Entendiendo los números irracionales - Ganesh Pai: apuntes para aprender inglés
TED-Ed
Resumen del video: El video relata cómo el descubrimiento de los números irracionales por Hipaso cuestionó la creencia pitagórica de que todo número era una razón, demuestra por contradicción que √2 es irracional y explica por qué estos valores pueden representarse exactamente mediante la geometría. Principales puntos de inglés: 1. dictum of all is number — Cultura, medios y contexto del mundo real: Comprende esta máxima pitagórica como la doctrina según la cual los números y sus razones estructuran la realidad. Este trasfondo permite entender por qué un número imposible de expresar como razón de enteros provocaba una crisis matemática y filosófica. 2. must have been even, and Q must have been even as well, — Gramática y patrones oracionales: Reconoce must have been como una conclusión lógica sobre un estado anterior, no como una obligación. Podrás emplear este patrón al reconstruir lo que necesariamente se deduce de pruebas previas en demostraciones, informes o explicaciones. 3. The key here is that — Discurso, narración y retórica: Usa este marcador para pasar de los ejemplos a la idea conceptual central. Aquí destaca que los decimales y las razones son formas de expresar números, no los números mismos, y ayuda a señalar con claridad la conclusión principal de un argumento.
En esta lección
Like many heroes of Greek myths, the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods. Notas
0:06Al igual que muchos héroes de los mitos griegos, se rumoreaba que el filósofo Hípaso había sido castigado mortalmente por los dioses.
Like many heroes of Greek myths: una comparación que crea un marco mitológico
Aquí, Like es una preposición que significa «como» o «de manera similar a»; no es el verbo «gustar». La estructura Like many + sustantivo plural presenta primero un grupo o patrón conocido y luego centra la atención en una persona o cosa. Greek myths se refiere a la antigua tradición griega de relatos sobre dioses y héroes, no a registros históricos comunes. Al comparar a Hípaso con héroes castigados por los dioses, el narrador da a una historia de matemáticas un marco dramático y mitológico, sin afirmar que Hípaso fuera literalmente un héroe de un mito.
Práctica
¿Qué función cumple Like many heroes of Greek myths en esta oración?
- Afirma que Hípaso es literalmente un héroe de un mito griego.
- Dice que a Hípaso le gustan muchos héroes de la mitología griega.
- Compara a Hípaso con héroes míticos y da a su historia un marco dramático.
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Compara a Hípaso con héroes míticos y da a su historia un marco dramático.
was rumored to have been mortally punished: un hecho pasivo anterior
La estructura sujeto + was rumored to... presenta una afirmación que circulaba en el pasado sin darla por confirmada. Así, el narrador mantiene cierta distancia respecto a lo que se afirma. En to have been mortally punished, to have been + participio pasado es un infinitivo perfecto pasivo. El castigo se sitúa antes del rumor pasado y el sujeto recibe la acción. Mortally indica que el castigo fue mortal o causó la muerte.
Práctica
Usa was rumored y la forma pasiva perfecta de destroy para completar la oración: The missing painting ____ in the flood.
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was rumored to have been destroyed
But what was his crime?: una pregunta que crea suspense
But what was his crime? es una pregunta que el narrador plantea y luego responde, no una petición para que el público aporte información. Conecta el castigo anterior con su causa aún desconocida y abre un vacío de información. Al principio, But marca el paso de lo que ocurrió a por qué ocurrió. Este tipo de pregunta organiza el relato y hace que el público espere la siguiente revelación, que puede ser sorprendente.
Práctica
¿Cuál es la principal función narrativa de “But what was his crime?”
- Abrir un vacío de información y dar paso a la respuesta sorprendente del narrador.
- Mostrar que el narrador ya no sabe qué ocurrió.
- Pedir al público que resuelva un caso legal antes de que continúe el video.
Ver respuesta
Abrir un vacío de información y dar paso a la respuesta sorprendente del narrador.
Hippasus's transgression was a mathematical proof: revelar un «delito» inesperado
La proposición coloca transgression, una palabra formal y muy negativa para una infracción grave, a un lado de was, y a mathematical proof, un acto intelectual neutro, al otro. Ese contraste ofrece la respuesta sorprendente a la pregunta anterior: el acto tratado como su falta fue producir un resultado matemático. Aquí, mathematical proof significa una demostración lógica de que una afirmación matemática es verdadera, no una prueba corriente como la de una investigación. Llamarlo transgression presenta el descubrimiento de forma dramática porque desafiaba creencias aceptadas; no afirma que las demostraciones matemáticas sean normalmente delitos.
Práctica
¿Por qué suena dramático “Hippasus's transgression was a mathematical proof”?
- Combina una palabra muy negativa para una falta con un acto matemático neutro.
- Afirma que toda demostración matemática es ilegal.
- Usa proof con el sentido de una prueba física hallada en la escena de un delito.
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Combina una palabra muy negativa para una falta con un acto matemático neutro.
irrational numbers: números que no son razones de enteros
En matemáticas, un irrational number es un número que no puede escribirse como una razón a/b, donde a y b son enteros y b no es cero. √2 y π son ejemplos. En esta frase, irrational numbers nombra el tipo de números que se descubrieron. Irrational es aquí un término matemático; no significa que los números piensen o actúen sin razón.
Práctica
En matemáticas, ¿qué es un irrational number?
- Un número que no puede escribirse como una razón de dos enteros.
- Un número que actúa sin razón.
- Un número que siempre puede escribirse como una razón de dos enteros.
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Un número que no puede escribirse como una razón de dos enteros.
Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians Frases
0:25Hípaso pertenecía a un grupo llamado los matemáticos pitagóricos,
belonged to a group called ...: pertenencia y nombre del grupo
El patrón A belonged to a group called B significa que A era miembro de un grupo llamado B. Belonged to expresa la pertenencia en el pasado; called B es una oración de relativo abreviada que equivale a that was called B e identifica el nombre del grupo. En la frase, Hippasus era miembro de los Pythagorean mathematicians. Aquí called significa «llamado», no «contactado por teléfono». El mismo patrón puede presentar una escuela de pensamiento, una organización, un club o un equipo.
