Una breve historia de los números prohibidos - Alessandra King: apuntes para aprender inglés
TED-Ed
Resumen del video: La lección explica por qué algunos números han llegado a considerarse peligrosos, desde las disputas antiguas sobre los números irracionales y la prohibición de nuevos sistemas de numeración hasta los casos modernos en que una cifra codifica información protegida. La conclusión es que la expresión numérica posee un poder social y político cada vez mayor. Principales puntos de inglés: 1. not just using them, but thinking — Gramática y patrones oracionales: Permite reconocer cómo not just ..., but ... lleva la explicación del uso práctico de los números a una reflexión más profunda sobre su naturaleza, y emplear el patrón para hacer avanzar un argumento desde una acción superficial hacia una idea de mayor alcance. 2. Historians write; while legends claim — Discurso, narración y retórica: Enseña a contraponer relatos documentados y afirmaciones legendarias, dejando claro que las fuentes no tienen el mismo grado de fiabilidad y evitando presentar la tradición como un hecho histórico igualmente establecido. 3. the mathematician's pencil grows stronger by the day. — Modismos y expresiones figuradas: Ayuda a entender que la metáfora final retoma el contraste inicial entre la pluma y la espada, mientras by the day indica un crecimiento continuo, y muestra cómo cerrar una explicación con una imagen temática memorable.
En esta lección
They say para introducir un dicho común
Aquí, They say no señala a un grupo conocido. They es genérico, así que la expresión significa «la gente suele decir» o «se dice comúnmente». Presenta el proverbio que viene después como una idea conocida y compartida. Este comienzo organiza el mensaje al presentar primero una idea familiar. También evita mostrarla de inmediato como una afirmación personal del hablante; después, este puede aceptarla, cuestionarla o desarrollarla.
Práctica
En esta oración, ¿qué función cumple They say?
- Demuestra que la afirmación siguiente es un hecho.
- Introduce un dicho muy repetido sin nombrar a hablantes concretos.
- Reproduce las palabras exactas de un grupo conocido.
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Introduce un dicho muy repetido sin nombrar a hablantes concretos.
the pen is mightier than the sword como metáfora
The pen is mightier than the sword es un proverbio muy conocido. The pen representa la escritura, la publicación y las ideas, mientras que the sword representa la violencia o la fuerza militar. Significa que las palabras y las ideas a veces pueden producir un cambio mayor o más duradero que la fuerza. La comparación es figurada; no trata de la resistencia física de una pluma y una espada. Mightier es la forma comparativa de mighty y significa «más poderoso» o «más influyente».
Práctica
¿Qué significa aquí the pen is mightier than the sword?
- Los escritores deberían llevar plumas en vez de armas.
- La escritura y las ideas pueden tener más influencia que la violencia.
- Una pluma es físicamente más fuerte que una espada.
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La escritura y las ideas pueden tener más influencia que la violencia.
From outlawed religious tracts and revolutionary manifestos Notas
0:13Desde tratados religiosos prohibidos y manifiestos revolucionarios
outlawed religious tracts and revolutionary manifestos: folletos religiosos y manifiestos revolucionarios reprimidos
Religious tracts son folletos u hojas breves escritos para difundir enseñanzas o argumentos religiosos. Revolutionary manifestos son declaraciones públicas que exponen las creencias, los objetivos o el programa revolucionario de un movimiento. No son simples artículos. Ambos nombres se refieren a textos destinados a persuadir, declarar principios o movilizar a los lectores. En este contexto, forman parte de una historia de escritos que las autoridades pueden prohibir o reprimir.
Práctica
En este contexto, ¿a qué se refiere “outlawed religious tracts and revolutionary manifestos”?
- Edificios religiosos y grupos que ya han derrocado a un gobierno
- Folletos religiosos breves y declaraciones públicas de objetivos revolucionarios, presentados como formas de escritura reprimidas
- Zonas de tierra protegidas y registros oficiales de campañas militares
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Folletos religiosos breves y declaraciones públicas de objetivos revolucionarios, presentados como formas de escritura reprimidas
we know the potential power of words to overturn the social order. Modismos
0:19conocemos el poder potencial de las palabras para subvertir el orden social.
From ... to ... para enmarcar una amplia gama de ejemplos
From A to B crea aquí un rango, no una ruta. La frase inicial presenta distintos tipos de escritos reprimidos como ejemplos representativos de ese rango, lo que transmite la idea de que se abarcan muchos casos. Como el rango aparece antes de la oración principal, funciona como un marco antepuesto: primero se muestra la amplitud de las pruebas y después se presenta la afirmación principal. Este patrón organiza un argumento pasando de ejemplos representativos a una conclusión general.
Práctica
Completa la estructura de rango From A to B: From local libraries ____ national museums, public institutions are digitizing their collections.
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to
el poder potencial de las palabras para trastocar el orden social
El grupo nominal the potential power of words presenta las palabras como una posible fuente de influencia. potential indica que ese poder puede existir o ejercerse; no asegura que el resultado vaya a ocurrir. En el patrón power of X to do Y, of X identifica la fuente o poseedor del poder, y to do Y explica lo que ese poder puede lograr. Aquí, overturn the social order significa cambiar de raíz o desplazar las estructuras sociales y las relaciones de poder establecidas, no voltear físicamente algo.
Práctica
¿Qué función cumple la frase de infinitivo "to overturn the social order" en la oración?
- Indica dónde se colocaron físicamente las palabras.
- Explica lo que el poder de las palabras podría lograr.
- Demuestra que el orden social ya ha cambiado.
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Explica lo que el poder de las palabras podría lograr.
some numbers have also been considered dangerous enough to ban. Gramática
0:26algunos números también han sido considerados lo suficientemente peligrosos como para prohibirlos.
as strange as it may seem: una introducción concesiva
as strange as it may seem es una introducción concesiva que significa «aunque esto pueda sonar extraño». El pronombre it se refiere a toda la afirmación que se va a presentar, no al aspecto de un objeto concreto. El hablante primero reconoce la reacción probable del oyente y después presenta la afirmación sorprendente de forma más fluida. El patrón reutilizable es as + adjetivo + as + sujeto + may seem; aquí expresa concesión y no una comparación ordinaria entre dos cosas nombradas.
Práctica
Completa la oración con la introducción concesiva de la lección: ____, the quietest room was where I found it hardest to concentrate.
