógicamente necesario
Aquí must expresa necesidad lógica, no una orden ni una obligación. must be equal to 1 significa que el hablante presenta 1 como el único resultado permitido por la definición o el razonamiento. La estructura sujeto + must be equal to + valor es común en las explicaciones matemáticas. Señala una igualdad inferida, pero no demuestra por sí sola que el razonamiento sea correcto.
Práctica
¿Qué oración expresa con mayor claridad que una regla hace que el resultado sea lógicamente necesario?
- The result must be equal to ten.
- The result should be equal to ten.
- The result is equal to ten.
Ver respuesta
The result must be equal to ten.
That means 0 * infinity + 0 * infinity should equal 2. Gramática
3:18Eso significa que 0 * infinito + 0 * infinito debería igualar a 2.
should equal 2: un resultado esperado por lógica
En “should equal 2”, should indica el resultado esperado a partir de las suposiciones o del cálculo actuales. La idea es: “si el razonamiento hasta aquí es correcto, el resultado es 2”. Aquí should expresa una expectativa lógica, no un consejo ni una obligación. La estructura es should + verbo en forma base, por lo que se dice should equal, no should to equal.
Práctica
Completa la oración con should equal para expresar el resultado esperado: After counting both teams' points, the total ____ thirty.
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should equal
by the distributive property: citar una regla
En “by the distributive property”, by significa “según” o “basándose en”. La frase nombra la regla matemática que justifica el siguiente paso. Al colocar by + regla/teorema/definición al principio de una oración o un paso, se organiza la explicación dando la justificación antes del resultado.
Práctica
Usa by + el nombre de la regla para completar la explicación: ____, 3(x + 2) = 3x + 6.
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By the distributive property
the left side of the equation can be rearranged to 0 + 0 * infinity. Gramática
3:26el lado izquierdo de la ecuación se puede reorganizar a (0 + 0) * infinito.
can be rearranged to + forma resultante
Can be rearranged to sigue el patrón modal can + pasiva be rearranged + to. La expresión es lo que se transforma, así que no hace falta mencionar quién realiza la operación algebraica. To introduce la forma resultante. En matemáticas, normalmente indica que la expresión se reescribe de una forma equivalente, no que se cambia su valor.
Práctica
Completa con can + la forma pasiva de rearrange + to: The equation ____ x = 6.
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can be rearranged to
reduces down to + resultado simplificado
Reduces down to significa «se convierte en una forma más simple después de simplificar». El sujeto es la expresión original y to introduce el resultado más simple. En esta oración, that se refiere a la expresión que se está simplificando.
Práctica
Usa la frase conversacional exacta que significa «se simplifica a»: After combining like terms, the expression ____ 3x.
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reduces down to
Unfortunately, we've already defined this as equal to 1,
3:39Desafortunadamente, ya hemos definido esto como igual a 1,
while the other side of the equation is still telling us it's equal to 2. Discurso
3:43mientras que el otro lado de la ecuación todavía nos dice que es igual a 2.
while the other side of the equation...: introducir un resultado contradictorio
Aquí, while significa “mientras que” o “en cambio”, no “durante el tiempo en que”. Introduce el otro lado de la ecuación como información que contradice el resultado que ya se estaba comentando. Al poner el segundo resultado en una cláusula con while, el hablante hace que la discrepancia sea fácil de notar. is still telling us es una personificación informal: la ecuación sigue mostrando o indicando que el valor es 2.
Práctica
¿Qué oración usa while para contrastar dos conclusiones contradictorias?
- While the printer was running, I answered an email.
- We waited inside while the storm passed.
- The first report says the road is open, while the second says it is closed.
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The first report says the road is open, while the second says it is closed.
Oddly enough, that's not necessarily wrong. Notas
3:51Por extraño que parezca, eso no es necesariamente incorrecto.
Oddly enough: señalar una idea inesperada
Oddly enough prepara al oyente para algo sorprendente o contrario a lo esperado. En esta oración, indica que debemos reconsiderar la primera impresión de que el resultado tiene que ser incorrecto. La expresión comenta toda la afirmación que viene después. enough no significa que algo haya alcanzado un grado suficiente de rareza; las dos palabras funcionan juntas como una expresión fija.
Práctica
Completa la oración con la expresión fija de dos palabras formada a partir de odd que señala un resultado sorprendente: ____, the old battery lasted longer than the new one.
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Oddly enough
not necessarily wrong: no significa definitely right
En not necessarily wrong, not afecta a necessarily. El hablante rechaza la idea de que algo tenga que estar mal, por lo que quedan abiertas las dos posibilidades: puede estar mal o puede no estarlo. Es una corrección cautelosa, no una afirmación de que sea definitivamente correcto. Usa el patrón not necessarily + adjetivo cuando quieras cuestionar un juicio absoluto sin afirmar lo contrario.
Práctica
¿Qué significa “The plan is not necessarily wrong”?
- El plan es definitivamente correcto.