Práctica
Usa belong to en pasado y called para completar la oración: Nina ____ a group ____ the River Guardians.
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belonged to · called
who had a religious reverence for numbers. Vocabulario
0:31quienes tenían una reverencia religiosa por los números.
religious reverence for numbers: veneración casi religiosa por los números
Reverence for something expresa un respeto profundo y solemne por algo, a menudo acompañado de asombro o de una sensación de sacralidad. Es más intenso que respect. La estructura habitual es reverence for + sustantivo. Aquí, religious describe el tipo y la intensidad de la veneración. Su actitud hacia los números era casi una devoción religiosa; no significa que los números fueran simplemente un tema de estudio religioso.
Práctica
¿En qué situación resulta más apropiada la palabra reverence?
- La gente trata un antiguo lugar sagrado con un respeto profundo y solemne.
- A un comprador le gusta un aperitivo nuevo.
- Un empleado consulta un horario normal.
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La gente trata un antiguo lugar sagrado con un respeto profundo y solemne.
dictum of “all is number”: la máxima «todo es número»
Dictum es una palabra formal para una afirmación o un principio breve presentado con autoridad. Aquí, all is number constituye el contenido del dictum: el lema suele escribirse “All is number.” La frase resume una visión filosófica asociada con los pitagóricos: se consideraba que el número y las relaciones numéricas eran fundamentales para el orden de la realidad. Debe entenderse como una máxima filosófica concisa, no como una ecuación moderna ni como una orden de numerar cada objeto.
Práctica
¿Qué expresa en este contexto el dictum “All is number”?
- Una afirmación filosófica de que el número y las relaciones numéricas sustentan la realidad.
- Una ecuación moderna utilizada en aritmética.
- Una orden de asignar un número a cada objeto.
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Una afirmación filosófica de que el número y las relaciones numéricas sustentan la realidad.
suggested that numbers were the building blocks of the universe. Modismos
0:35sugería que los números eran los componentes básicos del universo.
building blocks of the universe: una metáfora para los elementos básicos del universo
Building blocks se refiere literalmente a las piezas básicas que se usan para construir algo más grande. Aquí, la expresión es una metáfora: los números se presentan como los elementos básicos a partir de los cuales se forman el universo y su orden. En la estructura the building blocks of + sustantivo, el sustantivo nombra el sistema más grande. Aquí, blocks no significa «obstáculos», y la oración no habla de bloques de juguete reales.
Práctica
En esta oración, ¿qué significa building blocks of the universe?
- Los elementos básicos que forman el universo.
- Bloques de juguete colocados en algún lugar del espacio.
- Obstáculos que impiden que el universo funcione.
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Los elementos básicos que forman el universo.
everything from X to Y: cómo señalar una gama amplia
Everything from X to Y usa dos extremos contrastantes para mostrar una gama amplia. Incluye los extremos mencionados y sugiere muchas otras cosas a lo largo de esa gama. Aquí, cosmology and metaphysics se sitúan en un extremo, y music and morals, en el otro. El gran cambio de área temática recalca lo ampliamente que se pretendía aplicar la creencia; from ... to ... marca un rango conceptual, no movimiento.
Práctica
Completa la oración con la estructura que expresa un rango: The library has everything ____ picture books ____ science magazines.
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from · to
followed eternal rules describable as ratios of numbers. Frases
0:44seguía reglas eternas descriptibles como proporciones de números.
describable as ratios of numbers: expresable como proporciones numéricas
Describable as significa «que puede describirse o representarse como». Aquí, describable as ratios of numbers aparece después de rules y lo modifica: las reglas pueden expresarse en forma de proporciones numéricas. As introduce la forma de la descripción; no establece una comparación común de semejanza. La estructura compacta rules describable as ... puede desarrollarse como rules that are describable as .... El sufijo -able aporta a describable la idea de posibilidad, de modo que la frase indica que esta representación matemática es posible.
Práctica
¿Qué oración indica que una descripción es posible sin afirmar que alguien ya la ha utilizado?
- The report describes the pattern as a repeating wave.
- The pattern is describable as a repeating wave.
- The pattern is described as a repeating wave in the report.
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The pattern is describable as a repeating wave.
Thus, any number could be written as such a ratio. Notas
0:49Así, cualquier número podía escribirse como tal proporción.
Thus como marcador de conclusión
Thus es un conector de conclusión que significa «por lo tanto» o «como resultado». Al principio de esta oración, indica al lector que la afirmación de que cualquier número podía escribirse como una proporción de ese tipo se deriva del razonamiento anterior, en vez de iniciar un tema nuevo. Cuando veas Thus, conecta la información como base → conclusión. Así podrás seguir la lógica de las explicaciones y los argumentos.
Práctica
¿Qué conector introduce mejor la segunda oración como una conclusión? Every side of the square has the same length. _____, measuring one side is enough.
- For example
- However
- Thus
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Thus
could be written as such a ratio: representar un número de otra forma
En matemáticas, write A as B significa «representar A en la forma B», no simplemente poner palabras por escrito. El patrón pasivo A could be written as B centra la atención en A y en la forma que puede adoptar. Aquí, such a ratio remite al tipo de razón ya mencionado. Por tanto, la cláusula dice que cualquier número puede representarse con esa forma de razón descrita antes.
Práctica
Completa la oración con la forma pasiva de write A as B: The decimal 0.5 can be ____ the fraction 1/2.
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written as
5 over 1: leer en voz alta la fracción 5/1
En el inglés oral de las matemáticas, A over B nombra la fracción o el cociente A/B. El número anterior a over es el numerador y el posterior es el denominador. Por tanto, five over one significa 5/1, que es igual a 5. Aquí, over funciona como la lectura oral de la barra de fracción. No tiene el sentido espacial de «encima de».
Práctica
Escucha la oración en inglés y elige la que oyes. Presta atención al orden de five y one y a la diferencia entre over y to.
- The ratio is five to one.
- The fraction is one over five.
- The fraction is five over one.
Ver respuesta
The fraction is five over one.