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As strange as it may seem
dangerous enough to ban: adjective + enough + to para expresar un grado suficiente
El patrón adjective + enough + to + verb indica que una cualidad alcanza el grado necesario para que ocurra la acción o el resultado siguiente. Aquí, dangerous enough to ban significa tan peligrosos que se consideró justificado prohibirlos. El objeto omitido de ban es some numbers: las autoridades u otras personas los prohibirían. Una versión más completa es dangerous enough for authorities to ban them; dangerous enough to be banned expresa el resultado de forma más explícita.
Práctica
Completa la oración con la estructura que indica que el puente tiene suficiente resistencia: The bridge is strong ____ carry the bus.
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enough to
Our distant ancestors long counted objects using simple tally marks. Vocabulario
0:31Nuestros lejanos antepasados contaron objetos durante mucho tiempo usando simples marcas de conteo.
simple tally marks: líneas sencillas usadas para contar
Tally marks son líneas o trazos cortos que sirven para llevar una cuenta. Normalmente se añade una marca por cada objeto o suceso, y a menudo se agrupan de cinco en cinco para que el total sea más fácil de ver. En simple tally marks, simple describe un método básico de conteo. La frase using simple tally marks explica cómo contaban los antepasados; aquí, marks son símbolos de conteo, no marcas de cualquier tipo.
Práctica
Usa el término de dos palabras para las líneas dibujadas al llevar una cuenta: The coach used ____ to record each lap.
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tally marks
As they developed...: un cambio gradual como trasfondo
Aquí, as significa «mientras se producía un cambio gradual» o «a medida que pasaba el tiempo». La cláusula resaltada presenta el desarrollo de la agricultura y la vida en grupos más grandes como el trasfondo cambiante del resultado principal. La relación es más que una simple indicación temporal: sugiere que esos cambios sociales contribuyeron a que el método anterior dejara de ser suficiente. Aquí, as no significa «de la misma manera que».
Práctica
Completa la oración con la conjunción de la lección que presenta un cambio gradual como trasfondo: ____ the city grew, public transport became more important.
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As
No longer enough: suficiente antes, insuficiente ahora
No longer enough indica que algo antes cubría la necesidad, pero ahora ya no. No longer señala un cambio desde un estado anterior; not enough por sí solo únicamente describe la insuficiencia actual. En esta oración, this se refiere al método anterior de contar con marcas de conteo. La expresión puede describir un método, sistema, cantidad o capacidad antiguos que ya no pueden responder a nuevas exigencias.
Práctica
¿Qué situación se describe mejor con “The old system is no longer enough”?
- El sistema antiguo todavía cubre la necesidad sin ningún cambio.
- El sistema antiguo nunca ha cubierto la necesidad.
- El sistema antiguo cubría la necesidad antes, pero ahora ya no puede cubrirla.
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El sistema antiguo cubría la necesidad antes, pero ahora ya no puede cubrirla.
not just using them, but thinking: añadir una acción más profunda
La estructura not just A, but B indica que se cumplen tanto A como B, mientras que B añade un paso adicional o más importante. Aquí, la gente utiliza los números, pero además va más allá del uso y piensa en qué son y cómo funcionan. Las dos partes son paralelas: using y thinking son formas en -ing que dependen de began. En esta estructura, but introduce una adición o progresión, no sustituye A por B.
Práctica
¿Qué oración indica que el club realiza ambas actividades y añade la enseñanza del reciclaje como un objetivo adicional?
- The club focuses not on cleaning parks, but on teaching recycling.
- The club focuses on cleaning parks, but not on teaching recycling.
- The club focuses not just on cleaning parks, but on teaching recycling.
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The club focuses not just on cleaning parks, but on teaching recycling.
the study of numbers was well developed. Frases
0:54el estudio de los números estaba bien desarrollado.
well developed: describir un campo maduro
En esta oración, well developed significa que el estudio de los números había alcanzado un estado maduro o avanzado, con conocimientos y métodos establecidos. No quiere decir que los números hubieran crecido físicamente. El sujeto completo es the study of numbers. Su núcleo es el singular study, por eso se usa was; el plural numbers forma parte del complemento con of y no determina la concordancia.
Práctica
¿Qué oración usa well developed para indicar que un sistema no físico es maduro y avanzado?
- By that time, the city's legal system was well developed.
- The athlete's shoulder muscles were well developed.
- The child developed a fever overnight.
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By that time, the city's legal system was well developed.
The mathematician Pythagoras and his school of followers Vocabulario
0:57El matemático Pitágoras y su escuela de seguidores
found numerical patterns in shapes, music, and the stars. Frases
1:00encontraron patrones numéricos en las formas, la música y las estrellas.
his school of followers: school como tradición intelectual
En his school of followers, school significa un grupo o una tradición unidos por las ideas y los métodos de un mismo maestro. No se refiere a un edificio ni a una institución educativa común. La frase presenta a los seguidores de Pitágoras como una comunidad intelectual. Este sentido de school es habitual en textos de historia, filosofía, arte y ámbitos académicos. De forma similar, a school of thought significa una corriente que comparte ciertas ideas.
Práctica
¿Qué significa school en his school of followers?
- Una empresa que publica libros de matemáticas
- Un edificio donde los niños asisten a clase
- Un grupo unido por ideas y enseñanzas compartidas
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Un grupo unido por ideas y enseñanzas compartidas
found numerical patterns in ...: descubrir relaciones numéricas
La estructura find numerical patterns in something significa reconocer relaciones basadas en números dentro de un ámbito, un objeto o un conjunto de información. La preposición in introduce el ámbito o material donde se observan los patrones. Aquí found es el pasado de find, por lo que significa “descubrió” o “encontró”. No es el infinitivo found, que significa “fundar”; el pasado de ese verbo es founded.
Práctica
¿Qué oración dice que unos investigadores descubrieron relaciones basadas en números dentro de un conjunto de información?
- The researchers created a repeating pattern for the display.
- The researchers found numerical patterns in the data.
- The researchers founded a new institute for data science.
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The researchers found numerical patterns in the data.
mathematics held the deepest secrets of the universe. Modismos
1:06las matemáticas guardaban los secretos más profundos del universo.
mathematics held the deepest secrets: una metáfora de verdades ocultas
En esta oración, held significa «contenía» o «guardaba en su interior», no «llevaba en las manos». Se presenta a las matemáticas como algo capaz de guardar secretos, así que el lenguaje es metafórico. Para los pitagóricos, esos «secretos» eran las verdades y los patrones más profundos que explicaban el universo. La oración presenta las matemáticas como un camino para descubrir el orden oculto de la realidad, lo que muestra lo esenciales que eran en su visión del mundo.