- El plan es definitivamente incorrecto.
- El plan puede estar mal o puede no estarlo.
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El plan puede estar mal o puede no estarlo.
It's just not true in our normal world of numbers. Discurso
3:54Simplemente no es cierto en nuestro mundo normal de números.
just not true in our normal world of numbers: limitar el ámbito
La frase in our normal world of numbers se une a not true e indica el ámbito en el que se aplica la valoración. Se rechaza la afirmación dentro del sistema numérico habitual del que se habla, en vez de declararla imposible en todos los sistemas imaginables. Aquí just significa simply y da énfasis a not true. No significa only; la frase con in es la que limita el alcance. Este patrón de valoración + ámbito organiza un argumento indicando tanto la conclusión como dónde se cumple.
Práctica
¿Qué oración limita una afirmación a un ámbito sin decir que es falsa en todas partes?
- The rule is never true in any system.
- Ordinary arithmetic is not a true rule.
- The rule is not true in ordinary arithmetic.
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The rule is not true in ordinary arithmetic.
There's still a way it could be mathematically valid Vocabulario
3:58Todavía hay una manera en que podría ser matemáticamente válido
mathematically valid: válido según las reglas matemáticas
En esta oración, mathematically valid significa «aceptable o posible según las reglas de las matemáticas». Mathematically es un adverbio que indica el criterio con el que se evalúa valid. Aquí, valid significa que la idea concuerda con las definiciones y reglas elegidas. Tiene el sentido de «válido desde el punto de vista lógico», no el de «no caducado» que se usa para un billete o documento.
Práctica
Completa la oración con la expresión inglesa de dos palabras que significa «aceptable según las reglas matemáticas»: This unusual proof is ____.
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mathematically valid
if 1, 2, and every other number were equal to zero. Gramática
4:00si 1, 2 y todos los demás números fueran iguales a cero.
if ... were equal to zero: una condición hipotética
If introduce una condición imaginaria: supongamos que 1, 2 y todos los demás números tuvieran el valor cero. La cláusula no lo presenta como un hecho; crea una situación matemática no convencional en la que se podría evaluar otra afirmación. La estructura es if + sujeto + verbo en forma de pasado. Were equal to significa «tuvieran el mismo valor que». Como el sujeto nombra varios números, were también concuerda con un sujeto plural; por eso, el sentido hipotético proviene de toda la cláusula con if y del contexto, no solo de were.
Práctica
¿Qué oración presenta una condición no real con if + forma de pasado y un resultado con would?
- If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
- Because the map was accurate, we reached the hotel.
- If this map is accurate, we can follow it.
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If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
But having infinity equal to zero is ultimately not all that useful to mathematicians or anyone else. Vocabulario
4:05Pero tener el infinito igual a cero en última instancia no es tan útil para los matemáticos ni para nadie más.
not all that useful: una valoración negativa suavizada
En not all that useful, all that significa «en un grado tan alto» dentro del patrón negativo. Por tanto, la expresión completa significa «no muy útil» o «menos útil de lo esperado»; normalmente no significa que algo sea completamente inútil. El patrón not all that + adjetivo suaviza una valoración negativa. Aquí, el hablante considera que la idea tiene un valor práctico limitado.
Práctica
Completa la oración con la expresión exacta de cuatro palabras de esta lección que significa «menos útil de lo esperado»: The extra feature looks impressive, but it is ____ for most users.
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not all that useful
There actually is something called the Riemann sphere that involves dividing by zero by a different method, Cultura
4:13En realidad hay algo llamado la esfera de Riemann que implica dividir por cero mediante un método diferente,
the Riemann sphere: un nombre propio matemático
The Riemann sphere, o esfera de Riemann, es el nombre propio de un modelo matemático: el plano complejo más un punto adicional llamado punto en el infinito. Puede representarse mediante una esfera, lo que explica la palabra sphere en el nombre. Aquí, el término señala un marco matemático diferente para hablar del infinito. No se refiere a una bola física corriente ni afirma que la aritmética ordinaria permita dividir entre cero.
Práctica
¿A qué se refiere el nombre the Riemann sphere en la oración?
- Un modelo matemático que añade un punto en el infinito al plano complejo.
- Una bola física corriente que se usa para demostrar la división.
- Una regla que permite dividir entre cero en la aritmética ordinaria.
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Un modelo matemático que añade un punto en el infinito al plano complejo.
a story for another day: dejar un tema para más adelante
El modismo a story for another day significa «un tema o una explicación que se tratará más adelante, no ahora». Aquí story no es literal: puede referirse a antecedentes, motivos o detalles, no necesariamente a un relato. Al decir that's a story for another day, quien habla reconoce el tema secundario y lo cierra por el momento para poder continuar con el tema principal.
Práctica
Una persona quiere dejar de lado un detalle no urgente y continuar con la explicación principal. ¿Qué oración suena más natural?
- How the machine learned that trick is a story from the other day.
- How the machine learned that trick is a story on another date.