Even an infinitely extending decimal like this Vocabulario
0:59Incluso un decimal que se extiende infinitamente como este
an infinitely extending decimal: un decimal que se extiende infinitamente
An infinitely extending decimal se refiere a un decimal cuyos dígitos continúan sin que haya un último dígito. Infinitely modifica a extending, y el grupo completo infinitely extending describe a decimal. Aquí, extending no significa que algo aumente físicamente de tamaño. Describe la continuación de las posiciones decimales. La frase por sí sola no indica si los dígitos se repiten.
Práctica
¿Qué significa an infinitely extending decimal en este contexto?
- Un decimal cuyos dígitos continúan sin terminar.
- Un decimal que termina después de unas pocas cifras decimales.
- Un decimal cuyos dígitos escritos aumentan físicamente de tamaño.
Ver respuesta
Un decimal cuyos dígitos continúan sin terminar.
could be expressed exactly as 34 over 45. Frases
1:03podía expresarse exactamente como 34 sobre 45.
could be expressed exactly as 34 over 45: podría expresarse exactamente como 34/45
Could be expressed as se construye con el patrón pasivo verbo modal + be + participio pasado. Indica que el mismo valor puede escribirse de otra forma. Aquí, 34 over 45 nombra la fracción 34/45. Exactly es esencial: indica que el decimal y la fracción tienen valores idénticos, no solo valores cercanos después de redondear o estimar.
Práctica
¿Qué oración indica que el decimal y la fracción tienen exactamente el mismo valor?
- The decimal could be expressed exactly as two thirds.
- The decimal could be expressed approximately as two thirds.
- The decimal is greater than two thirds.
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The decimal could be expressed exactly as two thirds.
All of these are what we now call rational numbers. Frases
1:06Todos estos son lo que ahora llamamos números racionales.
what we now call rational numbers: introducir un nombre moderno
En esta oración, what we now call rational numbers significa «las cosas que ahora llamamos números racionales». Aquí, what introduce una cláusula nominal; no formula una pregunta. Toda la cláusula aparece después de are e identifica qué son all of these. El patrón what + sujeto + call + nombre conecta algo con la etiqueta que recibe en la actualidad. now destaca que se trata del nombre usado hoy, por lo que el patrón resulta especialmente útil en explicaciones históricas.
Práctica
Usa el patrón de cuatro palabras de la lección para introducir el nombre actual: The old document describes a tool similar to ____ a compass.
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what we now call
But Hippasus found one number that violated this harmonious rule, Modismos
1:10Pero Hípaso encontró un número que violaba esta regla armoniosa,
violated this harmonious rule: infringir una regla armoniosa
Aquí, violate a rule significa no ajustarse a una regla, no necesariamente infringir una ley. Las propiedades del número eran incompatibles con el patrón matemático. Un número no puede desobedecer de forma intencional. Al convertirlo en el sujeto de violated, el narrador lo personifica, mientras que harmonious presenta el sistema anterior como ordenado y bello. Juntas, estas palabras hacen que la excepción suene como un intruso que altera el orden.
Práctica
¿Qué significa violated this harmonious rule en la oración?
- El número no se ajustaba a la regla matemática.
- El número hizo que la regla fuera más precisa.
- El número cometió un delito según la ley.
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El número no se ajustaba a la regla matemática.
one that was not supposed to exist: una forma dramática de mostrar un conflicto con lo esperado
Aquí, one sustituye a un número mencionado anteriormente. La oración de relativo that was not supposed to exist identifica a qué número se refiere el hablante. Was not supposed to exist significa que las ideas matemáticas aceptadas daban motivos para pensar que tal número no podía existir. Es una formulación dramática, no una regla ni una prohibición oficial. Así, un conflicto abstracto entre las pruebas y la teoría se convierte en una sorpresa con forma de relato.
Práctica
Lee esta oración: Researchers found a particle that was not supposed to exist. ¿Qué significa más probablemente was not supposed to exist?
- Los investigadores todavía no le habían dado un nombre a la partícula.
- Una autoridad había prohibido oficialmente la existencia de la partícula.
- La teoría aceptada predecía que tal partícula no podía existir.
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La teoría aceptada predecía que tal partícula no podía existir.
According to Pythagoras' theorem: indicar la base de una conclusión
According to + sintagma nominal significa usar esa fuente o regla como base de lo que sigue. Aquí, Pythagoras' theorem es la regla matemática que fundamenta el siguiente paso de la explicación. Al inicio de una oración, esta expresión establece el marco para la información posterior y normalmente va seguida de una coma. Aquí, According to significa según o basándose en; no significa obedecer el teorema.
Práctica
Completa la expresión que indica la fuente: According ____ the safety guide, this door must remain closed.
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to
the diagonal length would be square root of 2. Cultura
1:26la longitud de la diagonal sería la raíz cuadrada de 2.
square root of 2: cómo leer √2 en inglés
En matemáticas, square root of 2 se refiere al número positivo que, multiplicado por sí mismo, da 2. Se escribe √2. Aquí, root forma parte del término matemático square root; no significa la raíz de una planta. La frase indica qué valor tiene la longitud de la diagonal.
Práctica
¿Qué expresión matemática corresponde a square root of 2?
- 2 ÷ 2
- √2
- 2²
Ver respuesta
√2
But try as he might: una estructura concesiva de esfuerzo sin éxito
Try as he might es una estructura concesiva invertida que significa aunque lo intentó con todas sus fuerzas. Presenta su esfuerzo como real, pero incapaz de cambiar el resultado que viene después. El patrón es verbo en forma base + as + sujeto + might: Try as he might. Aquí, might forma parte de toda la estructura concesiva; no significa simplemente que quizá lo intente. El But inicial refuerza el contraste y la coma indica que el resultado viene a continuación.
Práctica
Completa la oración con el patrón que significa aunque lo intenté con todas mis fuerzas: ____, I couldn't open the jar.