Práctica
¿Qué significa aquí “mathematics held the deepest secrets of the universe”?
- Las matemáticas impedían que la gente aprendiera cualquier cosa sobre el universo.
- Las matemáticas contenían verdades profundas sobre el funcionamiento del universo.
- Las matemáticas transportaban físicamente objetos secretos por el espacio.
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Las matemáticas contenían verdades profundas sobre el funcionamiento del universo.
Pythagorean como sustantivo para un miembro de la escuela
Aquí, Pythagorean es un sustantivo contable que significa «un miembro de la escuela asociada con Pitágoras». La palabra one deja claro el uso como sustantivo, y named Hippasus da el nombre de ese miembro. Pythagorean no es el nombre de la persona ni se refiere al propio Pitágoras. La misma palabra también puede ser un adjetivo con el sentido de «relacionado con Pitágoras o con su escuela», como en Pythagorean theorem, pero aquí nombra a un miembro.
Práctica
En esta oración, ¿a qué se refiere Pythagorean?
- Un miembro de la escuela asociada con Pitágoras
- Otro nombre del propio Pitágoras
- El nombre personal de Hípaso
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Un miembro de la escuela asociada con Pitágoras
discovered something disturbing: ocultar detalles para crear intriga
Aquí, discovered significa enterarse de que algo es cierto, no simplemente ver un objeto. Something disturbing es un hecho o resultado aún no especificado que provoca una gran inquietud o preocupación, o que pone en duda creencias existentes; no tiene que implicar peligro físico ni miedo. En una narración, something oculta por el momento la información exacta, mientras que disturbing anticipa su efecto inquietante. Juntas, estas palabras crean intriga e indican que el descubrimiento será importante.
Práctica
¿Qué función cumple discovered something disturbing en esta narración?
- Proporciona inmediatamente todos los detalles técnicos del descubrimiento.
- Oculta el descubrimiento exacto mientras indica que provoca una gran inquietud.
- Dice que un ruido molesto interrumpió a quienes hicieron el descubrimiento.
Ver respuesta
Oculta el descubrimiento exacto mientras indica que provoca una gran inquietud.
like the diagonal of a square with sides of length one,
1:17como la diagonal de un cuadrado con lados de longitud uno,
couldn't be expressed by any combination of whole numbers or fractions, Vocabulario
1:20no podían expresarse mediante ninguna combinación de números enteros o fracciones,
couldn't be expressed by any combination of whole numbers or fractions: representación matemática exacta
En este contexto matemático, couldn't be expressed by significa «no podía representarse exactamente usando». La parte resaltada dice que algunas cantidades no pueden escribirse de forma exacta con números enteros o fracciones. Expressed se refiere a la representación numérica, no a comunicar sentimientos o ideas. En un cuadrado cuyo lado mide 1, la diagonal es √2. Es un número irracional: las fracciones pueden acercarse a él tanto como se quiera, pero ninguna fracción es exactamente igual a él.
Práctica
¿Qué interpretación corresponde mejor a la parte resaltada de esta oración matemática?
- Los números enteros y las fracciones no pueden utilizarse en ningún cálculo.
- Algunas personas no pueden explicar sus sentimientos con vocabulario matemático.
- Algunas cantidades no pueden representarse exactamente usando números enteros o fracciones.
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Algunas cantidades no pueden representarse exactamente usando números enteros o fracciones.
no matter how small: el grado cambia, pero el resultado no
En no matter how small, no matter how significa «sin importar hasta qué punto...», y small indica el grado que puede variar. La frase afirma que la conclusión principal sigue siendo cierta incluso cuando ese grado llega a ser extremadamente pequeño. Aquí, small se refiere a lo diminuta o fina que pueda ser la cantidad o división fraccionaria, no al tamaño físico de un objeto. El patrón completo es no matter how + adjetivo/adverbio + sujeto + verbo. Al final de esta oración se omiten las palabras que se sobreentienden: no matter how small (the fractions are).
Práctica
Completa la oración con no matter how para indicar que el resultado no cambia: ____ carefully Mia checks the jar, she cannot find a crack.
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No matter how
were perceived as a threat to the Pythagorean's notion of a perfect universe. Notas
1:32fueron percibidos como una amenaza para la noción pitagórica de un universo perfecto.
which we call irrational numbers: añadir un nombre con una relativa no restrictiva
La cláusula which we call irrational numbers, aislada entre comas, añade un nombre para These numbers. Es no restrictiva: todos los números de los que ya se habla reciben la etiqueta irrational numbers; la cláusula no selecciona solo algunos. En call A B, A es aquello que recibe un nombre y B es el nombre. Aquí, which ocupa el lugar de A, mientras que irrational numbers es B. El patrón reutilizable something, which we call X, ... permite describir algo primero en un texto explicativo e introducir después su término.
Práctica
Usa which we call para completar la cláusula de denominación añadida: This colorless gas, ____ argon, is used in some light bulbs.
Ver respuesta
which we call
were perceived as a threat to: comunicar un peligro percibido
were perceived as a threat to significa que algo era considerado capaz de poner en peligro o debilitar otra cosa. La pasiva were perceived deja en segundo plano a quienes hacen esa valoración. La estructura es X + be perceived as + a threat to + Y. Al añadir perceived, se informa de un punto de vista en vez de presentar la amenaza como un hecho demostrado. En cambio, X was o were a threat to Y afirma la amenaza de forma más directa.
Práctica
Usa la expresión pasiva estudiada para completar la oración: The new regulations ____ independent shops.
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were perceived as a threat to
Pythagorean's notion of a perfect universe: la concepción pitagórica de un universo perfecto
Aquí notion significa una idea o creencia. the Pythagorean's notion of a perfect universe se refiere a la creencia pitagórica de que el cosmos tiene un orden matemático armonioso, especialmente uno expresable mediante números enteros y sus razones. Perfect describe ese orden, no un universo donde todo sea agradable o carezca de defectos. Los números que no podían expresarse como la razón de dos enteros cuestionaban esa visión. Por eso los números irracionales podían describirse como una amenaza para dicha creencia.
Práctica
En esta oración, ¿qué significa más probablemente a perfect universe?
- La creencia de que el cosmos tiene un orden matemático armonioso.
- Un universo que pertenece personalmente a un matemático.
