Vectores | Capítulo 1, La esencia del álgebra lineal: apuntes para aprender inglés

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

La raíz fundamental y el bloque de construcción de todo el álgebra lineal es el vector.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Notas

Por lo tanto, vale la pena asegurarnos de que todos estamos en la misma sintonía

about what exactly a vector is.

sobre qué es exactamente un vector.

You see, broadly speaking, Discurso

Verás, en términos generales,

there are three distinct but related ideas about vectors,

hay tres ideas distintas pero relacionadas sobre los vectores,

which I'll call the physics student perspective,

a las que llamaré la perspectiva del estudiante de física,

the computer science student perspective,

la perspectiva del estudiante de informática

and the mathematician's perspective.

y la perspectiva del matemático.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

La perspectiva del estudiante de física es que los vectores son flechas que apuntan en el espacio.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

Lo que define a un vector dado es su longitud y la dirección en la que apunta.

But as long as those two facts are the same, Gramática

Pero siempre y cuando esos dos hechos sean los mismos,

you can move it all around and it's still the same vector.

puedes moverlo por todas partes y seguirá siendo el mismo vector.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

Los vectores que viven en el plano bidimensional son de dos dimensiones,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

y aquellos que se sitúan en el espacio más amplio en el que tú y yo vivimos son tridimensionales.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

La perspectiva de la informática es que los vectores son listas ordenadas de números.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Por ejemplo, digamos que estás haciendo un análisis sobre los precios de las casas,

and the only features you cared about were square footage and price.

y las únicas características que te importan son los metros cuadrados y el precio.

You might model each house with a pair of numbers,

Podrías modelar cada casa con un par de números,

the first indicating square footage and the second indicating price.

el primero indicando los metros cuadrados y el segundo indicando el precio.

Notice the order matters here.

Nota que aquí el orden importa.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

En la jerga, estarías modelando casas como vectores bidimensionales,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

donde en este contexto 'vector' es prácticamente una palabra elegante para 'lista',

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

y lo que la hace bidimensional es el hecho de que la longitud de esa lista es dos.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Discurso

El matemático, por otro lado, busca generalizar ambas visiones,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

básicamente diciendo que un vector puede ser cualquier cosa donde haya una noción sensata

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

de sumar dos vectores y multiplicar un vector por un número,

operations that I'll talk about later on in this video.

operaciones de las que hablaré más adelante en este video.

The details of this view are rather abstract

Los detalles de esta visión son bastante abstractos

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

y de hecho creo que es saludable ignorarla hasta el último video de esta serie,

favoring a more concrete setting in the interim. Vocabulario

favoreciendo un entorno más concreto en el ínterin.

But the reason I bring it up here Phrasal verbs

Pero la razón por la que lo menciono aquí

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

es porque insinúa el hecho de que las ideas de la suma de vectores

and multiplication by numbers will play an important role

y la multiplicación por números jugarán un papel importante

throughout linear algebra.

a lo largo del álgebra lineal.

But before I talk about these operations,

Pero antes de hablar de estas operaciones,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

simplemente establezcamos un pensamiento específico para tener en mente

when I say the word vector.

cuando diga la palabra 'vector'.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Phrasal verbs

Dado el enfoque geométrico que busco aquí,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

cada vez que introduzca un nuevo tema que involucre vectores,

I want you to first think about an arrow,

quiero que primero pienses en una flecha,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

y específicamente, piensa en esa flecha dentro de un sistema de coordenadas,

like the XY plane,

como el plano XY,

with its tail sitting at the origin.

con su cola situada en el origen.

This is a little bit different from the physics student perspective,

Esto es un poco diferente de la perspectiva del estudiante de física,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

donde los vectores pueden situarse libremente donde quieran en el espacio.

In linear algebra,

En el álgebra lineal,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

casi siempre es el caso que tu vector estará enraizado en el origen.

