Combinaciones lineales, espacio generado y vectores base | Capítulo 2, La esencia del álgebra lineal: apuntes para aprender inglés

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

En el último video, junto con las ideas de suma de vectores y multiplicación por un escalar, describí las coordenadas de un vector,

where there's this back and forth between, Modismos

donde hay esta relación de ida y vuelta entre,

for example,

por ejemplo,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

pares de números y vectores bidimensionales.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Ahora, imagino que las coordenadas de un vector ya les resultaban familiares a muchos de ustedes,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Discurso

pero hay otra forma interesante de pensar en estas coordenadas,

which is pretty central to linear algebra.

la cual es bastante central para el álgebra lineal.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Gramática

Cuando tienes un par de números que buscan describir un vector,

like 3 -2,

como 3 -2,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Gramática

quiero que pienses en cada coordenada como un escalar,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

es decir, piensa en cómo cada una estira o comprime a los vectores.

In the XY coordinate system,

En el sistema de coordenadas XY,

there are two very special vectors.

hay dos vectores muy especiales.

The one pointing to the right with length one,

El que apunta a la derecha con longitud uno,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

comúnmente llamado i-hat o el vector unitario en la dirección X,

and the one pointing straight up with length one,

y el que apunta hacia arriba con longitud uno,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

comúnmente llamado j-hat, o el vector unitario en la dirección Y.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Ahora, piensa en la coordenada X de nuestro vector como un escalar que escala a i-hat,

stretching it by a factor of 3, Frases

estirándolo por un factor de 3,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

y en la coordenada Y como un escalar que escala a j-hat,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

invirtiéndolo y estirándolo por un factor de 2.

In this sense,

En este sentido,

the vector that these coordinates describe

el vector que describen estas coordenadas

is the sum of two scaled vectors.

es la suma de dos vectores escalados.

That's a surprisingly important concept,

Este es un concepto sorprendentemente importante,

this idea of adding together two scaled vectors.

esta idea de sumar dos vectores escalados.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Esos dos vectores, i-hat y j-hat, tienen un nombre especial,

by the way.

por cierto.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Juntos, se denominan la base de un sistema de coordenadas.

What this means basically

Lo que esto significa básicamente

is that when you think about coordinates as scalars,

es que cuando piensas en las coordenadas como escalares,

the basis vectors are what those scalars actually,

los vectores base son lo que esos escalares en realidad,

you know, scale.

ya sabes, escalan.

There's also a more technical definition,

También hay una definición más técnica,

but I'll get to that later.

pero llegaré a eso más adelante.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Frases

Al enmarcar nuestro sistema de coordenadas en términos de estos dos vectores base especiales,

it raises a pretty interesting and subtle point. Frases

surge un punto bastante interesante y sutil.

We could have chosen different basis vectors Gramática

Podríamos haber elegido vectores base diferentes

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

y haber obtenido un nuevo sistema de coordenadas completamente razonable.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Por ejemplo, toma un vector que apunte hacia arriba y a la derecha,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

junto con otro vector que apunte hacia abajo y a la derecha de alguna manera.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

Tómate un momento para pensar en todos los diferentes vectores que puedes obtener

by choosing two scalars,

eligiendo dos escalares,

using each one to scale one of the vectors,

usando cada uno para escalar uno de los vectores,

then adding together what you get.

y luego sumando lo que obtienes.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

¿A qué vectores bidimensionales puedes llegar alterando las elecciones de los escalares?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

La respuesta es que puedes llegar a cualquier vector bidimensional posible,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

y creo que es un buen acertijo contemplar por qué.

A new pair of basis vectors like this

Un nuevo par de vectores base como este

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

todavía nos da una forma válida de ir y venir entre pares de números

and two-dimensional vectors,

y vectores bidimensionales,

but the association is definitely different from the one that you get

pero la asociación es definitivamente diferente de la que obtienes

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

usando la base más estándar de i-hat y j-hat.

This is something I'll go into much more detail on later, Phrasal verbs

Esto es algo en lo que profundizaré mucho más adelante,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

describiendo la relación exacta entre diferentes sistemas de coordenadas,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

pero por ahora, solo quiero que aprecies el hecho de que

any time we describe vectors numerically,

cada vez que describimos vectores numéricamente,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Frases

depende de una elección implícita de qué vectores base estamos usando.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Entonces, cada vez que escalas dos vectores y los sumas de esta manera,

it's called a linear combination of those two vectors. Vocabulario

se llama una combinación lineal de esos dos vectores.