- Un lugar donde nadie comete jamás un error.
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La creencia de que el cosmos tiene un orden matemático armonioso.
They imagined a reality that could be described with rational numerical patterns. Vocabulario
1:37Imaginaban una realidad que podía describirse con patrones numéricos racionales.
rational numerical patterns: el sentido matemático de rational
En este contexto matemático, rational significa que algo está relacionado con los números racionales. Un número racional puede escribirse como la razón entre dos enteros, con un denominador distinto de cero. Por tanto, rational numerical patterns se refiere a regularidades numéricas basadas en esos números o razones. No describe los patrones como tranquilos, sensatos o lógicos.
Práctica
¿Qué significa rational numerical patterns en esta oración?
- Figuras de colores hechas con números escritos.
- Patrones que toman decisiones tranquilas y sensatas.
- Patrones numéricos basados en números racionales o razones.
Ver respuesta
Patrones numéricos basados en números racionales o razones.
Historians write that Hippasus was exiled for publicizing his findings, Notas
1:43Los historiadores escriben que Hípaso fue exiliado por publicar sus hallazgos,
was exiled for publicizing his findings: el castigo y su causa
En was exiled, was + el participio pasado exiled forma la voz pasiva: Hipaso recibe el castigo. For publicizing his findings indica la causa de ese castigo. Después de for, publicizing aparece en forma -ing. Aquí, publicizing significa hacer que mucha gente conozca una información. El sintagma his findings se refiere a lo que descubrió, no a cosas que vendía o promocionaba como productos.
Práctica
¿Qué oración usa correctamente la voz pasiva y for + una forma -ing para indicar la causa de un castigo?
- The scholar was exiled for publicize a discovery that the ruler wanted kept secret.
- The scholar was exiled for publicizing a discovery that the ruler wanted kept secret.
- The scholar exiled for publicizing a discovery that the ruler wanted kept secret.
Ver respuesta
The scholar was exiled for publicizing a discovery that the ruler wanted kept secret.
while legends claim he was drowned as punishment from the gods.
1:47mientras que las leyendas afirman que fue ahogado como castigo de los dioses.
Historians write ... while legends claim: contraste entre fuentes
Historians write ... while legends claim ... utiliza etiquetas de fuente para organizar dos relatos. El primero se atribuye a los historiadores; el segundo, a las leyendas. Aquí while marca un contraste entre los relatos y sus pruebas, no indica que los sucesos ocurrieran al mismo tiempo. Legends claim comunica lo que dice una tradición sin presentarlo como historia demostrada.
Práctica
¿Qué comunica al lector este esquema de identificación de fuentes?
- Los historiadores presenciaron personalmente ambos sucesos.
- El relato del destierro se atribuye a los historiadores, mientras que el relato del ahogamiento se presenta como leyenda.
- Los dos relatos se presentan como hechos históricos igualmente demostrados.
Ver respuesta
El relato del destierro se atribuye a los historiadores, mientras que el relato del ahogamiento se presenta como leyenda.
later mathematical inventions would draw attention from political and religious authorities as well. Frases
1:55invenciones matemáticas posteriores también llamarían la atención de las autoridades políticas y religiosas.
While irrational numbers upset philosophers: contraste y transición
La oración subordinada inicial con while retoma el caso anterior: los números irracionales inquietaron a los filósofos. La oración principal introduce después un caso posterior relacionado con las autoridades políticas y religiosas. Aquí, while organiza un contraste entre dos tipos de conflicto y ayuda a pasar de información conocida a información nueva. No significa que ambas reacciones ocurrieran al mismo tiempo.
Práctica
¿Qué función cumple el while inicial en esta oración?
- Indica cuánto tiempo estuvieron inquietos los filósofos.
- Contrasta un conflicto anterior con un tipo de conflicto posterior.
- Dice que las dos reacciones ocurrieron al mismo tiempo.
Ver respuesta
Contrasta un conflicto anterior con un tipo de conflicto posterior.
would draw attention from: hacer que un grupo se fije en algo
Aquí, would presenta la atención como un resultado posterior dentro de la narración histórica. Draw attention from + una persona o un grupo significa hacer que esa persona o ese grupo se fije en algo o se interese. El sujeto provoca la atención y from indica su origen: en esta oración, las autoridades políticas y religiosas, no un punto inicial de movimiento. Como la atención procede de autoridades, puede sugerir escrutinio, preocupación o una posible intervención. Aquí attention no implica necesariamente elogio.
Práctica
Completa la oración con draw attention from: The unusual payments may ____ bank regulators.
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draw attention from
while Europe was still using Roman numerals, Cultura
2:03mientras Europa todavía usaba números romanos,
Roman numerals: símbolos como I, V y X
Roman numerals es un sistema para escribir números con símbolos como I, V, X, L, C, D y M. Aquí, using Roman numerals significa representar cantidades con esa notación, no usar unos «números romanos» especiales. Un numeral es un símbolo o una forma escrita que representa un número. La notación romana no usa el sistema posicional moderno, en el que la posición de un símbolo cambia su valor, y no tiene un cero estándar. Esto la hace menos práctica para cálculos escritos complejos; ese es el contraste histórico necesario para entender la oración.
Práctica
¿Qué oración distingue correctamente un numeral de un número?
- IV es el número, mientras que cuatro es el numeral romano.
- Los numerales romanos son los valores mismos, no los símbolos usados para escribirlos.
- IV es un numeral romano que representa el número cuatro.
Ver respuesta
IV es un numeral romano que representa el número cuatro.
other cultures had developed positional systems that included a symbol for zero. Vocabulario
2:05otras culturas habían desarrollado sistemas posicionales que incluían un símbolo para el cero.
positional systems ... a symbol for zero: sistemas posicionales con un símbolo para el cero
Un sistema posicional es una forma de escribir números en la que el valor de una cifra cambia según su posición. Por ejemplo, el 5 representa cinco decenas en 50, pero cinco centenas en 500. La oración de relativo that included a symbol for zero describe estos sistemas con más detalle. El cero puede representar una cantidad nula y también ocupar una posición vacía, lo que permite distinguir números como 5, 50 y 500.
Práctica
¿Qué afirmación describe mejor un sistema de numeración posicional con un símbolo para el cero?
- Los números indican dónde se encuentra algo en un mapa.
- El valor de una cifra depende de su posición, y el cero puede ocupar una posición vacía.
- Cada cifra conserva el mismo valor sin importar dónde aparezca.