Then, once you understand a new concept

Luego, una vez que entiendas un nuevo concepto

in the context of arrows in space, Frases

en el contexto de flechas en el espacio,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

lo traduciremos al punto de vista de la lista de números,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

lo cual podemos hacer considerando las coordenadas del vector.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Ahora, aunque estoy seguro de que muchos de ustedes ya están familiarizados con este sistema de coordenadas,

it's worth walking through explicitly

vale la pena repasarlo explícitamente

since this is where all of the important back and forth happens

ya que es aquí donde ocurre todo el importante ir y venir

between the two perspectives of linear algebra.

entre las dos perspectivas del álgebra lineal.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

Centrando nuestra atención en dos dimensiones por el momento,

you have a horizontal line called the x-axis

tienes una línea horizontal llamada eje x

and a vertical line called the y-axis.

y una línea vertical llamada eje y.

The place where they intersect is called the origin,

El lugar donde se intersectan se llama el origen,

which you should think of as the center of space

el cual deberías considerar como el centro del espacio

and the root of all vectors.

y la raíz de todos los vectores.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Después de elegir una longitud arbitraria para representar un uno,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

haces marcas en cada eje para representar esta distancia.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Cuando quiero transmitir la idea del espacio 2D en su conjunto,

which you'll see comes up a lot in these videos, Phrasal verbs

lo cual verás que surge mucho en estos videos,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

extenderé estas marcas para hacer líneas de cuadrícula.

But right now,

Pero por ahora,

they'll actually get a little bit in the way. Modismos

en realidad nos estorbarán un poco.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

Las coordenadas de un vector son un par de números

that basically gives instructions for how to get

que básicamente dan instrucciones sobre cómo llegar

from the tail of that vector at the origin to its tip.

desde la cola de ese vector en el origen hasta su punta.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

El primer número te dice qué tan lejos caminar a lo largo del eje x,

positive numbers indicating rightward motion,

con los números positivos indicando movimiento hacia la derecha,

negative numbers indicating leftward motion,

y los números negativos indicando movimiento hacia la izquierda,

and the second number tells you how far to walk

y el segundo número te dice qué tan lejos caminar

parallel to the y-axis after that,

paralelo al eje y después de eso,

positive numbers indicating upward motion

con los números positivos indicando movimiento hacia arriba

and negative numbers indicating downward motion.

y los números negativos indicando movimiento hacia abajo.

To distinguish vectors from points,

Para distinguir los vectores de los puntos,

the convention is to write this pair of numbers vertically

la convención es escribir este par de números verticalmente

with square brackets around them.

con corchetes alrededor de ellos.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Cada par de números te da uno y solo un vector,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

y cada vector está asociado con uno y solo un par de números.

What about in three dimensions?

¿Qué pasa en tres dimensiones?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Bueno, agregas un tercer eje, llamado eje z,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

que es perpendicular a los ejes x e y,

and in this case,

y en este caso,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

cada vector está asociado con un triplete ordenado de números.

The first tells you how far to move along the x-axis,

El primero te dice qué tan lejos moverte a lo largo del eje x,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

el segundo te dice qué tan lejos moverte paralelo al eje y,

and the third one tells you how far to then move

y el tercero te dice qué tan lejos moverte entonces

parallel to this new z-axis.

paralelo a este nuevo eje z.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Cada triplete de números te da un único vector en el espacio,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

y cada vector en el espacio te da exactamente un triplete de números.

All right,

Muy bien,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

así que de vuelta a la suma de vectores y la multiplicación por números.

After all, Discurso

Después de todo,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

cada tema en el álgebra lineal se centrará en estas dos operaciones.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

Afortunadamente, cada una es bastante sencilla de definir.

Let's say we have two vectors,

Digamos que tenemos dos vectores,

one pointing up and a little to the right

uno apuntando hacia arriba y un poco a la derecha

and the other one pointing right and down a bit.

y el otro apuntando a la derecha y un poco hacia abajo.

To add these two vectors,

Para sumar estos dos vectores,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

mueve el segundo para que su cola se sitúe en la punta del primero.