Where does this word linear come from?

¿De dónde viene esta palabra lineal?

Why does this have anything to do with lines? Frases

¿Por qué tiene esto algo que ver con las líneas?

Well, this isn't the etymology,

Bueno, esta no es la etimología,

but one way I like to think about it is that Discurso

pero una forma en la que me gusta pensarlo es que

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

si fijas uno de esos escalares y dejas que el otro cambie su valor libremente,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

la punta del vector resultante dibuja una línea recta.

Now, if you let both scalars range freely Gramática

Ahora, si dejas que ambos escalares varíen libremente

and consider every possible vector that you can get,

y consideras cada vector posible que puedas obtener,

there are two things that can happen.

hay dos cosas que pueden suceder.

For most pairs of vectors,

Para la mayoría de los pares de vectores,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

podrás llegar a cada punto posible en el plano.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Modismos

Cada vector bidimensional está a tu alcance.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Phrasal verbs

Sin embargo, en el desafortunado caso de que tus dos vectores originales se alineen,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

la punta del vector resultante se limita solo a esta única línea que pasa por el origen.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

En realidad, técnicamente, también hay una tercera posibilidad.

Both your vectors could be zero,

Ambos vectores podrían ser cero,

in which case you'd just be stuck at the origin. Gramática

en cuyo caso simplemente estarías atrapado en el origen.

Here's some more terminology.

Aquí hay un poco más de terminología.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

El conjunto de todos los vectores posibles a los que puedes llegar con una combinación lineal de un par de vectores dado

is called the span of those two vectors. Vocabulario

se llama el espacio generado (span) de esos dos vectores.

So, restating what we just saw in this lingo,

Entonces, reafirmando lo que acabamos de ver en esta jerga,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

el espacio generado por la mayoría de los pares de vectores 2D es todos los vectores del espacio 2D,

but when they line up,

pero cuando se alinean,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

su espacio generado es todos los vectores cuya punta se asienta sobre una cierta línea.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Modismos

¿Recuerdas cómo dije que el álgebra lineal gira en torno a la suma de vectores y la multiplicación por un escalar?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

Bueno, el espacio generado de dos vectores es básicamente una forma de preguntar:

what are all the possible vectors you can reach

¿cuáles son todos los vectores posibles a los que puedes llegar

using only these two fundamental operations,

usando solo estas dos operaciones fundamentales,

vector addition and scalar multiplication?

la suma de vectores y la multiplicación por un escalar?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

Este es un buen momento para hablar sobre cómo las personas comúnmente piensan en los vectores como puntos.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Se vuelve muy concurrido pensar en toda una colección de vectores asentados en una línea,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

y aún más concurrido pensar en todos los vectores bidimensionales llenando el plano a la vez.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Por lo tanto, al tratar con colecciones de vectores como esta,

it's common to represent each one with just a point in space.

es común representar cada uno solo con un punto en el espacio.

The point at the tip of that vector,

El punto en la punta de ese vector,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

donde, como siempre, quiero que pienses en ese vector con su cola en el origen.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

De esa manera, si quieres pensar en cada vector posible cuya punta se asienta en cierta línea,

just think about the line itself.

solo piensa en la línea misma.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

Del mismo modo, para pensar en todos los vectores bidimensionales posibles a la vez,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

conceptualiza cada uno como el punto donde se asienta su punta.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Entonces, en efecto, en lo que estarás pensando es en la hoja plana infinita del espacio bidimensional en sí,

leaving the arrows out of it. Phrasal verbs

dejando las flechas fuera de él.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Frases

En general, si estás pensando en un vector por sí solo,

think of it as an arrow.

piénsalo como una flecha.

And if you're dealing with a collection of vectors,

Y si estás lidiando con una colección de vectores,

it's convenient to think of them all as points.

es conveniente pensar en todos ellos como puntos.

So, for our span example,

Entonces, para nuestro ejemplo de espacio generado,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Phrasal verbs

el espacio generado por la mayoría de los pares de vectores termina siendo toda la hoja infinita del espacio bidimensional,

but if they line up,

pero si se alinean,

their span is just a line.

su espacio generado es solo una línea.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

La idea de espacio generado se vuelve mucho más interesante si empezamos a pensar en vectores en el espacio tridimensional.