Ver respuesta
El valor de una cifra depende de su posición, y el cero puede ocupar una posición vacía.
When Arab travelers brought this system to the bustling maritime cities of Italy, Vocabulario
2:10Cuando los viajeros árabes trajeron este sistema a las bulliciosas ciudades marítimas de Italia,
its advantages for merchants and bankers was clear.
2:15sus ventajas para los comerciantes y banqueros fueron evidentes.
bustling maritime cities of Italy: las activas ciudades marítimas de Italia
Bustling indica que un lugar está lleno de actividad y energía, a menudo con muchas personas trabajando, moviéndose o comerciando. No se refiere principalmente al ruido. Maritime significa relacionado con el mar, especialmente con la navegación, los viajes o el comercio. En conjunto, bustling maritime cities of Italy describe ciudades italianas activas y vinculadas con las rutas marítimas y el comercio. La frase ayuda a explicar por qué un sistema numérico útil era importante para los comerciantes y banqueros de esos lugares.
Práctica
¿Qué interpretación corresponde mejor a bustling maritime cities?
- Ciudades del interior sin relación con barcos ni rutas marítimas
- Ciudades activas estrechamente relacionadas con el mar, la navegación y el comercio
- Ciudades ruidosas cuya única característica importante es el ruido
Ver respuesta
Ciudades activas estrechamente relacionadas con el mar, la navegación y el comercio
were more wary: mostrar mayor cautela
En esta oración, were more wary significa que las autoridades eran más cautelosas y estaban más atentas a posibles problemas. Wary expresa precaución ante un riesgo, un engaño u otro problema; no significa estar cansado. Were conecta el sujeto con el adjetivo wary, y more forma el comparativo. But marca un contraste: las autoridades—funcionarios u organismos reguladores—reaccionaron con más cautela que los demás.
Práctica
Escucha la oración en inglés y elige la oración completa que oyes. Presta atención a la diferencia entre wary /ˈwɛri/ y weary /ˈwɪri/.
- The officers were wary after the long investigation.
- The officers were ready after the long investigation.
- The officers were weary after the long investigation.
Ver respuesta
The officers were wary after the long investigation.
Hindu-Arabic numerals were considered easier to forge or alter, Notas
2:21Los números indoarábigos se consideraban más fáciles de falsificar o alterar,
Hindu-Arabic numerals: el sistema de numeración del 0 al 9
Hindu-Arabic numerals es el nombre histórico del sistema de numeración decimal y posicional que utiliza los diez dígitos del 0 al 9. En esta oración, la expresión nombra las formas escritas de los números que las autoridades creían que podían falsificarse o modificarse con mayor facilidad. El nombre refleja la historia del sistema: se desarrolló en la India y después llegó a Europa a través del mundo arabófono. No significa que los numerales pertenezcan solo a hindúes, árabes, una religión o un grupo étnico.
Práctica
¿Qué significa aquí Hindu-Arabic numerals?
- Son los números romanos, como I, V y X.
- Es un conjunto de símbolos usado solo por seguidores del hinduismo y del islam.
- Es el sistema de numeración de uso general basado en los dígitos del 0 al 9.
Ver respuesta
Es el sistema de numeración de uso general basado en los dígitos del 0 al 9.
easier to forge or alter: más fácil de falsificar o alterar
En esta oración, easier to forge or alter significa que algo es más fácil de falsificar o modificar de manera deshonesta. Forge significa crear un documento, una firma, un registro u otro elemento falso para que parezca auténtico; aquí no significa dar forma a metal caliente. Alter significa cambiar algo que ya existe. El patrón be + easier + to-infinitive describe lo fácil que resulta realizar una acción sobre el sujeto. Aunque forge y alter son infinitivos activos, los números son las cosas que podrían ser falsificadas o alteradas.
Práctica
En un contexto de seguridad documental, ¿qué significa easier to forge or alter?
- Más fácil de falsificar o cambiar de manera deshonesta.
- Más fácil de leer o calcular.
- Más fácil de moldear con metal caliente o decorar.
Ver respuesta
Más fácil de falsificar o cambiar de manera deshonesta.
especially since they were less familiar to customers than to merchants. Gramática
2:25especialmente porque eran menos familiares para los clientes que para los comerciantes.
less familiar to A than to B: menos familiar para A que para B
Less familiar to customers than to merchants compara lo familiar que resulta una misma cosa para dos grupos. Los clientes conocían los números menos que los comerciantes; por tanto, los comerciantes los conocían mejor. El patrón reutilizable es be less + adjective + to A + than to B. Aquí, las dos frases con to dependen de familiar: familiar to customers y familiar to merchants. Mantener el segundo to deja claros los dos lados de la comparación.
Práctica
Usa less familiar to A than to B para indicar que los docentes conocen mejor la aplicación: The school app is ____ parents ____ teachers.
Ver respuesta
less familiar to · than to
And the concept of zero opened the door to negative numbers Modismos
2:30Y el concepto del cero abrió la puerta a los números negativos
opened the door to negative numbers: hizo posibles los números negativos
Opened the door to negative numbers es una metáfora: el concepto de cero hizo posible el desarrollo y el uso de los números negativos. No hay ninguna puerta física. El patrón reutilizable es open the door to + sustantivo o forma en -ing. Presenta una idea, un acontecimiento o un cambio como algo que crea las condiciones para una posibilidad posterior.
Práctica
Completa la oración con la forma de pasado de open the door to: The policy change ____ more flexible work schedules.
Ver respuesta
opened the door to
at a time when money lending was regarded with suspicion. Frases
2:35en un momento en que el préstamo de dinero era visto con sospecha.
the recording of debt: el registro contable de las deudas
Aquí, the recording of debt significa introducir y conservar en cuentas o libros contables información sobre el dinero que se debe. Recording es el sustantivo de acción derivado de record, y of debt indica qué información se registra. En contextos financieros e históricos, record significa anotar o almacenar información, no capturar sonido o vídeo. La frase conecta los números con la tarea práctica de controlar las cantidades que deben las personas.
Práctica
¿Qué significa the recording of debt en esta oración? “The bank improved the recording of debt in its digital accounts.”