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Try as I might
Hippasus could not express this as a ratio of two integers. Frases
1:31Hípaso no pudo expresar esto como una proporción de dos enteros.
express this as a ratio of two integers: expresar un valor como razón de dos enteros
Express A as B significa «mostrar o escribir A en la forma B». Aquí, this se refiere a √2, y a ratio of two integers es una fracción p/q formada por números enteros, con q distinto de cero. En este uso matemático, express se refiere a representar un valor de una forma concreta, no a comunicar un sentimiento o una opinión.
Práctica
Completa la oración con la estructura express A as B: We can ____ 0.75 ____ a ratio of two integers.
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express · as
instead of giving up: usar instead of + -ing para una alternativa
Instead of giving up indica que rendirse es la opción que no se tomó; la oración principal dice después qué ocurrió o qué se hizo en su lugar. Cuando un verbo va después de instead of, se usa la forma en -ing: instead of giving up, no instead of give up. El mismo patrón puede comparar otras acciones, como instead of waiting o instead of arguing.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta de give: Instead of ____ up, Maya tried a different method.
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giving
decided to prove ... couldn't be done: decidir demostrar que algo no se podía hacer
Después de decide, se usa to + verbo en forma base para nombrar la acción elegida. Decided to prove indica que él eligió intentar demostrar que algo era cierto. Aquí, to prove completa el sentido de decided; no es una frase de finalidad independiente. La cláusula it couldn't be done expresa lo que quería demostrar. Couldn't be done está en voz pasiva: el foco está en que la tarea era imposible, no en que una persona concreta no tuviera la capacidad de hacerla.
Práctica
¿Qué oración expresa correctamente que una persona decidió demostrar que una tarea era imposible?
- Ravi decided to prove he couldn't do the task.
- Ravi decided to prove the task couldn't be done.
- Ravi decided proving the task couldn't be done.
Ver respuesta
Ravi decided to prove the task couldn't be done.
Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true, Frases
1:38Hípaso comenzó asumiendo que la visión del mundo pitagórica era cierta,
began by assuming that: presentar una suposición como primer paso
La estructura begin by + verbo en -ing nombra la primera acción o el método con el que se inicia un proceso. Aquí, el primer paso de Hípaso fue suponer que la idea que seguía era verdadera. By marca el método o el paso, no un lugar. Como by es una preposición, el verbo siguiente lleva la forma -ing: assuming. That introduce la idea completa que se supone.
Práctica
Usa el pasado de begin by + -ing para indicar el primer paso: To start the proof with an assumption, the team ____ that every measurement was accurate.
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began by assuming
that √2 could be expressed as a ratio of two integers.
1:43que √2 podía expresarse como una proporción de dos enteros.
He labeled these hypothetical integers P and Q. Vocabulario
1:48Etiquetó a estos enteros hipotéticos P y Q.
hypothetical integers: enteros supuestos para razonar
En esta oración, hypothetical integers son enteros cuya existencia se supone temporalmente para desarrollar un argumento. Hypothetical describe su función dentro del razonamiento; no afirma que su existencia ya haya sido demostrada. Este uso aparece cuando un argumento parte de un caso imaginado o supuesto y luego examina lo que se deduce de él.
Práctica
En un argumento matemático, ¿qué son hypothetical integers?
- Cualquier entero, sin especificar valores concretos
- Enteros supuestos temporalmente con el fin de razonar
- Enteros cuya existencia ya ha sido demostrada
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Enteros supuestos temporalmente con el fin de razonar
Assuming the ratio was reduced to its simplest form, Frases
1:52Asumiendo que la proporción se reducía a su forma más simple,
reduced to its simplest form: reducido a su forma más simple
Reduced to its simplest form significa simplificado hasta donde sea posible. En una razón de números enteros, los dos términos ya no comparten ningún factor común mayor que 1. Aquí, reduced describe un cambio de forma, no una disminución del valor de la razón. La estructura pasiva was reduced indica que la simplificación ya se realizó.
Práctica
Completa la oración con la expresión objetivo que significa «completamente simplificado»: Before comparing the fractions, make sure each one has been ____.
Ver respuesta
reduced to its simplest form
any common factors: divisores compartidos en matemáticas
En matemáticas, los common factors (factores comunes) son números enteros positivos que dividen sin resto a cada uno de dos o más números. Aquí common significa “compartido”, no “corriente”. Por ejemplo, 2 divide a 6 y a 8, así que 2 es un factor común de ambos. En un argumento con una fracción reducida, could not have any common factors significa que P y Q no comparten ningún factor mayor que 1. Estrictamente, 1 es factor de todo entero positivo, por lo que esta formulación lo deja fuera por convención; not ... any expresa “ninguno”.
Práctica
¿Qué oración usa correctamente common factor?
- 36 is a common factor of 12 and 18.
- 6 is a common factor of 12 and 18.
- 12 is a common factor of 6 and 18.
Ver respuesta
6 is a common factor of 12 and 18.
To prove that ...: expresar el propósito antes de la oración principal
La frase de infinitivo inicial To prove that √2 was not rational indica la finalidad de la acción que viene después. La oración subordinada con that nombra la afirmación que se quiere demostrar: √2 was not rational. Esta frase inicial presenta el objetivo, pero no forma una oración completa por sí sola. Después de la coma debe aparecer una oración principal que diga quién actuó y qué hizo para alcanzar ese objetivo.
Práctica
Completa la oración. Usa To prove that seguido de the design was safe: ____, the engineers tested a scale model.
Ver respuesta
To prove that the design was safe
Hippasus just had to prove that P over Q cannot exist.
2:02Hípaso solo tenía que demostrar que P sobre Q no puede existir.
So he multiplied both sides of the equation by Q Frases
2:07Así que multiplicó ambos lados de la ecuación por Q
multiplied both sides of the equation by Q: multiplicar ambos lados de la ecuación por Q
En el patrón multiply A by B, A es lo que se multiplica y B es el factor. Aquí A es both sides of the equation y B es Q, por lo que las expresiones de la izquierda y de la derecha se multiplican por Q. both sides of the equation se refiere a las expresiones situadas a la izquierda y a la derecha del signo igual, no a los lados físicos de un objeto. Aplicar la misma multiplicación a ambos miembros mantiene equilibrada la ecuación.
