Qu'est-ce que le paradoxe de la dichotomie de Zénon ? - Colm Kelleher : fiche pour apprendre l’anglais

TED-Ed

Difficulté d'apprentissage
682 mots 198 mots/min

Présentation de la vidéo : Le paradoxe de la dichotomie de Zénon semble rendre tout mouvement impossible, car chaque trajet comprend une infinité d’étapes de plus en plus petites. En modélisant une marche d’un mile par une série infinie, puis en la comparant à un carré découpé plusieurs fois, la vidéo montre pourquoi leur durée totale est pourtant d’une heure. Principaux points d’anglais : 1. paradoxes, arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory. — Sens et registre du vocabulaire : Comprendre la définition contextuelle d’un paradoxe au lieu d’y voir seulement une affirmation déroutante, et repérer comment une apposition explique clairement un terme technique au grand public. 2. turn the story into a math problem. — Blocs lexicalisés et collocations : Savoir employer turn X into Y pour décrire la transformation d’un récit ou d’une situation réelle en modèle formel, et voir comment cette expression signale ici le passage de l’histoire de Zénon au calcul. 3. sum to a finite answer, — Sens et registre du vocabulaire : Reconnaître sum to comme un verbe mathématique indiquant le total d’une série, puis l’utiliser pour formuler le résultat contre-intuitif selon lequel une infinité de termes positifs peut avoir une valeur finie.

Dans cette fiche

This is Zeno of Elea, Culture

0:00

Voici Zénon d'Élée,

Culture

Zeno of Elea : identifier une personne par un lieu

Zeno est le nom de la personne, et of Elea l'identifie par son lien avec Elea, une ancienne cité grecque. Dans cette phrase, le nom complet signifie « Zeno venant d'Elea » ; Elea n'est pas un nom de famille moderne. Les textes historiques utilisent souvent Name + of + Place pour situer ou distinguer une personne. Comprends of + lieu comme un repère géographique, sauf si le contexte indique une autre relation.

Exercice

Quel rôle joue of Elea dans le nom historique Zeno of Elea ?

  1. Il indique qu'Elea est le nom de famille de Zeno.
  2. Il identifie Zeno par son lieu d'origine.
  3. Il signifie que Zeno possède la cité d'Elea.
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Il identifie Zeno par son lieu d'origine.

an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, Notes

0:17

un ancien philosophe grec célèbre pour avoir inventé un certain nombre de paradoxes,

Grammaire

famous for inventing : indiquer la raison de la célébrité

Dans famous for inventing, for introduit la raison pour laquelle Zeno est connu. Inventing prend la forme en -ing après la préposition for ; l'expression signifie donc « connu parce qu'il a inventé quelque chose », et non « afin d'inventer ». Utilise le modèle réutilisable be famous for + nom ou forme en -ing : un lieu peut être célèbre pour sa cuisine, et une personne peut être célèbre pour avoir fait quelque chose.

Exercice

Complète la phrase avec le modèle famous for + -ing : The engineer is ____ a low-cost water filter.

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famous for inventing

Phrases

a number of : plusieurs ou de nombreux

Dans a number of paradoxes, a number of est une expression de quantité qui signifie « plusieurs » ou « de nombreux ». Elle précède le nom dénombrable pluriel paradoxes. Il faut comprendre a number of comme un seul bloc. Ici, number ne désigne ni un chiffre ni le nombre total.

Exercice

Complétez la phrase avec a number of : We received ____ useful suggestions.

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a number of

arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory.

0:21

des arguments qui semblent logiques mais dont la conclusion est absurde ou contradictoire.

Vocabulaire

paradoxes, arguments that... : une définition en apposition

Le groupe nominal arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory est en apposition à paradoxes. Après la virgule, il reformule et définit paradoxes ; il ne présente pas une catégorie distincte d’arguments. Ici, arguments signifie « raisonnements », et non « disputes ». Les deux descriptions mettent en évidence la tension essentielle : le raisonnement paraît logique, mais la conclusion est absurde ou contradictoire.

Exercice

Quel est le rôle du groupe nominal placé après la virgule dans cette phrase ?

  1. Il présente les arguments comme un sujet distinct sans rapport avec les paradoxes.
  2. Il affirme que tout raisonnement logique mène à une conclusion absurde.
  3. Il définit les paradoxes comme des raisonnements qui semblent logiques, mais dont la conclusion est absurde ou contradictoire.
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Il définit les paradoxes comme des raisonnements qui semblent logiques, mais dont la conclusion est absurde ou contradictoire.

For more than 2,000 years,

0:25

Depuis plus de 2 000 ans,

Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. Notes

0:27

les énigmes déroutantes de Zénon inspirent les mathématiciens et les philosophes pour mieux comprendre la nature de l'infini.

Idiomes

mind-bending riddles : des énigmes qui défient l’esprit

Mind-bending est un adjectif expressif et figuré qui signifie qu’une chose est extrêmement difficile, étrange ou surprenante à concevoir. Il ne décrit pas un cerveau qui se courbe réellement. Ici, il qualifie riddles et présente les problèmes de Zénon comme des idées qui remettent en question nos manières habituelles de penser. La structure mind-bending + nom peut décrire quelque chose qui nous pousse à revoir ce qui paraît possible ou logique.

Exercice

Que signifie mind-bending riddles ici ?

  1. des énigmes simples qui ne demandent presque aucune réflexion
  2. des énigmes qui modifient physiquement la forme du cerveau
  3. des énigmes extrêmement difficiles ou surprenantes à concevoir
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des énigmes extrêmement difficiles ou surprenantes à concevoir

Grammaire

have inspired ... to better understand : influence actuelle et structure inspire + complément + to

La structure inspire someone to do something signifie donner à une personne ou à un groupe la motivation ou de nouvelles idées pour agir. Dans cette phrase, mathematicians and philosophers sont les personnes influencées, et to better understand indique ce qu’elles ont été amenées à faire ; ce n’est pas le but de Zénon. Have inspired est au present perfect anglais. Cette forme relie l’influence passée des énigmes à l’importance qu’elle conserve jusqu’au présent. Better modifie understand et signifie « de manière plus complète » ou « plus clairement ».

Exercice

Complétez la phrase avec la forme au present perfect de inspire : These discoveries ____ young scientists to explore the ocean.

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have inspired

Phrases

the nature of infinity : nature au sens de « caractère essentiel »

La structure the nature of + nom désigne le caractère fondamental ou les qualités essentielles de quelque chose. Ici, the nature of infinity renvoie à ce qu'est fondamentalement l'infini et à son fonctionnement ; nature ne signifie pas « le monde naturel ». Cette structure est courante dans les explications et le langage universitaire lorsqu'on parle d'un concept, d'un problème ou d'un phénomène.

Exercice

Dans la phrase "The course explores the nature of memory," que signifie the nature of memory ?

  1. un souvenir du monde naturel
  2. un endroit dans la nature où se souvenir
  3. le caractère fondamental de la mémoire
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le caractère fondamental de la mémoire

One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, Grammaire

0:33

L'un des problèmes les plus connus de Zénon est appelé le paradoxe de la dichotomie,

Grammaire

One of the best known : un membre célèbre d'un groupe

One of the best known désigne un membre très connu au sein d'un groupe plus large. Dans cette phrase, of Zeno's problems indique ce groupe, et le mot problems est sous-entendu après best known. L'expression signifie « l'un des problèmes les plus célèbres de Zénon », et non « son unique problème le plus célèbre ». Cette structure sert à présenter un membre représentatif d'un groupe classé selon son importance ou sa notoriété.