Then, if you draw a new vector

Luego, si dibujas un nuevo vector

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

desde la cola del primero hasta donde ahora se sitúa la punta del segundo,

that new vector is their sum.

ese nuevo vector es su suma.

This definition of addition, by the way, Discurso

Esta definición de suma, por cierto,

is pretty much the only time in linear algebra

es prácticamente la única vez en el álgebra lineal

where we let vectors stray away from the origin.

donde dejamos que los vectores se alejen del origen.

Now,

Ahora,

why is this a reasonable thing to do?

¿por qué es esto algo razonable de hacer?

Why this definition of addition and not some other one?

¿Por qué esta definición de suma y no alguna otra?

Well,

Bueno,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

la forma en que me gusta pensar en ello es que cada vector representa un cierto movimiento,

a step with a certain distance and direction in space.

un paso con una cierta distancia y dirección en el espacio.

If you take a step along the first vector,

Si das un paso a lo largo del primer vector,

then take a step in the direction and distance

y luego das un paso en la dirección y distancia

described by the second vector,

descritas por el segundo vector,

the overall effect is just the same as if you moved

el efecto general es exactamente el mismo que si te movieras

along the sum of those two vectors to start with. Frases

a lo largo de la suma de esos dos vectores desde el principio.

You could think about this as an extension

Podrías pensar en esto como una extensión

of how we think about adding numbers on a number line.

de cómo pensamos sobre sumar números en una recta numérica.

One way that we teach kids to think about this,

Una forma en que enseñamos a los niños a pensar en esto,

say with 2 + 5,

digamos con 2 + 5,

is to think of moving two steps to the right,

es pensar en moverse dos pasos a la derecha,

followed by another five steps to the right.

seguido de otros cinco pasos a la derecha.

The overall effect is the same

El efecto general es el mismo

as if you just took seven steps to the right.

que si simplemente dieras siete pasos a la derecha.

In fact,

De hecho,

let's see how vector addition looks numerically.

veamos cómo se ve la suma de vectores numéricamente.

The first vector here has coordinates 1 2,

El primer vector aquí tiene coordenadas 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

y el segundo tiene coordenadas 3 -1.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Vocabulario

Cuando tomas la suma de vectores usando este método de punta a cola,

you can think of a four-step path

puedes pensar en un camino de cuatro pasos

from the origin to the tip of the second vector.

desde el origen hasta la punta del segundo vector.

Walk one to the right,

Camina uno a la derecha,

then two up,

luego dos hacia arriba,

then three to the right,

luego tres a la derecha,

then one down.

luego uno hacia abajo.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

Reorganizando estos pasos para que primero hagas todo el movimiento hacia la derecha,

then do all the vertical motion,

y luego hagas todo el movimiento vertical,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

puedes leerlo como diciendo: primero muévete 1 + 3 a la derecha,

then move 2 -1 up.

luego muévete 2 -1 hacia arriba.

So,

Así que,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

el nuevo vector tiene coordenadas 1 + 3 y 2 + -1.

In general,

En general,

vector addition in this list of numbers conception

la suma de vectores en esta concepción de lista de números

looks like matching up their terms and adding each one together.

se ve como emparejar sus términos y sumar cada uno.

The other fundamental vector operation

La otra operación vectorial fundamental

is multiplication by a number.

es la multiplicación por un número.

Now,

Ahora,

this is best understood just by looking at a few examples. Gramática

esto se entiende mejor simplemente mirando un par de ejemplos.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

Si tomas el número dos y lo multiplicas por un vector dado,

it means you stretch out that vector Phrasal verbs

significa que estiras ese vector

so that it's two times as long as when you started. Gramática

para que sea dos veces más largo que cuando empezaste.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Si multiplicas ese vector por, digamos, 1/3,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Phrasal verbs

significa que lo aplastas para que sea 1/3 de la longitud original.