Práctica
¿Qué instrucción significa multiplicar por 5 tanto el miembro izquierdo como el derecho de la ecuación?
- Divide both sides of the equation by 5.
- Multiply both sides of the equation by 5.
- Add 5 to both sides of the equation.
Ver respuesta
Multiply both sides of the equation by 5.
squared both sides: elevar ambos lados al cuadrado
En squared both sides, square es un verbo que significa elevar a la segunda potencia. Cada expresión completa, tanto la de la izquierda como la de la derecha, se multiplica por sí misma. Aquí, both sides se refiere a las dos expresiones separadas por el signo igual. Squaring no significa dibujar un cuadrado ni simplemente multiplicar cada miembro por 2.
Práctica
¿Qué instrucción indica que hay que elevar cada miembro completo de una ecuación a la segunda potencia?
- Take the square root of both sides of the equation.
- Square both sides of the equation.
- Multiply both sides of the equation by 2.
Ver respuesta
Square both sides of the equation.
Multiplying any number by 2 results in an even number, Frases
2:14Multiplicar cualquier número por 2 da como resultado un número par,
results in an even number: expresar un resultado
Result in significa «causar o producir un resultado concreto». Aquí, multiplicar por 2 se presenta como el proceso, y un número par es el resultado. Aquí result es un verbo, no un sustantivo. Toda la frase en -ing Multiplying any number by 2 funciona como un solo sujeto, por eso el verbo lleva la forma singular results.
Práctica
Completa la oración con la forma correcta de result y una preposición: Ignoring a small leak can ____ serious damage.
Ver respuesta
result in
had to be even: necesidad lógica
Had to be puede expresar una conclusión que las pruebas o la lógica hacen necesaria. En esta oración, el razonamiento anterior no deja otra posibilidad: P al cuadrado era necesariamente par. No describe una orden ni una regla impuesta al número. Se usa la forma pasada had porque la demostración se narra en pasado, mientras que so indica que esta afirmación es la conclusión.
Práctica
¿Qué significa had to be even en este argumento matemático?
- Una regla exigía que el número fuera par.
- La lógica mostraba que era imposible que fuera impar.
- Alguien prefería que el número fuera par.
Ver respuesta
La lógica mostraba que era imposible que fuera impar.
That couldn't be true if...: descartar una conclusión mediante una condición
That se refiere a la conclusión anterior de que el cuadrado de P sería par. Couldn't be true indica que esa conclusión sería lógicamente imposible; no describe la capacidad de una persona. La oración con if aporta la condición que descarta la conclusión. El patrón X couldn't be true if Y sirve para poner a prueba una suposición: si Y se cumple, X no puede cumplirse al mismo tiempo.
Práctica
En esta oración, ¿qué significa couldn't be true?
- Alguien no tenía la capacidad de decidir si P era impar.
- Si P fuera impar, la conclusión anterior sería lógicamente imposible.
- A P se le permitía elegir un valor impar.
Ver respuesta
Si P fuera impar, la conclusión anterior sería lógicamente imposible.
because an odd number times itself is always odd.
2:24porque un número impar multiplicado por sí mismo siempre es impar.
where A is an integer: añadir una condición a una variable
En la escritura matemática, where A is an integer añade una condición sobre la variable A de la expresión anterior. Aquí significa que A es un número entero. En este uso, where no se refiere a un lugar. Permite definir un símbolo o indicar qué valores puede tomar una variable después de presentar una fórmula.
Práctica
Completa la oración matemática con una oración de where que indique que n es un número entero: Let x = 2n, ____.
Ver respuesta
where n is an integer
Substituting this into the equation and simplifying Frases
2:35Sustituyendo esto en la ecuación y simplificando,
Substituting ... into the equation and simplifying: sustituir en la ecuación y simplificar
Substitute A into B significa sustituir A en B: se coloca A en el lugar de la variable o expresión correspondiente de B. Aquí, this se refiere a P = 2 * A, obtenido en el paso anterior, y the equation es la ecuación en la que se introduce esa expresión. Las formas coordinadas en -ing, Substituting ... and simplifying, presentan dos pasos de cálculo: primero se hace la sustitución y después se simplifica la expresión resultante. Esta clase de frase de procedimiento suele ir seguida de una oración principal que indica el resultado.
Práctica
¿Qué oración describe de forma natural el uso de x = 3 en 4x = y y la posterior simplificación del resultado?
- For 4x = y, simplifying x = 3 into the equation gives y = 12.
- For 4x = y, substituting the equation into x = 3 and simplifying gives y = 12.
- For 4x = y, substituting x = 3 into the equation and simplifying gives y = 12.
Ver respuesta
For 4x = y, substituting x = 3 into the equation and simplifying gives y = 12.
must have been even ... as well: inferencia firme sobre un estado anterior
Must have been + un adjetivo o sustantivo se usa para expresar una conclusión lógica firme sobre un estado pasado o ya establecido. Aquí, el razonamiento concluye primero que Q al cuadrado era par y después que el propio Q también era par. Must expresa necesidad lógica, no obligación. As well significa «también» y añade Q a la misma conclusión. La repetición de must have been hace explícitos los dos pasos del razonamiento.
Práctica
Escucha la oración en inglés y elige lo que oyes. Presta atención a la diferencia entre must have been, must be y might have been.
- The gate must be open.
- The gate must have been open.
- The gate might have been open.
Ver respuesta
The gate must have been open.
making both P and Q even: una construcción en -ing que expresa un resultado
Making both P and Q even es una construcción en -ing que expresa el resultado del paso anterior del razonamiento. Significa que el hecho anterior hace que P y Q sean pares. La estructura es make + objeto + adjetivo: el objeto es both P and Q y el adjetivo es even. Aquí make significa «hacer que algo pase a ser o esté en cierto estado», no «crear», y both ... and ... incluye tanto a P como a Q.
Práctica
Completa la construcción de resultado con la forma correcta de make: The teacher added a diagram, ____ the idea easier to understand.
