Las matrices no cuadradas como transformaciones entre dimensiones | Capítulo 8, La esencia del álgebra lineal: apuntes para aprender inglés

Hey everyone,

Hola a todos,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Discurso

hoy tengo otra pequeña nota al pie para ustedes entre capítulos.

When I've talked about linear transformations so far,

Hasta ahora, cuando he hablado de transformaciones lineales,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

solo he hablado realmente de transformaciones de vectores 2D a otros vectores 2D

represented with 2x2 matrices

representadas con matrices de 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

o de vectores 3D a otros vectores 3D

represented with 3x3 matrices.

representadas con matrices de 3x3.

But several commenters have asked about non-square matrices, Cultura

Pero varios comentaristas han preguntado sobre las matrices no cuadradas,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Notas

así que pensé en tomarme un momento para mostrar lo que significan geométricamente.

By now in the series,

A estas alturas de la serie,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Frases

en realidad tienen la mayor parte de los conocimientos básicos para empezar a reflexionar sobre una pregunta como esta por su cuenta,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Notas

pero empezaré a explicarlo solo para darles un poco de impulso mental.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Frases

Es perfectamente razonable hablar de transformaciones entre dimensiones,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

como una que lleva vectores 2D a vectores 3D.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Gramática

Una vez más, lo que hace que una de estas sea lineal es que las líneas de la cuadrícula permanezcan paralelas y uniformemente espaciadas

and that the origin maps to the origin. Vocabulario

y que el origen se asigne al origen.

What I have pictured here is the input space on the left, Notas

Lo que tengo ilustrado aquí es el espacio de entrada a la izquierda,

which is just 2D space,

que es simplemente un espacio 2D,

and the output of the transformation shown on the right.

y la salida de la transformación que se muestra a la derecha.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Gramática

La razón por la que no muestro cómo las entradas se mueven hacia las salidas como suelo hacerlo

is not just animation laziness.

no es solo por pereza al animar.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Notas

Vale la pena enfatizar que las entradas de vectores 2D son animales muy diferentes a estas salidas de vectores 3D

living in a completely separate unconnected space.

que viven en un espacio completamente separado y desconectado.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Frases

Codificar una de estas transformaciones con una matriz es en realidad lo mismo que hemos hecho antes.

You look at where each basis vector lands Notas

Observas dónde aterriza cada vector base

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Frases

y escribes las coordenadas de los puntos de aterrizaje como las columnas de una matriz.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Por ejemplo, lo que están viendo aquí es la salida de una transformación que lleva a i-hat

to the coordinates 2 -1 -2

a las coordenadas 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

y a j-hat a las coordenadas 0 1 1.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Discurso

Noten que esto significa que la matriz que codifica nuestra transformación tiene tres filas y dos columnas,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Notas

lo que, para usar la terminología estándar, la convierte en una matriz de 3x2.

In the language of last video, Discurso

En el lenguaje del último video,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Cultura

el espacio columna de esta matriz, el lugar donde aterrizan todos los vectores,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Vocabulario

es un plano 2D que corta a través del origen del espacio 3D.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Cultura

Pero la matriz sigue siendo de rango completo ya que el número de dimensiones en este espacio columna

is the same as the number of dimensions of the input space.

es el mismo que el número de dimensiones del espacio de entrada.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Notas

Así que, si ven una matriz de 3x2 en la naturaleza,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

pueden saber que tiene la interpretación geométrica de mapear dos dimensiones a tres dimensiones.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Ya que las dos columnas indican que el espacio de entrada tiene dos vectores base

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

y las tres filas indican que los lugares de aterrizaje para cada uno de esos vectores base

is described with three separate coordinates.

se describen con tres coordenadas separadas.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

Asimismo, si ven una matriz de 2x3 con dos filas y tres columnas,

what do you think that means?

¿qué creen que significa eso?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Bueno, las tres columnas indican que están comenzando en un espacio que tiene tres vectores base,

so we're starting in three dimensions.

por lo que estamos empezando en tres dimensiones.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

Y las dos filas indican que el lugar de aterrizaje para cada uno de esos tres vectores base

is described with only two coordinates,

se describe con solo dos coordenadas,

so they must be landing in two dimensions. Gramática

por lo que deben estar aterrizando en dos dimensiones.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Cultura

Entonces, es una transformación del espacio 3D al plano 2D.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Modismos

Una transformación que debería sentirse muy incómoda si se imaginan pasando por ella.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

También se podría tener una transformación de dos dimensiones a una dimensión.

One-dimensional space is really just the number line, Cultura

El espacio unidimensional es en realidad solo la recta numérica,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Phrasal verbs

por lo que una transformación como esta toma vectores 2D y escupe números.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Vocabulario

Pensar en que las líneas de la cuadrícula permanezcan paralelas y uniformemente espaciadas es un poco desordenado debido a todo el aplastamiento que ocurre aquí.

So, in this case,

Así que, en este caso,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Gramática

la comprensión visual de lo que significa la linealidad es que si se tiene una línea de puntos uniformemente espaciados,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

permanecerían uniformemente espaciados una vez que se mapeen en la recta numérica.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

Una de estas transformaciones se codifica con una matriz de 1x2,

each of whose two columns has just a single entry. Notas

donde cada una de sus dos columnas tiene solo una única entrada.

The two columns represent where the basis vectors land,

Las dos columnas representan dónde aterrizan los vectores base,

and each one of those columns requires just one number,

y cada una de esas columnas requiere solo un número,

the number that that basis vector landed on.

el número en el que aterrizó ese vector base.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Frases

Esta es en realidad un tipo de transformación sorprendentemente significativa con estrechos vínculos con el producto escalar,

and I'll be talking about that next video.

y hablaré de eso en el próximo video.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Notas

Hasta entonces, los animo a jugar con esta idea por su cuenta,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

contemplando los significados de cosas como la multiplicación de matrices y los sistemas de ecuaciones lineales

in the context of transformations between different dimensions. Frases

en el contexto de transformaciones entre diferentes dimensiones.

Have fun.

Diviértanse.