- How the machine learned that trick is a story for another day.
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How the machine learned that trick is a story for another day.
In the meantime: volver a centrar la atención en el presente
In the meantime se refiere al intervalo anterior a un acontecimiento esperado, una explicación o el siguiente paso. Introduce lo que ocurre o puede hacerse durante ese intervalo. Aquí también funciona como una transición que organiza la información: el tema secundario anterior se ha aplazado, así que la expresión devuelve la atención a lo que importa ahora. Al comienzo de una oración completa, normalmente da paso a una cláusula sobre la situación o acción actual.
Práctica
Elige la mejor transición: The software update will finish in an hour. ____, you can back up your files.
- At the same time
- In the meantime
- For the time being
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In the meantime
dividing by zero in the most obvious way doesn't work out so great. Phrasal verbs
4:23dividir por cero de la manera más obvia no funciona tan bien.
doesn't work out so great: el resultado no sale muy bien
Aquí, work out significa «desarrollarse o terminar con un resultado determinado». Cuando el sujeto es un método o una situación, doesn't work out indica que el resultado no tiene éxito o no es satisfactorio. Doesn't work out so great es una forma informal y algo atenuada de decir «no sale muy bien». Hace que la evaluación negativa suene más suave que una afirmación directa como «falla».
Práctica
¿Qué significa “The experiment didn't work out so great.”?
- El experimento consistía en hacer ejercicio.
- El experimento tuvo mucho éxito.
- El experimento tuvo un resultado decepcionante.
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El experimento tuvo un resultado decepcionante.
But that shouldn't stop us from living dangerously Gramática
4:27Pero eso no debería impedirnos vivir peligrosamente
shouldn't stop us from living dangerously: stop + persona + from + -ing
El patrón stop + persona + from + -ing significa «impedir que alguien haga algo». En shouldn't stop us from living, us es la persona afectada, from es una preposición y por eso living lleva la forma en -ing. Shouldn't stop us from ... indica que no se debería permitir que un problema o contratiempo bloquee la acción siguiente. Living dangerously es aquí una exageración humorística: significa seguir experimentando con audacia, no dar un consejo serio sobre seguridad.
Práctica
Completa la oración con stop + persona + from + -ing: One mistake shouldn't ____.
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stop us from trying again
and experimenting with breaking mathematical rules Frases
4:30y experimentar con la ruptura de reglas matemáticas
experimenting with breaking: estructura experiment with + -ing
Experiment with doing something significa probar un método o una acción para observar qué ocurre. Aquí, breaking mathematical rules es la acción que se prueba como exploración; no se afirma que las reglas ya se hayan roto. En esta estructura, with es una preposición, así que el verbo que la sigue lleva la forma -ing: experiment with breaking, no experiment with break.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta de experiment with + rearrange: The team is ____ the pieces to see what works best.
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experimenting with rearranging
to see if we can invent fun new worlds to explore. Notas
4:33para ver si podemos inventar nuevos y divertidos mundos para explorar.
to see if we can invent: expresar finalidad
To see if we can invent expresa la finalidad de una acción anterior: esa acción se realiza para averiguar si es posible inventar algo. Aquí, see significa «averiguar» e if equivale a whether, es decir, «si» en una pregunta indirecta; no introduce una condición. El patrón reutilizable es action + to see if + subject + can + base verb. Después de can se usa el verbo en forma base, invent, no invents ni to invent.
Práctica
Usa el patrón de finalidad to see if... para completar la oración: Let's test the materials ____ build a stronger bridge.
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to see if we can
fun new worlds to explore como metáfora de campos abstractos
Aquí, fun new worlds no significa planetas ni lugares reales. Compara los sistemas matemáticos creados con reglas nuevas con mundos en los que se puede entrar e investigar. El infinitivo to explore indica qué se puede hacer con esos mundos: poner a prueba las reglas y descubrir qué posibilidades aparecen. La metáfora convierte una actividad abstracta en una aventura. Transmite curiosidad, experimentación y descubrimiento, no un viaje real.
Práctica
En esta oración, ¿qué significa probablemente new worlds? A good story gives readers new worlds to explore.
- Ideas nuevas y posibilidades imaginadas
- Habitaciones nuevas para guardar libros
- Planetas recién descubiertos
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Ideas nuevas y posibilidades imaginadas
mind-bending math: un adjetivo compuesto para ideas que desafían la mente
Mind-bending es un adjetivo compuesto que describe algo tan sorprendente, extraño o complejo que desafía nuestra forma habitual de pensar. Aquí, mind-bending math se refiere a unas matemáticas difíciles de imaginar o entender al principio, pero que también resultan asombrosas. El significado no es literal: nada dobla físicamente la mente. El guion une mind y bending para que funcionen juntos como un solo adjetivo delante de math.
Práctica
Completa la oración con el adjetivo compuesto de esta lección: The science show presents a ____ idea that challenges everything we assume about time.
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mind-bending