Exercice

Quelle phrase emploie correctement la structure one of the best-known + nom pluriel ?

  1. One of the best-known museums in Paris is the Louvre.
  2. One of the best-known museums in Paris are the Louvre.
  3. One of the best-known museum in Paris is the Louvre.
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One of the best-known museums in Paris is the Louvre.

Grammaire

is called the dichotomy paradox : nommer un concept

Ici, is called the dichotomy paradox signifie « porte le nom the dichotomy paradox ». Is called est la forme passive de call : le sujet est le problème qui reçoit le nom, tandis que la personne qui donne ou emploie ce nom n'est pas mentionnée. La structure be called + nom sert couramment à présenter un terme et à relier un concept à son nom reconnu. Dans cet emploi, called signifie « nommé », et non « contacté par téléphone ».

Exercice

Complétez la phrase avec la structure passive de dénomination be called au présent : This visual effect ____ the wagon-wheel effect.

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is called

which means the paradox of cutting in two in ancient Greek. Fil du propos

0:37

ce qui signifie le paradoxe de la coupure en deux en grec ancien.

Fil du propos

which means ... : ajouter une explication

Ici, which renvoie au nom the dichotomy paradox. La proposition relative non restrictive which means ... ajoute le sens de ce nom : « le paradoxe de la division en deux ». Elle n'introduit pas un sujet distinct. Cette structure organise l'information ainsi : d'abord le nom, puis une brève explication. La virgule avant which indique que l'explication est une information supplémentaire rattachée au terme ou à l'idée qui précède.

Exercice

Quel est le rôle de which means ... dans la phrase de l'exemple ?

  1. Il commence un sujet sans rapport.
  2. Il explique brièvement le terme précédent.
  3. Il indique qui a inventé le terme.
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Il explique brièvement le terme précédent.

It goes something like this. Fil du propos

0:41

Ça se passe un peu comme ça.

Fil du propos

It goes something like this : introduire une version approximative

It goes something like this signifie « Voici en gros comment cela se raconte, se formule ou s'explique ». Dans cet emploi, goes décrit la manière dont un récit, une explication ou une suite se déroule ; il ne signifie pas « marche ». La phrase sert de transition : elle fait passer d'une idée générale à un exemple simplifié ou à une reformulation approximative. something like this prévient que ce qui suit donne la forme générale, pas forcément les mots d'origine ni tous les détails.

Exercice

Complétez la phrase avec l'expression de quatre mots qui introduit une version approximative : I cannot remember the exact announcement, but it ____: 'The museum will close at six.'

Voir la réponse

goes something like this

After a long day of sitting around thinking, Phrasal verbs

0:43

Après une longue journée passée à s'asseoir et à réfléchir,

Phrasal verbs

sitting around : rester assis sans beaucoup agir

Dans sitting around, around ajoute l'idée de rester au même endroit sans beaucoup d'activité ayant un but précis. L'expression signifie « rester assis sans faire grand-chose » ou « passer du temps assis », et non s'asseoir en cercle ou se déplacer autour de quelque chose. thinking est une forme en -ing qui indique ce qui se passait pendant ce temps. La personne réfléchissait bien, donc la phrase ne signifie pas qu'elle ne faisait absolument rien ; cependant, sitting around donne à la scène un ton détendu ou légèrement improductif.

Exercice

Dans la phrase After lunch, we sat around talking for an hour, que suggère sat around ?

  1. Nous sommes passés de la position debout à la position assise, puis nous sommes immédiatement partis.
  2. Nous nous sommes assis en cercle autour d'un autre objet.
  3. Nous sommes restés assis de manière détendue et relativement inactive tout en discutant.
Voir la réponse

Nous sommes restés assis de manière détendue et relativement inactive tout en discutant.

Zeno decides to walk from his house to the park.

0:46

Zénon décide de marcher de sa maison au parc.

The fresh air clears his mind and helps him think better. Idiomes

0:48

L'air frais lui vide la tête et l'aide à mieux réfléchir.

Idiomes

clears his mind : lui éclaircit les idées

Clears his mind signifie que quelque chose réduit la confusion ou les pensées qui se bousculent, ce qui lui permet de réfléchir plus calmement et plus clairement. Dans cette phrase, l'air frais provoque ce changement mental. Mind désigne ses pensées et son état mental. Rien n'est nettoyé physiquement, et l'expression ne signifie pas non plus que ses souvenirs sont effacés.

Exercice

Que signifie "A quiet walk clears Ben's mind" ?

  1. Cela aide Ben à réfléchir plus clairement.
  2. Cela fait oublier à Ben tout ce qu'il sait.
  3. Cela nettoie physiquement le cerveau de Ben.
Voir la réponse

Cela aide Ben à réfléchir plus clairement.

In order to get to the park, Grammaire

0:51

Pour arriver au parc,

he first has to get halfway to the park. Grammaire

0:53

il doit d'abord parcourir la moitié de la distance jusqu'au parc.

Grammaire

In order to + base verbale : exprimer un but

In order to introduit un but ou un objectif et est suivi d'un verbe à la base verbale. Dans cette phrase, in order to get to the park présente l'arrivée au parc comme objectif ; parvenir à mi-chemin est une étape vers cet objectif. Le groupe exprimant le but ne signifie pas que l'objectif a déjà été atteint. Il explique pourquoi l'action ou l'obligation principale est importante.

Exercice

Utilisez l'expression étudiée pour compléter la phrase : Ava wore a helmet ____ protect her head.

Voir la réponse

in order to

Grammaire

first has to get halfway : la première étape nécessaire

Cette expression marque la première étape nécessaire du raisonnement. first place cette étape avant les suivantes, has to exprime une nécessité et get halfway signifie atteindre le point situé à mi-chemin de la destination. Ici, has to ne suggère pas qu’une autre personne a donné un ordre. Le trajet lui-même rend inévitable le passage par le point à mi-chemin avant d’arriver au parc.

Exercice

Dans la phrase, qu’indique he first has to get halfway ?

  1. Une autre personne lui a ordonné de ne faire que la moitié du chemin.
  2. Atteindre la moitié du chemin est la première étape nécessaire.
  3. Il a déjà terminé tout le trajet.
Voir la réponse

Atteindre la moitié du chemin est la première étape nécessaire.

This portion of his journey takes some finite amount of time. Vocabulaire

0:55

Cette partie de son voyage prend un temps fini.

Vocabulaire

finite amount of time : une durée bornée, pas nécessairement courte

L’expression a finite amount of time désigne une durée qui a une limite : elle ne se prolonge pas éternellement. Le mot finite indique si la durée est bornée, et non si elle semble courte ou brève. Dans cette phrase, chaque partie du voyage prend un certain temps limité. Cette formulation met en évidence le contraste logique entre la durée finie d’une partie et l’idée d’un nombre infini de parties.

Exercice

Quelle affirmation explique le mieux a finite amount of time ?

  1. Elle a une limite, mais elle n’est pas nécessairement courte.
  2. Elle continue éternellement, sans aucune limite.
  3. Elle ne doit durer que quelques secondes.
Voir la réponse

Elle a une limite, mais elle n’est pas nécessairement courte.

Once he gets to the halfway point,

0:58

Une fois arrivé à la moitié,

he needs to walk half the remaining distance. Phrases

1:00

il doit marcher la moitié de la distance restante.

Phrases

half the remaining distance : la moitié de ce qui reste

Half the remaining distance signifie la moitié de la distance qu'il reste encore à parcourir à ce moment-là. Remaining fixe la quantité de référence : l'expression ne signifie donc pas la moitié de la distance totale de départ. La structure réutilisable est half the remaining + nom : on détermine d'abord ce qui reste, puis on en prend la moitié.

