Productos cruzados | Capítulo 10, La esencia del álgebra lineal: apuntes para aprender inglés

Last video, I talked about the dot product,

En el último video, hablé sobre el producto escalar,

showing both the standard introduction to the topic, Gramática

mostrando tanto la introducción estándar al tema,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

como una visión más profunda de cómo se relaciona con las transformaciones lineales.

I'd like to do the same thing for cross products,

Me gustaría hacer lo mismo con los productos vectoriales,

which also have a standard introduction

que también tienen una introducción estándar

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Modismos

junto con una comprensión más profunda a la luz de las transformaciones lineales.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Pero esta vez, lo dividiré en dos videos separados.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Modismos

Aquí, trataré de tocar los puntos principales que normalmente se enseñan a los estudiantes sobre el producto vectorial.

And in the next video,

Y en el siguiente video,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

mostraré una perspectiva que se enseña con menos frecuencia,

but really satisfying when you learn it.

pero que es muy satisfactoria cuando la aprendes.

We'll start in two dimensions.

Empezaremos en dos dimensiones.

If you have two vectors V and W,

Si tienes dos vectores V y W,

think about the parallelogram that they span out. Phrasal verbs

piensa en el paralelogramo que abarcan.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Notas

Lo que quiero decir con eso es que si tomas una copia de V y mueves su cola a la punta de W,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

y tomas una copia de W y mueves su cola a la punta de V,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

los cuatro vectores que ahora están en la pantalla encierran un cierto paralelogramo.

The cross product of V and W,

El producto vectorial de V y W,

written with the X-shaped multiplication symbol,

escrito con el símbolo de multiplicación en forma de X,

is the area of this parallelogram.

es el área de este paralelogramo.

Well, almost. Discurso

Bueno, casi.

We also need to consider orientation.

También debemos tener en cuenta la orientación.

Basically, if V is on the right of W,

Básicamente, si V está a la derecha de W,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

entonces V cruz W es positivo y es igual al área del paralelogramo.

But if V is on the left of W,

Pero si V está a la izquierda de W,

then the cross product is negative,

entonces el producto vectorial es negativo,

namely the negative area of that parallelogram.

es decir, el área negativa de ese paralelogramo.

Notice, this means that order matters. Frases

Ten en cuenta que esto significa que el orden importa.

If you swapped V and W,

Si intercambiaras V y W,

instead taking W cross V,

y en su lugar hicieras W cruz V,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Gramática

el producto vectorial se convertiría en el negativo de lo que fuera antes.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

La forma en que siempre recuerdo el orden aquí es que cuando tomas el producto vectorial de los dos vectores base en orden,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-hat cruz j-hat, el resultado debe ser positivo.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

De hecho, el orden de tus vectores base es lo que define la orientación.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Entonces, dado que i-hat está a la derecha de j-hat,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

recuerdo que V cruz W tiene que ser positivo siempre que V esté a la derecha de W.

So, for example, with the vectors shown here,

Así que, por ejemplo, con los vectores que se muestran aquí,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

simplemente te diré que el área de ese paralelogramo es siete.

And since V is on the left of W,

Y como V está a la izquierda de W,

the cross product should be negative.

el producto vectorial debería ser negativo.

So, V cross W is negative seven.

Entonces, V cruz W es menos siete.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Pero, por supuesto, quieres poder calcular esto sin que nadie te diga el área.

This is where the determinant comes in. Phrasal verbs

Aquí es donde entra en juego el determinante.

So, if you didn't see chapter five of this series, Gramática

Entonces, si no viste el capítulo cinco de esta serie,

where I talk about the determinant,

donde hablo sobre el determinante,

now would be a really good time to go take a look.

ahora sería un muy buen momento para ir a echar un vistazo.

Even if you did see it, but it was a while ago,

Incluso si lo viste, pero fue hace un tiempo,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Modismos

recomendaría darle otro vistazo solo para asegurarte de que esas ideas estén frescas en tu mente.