When you multiply it by a negative number,

Cuando lo multiplicas por un número negativo,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Phrasal verbs

como -1.8, entonces el vector primero se voltea,

then stretched out by that factor of 1.8. Frases

luego se estira por ese factor de 1.8.

This process of stretching or squishing

Este proceso de estirar o aplastar

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

o a veces invertir la dirección de un vector se llama escalado.

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

Y cada vez que ves un número, como dos o 1/3 o -1.8,

acting like this, scaling some vector,

actuando así, escalando algún vector,

you call it a scalar.

lo llamas un escalar.

In fact, throughout linear algebra,

De hecho, a lo largo del álgebra lineal,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

una de las cosas principales que hacen los números es escalar vectores.

So,

Así que,

it's common to use the word scalar

es común usar la palabra escalar

pretty much interchangeably with the word number. Frases

de manera prácticamente intercambiable con la palabra número.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Numéricamente, estirar un vector por un factor de, digamos, dos

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

corresponde a multiplicar cada uno de sus componentes por ese factor,

two.

dos.

So,

Así que,

in the conception of vectors as lists of numbers,

en la concepción de los vectores como listas de números,

multiplying a given vector by a scalar

multiplicar un vector dado por un escalar

means multiplying each one of those components by that scalar.

significa multiplicar cada uno de esos componentes por ese escalar.

You'll see in the following videos what I mean

Verás en los siguientes videos a qué me refiero

when I say that linear algebra topics tend to revolve Frases

cuando digo que los temas del álgebra lineal tienden a girar

around these two fundamental operations,

en torno a estas dos operaciones fundamentales,

vector addition and scalar multiplication.

la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

And I'll talk more in the last video

Y hablaré más en el último video

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

sobre cómo y por qué el matemático piensa solo en estas operaciones,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Phrasal verbs

independientemente y abstraído de cómo elijas representar los vectores.

In truth,

En verdad,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Gramática

no importa si piensas en los vectores fundamentalmente como flechas en el espacio,

like I'm suggesting you do,

como sugiero que hagas,

that happen to have a nice numerical representation, Gramática

que resulta que tienen una bonita representación numérica,

or fundamentally as lists of numbers

o fundamentalmente como listas de números

that happen to have a nice geometric interpretation.

que resulta que tienen una bonita interpretación geométrica.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Gramática

La utilidad del álgebra lineal tiene menos que ver con cualquiera de estas visiones

than it does with the ability to translate back and forth between them. Frases

que con la capacidad de traducir de un lado a otro entre ellas.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Le da al analista de datos una buena manera de conceptualizar

many lists of numbers in a visual way,

muchas listas de números de manera visual,

which can seriously clarify patterns in data

lo cual puede aclarar seriamente patrones en los datos

and give a global view of what certain operations do.

y dar una visión global de lo que hacen ciertas operaciones.

And on the flip side, Discurso

Y por otro lado,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

les da a personas como físicos y programadores de gráficos por computadora

a language to describe space

un lenguaje para describir el espacio

and the manipulation of space

y la manipulación del espacio

using numbers that can be crunched and run through a computer. Vocabulario

usando números que pueden ser calculados y ejecutados en una computadora.

When I do math-y animations, for example, Vocabulario

Cuando hago animaciones matemáticas, por ejemplo,

I start by thinking about what's actually going on in space Modismos

comienzo pensando en lo que realmente está sucediendo en el espacio

and then get the computer to represent things numerically,

y luego hago que la computadora represente las cosas numéricamente,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Gramática

descubriendo así dónde colocar los píxeles en la pantalla.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

Y hacer eso generalmente se basa en mucha comprensión del álgebra lineal.

So,

Así que,

there are your vector basics,

ahí tienes tus conceptos básicos sobre vectores,

and in the next video,

y en el próximo video,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

comenzaré a entrar en algunos conceptos bastante geniales que rodean a los vectores,

like span, bases, and linear dependence.

como el espacio generado, las bases y la dependencia lineal.

See you then.

Nos vemos entonces.