Exercice

Un sentier mesure 12 kilomètres. Mia en a déjà parcouru 8. Que signifie ici half the remaining distance ?

  1. 6 kilomètres, soit la moitié du parcours complet.
  2. 2 kilomètres, soit la moitié des 4 kilomètres qui restent.
  3. 4 kilomètres, soit toute la distance qui reste.
Voir la réponse

2 kilomètres, soit la moitié des 4 kilomètres qui restent.

Again, this takes a finite amount of time.

1:03

Là encore, cela prend un temps fini.

Once he gets there,

1:05

Une fois arrivé là-bas,

he still needs to walk half the distance that's left,

1:07

il doit encore marcher la moitié de la distance qui reste,

which takes another finite amount of time.

1:09

ce qui prend un autre laps de temps fini.

This happens again and again and again. Fil du propos

1:12

Cela se répète encore et encore.

Fil du propos

again and again and again : une répétition qui semble continuer

Again and again signifie déjà « à plusieurs reprises ». L'ajout d'un autre and again allonge volontairement la formulation et donne l'impression d'une répétition plus forte, presque sans fin ; il ne signifie généralement pas exactement trois fois. Dans cette phrase, la répétition regroupe de nombreuses occurrences en un seul schéma continu. Elle indique que le même processus recommence sans cesse, plutôt que de présenter trois événements distincts.

Exercice

Jugez l'affirmation concernant cette phrase : The screen froze again and again and again. L'expression indique que l'écran s'est figé exactement trois fois.

  1. Faux
  2. Vrai
Voir la réponse

Faux

You can see that we can keep going like this forever, Notes

1:15

Vous pouvez voir que nous pouvons continuer ainsi indéfiniment,

Fil du propos

You can see that pour introduire une conclusion

Dans cette phrase, You can see that introduit une conclusion que l’auditeur peut comprendre à partir de l’explication donnée jusque-là. See signifie « reconnaître ou comprendre », et pas nécessairement « regarder avec les yeux ». Cette structure organise l’explication en passant du raisonnement précédent à l’affirmation qui suit. Elle invite aussi l’auditeur à considérer qu’il peut lui-même arriver à cette conclusion.

Exercice

Complétez la phrase avec l’expression de la leçon qui guide l’auditeur vers une conclusion : From these results, ____ the new method is faster.

Voir la réponse

you can see that

Phrasal verbs

can keep going pour une activité ou un processus qui continue

Can keep going signifie « pouvoir continuer ». Sa structure est can + keep + verbe en -ing : can exprime la capacité ou la possibilité, et keep indique que l’activité ou le processus se poursuit. Dans cette phrase, going ne décrit pas le fait de marcher. Il représente la répétition du même raisonnement ; like this indique que la méthode reste la même, et forever qu’il n’y a pas de point d’arrêt.

Exercice

Complétez la phrase avec l’expression de trois mots de la leçon qui signifie « peut continuer » : The discussion is useful, so it ____ for ten more minutes.

Voir la réponse

can keep going

dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, Grammaire

1:18

divisant toute distance restante en parties de plus en plus petites,

Grammaire

whatever distance is left : toute la distance restante, quelle qu’elle soit

Dans cette phrase, whatever distance is left signifie « toute la distance qui reste, quelle qu’en soit la quantité ». Whatever introduit une relative libre ; le groupe entier désigne ce qui est divisé. Ici, whatever ne signifie pas « peu importe » au sens d’une attitude indifférente, ni « choisir au hasard ». La quantité reste ouverte, car la distance restante peut changer.

Exercice

Que signifie whatever time is left dans cette phrase : “Use whatever time is left to check your work.” ?

  1. une durée choisie au hasard et sans attention
  2. tout le temps qui reste, quelle qu’en soit la durée
  3. le temps qui a déjà été utilisé
Voir la réponse

tout le temps qui reste, quelle qu’en soit la durée

Grammaire

smaller and smaller : de plus en plus petit

Smaller and smaller suit le modèle comparatif + and + le même comparatif. Il décrit une évolution continue : chaque étape est plus petite que la précédente. Dans la phrase, les morceaux diminuent continuellement de taille. La répétition ne décrit pas deux choses séparées. Le même modèle apparaît dans faster and faster et more and more difficult.

Exercice

Employez smaller dans le modèle du comparatif répété pour compléter la phrase : As the balloon lost air, it became ____.

Voir la réponse

smaller and smaller

each of which takes some finite time to traverse. Notes

1:21

dont chacune prend un temps fini à traverser.

Grammaire

each of which : ajouter une information sur chaque élément

Each of which signifie « chacun de ces éléments ». Which renvoie à l’ensemble pluriel mentionné dans la proposition précédente — ici, smaller pieces — et each considère ses membres un par un. Après la virgule, each of which takes... introduit une proposition relative explicative qui ajoute une information sur chaque élément. Comme each est singulier, le verbe est également au singulier : takes, et non take.

Exercice

Dans la phrase “The plan has four steps, each of which is important,” à quoi renvoie each of which ?

  1. Chacune des quatre étapes
  2. Le plan dans son ensemble
  3. Uniquement la dernière étape
Voir la réponse

Chacune des quatre étapes

Vocabulaire

to traverse : parcourir entièrement un trajet ou une zone

Dans cette phrase, to traverse signifie parcourir ou traverser toute la longueur d’une portion ou d’un trajet. L’infinitif complète takes some finite time : ce temps est nécessaire pour achever le déplacement sur chaque portion. Traverse est un verbe relativement formel qui insiste sur un passage complet d’un côté ou d’une extrémité à l’autre. Il ne signifie pas simplement voyager.

Exercice

Un manuel indique : “The robot needs ten minutes to traverse the tunnel.” Que signifie traverse ici ?

  1. Parcourir le tunnel d’une extrémité à l’autre
  2. Faire un voyage près du tunnel
  3. Mesurer le tunnel sans le parcourir
Voir la réponse

Parcourir le tunnel d’une extrémité à l’autre

So, how long does it take Zeno to get to the park? Grammaire

1:25

Alors, combien de temps faut-il à Zénon pour arriver au parc ?

Grammaire

How long does it take ...? : demander combien de temps il faut

How long does it take + personne + to + verbe? sert à demander combien de temps une personne met pour accomplir une action. Ici, it ne désigne pas une chose ; il occupe la position du sujet, tandis que Zeno to get to the park indique la personne et l'action dont on mesure la durée. On emploie does parce que le sujet grammatical est it. Dans une réponse, le même modèle devient It takes + personne + durée + to + verbe, comme dans It takes me ten minutes to get ready.

Exercice

Complète le modèle avec take pour demander une durée : ____ you to walk to school?

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How long does it take

Well, to find out, we need to add the times of each of the pieces of the journey. Phrasal verbs

1:28

Eh bien, pour le savoir, nous devons additionner les temps de chaque partie du voyage.

Phrasal verbs

to find out : découvrir une réponse inconnue

To find out signifie « afin d'apprendre ou de découvrir une information qui n'est pas encore connue ». Dans cette phrase, l'addition des durées est la méthode utilisée pour obtenir la réponse ; find out ne signifie donc pas localiser un objet physique. Le complément de find out n'est pas exprimé parce que le contexte indique déjà clairement à quelle question il faut répondre. Le to initial marque le but : le calcul est effectué afin de trouver la réponse.

Exercice

Complète le verbe à particule qui signifie « apprendre un fait inconnu en vérifiant » : To ____ what time the library closes, check its website.