Ver respuesta
making
But if that was true, then...: cómo marcar una condición lógica y su resultado
El esquema if ..., then ... separa una condición de la conclusión que se deriva de ella. Aquí, that remite a la conclusión anterior de que P y Q son pares; si es cierta, ambos deben compartir el factor 2. But indica que esta nueva conclusión crea un problema para la suposición anterior. Then suele poder omitirse en los condicionales cotidianos, pero resulta útil en demostraciones y explicaciones porque hace explícito el siguiente paso lógico.
Práctica
Completa el razonamiento condicional con if ... then ...: ____ the battery is dead, ____ the device will not turn on.
Ver respuesta
If · then
which contradicted the initial statement: resumir un resultado incompatible
La cláusula que empieza por which remite al resultado o hecho mencionado justo antes, no a initial statement. Añade que ese resultado anterior era incompatible con la afirmación de partida. En un razonamiento formal, contradict a statement significa que las dos afirmaciones no pueden ser verdaderas a la vez. Aquí, initial statement es el supuesto presentado al inicio del argumento.
Práctica
¿Qué función cumple which contradicted the initial statement en el argumento?
- Repite la afirmación inicial con otras palabras.
- Dice que el resultado anterior entraba en conflicto con la afirmación inicial.
- Dice que el resultado anterior respaldaba la afirmación inicial.
Ver respuesta
Dice que el resultado anterior entraba en conflicto con la afirmación inicial.
that's how Hippasus concluded: cerrar un proceso con su conclusión
That's how + sujeto + verbo remite a un proceso que se acaba de explicar y lo presenta como la manera en que ocurrió la acción. Aquí, that's how Hippasus concluded significa que el razonamiento anterior llevó a Hípaso a su conclusión. Al final de una explicación, And that's how... cierra la secuencia y conduce al oyente hasta el resultado, que aquí aparece en la cláusula con that después de concluded. Es una afirmación sobre el método, no una pregunta con how.
Práctica
Después de que un científico explica todo el proceso de análisis, ¿qué oración cierra el proceso de manera natural y presenta la conclusión?
- That's when the scientists first arrived at the laboratory.
- That's why the scientists scheduled the test for Monday.
- That's how the scientists concluded that the water was safe.
Ver respuesta
That's how the scientists concluded that the water was safe.
a proof by contradiction: demostrar una afirmación mediante un resultado imposible
A proof by contradiction es un método de demostración matemática. Se supone temporalmente que la afirmación que se quiere demostrar es falsa. Si esa suposición obliga a aceptar un resultado lógicamente imposible, la suposición no puede ser cierta y la afirmación original debe ser verdadera. Aquí, That's called... da un nombre formal al razonamiento que se acaba de presentar. Contradiction significa una incompatibilidad lógica, no un desacuerdo o una pelea entre personas.
Práctica
¿Qué descripción corresponde mejor a a proof by contradiction?
- Comprobar varios ejemplos y considerar el patrón como una demostración completa.
- Suponer que la afirmación es falsa y mostrar que eso conduce a un resultado imposible.
- Repetir la afirmación con otras palabras.
Ver respuesta
Suponer que la afirmación es falsa y mostrar que eso conduce a un resultado imposible.
and according to the legend: señalar una historia tradicional como fuente
According to the legend es un marcador de fuente: indica que la información siguiente procede de una historia o creencia tradicional. No presenta esa información como un hecho histórico verificado ni como algo que el hablante haya confirmado personalmente. Al principio de una oración, la expresión orienta cómo debe valorar el oyente todo lo que sigue. El and inicial conecta este comentario atribuido a la leyenda con la oración anterior.
Práctica
Juzga la afirmación: La expresión 'and according to the legend' significa que la información siguiente ha sido verificada como un hecho histórico.
- Verdadero
- Falso
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Falso
the gods did not appreciate being contradicted. Modismos
3:08a los dioses no les gustaba que los contradijeran.
did not appreciate being contradicted: desaprobación expresada con contención
Aquí, did not appreciate significa que algo no les gustó o no fue bien recibido, no simplemente que no sintieron gratitud. Es una forma indirecta pero firme de decir que ser contradichos disgustó a los dioses. En being contradicted, los dioses reciben la acción; esta forma se llama gerundio pasivo. La formulación crea un humor seco. Contradiction pasa de la idea matemática de proof by contradiction a la acción cotidiana de decirle a alguien que está equivocado, mientras que did not appreciate minimiza deliberadamente la ira de los dioses.
Práctica
Usa contradict en gerundio pasivo para completar la oración: The manager did not appreciate ____ in front of the team.
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being contradicted
even though we can't express irrational numbers as ratios of integers, Gramática
3:12aunque no podemos expresar los números irracionales como proporciones de enteros,
even though we can't express...: cómo introducir una concesión
Even though presenta un hecho verdadero y señala que la idea principal ocurre de todos modos. Esta relación se llama concesión. Aquí, el hecho que se reconoce es que los números irracionales no pueden expresarse como cocientes de enteros. Como este fragmento termina con una coma, la idea todavía no está completa; se espera una oración principal que indique lo que sigue siendo verdadero o posible. Even though tiene un significado parecido a although, no a because.
Práctica
Elige el conector que expresa concesión: ___ the backpack is heavy, Maya carries it to school every day.
- Even though
- Because
- So that
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Even though
it is possible to precisely plot some of them on the number line. Gramática
3:16es posible trazar con precisión algunos de ellos en la recta numérica.
It is possible to precisely plot...: expresar la viabilidad de forma objetiva
En It is possible to + verbo en forma base, it es un sujeto formal sin un referente propio. El contenido real está en la cláusula de infinitivo: to precisely plot some of them on the number line. La oración indica que la acción puede realizarse sin decir quién la realiza. Precisely modifica a plot, por lo que se afirma que los puntos pueden colocarse en posiciones exactas. Situar el adverbio entre to y plot es natural en inglés.
Práctica
¿Qué oración usa correctamente el patrón con it como sujeto formal para indicar que una acción puede realizarse?
- It is possible to measure the room accurately with this device.
- It can possible measure the room accurately with this device.
- It is possibility to measure the room accurately with this device.
Ver respuesta
It is possible to measure the room accurately with this device.