- Crear un archivo de audio sobre un préstamo
- Introducir y conservar información sobre el dinero que se debe
- Borrar todas las cantidades que deben los prestatarios
Ver respuesta
Introducir y conservar información sobre el dinero que se debe
money lending was regarded with suspicion: prestar dinero se veía con desconfianza
Aquí, money lending was regarded with suspicion significa que la gente, en general, veía la actividad de prestar dinero con desconfianza o cautela. El patrón pasivo A was regarded with suspicion centra la atención en la actitud social hacia A. No acusa a un prestamista concreto de un acto específico. La expresión describe una reputación o reacción general, por lo que sirve para explicar cómo se veía una actividad, profesión, institución o idea nueva en una época determinada.
Práctica
Completa la oración con la expresión objetivo en pasado: At first, the new payment app ____ by many shoppers.
Ver respuesta
was regarded with suspicion
Florence banned the use of Hindu-Arabic numerals for record-keeping. Cultura
2:40Florencia prohibió el uso de números indoarábigos para el registro de cuentas.
Florence banned the use of ... for record-keeping: Florencia prohibió un uso para llevar registros
En esta oración histórica, Florence se refiere a la ciudad de Florencia y a sus autoridades, no a una persona llamada Florence. Los nombres de lugares pueden representar a gobiernos u otros organismos que toman decisiones oficiales. El patrón formal ban the use of A for B significa prohibir oficialmente el uso de A para el propósito B. Aquí, A es Hindu-Arabic numerals y B es record-keeping, es decir, llevar cuentas u otros registros.
Práctica
Completa la oración con la estructura formal objetivo en pasado: The city ____ facial recognition for taking attendance.
Ver respuesta
banned the use of
And though they soon proved too useful to ignore, Gramática
2:45Y aunque pronto demostraron ser demasiado útiles como para ignorarlos,
though ... proved too useful to ignore: aunque ... resultaron demasiado útiles para ignorarlos
Though introduce una concesión: señala un hecho que podría haber llevado a esperar un resultado principal diferente. En la oración completa, esta cláusula prepara la idea principal que viene después. Aquí, they se refiere a los números indoarábigos. Prove + adjetivo significa «resultar ser», por lo que they soon proved useful indica que su utilidad se hizo evidente. Too useful to ignore significa «tan útiles que no era razonable ignorarlos», no solo «muy útiles».
Práctica
Completa la oración con la expresión de cinco palabras prove + too ... to ... de esta lección: Though the tool faced early criticism, it soon ____.
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proved too useful to ignore
controversies over zero and negative numbers continued for a long time. Frases
2:49las controversias sobre el cero y los números negativos continuaron durante mucho tiempo.
controversies over zero and negative numbers: controversias sobre el cero y los números negativos
Controversies over zero and negative numbers se refiere a desacuerdos serios sobre si esas ideas eran válidas o aceptables. Aquí, over introduce el tema del desacuerdo; no significa «encima de». Controversy es más fuerte que una conversación neutral: sugiere posturas opuestas que atraen atención o se mantienen durante un tiempo. El plural controversies puede referirse a disputas separadas o a distintos aspectos de un debate amplio.
Práctica
¿Qué oración usa over para introducir el tema de una controversia?
- Reporters covered the controversies over the new school rule.
- Reporters covered the controversies above the new school rule.
- Reporters covered the controversies after the new school rule.
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Reporters covered the controversies over the new school rule.
were dismissed as absurd: rechazar una idea sin tomarla en serio
En la estructura dismiss A as B, B es el juicio que se usa para rechazar A sin tomarlo en serio. La forma pasiva A was/were dismissed as B centra la atención en la idea rechazada. Aquí, were dismissed as absurd significa que los números negativos fueron tratados como algo ridículo o irracional. Dismissed no significa que fueran despedidos de un trabajo ni enviados fuera.
Práctica
Usa dismissed as para completar la oración de modo que indique que la propuesta fue rechazada por considerarse poco práctica: The proposal was ____ unrealistic before anyone tested it.
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dismissed as
well into the 19th century: continuar mucho más allá de su comienzo
Well into + un periodo significa que algo alcanza un punto bastante avanzado dentro de ese periodo, en vez de detenerse cerca de su comienzo. Well añade la idea de “haber avanzado bastante dentro de”; into por sí solo no aporta el mismo énfasis. Aquí, well into the 19th century muestra que el rechazo continuó durante una parte considerable de ese siglo. Destaca una continuidad más larga que la expresión temporal neutra in the 19th century.
Práctica
Usa well into para completar la oración e indicar que el trabajo continuó durante una parte considerable de la estación: The repairs continued ____ the summer.
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well into
And prominent mathematicians like Gerolamo Cardano
2:59Y matemáticos prominentes como Gerolamo Cardano
even though it would have made it much easier to find solutions to cubic and the quartic equations. Gramática
3:04incluso cuando habría facilitado mucho encontrar soluciones a ecuaciones cúbicas y cuárticas.
avoid + gerundio: avoided using zero
Avoid puede ir seguido de un sustantivo. Cuando su objeto es una acción, se usa la forma en -ing: avoid doing something significa evitar hacer algo. En avoided using zero, using es un gerundio y funciona como objeto de avoided. En inglés estándar no se usa avoided to use zero con este significado.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta de share: Maya avoided ____ her password in the group chat.
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sharing
even though ... would have made it much easier to: un beneficio pasado no realizado
Even though introduce una concesión: presenta una razón importante que no cambió la decisión real de la oración principal. Los matemáticos evitaron el cero a pesar de su posible ventaja. Aquí, would have made describe un resultado pasado que no llegó a realizarse. No afirma que el resultado ocurriera: si se hubiera usado el cero, habría sido más fácil encontrar las soluciones. En make it much easier to find, it remite a la acción expresada por to find. Much intensifica easier y significa que algo era mucho más fácil.
Práctica
Usa el patrón would have + make it much easier to para completar la oración: We did not use the diagram, even though it ____ understand the process.
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would have made it much easier to
Even today: señalar una continuidad inesperada hasta el presente
Even today lleva el discurso del pasado al presente. Even añade la idea de que resulta sorprendente o digno de atención que la situación todavía exista; today por sí solo únicamente indicaría el momento. Aquí, la expresión introduce una nueva afirmación sobre el presente: usar algunos números es ilegal. También prepara al oyente para las razones que vienen después.
Práctica
¿Qué oración usa Even today para indicar que una situación antigua continúa de forma sorprendente en el presente?
- Today, the museum opens at ten.
- Even today, some remote villages still have no reliable internet access.
- We even visited the museum today.
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Even today, some remote villages still have no reliable internet access.