For the 2D cross product, V cross W,

Para el producto vectorial 2D, V cruz W,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

lo que haces es escribir las coordenadas de V como la primera columna de una matriz,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

y tomas las coordenadas de W y las conviertes en la segunda columna.

Then you just compute the determinant.

Luego simplemente calculas el determinante.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

Esto se debe a que una matriz cuyas columnas representan a V y W corresponde a una transformación lineal que mueve los vectores base i-hat y j-hat a V y W.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

El determinante se trata de medir cómo cambian las áreas debido a una transformación.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

Y el área prototípica que observamos es el cuadrado unitario que descansa sobre i-hat y j-hat.

After the transformation,

Después de la transformación,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Phrasal verbs

ese cuadrado se convierte en el paralelogramo que nos interesa.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Gramática

Por lo tanto, el determinante, que generalmente mide el factor por el cual cambian las áreas,

gives the area of this parallelogram,

da el área de este paralelogramo,

since it evolved from a square that started with area one.

ya que evolucionó a partir de un cuadrado que comenzó con un área de uno.

What's more, if V is on the left of W,

Es más, si V está a la izquierda de W,

it means that orientation was flipped during that transformation,

significa que la orientación se invirtió durante esa transformación,

which is what it means for the determinant to be negative. Gramática

que es lo que significa que el determinante sea negativo.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

Como ejemplo, digamos que V tiene las coordenadas menos tres uno,

and W has coordinates two one.

y W tiene las coordenadas dos uno.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

El determinante de la matriz con esas coordenadas como columnas es menos tres por uno menos dos por uno,

which is negative five.

lo que da menos cinco.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Así que, evidentemente, el área del paralelogramo que definen es cinco.

And since V is on the left of W,

Y como V está a la izquierda de W,

it should make sense that this value is negative.

tiene sentido que este valor sea negativo.

As with any new operation you learn,

Al igual que con cualquier operación nueva que aprendas,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Notas

te recomendaría jugar un poco con esta noción en tu cabeza solo para tener una idea intuitiva de lo que es el producto vectorial.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Por ejemplo, podrías notar que cuando dos vectores son perpendiculares,

or at least close to being perpendicular,

o al menos están cerca de ser perpendiculares,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Gramática

su producto vectorial es mayor de lo que sería si apuntaran en direcciones muy similares,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

porque el área de ese paralelogramo es mayor cuando los lados están más cerca de ser perpendiculares.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Phrasal verbs

Otra cosa que podrías notar es que si fueras a escalar uno de esos vectores,

perhaps multiplying V by three,

tal vez multiplicando V por tres,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Frases

entonces el área de ese paralelogramo también se escala por un factor de tres.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Discurso

Entonces, lo que esto significa para la operación es que tres V cruz W será exactamente tres veces el valor de V cruz W.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Gramática

Ahora, aunque todo esto es una operación matemática perfectamente válida,

what I just described is technically not the cross product. Vocabulario

lo que acabo de describir técnicamente no es el producto vectorial.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

El verdadero producto vectorial es algo que combina dos vectores 3D diferentes para obtener un nuevo vector 3D.

Just as before, Discurso

Al igual que antes,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

todavía vamos a considerar el paralelogramo definido por los dos vectores que estamos multiplicando.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Modismos

Y el área de este paralelogramo seguirá jugando un papel importante.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Discurso

Para ser concretos, digamos que el área es 2.5 para los vectores que se muestran aquí.

But as I said, the cross product is not a number,

Pero como dije, el producto vectorial no es un número,

it's a vector.

es un vector.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

La longitud de este nuevo vector será el área de ese paralelogramo,

which in this case is 2.5.

que en este caso es 2.5.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

Y la dirección de ese nuevo vector va a ser perpendicular al paralelogramo.

But which way, right?

Pero, ¿en qué sentido, verdad?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Quiero decir, hay dos posibles vectores con una longitud de 2.5 que son perpendiculares a un plano dado.