Voir la réponse

find out

The problem is, Fil du propos

1:32

Le problème est que

there are infinitely many of these finite-sized pieces. Grammaire

1:33

il y a une infinité de ces parties de taille finie.

Fil du propos

The problem is, ... : introduire la difficulté principale

The problem is, ... attire l'attention de l'auditeur sur la difficulté principale d'une explication ou d'un raisonnement. La proposition après la virgule précise la nature exacte de cette difficulté ; ici, il s'agit de l'existence d'une infinité de morceaux de taille finie. À l'oral et dans les explications de style conversationnel, la structure The problem is, + proposition est courante. La forme plus intégrée The problem is that + proposition remplit la même fonction d'organisation : elle présente l'information suivante comme l'obstacle, la contradiction ou la limite qui compte.

Exercice

Complétez avec la structure de trois mots commençant par The problem qui introduit la difficulté principale : ____, the room is too small for the whole group.

Voir la réponse

The problem is

Grammaire

there are infinitely many : exprimer un nombre illimité

There are infinitely many ... est une structure existentielle qui signifie que le nombre d'éléments n'est pas fini. Infinitely modifie many et les deux mots forment une expression de quantité ; cela ne signifie pas simplement « un très grand nombre ». L'expression peut être suivie directement d'un nom comptable pluriel, comme dans infinitely many points, ou de of + un groupe défini, comme dans infinitely many of these pieces. On utilise are parce que les éléments introduits sont au pluriel. Dans cette phrase, chaque morceau a une taille finie, mais le nombre de morceaux est infini ; finite-sized décrit chaque morceau, tandis que infinitely many indique combien de morceaux existent.

Exercice

Complétez avec l'expression existentielle de quatre mots qui utilise infinitely many pour indiquer un nombre illimité : A line has length, but ____ points on it.

Voir la réponse

there are infinitely many

So, shouldn't the total time be infinity? Intention

1:36

Alors, le temps total ne devrait-il pas être l'infini ?

Intention

Shouldn't the total time be infinity? pour présenter une conclusion attendue

La question négative shouldn't the total time be infinity? est construite avec should not. Ici, elle revient à demander : « D'après le raisonnement suivi jusqu'ici, l'infini n'est-il pas le résultat auquel on devrait s'attendre ? » Le locuteur présente l'infini comme la réponse apparemment logique et invite l'interlocuteur à l'examiner ou à la confirmer. Une question négative de ce type exprime une attente ; ce n'est pas une demande neutre d'information inconnue. Elle ne prouve pas la conclusion, mais la présente comme une conséquence qui semble devoir découler du raisonnement.

Exercice

Dans "Shouldn't the total time be infinity?", qu'implique ici la question négative ?

  1. Le locuteur pose une question neutre sans suggérer de réponse attendue.
  2. Le locuteur s'attend à ce que l'infini découle du raisonnement et demande à l'interlocuteur d'examiner cette conclusion.
  3. Le locuteur affirme que le temps total n'est certainement pas infini.
Voir la réponse

Le locuteur s'attend à ce que l'infini découle du raisonnement et demande à l'interlocuteur d'examiner cette conclusion.

This argument, by the way, is completely general. Notes

1:40

Cet argument, d'ailleurs, est tout à fait général.

Fil du propos

by the way comme marqueur d’une remarque connexe

By the way est un marqueur discursif qui place un commentaire légèrement en marge du fil principal de l’explication. Les virgules montrent qu’il s’agit d’une incise : la phrase reste grammaticalement complète sans cette expression. Ici, cette expression ne sert pas à abandonner l’argument pour passer à un sujet sans rapport. Elle présente is completely general comme une remarque connexe sur la portée de l’argument, et non comme l’étape suivante du raisonnement.

Exercice

Quel rôle joue by the way dans « This argument, by the way, is completely general. » ?

  1. Elle montre que le locuteur revient à l’argument principal après une interruption.
  2. Elle présente l’affirmation comme une remarque connexe plutôt que comme l’étape principale suivante.
  3. Elle reformule l’idée précédente avec d’autres mots.
Voir la réponse

Elle présente l’affirmation comme une remarque connexe plutôt que comme l’étape principale suivante.

Vocabulaire

completely general : valable dans tous les cas concernés

En mathématiques et en logique, completely general signifie que le raisonnement ne dépend pas d'un seul exemple particulier. Il s'applique à tous les cas pertinents du même type. Ici, general signifie « largement applicable », et non « ordinaire ». L'expression indique que la conclusion peut être étendue au-delà de l'exemple étudié.

Exercice

Dans une explication mathématique, que signifie “This argument is completely general” ?

  1. Il ne contient aucun raisonnement détaillé.
  2. Il s'applique à tous les cas pertinents.
  3. Il est ordinaire et sans intérêt.
Voir la réponse

Il s'applique à tous les cas pertinents.

It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. Grammaire

1:42

Il dit que voyager d'un endroit à un autre devrait prendre un temps infini.

Grammaire

from any location to any other location : de n'importe quel endroit à n'importe quel autre endroit

La structure from any X to any other X inclut tout X de départ possible et tout X d'arrivée différent. Dans cette phrase, elle désigne toutes les paires possibles de lieux différents. Other est important parce qu'il indique que la destination n'est pas le lieu de départ. On peut réutiliser cette structure avec des noms comme station, folder ou node.

Exercice

Complétez la structure from any X to any other X avec le groupe de destination de trois mots : This pass lets you travel from any station to ____.

Voir la réponse

any other station

In other words, Fil du propos

1:47

En d'autres termes,

it says that all motion is impossible. Vocabulaire

1:48

il dit que tout mouvement est impossible.

Fil du propos

In other words : signaler une reformulation

In other words signale que la personne va exprimer de nouveau l'idée précédente d'une manière plus claire, plus courte ou plus directe. Dans cette phrase, l'expression transforme le raisonnement précédent en une conclusion nette : l'argument revient à dire que le mouvement ne peut pas avoir lieu. Elle n'introduit pas une nouvelle raison.

Exercice

Après In other words, quelle relation faut-il généralement attendre ?

  1. Une reformulation plus claire de l'idée précédente
  2. Un exemple précis de l'idée précédente
  3. Une raison supplémentaire qui appuie l'idée précédente
Voir la réponse

Une reformulation plus claire de l'idée précédente

Vocabulaire

all motion is impossible : motion au sens de mouvement en général

all motion is impossible exprime une conclusion logique très générale : aucun mouvement d'une personne ou d'un objet ne peut avoir lieu. all donne une portée universelle à l'affirmation, qui ne concerne pas seulement une promenade ou un objet particulier. Ici, motion est un nom abstrait indénombrable qui désigne le mouvement ou le changement de position. Il ne signifie ni un geste de la main ni une proposition formelle présentée lors d'une réunion.

Exercice

Lisez cette phrase : A strange theory claims that all motion is impossible. Que signifie motion ?

  1. Un seul geste de la main
  2. Une proposition présentée pendant une réunion
  3. Le mouvement ou le changement de position en général
Voir la réponse

Le mouvement ou le changement de position en général

This conclusion is clearly absurd, Vocabulaire

1:51

Cette conclusion est clairement absurde,

but where is the flaw in the logic? Phrases

1:52

mais où est la faille dans la logique ?

Vocabulaire

clearly absurd : un jugement fort sur une conclusion

Clearly absurd signifie qu'une chose est manifestement déraisonnable ou impossible à accepter parce qu'elle contredit la logique ou des faits élémentaires. Absurd est plus fort que strange : ce mot ne signifie pas simplement « inhabituel ». Dans cette phrase, l'expression présente d'abord le jugement du locuteur. Ensuite, but dirige l'attention vers la vraie question : si la conclusion ne peut pas être correcte, quelle étape du raisonnement a échoué ?