Some are banned because of what they represent. Gramática
3:14Algunos están prohibidos por lo que representan.
because of what they represent: usar una oración con what para expresar la causa
Because of va seguido de un sustantivo o de otra unidad que funciona como sustantivo. En because of what they represent, what they represent es una oración sustantiva que significa la cosa o el significado que representan. Dentro de ella se mantiene el orden normal de una afirmación, they represent, y no el orden de una pregunta. Aquí, what no formula una pregunta. La oración dice que los números están prohibidos por su significado simbólico, no simplemente por ser números.
Práctica
¿Qué oración usa correctamente una oración con what después de because of para explicar que se retiró un símbolo por su significado?
- The symbol was removed because of what it represented.
- The symbol was removed because of what did it represent.
- The symbol was removed because what it represented of.
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The symbol was removed because of what it represented.
For example, governments have prohibited the display of numbers that have symbolic meaning, Notas
3:17Por ejemplo, los gobiernos han prohibido la exhibición de números que tienen un significado simbólico,
have symbolic meaning: representar más que la forma literal
Have symbolic meaning significa representar una idea, un acontecimiento, un grupo o un valor que va más allá de la forma literal del objeto. En esta oración, los números importan por sus asociaciones políticas o históricas, no por su valor matemático. La estructura es have/has symbolic meaning. Es una manera natural de explicar por qué un número, color, fecha, imagen o gesto transmite un mensaje cultural, social o narrativo que va más allá de su forma superficial.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta de have symbolic meaning: In the story, the red scarf ____ because it represents courage.
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has symbolic meaning
such as the date of a revolution or connections to oppositional political figures or parties. Vocabulario
3:22como la fecha de una revolución o conexiones con figuras o partidos políticos de la oposición.
governments have prohibited the display of numbers: una prohibición formal
Governments have prohibited the display of numbers significa que los gobiernos han usado su autoridad oficial para impedir que se muestren públicamente ciertos números. Aquí, display es un sustantivo que se refiere a la presentación pública en letreros, ropa, carteles u otros lugares visibles, no solo en una pantalla. La estructura prohibit the display of + sustantivo es formal y convierte la acción display en un sintagma nominal. Have prohibited está en present perfect: presenta prohibiciones del pasado como relevantes para el tema actual.
Práctica
Evalúa este uso en contexto: una ordenanza municipal dice: “The law prohibits the display of unauthorized signs.”
- Suena natural en un contexto jurídico formal.
- Es demasiado coloquial para un contexto jurídico.
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Suena natural en un contexto jurídico formal.
connections to oppositional political figures or parties: vínculos con figuras o partidos políticos de la oposición
Connections to political people or groups significa vínculos o asociaciones con personas o grupos políticos. Pueden ser directos, como la afiliación o la cooperación, o indirectos y simbólicos, como una fecha, un código o un número relacionado con ellos. Oppositional modifica a political figures or parties. En este contexto político, indica que se oponen al gobierno o al poder gobernante; no significa simplemente que sean diferentes o estén físicamente enfrente. La frase completa describe, por tanto, asociaciones que pueden ser políticamente sensibles.
Práctica
En un informe político, ¿qué significa con mayor probabilidad connections to oppositional political figures or parties?
- vínculos con figuras o partidos políticos que se oponen al poder gobernante
- conexiones físicas entre edificios utilizados por partidos políticos
- diferencias de opinión comunes entre dos personas cualesquiera
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vínculos con figuras o partidos políticos que se oponen al poder gobernante
Other numbers are potentially illegal because of the information they carry. Modismos
3:28Otros números son potencialmente ilegales debido a la información que contienen.
potentially illegal because of the information they carry: potencialmente ilegales por la información que contienen
The information they carry presenta los números como recipientes o señales. Aquí carry significa contener, codificar o comunicar información, no transportar físicamente algo. Potentially illegal significa que pueden ser ilegales bajo ciertas condiciones, no que lo sean automáticamente en todos los casos. Because of relaciona la posible ilegalidad con el contenido codificado: el riesgo procede de la información representada por los números.
Práctica
Completa la oración con el verbo de la lección que significa «contener información codificada»: A QR code can ____ information about a product.
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carry
can be translated into a string of numbers. Vocabulario
3:38puede ser traducida a una cadena de números.
whether text, image, video, or executable programs: todas las posibilidades enumeradas
En esta oración, whether introduce una lista de posibles tipos de información. Significa «sin importar a cuál categoría pertenezca la información: texto, imagen, video o programas ejecutables»; no formula una pregunta. La estructura whether A, B, C, or D permite que una misma afirmación se aplique a todos los elementos de la lista. Aquí, la frase con whether añade información dentro de la oración principal, cuya forma básica es «Just about any information can be translated into a string of numbers.»
Práctica
¿Qué oración usa whether para indicar que el mismo resultado se aplica a todas las posibilidades enumeradas?
- If an applicant registers online, the office replies by email.
- Applicants can choose either an online form or a paper form.
- Whether online, in person, or by phone, every applicant must register.
Ver respuesta
Whether online, in person, or by phone, every applicant must register.
translated into a string of numbers: conversión no lingüística
Aquí, translated into significa «convertido o representado en otra forma», no «pasado de un idioma a otro». El patrón pasivo be translated into B centra la atención en la nueva forma: la información se convierte en datos numéricos. A string of numbers es una secuencia ordenada de números. En esta explicación, la frase describe una representación digital que puede corresponder a texto, imágenes, video o programas.
Práctica
Completa la oración técnica con la frase de la lección que significa «representado como una secuencia numérica ordenada»: The signal can be ____.
Ver respuesta
translated into a string of numbers
But this means that protected information, Vocabulario
3:42Pero esto significa que la información protegida,
protected information: derechos de autor, materiales de propiedad exclusiva o secretos de Estado
Protected information es una etiqueta amplia para la información restringida por normas legales, comerciales o de seguridad. La estructura whether A, B, or C enumera alternativas e indica que la afirmación se aplica sin importar de qué categoría se trate. Aquí, copyrights se usa de forma general como abreviación de copyright-protected content. Proprietary materials son materiales que pertenecen a una persona u organización o están bajo su control, normalmente con límites de acceso o uso. State secrets son datos gubernamentales restringidos por razones de seguridad nacional. Representar cualquiera de ellos como números no elimina automáticamente su protección.
Práctica
En una política empresarial, ¿qué expresión inglesa describe mejor los documentos que la empresa posee y controla y que no permite que personas externas usen libremente?