All we need to do is form a right triangle Notas
3:21Todo lo que necesitamos hacer es formar un triángulo rectángulo
All we need to do is form...: destacar la única acción necesaria
All we need to do is... significa “la única acción necesaria es...”. La cláusula All we need to do presenta la tarea necesaria como sujeto, y la parte que sigue a is indica la acción. Sirve para reducir un proceso a un solo paso clave. Como do ya representa la acción necesaria, en inglés estándar es habitual usar el verbo en forma base después de is: All we need to do is form..., no forms ni formed.
Práctica
Usa la forma base save para completar el patrón de acción: All we need to do is ____ the file before closing the app.
Ver respuesta
save
right triangle: un triángulo con un ángulo de 90 grados
Un right triangle es un triángulo con un ángulo de 90 grados. En este término geométrico, right significa que forma un ángulo recto, no correcto ni situado a la derecha. El término identifica el tipo de triángulo: es el que tiene una hipotenusa frente al ángulo de 90 grados.
Práctica
¿Qué significado de right triangle corresponde a la oración?
- Un triángulo con un ángulo de 90 grados.
- Un triángulo situado en el lado derecho.
- Un triángulo con tres lados iguales.
Ver respuesta
Un triángulo con un ángulo de 90 grados.
hypotenuse has a length of √2: expresar la longitud de un lado
La hypotenuse es el lado opuesto al ángulo de 90 grados en un triángulo rectángulo. En esta oración, es el lado cuya longitud es √2. La estructura has a length of + medida expresa una dimensión de forma natural: has a length of √2 significa que mide √2 unidades. Aquí has no expresa posesión.
Práctica
¿Qué oración expresa de forma natural que la hipotenusa mide cinco unidades?
- The hypotenuse is length with five units.
- The hypotenuse owns a length of five units.
- The hypotenuse has a length of five units.
Ver respuesta
The hypotenuse has a length of five units.
can be extended along the line: can + voz pasiva
En can be extended, can expresa posibilidad, mientras que be + el participio pasado extended forma la voz pasiva. Un agente no mencionado puede alargar o continuar el segmento; el segmento no realiza la acción por sí solo. along the line indica el recorrido o la dirección de la prolongación. El patrón reutilizable es can be + participio pasado cuando algo puede recibir una acción y no importa quién la realiza.
Práctica
Usa la forma pasiva de extend para completar la oración: The marked segment ____ along the ruler if more space is needed.
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can be extended
with a base of that length and a 1 unit height, Frases
3:35con una base de esa longitud y una altura de 1 unidad,
with a base of that length and a 1 unit height: with para expresar atributos
Aquí, with significa «que tiene» e introduce un sintagma nominal que añade dos atributos a una figura: una base de la longitud mencionada anteriormente y una altura de 1 unidad. that length remite a la longitud √2 establecida justo antes. El patrón reutilizable with + sintagma nominal permite añadir de forma compacta características o medidas a un objeto, en vez de emplear otra oración como that has....
Práctica
¿Qué oración usa with de forma natural para describir las dimensiones de una figura?
- Draw a rectangle with a width of four units and a height of two units.
- Draw a rectangle together a width of four units and a height of two units.
- Draw a rectangle with being four units wide and a height of two units.
Ver respuesta
Draw a rectangle with a width of four units and a height of two units.
which can be extended along the line as well.
3:40que también se puede extender a lo largo de la recta.
that decimals and ratios are only ways to express numbers. Discurso
3:45que los decimales y las fracciones son solo formas de expresar números.
The key here is that: señalar la idea principal
La estructura The key here is that + proposición indica al oyente que esa proposición contiene la idea más importante para comprender el asunto actual. En este uso, key significa “punto esencial”, no una llave física. Here significa “en el asunto que se está tratando”, no necesariamente un lugar. La estructura completa organiza la información al pasar de los detalles al punto central.
Práctica
Completa la oración con la estructura objetivo que señala el punto central: ____ both plans require the same amount of time.
Ver respuesta
The key here is that
only ways to express numbers: representación sin exclusividad
En are only ways to express numbers, only limita la función de los decimales y las razones: se presentan como métodos de representación, no como los números mismos ni como cosas que crean números. El infinitivo to express numbers modifica ways e indica la finalidad de esas formas. El patrón be only a way to + verbo permite clasificar algo como un simple medio para hacer algo.
Práctica
¿Qué interpretación corresponde a only ways en la oración?
- Son métodos de representación, sin afirmar que no existan otros métodos.
- Son los únicos métodos de representación posibles.
- Crean los números que representan.
Ver respuesta
Son métodos de representación, sin afirmar que no existan otros métodos.
simply is the hypotenuse: identificación directa de √2
En esta oración, simply significa «sin más» o «en esencia». Modifica is y presenta una identificación directa: √2 es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo descrito, no solo una aproximación a esa longitud. Colocar simply antes de is reorganiza la explicación. Se pasa de un símbolo abstracto a una cantidad geométrica concreta y se le dice al oyente: «esto es a lo que realmente se refiere el símbolo».
Práctica
¿Qué función cumple simply is en el ejemplo?
- Dice que el cálculo es fácil de realizar.
- Identifica directamente una cosa con la otra.
- Sugiere que las dos cosas solo son aproximadamente similares.
Ver respuesta
Identifica directamente una cosa con la otra.
the famous irrational number pi is always equal to exactly what it represents, Gramática
3:55el famoso número irracional pi siempre es igual a exactamente lo que representa,
equal to exactly what it represents: una cláusula con what como complemento
La cláusula what it represents significa «la cosa o el valor que representa». Es una relativa fusionada: what ya incluye la idea de «aquello que». Aquí, it se refiere a pi y toda la cláusula funciona como complemento de to en equal to. La cláusula sigue el orden de una afirmación: what + sujeto + verbo, no el orden de una pregunta. Exactly subraya que pi es idéntico al valor matemático preciso designado por el símbolo, aunque un decimal como 3.14 sea solo una aproximación.
Práctica
¿Qué oración usa correctamente una cláusula con what después de equal to?
- The total is equal to what the display shows.
