Transformaciones lineales tridimensionales | Capítulo 5, La esencia del álgebra lineal: apuntes para aprender inglés

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Hola a todos, hoy tengo un video relativamente corto para ustedes,

just sort of a footnote between chapters. Notas

solo una especie de nota al pie entre capítulos.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

En los últimos dos videos, hablé sobre transformaciones lineales y matrices,

but I only showed the specific case of transformations

pero solo mostré el caso específico de las transformaciones

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

que llevan vectores bidimensionales a otros vectores bidimensionales.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

En general, a lo largo de esta serie, trabajaremos principalmente en dos dimensiones,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Modismos

principalmente porque es más fácil de ver en la pantalla y de comprender.

But more importantly than that, Discurso

Pero más importante que eso,

once you get all the core ideas in two dimensions,

una vez que comprendes todas las ideas principales en dos dimensiones,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Phrasal verbs

se trasladan casi sin problemas a dimensiones superiores.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Notas

Sin embargo, es bueno asomarnos fuera de este mundo plano de vez en cuando

to, you know, see what it means to apply these ideas

para ver, ya sabes, qué significa aplicar estas ideas

in more than just those two dimensions. Gramática

en más que solo esas dos dimensiones.

For example, consider a linear transformation

Por ejemplo, considera una transformación lineal

with three-dimensional vectors as inputs

con vectores tridimensionales como entradas

and three-dimensional vectors as outputs.

y vectores tridimensionales como salidas.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Vocabulario

Podemos visualizar esto aplastando todos los puntos en el espacio tridimensional

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Gramática

representados por una cuadrícula de tal manera que las líneas de la cuadrícula sigan siendo paralelas y espaciadas uniformemente

and which fixes the origin in place. Vocabulario

y que fije el origen en su lugar.

And just as with two dimensions,

Y al igual que en dos dimensiones,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Vocabulario

cada punto del espacio que vemos moverse es en realidad solo un representante de un vector

who has its tip at that point

que tiene su punta en ese punto

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Discurso

y lo que realmente estamos haciendo es pensar en los vectores de entrada moviéndose a sus salidas correspondientes.

And just as with two dimensions,

Y al igual que con las dos dimensiones,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Frases

una de estas transformaciones se describe completamente por hacia dónde van los vectores base.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Pero ahora, hay tres vectores base estándar que usamos habitualmente.

The unit vector in the x direction, i-hat,

El vector unitario en la dirección x, i-hat,

the unit vector in the y direction, j-hat,

el vector unitario en la dirección y, j-hat,

and a new guy, Vocabulario

y un tipo nuevo,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

el vector unitario en la dirección z, llamado k-hat.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

De hecho, creo que es más fácil pensar en estas transformaciones siguiendo solo esos vectores base

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

ya que la cuadrícula 3D completa que representa a todos los puntos puede volverse un poco confusa.

By leaving a copy of the original axes in the background, Gramática

Dejando una copia de los ejes originales en el fondo,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Vocabulario

podemos pensar en las coordenadas de donde aterriza cada uno de estos tres vectores base.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Registra las coordenadas de estos tres vectores como las columnas de una matriz de 3x3.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Esto nos da una matriz que describe completamente la transformación usando solo nueve números.

As a simple example,

Como un ejemplo simple,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

considera la transformación que rota el espacio 90 grados alrededor del eje y.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Vocabulario

Eso significaría que lleva i-hat a las coordenadas 0 0 -1 en el eje z.

It doesn't move j-hat,

No mueve a j-hat,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

por lo que se queda en las coordenadas 0 1 0,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

y luego k-hat se mueve hacia el eje x en 1 0 0.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Esas tres series de coordenadas se convierten en las columnas de una matriz que describe esa transformación de rotación.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

Para ver dónde aterriza un vector con coordenadas x y z,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Frases

el razonamiento es casi idéntico al de las dos dimensiones.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Notas

Cada una de esas coordenadas puede considerarse como instrucciones para saber cómo escalar cada vector base

so that they add together to get your vector.

para que se sumen y obtener tu vector.

And the important part, just like the 2D case, Discurso

Y la parte importante, al igual que en el caso 2D,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Gramática

es que este proceso de escalar y sumar funciona tanto antes como después de la transformación.

So to see where your vector lands,

Por lo tanto, para ver dónde aterriza tu vector,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Frases

multiplicas esas coordenadas por las columnas correspondientes de la matriz

and then you add together the three results.

y luego sumas los tres resultados.

Multiplying two matrices is also similar.

Multiplicar dos matrices también es similar.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Gramática

Siempre que veas dos matrices de 3x3 multiplicándose,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Vocabulario

debes imaginar primero aplicar la transformación codificada por la de la derecha,

then applying the transformation encoded by the left one.

y luego aplicar la transformación codificada por la de la izquierda.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Discurso

Resulta que la multiplicación de matrices en 3D es bastante importante en campos como los gráficos por computadora y la robótica,

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

ya que cosas como rotaciones en tres dimensiones pueden ser bastante difíciles de describir,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Phrasal verbs

pero son más fáciles de entender si puedes dividirlas

as the composition of separate, easier to think about rotations. Vocabulario

como una composición de rotaciones separadas y más fáciles de entender.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Realizar numéricamente esta multiplicación de matrices es, una vez más,

pretty similar to the two-dimensional case.

muy similar al caso bidimensional.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Gramática

De hecho, una buena forma de probar tu comprensión del último video

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Phrasal verbs

sería intentar deducir cómo debería ser específicamente esta multiplicación de matrices,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

pensando detenidamente en cómo se relaciona con la idea de aplicar dos transformaciones sucesivas en el espacio.

In the next video,

En el próximo video,

I'll start getting into the determinant. Phrasal verbs

empezaré a hablar de los determinantes.