- proprietary materials
- state secrets
- appropriate materials
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proprietary materials
So possessing or publishing these numbers may be treated as a criminal offense. Vocabulario
3:51Por lo tanto, poseer o publicar estos números puede ser tratado como un delito penal.
be treated as a criminal offense: ser considerado un delito
Treat A as B significa clasificar A como B y actuar de acuerdo con esa clasificación. En la estructura pasiva be treated as a criminal offense, un acto es clasificado y tratado por el sistema jurídico como un delito. Aquí, offense significa una infracción de la ley, no la sensación de sentirse ofendido. May mantiene la afirmación como una posibilidad condicionada: la ley aplicable y los hechos determinan si el acto es realmente delictivo.
Práctica
Completa la oración con la expresión inglesa exacta que significa «clasificado y tratado por la ley como un delito»: Under the new law, deliberately selling fake identity documents may be ____.
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treated as a criminal offense
when code that could be used to decrypt DVDs Vocabulario
3:59cuando el código que podría usarse para descifrar DVD
was widely shared and distributed in the form of a large prime number. Frases
4:02fue ampliamente compartido y distribuido en forma de un número primo grande.
gathered attention: empezar a recibir atención pública
En esta oración, gathered attention significa que la idea empezó a recibir atención del público o de los medios. Gathered no se refiere a reunir objetos físicos; presenta la atención como algo que se va acumulando alrededor de la idea. Cuando un acontecimiento, una persona o una idea gathers attention, pasa a ser conocido por un público más amplio.
Práctica
¿Qué significa gathered attention en el ejemplo?
- La gente reunió objetos relacionados con la idea.
- La idea empezó a recibir atención pública.
- La idea observó atentamente a otras personas.
Ver respuesta
La idea empezó a recibir atención pública.
code that could be used to decrypt: describir lo que puede hacer un código
El sustantivo principal code va seguido de la oración de relativo that could be used to decrypt DVDs. That se refiere a code, y could be used to + verbo en forma base describe una posible finalidad o función: el código tenía la capacidad de descifrar DVD. Decrypt significa revertir o eliminar el cifrado para que puedan leerse los datos protegidos. No significa simplemente abrir o reproducir un DVD.
Práctica
Completa la oración con la estructura pasiva de finalidad del ejemplo: This key can ____ the encrypted backup.
Ver respuesta
be used to decrypt
in the form of a large prime number: en forma de un número primo grande
In the form of + sintagma nominal identifica la representación o el soporte usado para un mismo contenido. Aquí, el contenido se representó mediante un número primo grande y esa forma numérica se compartió con muchas personas. Widely modifica tanto shared como distributed y destaca el gran alcance de las dos acciones pasivas coordinadas. Prime number es el término matemático para un entero mayor que 1 con exactamente dos factores positivos; no significa «número principal».
Práctica
Completa la oración con in the form of y las palabras a PDF file: The handbook was shared ____.
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in the form of a PDF file
written numbers are a way of expressing concepts and information. Discurso
4:11los números escritos son una forma de expresar conceptos e información.
may sound absurd, but like words: concesión y analogía
May sound absurd reconoce una posible primera reacción sin afirmar que la idea sea realmente absurda. May indica posibilidad, y sound describe cómo algo le parece a un público, no lo que es en realidad. But se aleja después de esa reacción, mientras que like words introduce una analogía: los números escritos, al igual que las palabras escritas, pueden transmitir conceptos e información. Por tanto, la oración sigue un patrón de concesión y replanteamiento: reconoce una objeción y luego ofrece otra forma de considerar la afirmación.
Práctica
¿Qué oración reconoce primero una posible impresión negativa y luego aporta una prueba que invita a reconsiderarla?
- The plan may sound risky because no one has tested it.
- The plan is risky, so we should ignore the trial results.
- The plan may sound risky, but it has worked in smaller trials.
Ver respuesta
The plan may sound risky, but it has worked in smaller trials.
Los números escritos son una forma de expresar conceptos e información
La oración presenta la conclusión central: los números escritos hacen algo más que mostrar cantidades. Pueden transmitir conceptos e información, así que funcionan como un medio de expresión, de forma parecida a las palabras escritas. La estructura «A is a way of doing B» presenta A como un método para hacer B. Después de of se usa la forma en -ing. Aquí, la estructura convierte los detalles anteriores en una afirmación general sobre lo que pueden hacer los números escritos.
Práctica
Completa la oración con la forma en -ing de express: Visual art is a way of ____ ideas without words.
Ver respuesta
expressing
the mathematician's pencil grows stronger by the day. Modismos
4:20el lápiz del matemático se vuelve más fuerte día a día.
in a world where ...: establecer un contexto social amplio
El marco inicial «in a world where ...» establece un contexto social amplio antes de la afirmación principal. World se refiere al tipo de sociedad o entorno en que vive la gente, y where introduce una cláusula que describe ese entorno; no señala un lugar físico. «Calculations and algorithms shape more and more of our lives» indica que su influencia alcanza cada vez más ámbitos de la vida. Colocar primero este contexto hace que la conclusión posterior suene como una respuesta a una tendencia moderna en expansión.
Práctica
Completa la oración con el marco contextual de la lección: ____ online rumors spread quickly, careful checking matters more than ever.
Ver respuesta
In a world where
the mathematician's pencil grows stronger by the day: una metáfora de una influencia creciente
the mathematician's pencil es una metáfora de las fórmulas, los cálculos y los algoritmos que los matemáticos crean y escriben. No significa que un lápiz físico se esté volviendo más resistente. Aquí, grows stronger significa que el trabajo matemático tiene cada vez más poder para influir en la vida real. by the day significa «cada vez más a medida que pasan los días». La imagen del lápiz también retoma el uso tradicional de la pluma como símbolo del poder intelectual. Juntas, la metáfora y la expresión temporal crean un final contundente y memorable: cuanto más afectan los cálculos y los algoritmos a la vida, mayor influencia adquieren las ideas expresadas mediante las matemáticas.
Práctica
¿Qué significa la parte destacada en esta oración?
- Los algoritmos están sustituyendo gradualmente a los lápices en el trabajo matemático.
- Las ideas y herramientas matemáticas adquieren cada vez más influencia con el tiempo.
- El lápiz físico de un matemático se vuelve más resistente cada día.
Ver respuesta
Las ideas y herramientas matemáticas adquieren cada vez más influencia con el tiempo.
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