For example,

Por ejemplo,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

si tomas dos vectores en el espacio 3D que no apuntan en la misma dirección,

what does it mean to take their span?

¿qué significa tomar su espacio generado?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Bueno, su espacio generado es la colección de todas las combinaciones lineales posibles de esos dos vectores,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

lo que significa todos los vectores posibles que obtienes al escalar cada uno de los dos de alguna manera

and then adding them together.

y luego sumarlos.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Modismos

Puedes imaginar que giras dos perillas diferentes para cambiar los dos escalares que definen la combinación lineal,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

sumando los vectores escalados y siguiendo la punta del vector resultante.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Esa punta trazará algún tipo de hoja plana que corta a través del origen del espacio tridimensional.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Esta hoja plana es el espacio generado por los dos vectores,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Discurso

o más precisamente, el conjunto de todos los vectores posibles cuyas puntas se asientan en esa hoja plana es el espacio generado de tus dos vectores.

Isn't that a beautiful mental image?

¿No es una hermosa imagen mental?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Entonces, ¿qué pasa si agregamos un tercer vector y consideramos el espacio generado por esos tres?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Una combinación lineal de tres vectores se define más o menos de la misma manera que para dos.

You'll choose three different scalars,

Elegirás tres escalares diferentes,

scale each of those vectors,

escalarás cada uno de esos vectores,

and then add them all together.

y luego los sumarás todos.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

Y de nuevo, el espacio generado de estos vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles.

Two different things could happen here.

Aquí podrían ocurrir dos cosas diferentes.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Si tu tercer vector resulta estar sentado en el espacio generado por los dos primeros,

then the span doesn't change.

entonces el espacio generado no cambia.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Estás como atrapado en esa misma hoja plana.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Discurso

En otras palabras, agregar una versión escalada de ese tercer vector a la combinación lineal

doesn't really give you access to any new vectors.

realmente no te da acceso a ningún vector nuevo.

But if you just randomly choose a third vector,

Pero si simplemente eliges al azar un tercer vector,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

es casi seguro que no esté asentado en el espacio generado por esos dos primeros.

Then, since it's pointing in a separate direction,

Entonces, dado que apunta en una dirección separada,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Modismos

desbloquea el acceso a todos los vectores tridimensionales posibles.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Una forma en la que me gusta pensar en esto es que a medida que escalas ese nuevo tercer vector,

it moves around that span sheet of the first two,

se mueve alrededor de esa hoja del espacio generado por los dos primeros,

sweeping it through all of space.

barriéndola a través de todo el espacio.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Modismos

Otra forma de pensarlo es que estás haciendo un uso completo de los tres escalares que cambian libremente y que tienes a tu disposición

to access the full three dimensions of space.

para acceder a las tres dimensiones completas del espacio.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Ahora, en el caso de que el tercer vector ya estuviera en el espacio generado por los dos primeros,

or the case where two vectors happen to line up,

o el caso en el que dos vectores se alineen,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Vocabulario

queremos algo de terminología para describir el hecho de que al menos uno de estos vectores es redundante,

not adding anything to our span.

y no agrega nada a nuestro espacio generado.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Cada vez que esto sucede, donde tienes varios vectores y podrías quitar uno sin reducir el espacio generado,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Vocabulario

la terminología relevante es decir que son linealmente dependientes.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Frases

Otra forma de expresar eso sería decir que uno de los vectores se puede expresar como una combinación lineal de los otros,

since it's already in the span of the others.

ya que ya está en el espacio generado de los demás.

On the other hand, Discurso

Por otro lado,

if each vector really does add another dimension to the span, Gramática

si cada vector realmente agrega otra dimensión al espacio generado,

they're said to be linearly independent. Vocabulario

se dice que son linealmente independientes.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Entonces, con toda esa terminología y, con suerte, con algunas buenas imágenes mentales que la acompañen,

let me leave you with a puzzle before we go. Frases

déjame dejarte con un acertijo antes de irnos.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Vocabulario

La definición técnica de una base de un espacio es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan ese espacio.

Now, given how I described a basis earlier,

Ahora, dado cómo describí una base anteriormente,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

y dada tu comprensión actual de las palabras espacio generado y linealmente independiente,

think about why this definition would make sense.

piensa en por qué esta definición tendría sentido.

In the next video,

En el próximo video,

I'll get into matrices in transforming space.

me adentraré en las matrices en la transformación del espacio.

See you then.

Hasta entonces.