Exercice

Quel sens correspond le mieux à clearly absurd dans la phrase ?

  1. Difficile à prononcer
  2. Un peu inhabituel, mais acceptable
  3. Manifestement illogique ou déraisonnable
Voir la réponse

Manifestement illogique ou déraisonnable

Phrases

flaw in the logic : un défaut dans le raisonnement

A flaw in the logic désigne une faiblesse ou une erreur dans le raisonnement qui empêche de parvenir correctement à la conclusion. Ici, flaw est abstrait : il ne s'agit pas d'une marque ou d'une fissure physique. La structure a flaw in + nom indique le système ou l'idée qui contient le défaut, comme dans a flaw in the argument ou a flaw in the design. La question demande quelle étape du raisonnement n'est pas valable.

Exercice

Utilisez l'expression de la leçon qui signifie « une faiblesse dans le raisonnement » : The conclusion does not follow, so there must be ____.

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a flaw in the logic

To resolve the paradox, Fil du propos

1:54

Pour résoudre le paradoxe,

it helps to turn the story into a math problem. Phrases

1:56

il est utile de transformer l'histoire en un problème mathématique.

Fil du propos

To resolve the paradox comme expression initiale du but

To resolve the paradox est un groupe infinitif exprimant le but. Placé avant la proposition principale, il indique pourquoi le locuteur recommande l'étape suivante : transformer l'histoire en problème mathématique. Comme signal d'organisation du discours, il fait passer l'explication du constat d'une contradiction à la présentation d'une manière de la traiter. Ici, resolve signifie trouver une solution ou une explication satisfaisante, et non décider.

Exercice

Quel rôle joue le groupe initial To resolve the paradox dans cette phrase ?

  1. Il affirme que le paradoxe a déjà été résolu.
  2. Il donne le résultat du problème mathématique.
  3. Il indique le but de l'étape suivante.
Voir la réponse

Il indique le but de l'étape suivante.

Phrases

turn the story into a math problem : la structure turn X into Y

Turn the story into a math problem utilise la structure turn X into Y, qui signifie faire devenir X en Y ou donner une nouvelle forme à X. Ici, the story correspond à X et a math problem à Y. Le locuteur ne demande pas de faire tourner physiquement l'histoire. L'expression décrit la reformulation des détails narratifs sous forme de quantités et de relations analysables mathématiquement.

Exercice

Complétez la phrase avec le passé de turn X into Y : Yesterday, the editor ____ the long interview ____ a short article.

Voir la réponse

turned · into

Let's supposed that Zeno's house is 1 mi from the park

1:58

Supposons que la maison de Zénon soit à 1 mile du parc

and that Zeno walks at 1 mi per hour. Vocabulaire

2:01

et que Zénon marche à 1 mile par heure.

Vocabulaire

at 1 mi per hour : at pour introduire un taux

Dans at 1 mi per hour, at introduit la vitesse de marche. La structure est at + un taux ; per signifie « pour chaque », donc l'expression veut dire « à la vitesse d'un mile par heure ». Ici, at n'indique pas un lieu. mi est l'abréviation écrite de mile. La même structure at + un taux peut aussi introduire d'autres taux mesurables, comme meters per second ou pages per minute.

Exercice

Complétez la phrase avec at + 60 miles per hour : The bus was traveling ____.

Voir la réponse

at 60 miles per hour

Common sense tells us that the time for the journey should be 1 hour. Fil du propos

2:04

Le bon sens nous dit que la durée du trajet devrait être d'une heure.

Fil du propos

Common sense tells us that : présenter une affirmation comme un jugement intuitif

Common sense tells us that ne rapporte pas les paroles d'une personne réelle. L'expression personnifie common sense, « le bon sens », et indique que l'expérience quotidienne nous amène à attendre que l'affirmation suivante soit vraie. Comme cadre d'ouverture, elle présente l'information après that comme la réponse intuitive. L'auteur peut ensuite comparer cette intuition à un calcul, à un raisonnement formel ou à un résultat surprenant.

Exercice

Quel est le rôle de Common sense tells us that dans cette phrase : Common sense tells us that the shorter route should take less time?

  1. Elle indique qu'une personne nous a donné l'information.
  2. Elle prouve l'affirmation par un calcul formel.
  3. Elle présente l'affirmation comme un jugement intuitif fondé sur l'expérience quotidienne.
Voir la réponse

Elle présente l'affirmation comme un jugement intuitif fondé sur l'expérience quotidienne.

But let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. Notes

2:08

Mais voyons les choses du point de vue de Zénon et divisons le voyage en parties.

Phrases

from Zeno's point of view : présenter la perspective de Zénon

From Zeno's point of view présente l'explication selon la manière de raisonner de Zénon. Dans cette phrase, le locuteur nous demande d'adopter temporairement son interprétation du trajet ; l'expression ne désigne pas un endroit physique d'où regarder. La structure réutilisable est from + personne au possessif + point of view, comme from Maya's point of view ou from my point of view. Elle indique quelle perspective organise l'énoncé qui suit.

Exercice

Complète avec la structure from ... point of view qui signifie « selon Daniel » : ____, the new schedule gives us more time.

Voir la réponse

From Daniel's point of view

Phrasal verbs

divide up : diviser un tout en plusieurs parties

Divide up signifie séparer un tout en plusieurs parties ou portions plus petites. Dans la phrase, le tout est the journey et into pieces nomme les parties obtenues. Up est une particule du verbe à particule, et non une direction. Elle ajoute l'idée de traiter l'ensemble en le divisant en parties, même si divide the journey into pieces serait également grammatical.

Exercice

Complète avec la forme en deux mots de divide qui insiste sur la séparation d'un tout en parties : Let's ____ the presentation into four short sections.

Voir la réponse

divide up

The first half of the journey takes half an hour.

2:13

La première moitié du voyage prend une demi-heure.

The next part takes quarter of an hour.

2:15

La partie suivante prend un quart d'heure.

The third part takes an eighth of an hour,

2:17

La troisième partie prend un huitième d'heure,

and so on. Fil du propos

2:20

et ainsi de suite.

Fil du propos

and so on : poursuivre une liste ou un schéma déjà compris

Dans cette phrase, and so on clôt la suite une fois que suffisamment de termes ont montré la règle. L’expression indique à l’auditeur que les parties suivantes continuent de la même façon, si bien que le locuteur ne les énumère pas toutes. Plus généralement, cette expression marque une liste inachevée ou un schéma répétitif dont les éléments omis peuvent être déduits. Elle suggère normalement plusieurs prolongements possibles, et pas seulement un élément omis.

Exercice

Dans “The pattern continues 2, 4, 8, 16, and so on,” qu’indique and so on à l’auditeur ?

  1. D’autres éléments suivent le même schéma.
  2. Les éléments précédents sont incorrects.
  3. Il ne manque qu’un seul élément.
Voir la réponse

D’autres éléments suivent le même schéma.

Summing up all these times, Vocabulaire

2:21

En additionnant tous ces temps,

we get a series that looks like this. Fil du propos

2:22

nous obtenons une série qui ressemble à ceci.

Vocabulaire

Summing up : additionner des quantités pour obtenir un total

Ici, Summing up signifie additionner toutes les valeurs de temps pour trouver leur total. Le complément all these times désigne des quantités numériques et le résultat est une série : sum up a donc son sens mathématique, et non son sens courant de résumer des idées. La proposition en -ing placée au début nomme l’opération qui conduit au résultat principal : après avoir additionné les durées, on obtient la série. Cette structure peut présenter un calcul ou une autre étape avant d’en donner le résultat.