This is where the right hand rule comes in. Vocabulario

Aquí es donde entra la regla de la mano derecha.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Apunta el dedo índice de tu mano derecha en la dirección de V.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Phrasal verbs

Luego extiende tu dedo medio en la dirección de W.

Then, when you point up your thumb,

Entonces, cuando apuntas tu pulgar hacia arriba,

that's the direction of the cross product.

esa es la dirección del producto vectorial.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Por ejemplo, digamos que V era un vector con longitud dos apuntando directamente hacia arriba en la dirección Z,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

y W es un vector con longitud dos apuntando en la dirección pura de Y.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

El paralelogramo que definen en este simple ejemplo es en realidad un cuadrado,

since they're perpendicular and have the same length. Gramática

ya que son perpendiculares y tienen la misma longitud.

And the area of that square is four.

Y el área de ese cuadrado es cuatro.

So, their cross product should be a vector with length four.

Por lo tanto, su producto vectorial debe ser un vector con una longitud de cuatro.

Using the right hand rule,

Usando la regla de la mano derecha,

their cross product should point in the negative X direction.

su producto vectorial debería apuntar en la dirección X negativa.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Entonces, el producto vectorial de estos dos vectores es menos cuatro veces i-hat.

For more general computations,

Para cálculos más generales,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Intención

hay una fórmula que podrías memorizar si quisieras,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

pero es común y más fácil recordar un cierto proceso que involucra el determinante 3D.

Now, this process looks truly strange at first.

Ahora, este proceso parece realmente extraño al principio.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

Escribes una matriz 3D donde la segunda y la tercera columna contienen las coordenadas de V y W.

But for that first column,

Pero para esa primera columna,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

escribes los vectores base i-hat, j-hat y k-hat.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Luego, calculas el determinante de esta matriz.

The silliness is probably clear here.

Lo absurdo probablemente sea evidente aquí.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Modismos

¿Qué diablos significa poner un vector como elemento de una matriz?

Students are often told that this is just a notational trick.

A los estudiantes a menudo se les dice que esto es solo un truco de notación.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Notas

Cuando llevas a cabo los cálculos como si i-hat, j-hat y k-hat fueran números,

then you get some linear combination of those basis vectors.

entonces obtienes una combinación lineal de esos vectores base.

And the vector defined by that linear combination,

Y el vector definido por esa combinación lineal,

students are told to just believe, Intención

se les dice a los estudiantes que simplemente crean,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

es el único vector perpendicular a V y W cuya magnitud es el área del paralelogramo apropiado

and whose direction obeys the right hand rule.

y cuya dirección obedece a la regla de la mano derecha.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Intención

Y claro, en cierto sentido, esto es solo un truco de notación.

But there is a reason for doing it.

Pero hay una razón para hacerlo.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Discurso

No es solo una coincidencia que el determinante vuelva a ser importante.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

Y poner los vectores base en esos espacios no es algo que se haga al azar.

To understand where all of this comes from,

Para entender de dónde viene todo esto,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

es útil usar la idea de dualidad que presenté en el último video.

This concept is a little bit heavy, Modismos

Sin embargo, este concepto es un poco denso.

though.

Por lo tanto, lo pondré en un video de seguimiento separado para cualquiera de ustedes que tenga curiosidad por saber más.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Podría decirse que cae fuera de la esencia del álgebra lineal.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Notas

La parte importante aquí es saber qué representa geométricamente ese vector de producto vectorial.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Así que, si quieres saltarte ese próximo video,

So, if you want to skip that next video,

siéntete libre de hacerlo.

feel free. Intención

Pero para aquellos de ustedes que estén dispuestos a profundizar un poco más y que sientan curiosidad por la conexión entre este cálculo y la geometría subyacente,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Modismos

las ideas de las que hablaré en el próximo video son simplemente una parte de las matemáticas realmente elegante.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

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