- The total is equal what the display shows.
- The total is equal to what does the display show.
Ver respuesta
The total is equal to what the display shows.
the ratio of a circle's circumference to its diameter. Cultura
4:00la proporción entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
the ratio of a circle's circumference to its diameter: la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo
La expresión the ratio of A to B significa A dividido entre B. Aquí se divide la circunferencia de un círculo entre su diámetro; esta razón constante es pi (π). La circunferencia es la distancia alrededor del círculo. El diámetro es la distancia en línea recta que atraviesa el centro del círculo, no el radio.
Práctica
Completa la definición de pi: Pi is the ratio of a circle's ____ to its ____.
Ver respuesta
circumference · diameter
Approximations like 22 over 7 or 355 over 113 Vocabulario
4:04Aproximaciones como 22 sobre 7 o 355 sobre 113
Approximations like 22 over 7 or 355 over 113: aproximaciones como 22/7 o 355/113
La palabra approximations se refiere a valores cercanos a un valor objetivo, pero no exactamente iguales a él. Aquí, 22 over 7 y 355 over 113 están cerca de pi, pero ninguna de las dos fracciones es pi. Aquí, like significa such as e introduce ejemplos; no es el verbo que significa gustar. En matemáticas habladas, over marca una fracción: se dice primero el numerador y luego el denominador. 22 over 7 significa 22/7.
Práctica
¿Qué significa la frase en este contexto?
- 22/7 y 355/113 son dos valores exactos de pi.
- Fracciones como 22/7 y 355/113 están cerca de pi, pero no son exactamente pi.
- A alguien le gustan los números 22/7 y 355/113.
Ver respuesta
Fracciones como 22/7 y 355/113 están cerca de pi, pero no son exactamente pi.
will never precisely equal pi: igualdad exacta frente a aproximación
Will never presenta el resultado como seguro: ningún cálculo futuro ni el uso continuado del valor hará que sea igual a pi. Aquí puede expresar un hecho matemático permanente, no solo una predicción. Precisely modifica equal y significa “sin ninguna diferencia”. Por eso, never precisely equal permite que un valor esté sumamente cerca de pi; descarta la igualdad exacta, no la aproximación.
Práctica
¿Qué significa will never precisely equal pi?
- El valor puede estar cerca de pi, pero no es exactamente igual a pi.
- El valor debe estar muy lejos de pi.
- El valor no se puede comparar con pi de ninguna manera.
Ver respuesta
El valor puede estar cerca de pi, pero no es exactamente igual a pi.
We'll never know what really happened to Hippasus, Gramática
4:13Nunca sabremos qué le pasó realmente a Hípaso,
know what really happened: orden neutro de una pregunta indirecta
La cláusula what really happened to Hippasus es una pregunta incrustada y funciona como objeto de know. En una pregunta incrustada neutra se usa el orden de una oración enunciativa, en vez de añadir la inversión con auxiliar que aparece en muchas preguntas directas. Aquí, what es el sujeto de happened, así que la forma neutra natural es what really happened, sin did. Happen to someone significa que un suceso o una experiencia afectó a esa persona.
Práctica
¿Qué oración usa la forma neutra de pregunta incrustada después de tell me?
- Can you tell me what happened to the package?
- Can you tell me what did really happen to the package?
- Can you tell me what to the package happened?
Ver respuesta
Can you tell me what happened to the package?
is that his discovery revolutionized mathematics. Vocabulario
4:17es que su descubrimiento revolucionó las matemáticas.
what we do know is that: énfasis en una conclusión segura
What we do know significa «lo que sabemos con certeza». Aquí do es un auxiliar enfático colocado antes de know. No significa «realizar una acción»; refuerza la afirmación positiva. Toda la oración con what aparece antes de is, y la oración con that indica el contenido conocido. El patrón reutilizable What we do know is that + una oración desvía la atención de lo incierto hacia una conclusión presentada como fiable.
Práctica
Completa la oración con el auxiliar enfático que presenta la conclusión como segura: Although the cause is still unclear, what we ____ know is that the system is safe.
Ver respuesta
do
discovery revolutionized mathematics: cambio fundamental de un campo
En his discovery revolutionized mathematics, el descubrimiento causa el cambio y las matemáticas son el campo afectado. Revolutionized significa que ese campo cambió de manera fundamental y de gran alcance. Es un uso figurado, no una referencia a una revolución política. En comparación con changed, presenta el descubrimiento como un avance decisivo que modificó las ideas, los métodos o el desarrollo posterior.
Práctica
¿Qué verbo completa mejor la oración si el cambio fue fundamental y redefinió todo el campo? The new imaging technique ___ medical diagnosis.
- improved
- described
- revolutionized
Ver respuesta
revolutionized
Whatever the myths may say: concesión con whatever...may...
Whatever the myths may say es una oración concesiva que significa digan lo que digan los mitos. Reconoce que puede haber distintas afirmaciones, pero indica que la conclusión principal no dependerá de ellas. La estructura es whatever + sujeto + may + verbo en forma base. Aquí, may incluye distintas afirmaciones posibles; no expresa permiso. So conecta la concesión con el razonamiento anterior del hablante.
Práctica
¿Qué oración usa whatever...may... para indicar que una decisión no cambiará?
- Because the reviews are positive, I'll buy the book.
- I know what the reviews may say about the book.
- Whatever the reviews may say, I'll judge the book for myself.
Ver respuesta
Whatever the reviews may say, I'll judge the book for myself.
don't afraid to → don't be afraid to: hace falta be
La parte destacada está incompleta en el inglés estándar. La forma correcta es Don't be afraid to explore the impossible. En una orden negativa, don't va seguido de un verbo en forma base, por lo que debe aparecer be después de don't. Afraid es un adjetivo. El verbo copulativo be conecta el sujeto implícito you con afraid. La estructura reutilizable es Don't be afraid to + verbo en forma base y sirve para animar a alguien a actuar aunque la acción parezca difícil o dé miedo.
Práctica
Completa la expresión estándar con una palabra: Don't ____ afraid to ask for help.
Ver respuesta
be