Exercice

Utilisez la forme en -ing de sum up pour décrire l’addition des montants : ____ the four monthly bills, we got a total of $800.

Voir la réponse

Summing up

Fil du propos

a series that looks like this : introduction d’une forme visuelle

Dans cette phrase, a series that looks like this fait passer l’explication du calcul présenté oralement à la série mathématique affichée ensuite. this désigne la forme visible de la série. Ici, looks like this signifie « a cette forme » ou « est disposé comme indiqué », et pas simplement « a la même apparence physique ». Cette structure dirige l’attention des paroles vers une formule, un schéma, une liste ou une démonstration.

Exercice

Quel est le rôle de a series that looks like this dans cette phrase ?

  1. Elle affirme que la série a la même apparence physique qu’un autre objet.
  2. Elle indique que la personne qui parle ne connaît pas la forme de la série.
  3. Elle désigne la forme de la série mathématique qui est affichée.
Voir la réponse

Elle désigne la forme de la série mathématique qui est affichée.

Now, Zeno might say, Intention

2:24

Maintenant, Zénon pourrait dire,

since there are infinitely many terms on the right hand side of the equation Notes

2:26

puisqu'il y a une infinité de termes sur le côté droit de l'équation

and each individual term is finite,

2:29

et que chaque terme individuel est fini,

the sum should equal infinity,

2:32

la somme devrait être égale à l'infini,

Grammaire

since there are : introduire une raison

Ici, since signifie « puisque » ou « étant donné que ». La proposition qui commence par since there are donne une raison : il y a une infinité de termes dans le membre de droite et chaque terme est fini. La proposition suivante, the sum should equal infinity, est présentée comme la conclusion. Since peut aussi indiquer un point de départ dans le temps, mais ce n’est pas son rôle ici. La phrase fournit une prémisse pour un raisonnement ; elle ne dit pas quand quelque chose a commencé.

Exercice

Dans l’exemple, quel est le rôle de since ?

  1. Il introduit une raison qui mène à la conclusion.
  2. Il indique le moment où l’équation a commencé.
  3. Il marque un contraste entre deux équations.
Voir la réponse

Il introduit une raison qui mène à la conclusion.

Vocabulaire

the right hand side of the equation : le membre de droite de l’équation

The right hand side of the equation désigne tout ce qui est écrit à droite du signe égal. Dans a = b + c, le membre de droite est b + c. Ici, hand fait partie d’une expression figée de position : right hand side signifie « côté droit ». Il ne s’agit pas de la main droite d’une personne. Dans les explications mathématiques, cette expression aide à repérer une partie de l’équation.

Exercice

Dans x + 2 = 7, quelle partie est désignée par the right hand side of the equation ?

  1. le signe égal
  2. 7
  3. x + 2
Voir la réponse

7

right?

2:34

n'est-ce pas ?

Intention

might say : introduction d’un point de vue hypothétique

Ici, Zeno might say ne rapporte pas une citation confirmée. La personne qui parle attribue temporairement à Zénon un raisonnement possible afin de pouvoir l’examiner et y répondre. La structure someone might say... peut introduire une objection, une interprétation ou une réponse imaginée. might rend le point de vue hypothétique et le sépare de l’affirmation personnelle de la personne qui parle.

Exercice

Jugez l’affirmation : dans Zeno might say, la personne qui parle confirme que Zénon a réellement prononcé exactement ces mots.

  1. Faux
  2. Vrai
Voir la réponse

Faux

This is the problem with Zeno's argument. Fil du propos

2:34

C'est là le problème avec l'argument de Zénon.

Fil du propos

This is the problem with ... : signaler un défaut

This is the problem with ... renvoie à un défaut ou à une difficulté qui vient d’être expliqué. This désigne ce point précédent, tandis que with introduit l’argument, le projet ou l’autre élément qui présente ce problème. Dans cette phrase, la personne critique l’argument de Zénon. Cela ne signifie pas que le problème appartient à Zénon.

Exercice

Utilisez la structure mise en évidence pour renvoyer au défaut précédent : The app drains the battery in an hour. ____ the app.

Voir la réponse

This is the problem with

As mathematicians have since realized, Grammaire

2:37

Comme les mathématiciens s'en sont depuis rendu compte,

Grammaire

have since realized : une compréhension acquise plus tard

Have realized est au present perfect, et l’adverbe since signifie « après ce moment antérieur » ou « plus tard ». L’ensemble have since realized indique que cette compréhension est venue plus tard et reste pertinente maintenant. Ici, since fonctionne seul entre have et realized. Il n’introduit pas de proposition temporelle : l’expression ne signifie donc pas « depuis qu’ils ont compris ».

Exercice

Dans la phrase “Historians have since realized that the date was wrong,”, que signifie since ?

  1. Plus tard, après le moment antérieur
  2. Parce que
  3. À partir du moment décrit par une proposition qui suit since
Voir la réponse

Plus tard, après le moment antérieur

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. Notes

2:38

il est possible d'additionner une infinité de termes de taille finie et d'obtenir tout de même une réponse finie.

Grammaire

It is possible to + base verb

It is possible to + base verb signifie qu’une action ou un résultat peut se produire. Ici, it est un sujet grammatical sans référent : il ne désigne aucun objet. Le véritable contenu est le groupe infinitif qui commence par to add up. Cette structure place d’abord un sujet grammatical court, puis l’action plus longue, ce qui rend l’explication plus facile à suivre.

Exercice

Complète la phrase avec l’ouverture de deux mots contenant le sujet formel : ____ possible to finish the route before sunset.

Voir la réponse

It is

Phrasal verbs

add up infinitely many finite-sized terms : additionner une infinité de termes finis

Ici, add up signifie calculer un total en additionnant. Le complément infinitely many finite-sized terms indique ce qui est additionné : il y a une infinité de termes, mais chaque terme pris séparément a une taille finie. Dans ce contexte mathématique, add up décrit un véritable calcul, et non le fait qu’une explication soit logique.

Exercice

Quelle phrase utilise add up au sens de calculer le total de plusieurs valeurs ?

  1. Add up the four test scores.
  2. His explanation does not add up.
  3. These test scores add up to 360.
Voir la réponse

Add up the four test scores.

Fil du propos

still get a finite answer : still signale un résultat inattendu

Dans cette phrase, still indique qu’un résultat reste possible malgré un fait qui semble mener à la conclusion opposée. Additionner une infinité de termes peut faire penser à un total infini, mais un résultat fini peut malgré tout être obtenu. Ici, still a une fonction concessive et marque un résultat contraire aux attentes. Il organise l’information ainsi : « malgré le fait surprenant qui précède, ce résultat reste valable », plutôt que d’indiquer simplement qu’une chose continue dans le temps.

Exercice

Que signale still dans l’exemple ?

  1. Le processus de recherche de la réponse se poursuit pendant longtemps.
  2. Chaque terme de taille finie a la même valeur numérique.
  3. Un résultat fini est possible malgré l’attente créée par une infinité de termes.
Voir la réponse

Un résultat fini est possible malgré l’attente créée par une infinité de termes.

How, you ask? Fil du propos

2:45

Comment, vous demandez-vous ?

Fil du propos

How, you ask? : anticiper la question du public

How, you ask? signifie « Vous vous demandez peut-être comment cela est possible. » Le locuteur formule la question probable du public ; il ne rapporte pas une véritable interruption. Cette question rhétorique crée un dialogue imaginaire et fait avancer l’explication. Elle annonce généralement une réponse donnée juste après.

Exercice

Vrai ou faux : dans How, you ask?, le locuteur rapporte qu’une personne du public l’a réellement interrompu pour poser cette question.

  1. Vrai
  2. Faux
Voir la réponse

Faux

Well, let's think of it this way. Fil du propos

2:46

Eh bien, pensons-y de cette façon.

Fil du propos

think of it this way : introduire une nouvelle perspective

'Think of it this way' invite l'auditeur à adopter un nouveau cadre pour comprendre le sujet. Ici, it renvoie à l'idée déjà évoquée, et this way annonce l'explication qui va suivre. L'expression organise l'explication en signalant un changement de perspective ; elle ne signifie pas littéralement qu'il faut penser à un objet physique d'une certaine manière.

Exercice

Que signale 'Let's think of it this way' dans la phrase ?

  1. Une nouvelle manière de comprendre l'idée
  2. Un ordre de mémoriser les mots exacts
  3. Une description de la forme physique de l'idée
Voir la réponse

Une nouvelle manière de comprendre l'idée

Let's start with a square that has area 1 unit. Phrases

2:47

Commençons par un carré qui a une surface de 1 unité.

Phrases

start with : nommer l'objet de départ

'Start with' signifie choisir quelque chose comme premier objet, matériel, exemple ou étape d'un processus. Dans cette phrase, un carré dont l'aire est de 1 unité sert de point de départ pour la suite. La structure est start with + groupe nominal. With introduit le contenu de départ ; ici, il ne signifie pas « avec quelqu'un ».

Exercice

Utilisez start et la préposition qui introduit le premier élément d'une séquence : Let's ____ the easiest question.

Voir la réponse

start with

Now, let's chop the square in half Phrases

2:50

Maintenant, coupons le carré en deux

and then chop the remaining half in half,

2:52

puis coupons la moitié restante en deux,

Phrases

chop the square in half : couper le carré en deux

Chop the square in half signifie couper le carré de manière à obtenir deux parties égales. La structure est chop + complément d'objet + in half ; in half indique le résultat de l'action. Ici, chop est une manière imagée et informelle de parler de la division d'une figure dessinée. La même structure peut décrire la découpe d'un objet concret en deux parties égales.

Exercice

Complète la phrase avec l'expression de résultat en deux mots vue dans cette leçon, qui signifie « en deux parties égales » : Chop the sandwich ____.

Voir la réponse

in half

and so on.

2:55

et ainsi de suite.

While we're doing this,

2:56

Pendant que nous faisons cela,

let's keep track of the areas of the pieces. Phrases

2:57

gardons une trace des aires des morceaux.

Phrases

keep track of the areas : suivre les aires

Keep track of signifie continuer à surveiller ou à noter une information au fil du temps. Dans cette phrase, cette information est l'aire de chaque morceau à mesure que les morceaux changent. La structure est keep track of + l'information suivie. Ici, track ne désigne pas une piste physique ; l'expression insiste sur le fait de rester informé pour ne rien oublier ou manquer.

Exercice

Complète la phrase avec l'expression de cette leçon qui contient keep et track : Use this chart to ____ our weekly progress.

Voir la réponse

keep track of

The first slice makes two parts,

3:00

La première coupe fait deux parties,

each with an area of 1/2. Grammaire

3:02

chacune avec une surface de 1/2.

Grammaire

each with an area of 1/2 : ajouter une propriété à chaque partie

Dans cette phrase, each renvoie aux deux parties. Le groupe with an area of 1/2 indique l'aire de chacune : chaque partie a donc, séparément, une aire de 1/2. Le schéma concis nom pluriel + each with + groupe nominal ajoute une propriété à chaque membre sans répéter une proposition complète. Ici, il équivaut à two parts, and each part has an area of 1/2.

Exercice

Utilisez la structure concise each with pour compléter la phrase : The cabin has three bedrooms, ____ private bathroom.

Voir la réponse

each with a

The next slice divides one of those halves in half, Grammaire

3:04

La coupe suivante divise l'une de ces moitiés en deux,

Grammaire

one of those halves : sélectionner un élément d'un groupe connu

Les mots those halves renvoient aux deux parties créées par la coupe précédente. One sélectionne une seule moitié dans ce groupe connu ; une seule moitié est donc divisée ensuite. Dans le schéma one of + groupe nominal pluriel, one est au singulier parce qu'il représente le membre sélectionné, tandis que halves reste au pluriel parce qu'il nomme le groupe dans lequel on choisit.

Exercice

Quel groupe de mots sélectionne correctement une boîte dans un groupe déjà mentionné ? Complétez la phrase : Please open ___ and check inside.

  1. one of those boxes
  2. one those boxes
  3. one of that boxes
Voir la réponse

one of those boxes

and so on.

3:06

et ainsi de suite.

But no matter how many times we slice up the boxes, Notes

3:07

Mais peu importe combien de fois nous coupons les carrés,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Vocabulaire

3:10

la surface totale est toujours la somme des surfaces de tous les morceaux.

Grammaire

no matter how many times : un résultat qui ne change pas

No matter how many times + sujet + verbe introduit une concession portant sur la fréquence. Le nombre de répétitions peut varier, mais le résultat de la proposition principale ne change pas. Ici, les figures peuvent être découpées encore et encore ; malgré cela, la règle concernant l’aire totale reste vraie. Dans cet emploi, no matter ne signifie pas qu’il n’y a aucun problème.

Exercice

Complétez la phrase avec l’expression cible no matter how many times : ____ we try, the lock will not open without the correct code.

Voir la réponse

No matter how many times

Phrasal verbs

slice up : découper quelque chose en plusieurs morceaux

Slice up + complément signifie découper une chose entière en plusieurs morceaux. La particule up ajoute l’idée que la division est menée jusqu’au bout ; elle n’indique pas une direction vers le haut. Dans cette phrase, boxes désigne des figures ou des blocs dessinés. Le locuteur imagine donc ces figures divisées en parties plus petites, et non des cartons d’emballage que l’on découpe.

Exercice

Dans la phrase de la vidéo, que signifie slice up the boxes ?

  1. Déplacer les boîtes vers le haut
  2. Découper les figures en plusieurs morceaux
  3. Dessiner des boîtes autour de tous les morceaux
Voir la réponse

Découper les figures en plusieurs morceaux

Vocabulaire

the sum of the areas of all the pieces : additionner les aires des parties

Ici, sum est un nom qui désigne le total obtenu en additionnant des nombres ou des quantités. Dans la structure the sum of X, X indique les valeurs additionnées. Dans the areas of all the pieces, chaque morceau apporte son aire, et non le morceau physique lui-même. L'expression complète signifie donc toutes les aires individuelles additionnées.

Exercice

Complète la phrase avec la structure nominale cible qui signifie « le total obtenu par addition » : The total score is ____ the points from all four rounds.

Voir la réponse

the sum of

Now, you can see why we chose this particular way of cutting up the square. Notes

3:15

Maintenant, vous pouvez voir pourquoi nous avons choisi cette façon particulière de couper le carré.

Fil du propos

you can see why : signaler que la raison est désormais claire

Dans you can see why + une proposition de cause, see signifie comprendre, et non regarder avec les yeux. Les mots après why indiquent quelle raison est maintenant compréhensible. Dans une explication, cette expression sert de repère : elle relie les preuves ou les étapes qui viennent d'être présentées à la raison d'un choix ou d'un résultat. Now souligne que les informations précédentes ont rendu cette raison claire.

Exercice

Dans une explication, qu'indique you can see why à l'interlocuteur ?

  1. L'interlocuteur doit choisir une nouvelle raison.
  2. La raison peut être vue comme un objet physique.
  3. Les informations précédentes rendent la raison compréhensible.
Voir la réponse

Les informations précédentes rendent la raison compréhensible.

Phrases

particular way of cutting up the square : une façon précise de découper le carré

Dans cette phrase, particular signifie « précis » ou « choisi expressément » ; il ne signifie pas ici « difficile » ou « exigeant ». This particular way renvoie à une méthode bien déterminée, et non à n’importe quelle méthode. Le locuteur explique pourquoi cette méthode a été choisie. La structure way of + -ing indique comment une action est réalisée. Ici, way of cutting up the square désigne la méthode utilisée pour diviser le carré en morceaux plus petits. Le modèle réutilisable est a particular way of doing something.

Exercice

Complétez la structure cible avec la préposition employée avant une forme en -ing : This particular way ____ arranging the cards makes the pattern easy to see.

Voir la réponse

of

We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. Grammaire

3:18

Nous avons obtenu la même série infinie que nous avions pour le temps du voyage de Zénon.

Grammaire

the same infinite series as ... : la même série infinie que ...

La structure the same + nom + as ... relie deux éléments identiques sous l’aspect qui compte. Ici, la série qui vient d’être obtenue est identique à la série infinie utilisée pour la durée du trajet de Zénon. Les mots qui suivent as donnent l’élément de comparaison : we had for the time of Zeno's journey. Ne vous arrêtez pas à the same infinite series ; la proposition introduite par as indique avec quelle série la comparaison est faite.

Exercice

Complétez la structure de comparaison the same ... as : The second diagram shows the same pattern ____ the first one.

Voir la réponse

as

As we construct more and more blue pieces, Grammaire

3:23

Au fur et à mesure que nous construisons de plus en plus de pièces bleues,

Grammaire

As we construct : as pour deux processus qui évoluent ensemble

Ici, As we construct signifie « pendant que nous continuons à construire » ou « à mesure que la construction avance ». Ce groupe introduit une proposition de temps et de processus qui relie la construction en cours à un autre changement. Le rôle principal de as est ici de montrer que deux évolutions se déroulent ensemble. Il ne signifie pas simplement because : la phrase est organisée autour de changements parallèles, même si le premier processus peut contribuer à provoquer le second.

Exercice

Quel est le rôle principal de As we construct dans cette phrase ?

  1. Il présente la construction comme un processus en cours parallèlement à un autre changement.
  2. Il oppose la construction à l’autre changement.
  3. Il affirme que la construction est l’unique raison de l’autre changement.
Voir la réponse

Il présente la construction comme un processus en cours parallèlement à un autre changement.

Grammaire

more and more blue pieces : un nombre qui augmente

Dans more and more blue pieces, more and more indique que le nombre de pièces bleues continue d’augmenter à mesure que le processus avance. Il faut comprendre l’ensemble comme une seule structure signifiant « un nombre croissant de », et non comme deux emplois séparés de more.

Exercice

Complétez la phrase avec la structure qui signifie « un nombre croissant de » : ____ visitors come to the museum each year.

Voir la réponse

More and more

to use the math jargon, Fil du propos

3:26

pour utiliser le jargon mathématique,

Fil du propos

to use the math jargon : signaler le passage aux termes techniques

La formule incidente to use the math jargon signifie « formuler l’idée suivante avec la terminologie mathématique ». Elle ne décrit pas le processus mathématique lui-même ; elle indique aux auditeurs comment comprendre les mots qui suivent. C’est un repère qui organise l’information : le locuteur passe d’une explication simple ou visuelle à une formulation plus spécialisée. Dans cette phrase, jargon est neutre et ne présente pas ces mots comme absurdes.

Exercice

Qu’indique le locuteur avec to use the math jargon ?

  1. L’explication mathématique va être abandonnée.
  2. La formulation suivante emploiera des termes mathématiques spécialisés.
  3. Les termes qui suivent n’ont aucun sens.
Voir la réponse

La formulation suivante emploiera des termes mathématiques spécialisés.

as we take the limit as n tends to infinity, Vocabulaire

3:27

lorsque nous prenons la limite alors que n tend vers l'infini,

Vocabulaire

take the limit as n tends to infinity : décrire un passage à la limite

Take the limit est une locution verbale mathématique standard qui signifie « calculer la limite », et non « supprimer une restriction ». La proposition as n tends to infinity fixe la direction du processus : n croît sans borne. Ici, n représente le nombre d’étapes ou de termes. L’infini n’est pas un nombre final ordinaire que n atteint ; l’expression demande vers quelle valeur tend la quantité étudiée lorsque n devient arbitrairement grand.

Exercice

En mathématiques, que demande de faire take the limit as n tends to infinity ?

  1. Poser n égal à un nombre ordinaire appelé infini.
  2. Examiner la valeur approchée lorsque n croît sans borne.
  3. Supprimer une restriction après avoir choisi une petite valeur de n.
Voir la réponse

Examiner la valeur approchée lorsque n croît sans borne.

the entire square becomes covered with blue. Grammaire

3:30

le carré entier est recouvert de bleu.

Grammaire

becomes covered with blue : passage à un état affecté

Become + participe passé décrit un changement vers un état qui affecte le sujet. Ici, becomes covered indique que le carré passe d'un état où il n'est pas entièrement recouvert à un état où il l'est. With blue précise ce qui recouvre ou remplit sa surface. The entire square est l'élément affecté ; il ne recouvre pas activement autre chose.

Exercice

Complétez la phrase avec la forme correcte au présent de become + covered with : As autumn continues, the sidewalk ____ leaves.

Voir la réponse

becomes covered with

But the area of the square is just 1 unit,

3:33

Mais la surface du carré n'est que de 1 unité,

and so the infinite sum must equal 1. Notes

3:35

et donc la somme infinie doit être égale à 1.

Fil du propos

and so : introduire une conclusion

And so relie un fait ou une raison déjà énoncés à la conclusion qui suit. L'information précédente sert de base ; la proposition suivante donne le résultat tiré de cette base. Dans cette phrase, l'aire du carré est de 1 unité, puis and so introduit la conclusion selon laquelle la somme infinie doit être égale à 1. Ici, so organise le raisonnement ; il ne signifie pas très et ne modifie pas un adjectif.

Exercice

Quelle phrase utilise and so pour introduire une conclusion à partir du fait précédent ?

  1. The road was icy, and so the school opened late.
  2. The road was so icy that buses could not move.
  3. Sam checked the map and the train schedule.
Voir la réponse

The road was icy, and so the school opened late.

Vocabulaire

infinite sum must equal 1 : must exprime une nécessité logique

Ici, infinite sum désigne le total obtenu en additionnant une infinité de termes. La proposition affirme que ce total vaut 1. Must exprime une nécessité logique, et non un ordre. Comme les parties du modèle remplissent un carré d'aire 1, le raisonnement impose que la somme soit égale à 1. Ce même emploi de must signale une conclusion qui découle nécessairement des faits donnés.

Exercice

Que signifie must dans la phrase de l'exemple ?

  1. La conclusion découle nécessairement du raisonnement.
  2. Le résultat n'est qu'une possibilité.
  3. La somme a reçu un ordre.
Voir la réponse

La conclusion découle nécessairement du raisonnement.

Going back to Zeno's journey, Fil du propos

3:38

Pour en revenir au voyage de Zénon,

we can now see how the paradox is resolved. Grammaire

3:40

nous pouvons maintenant voir comment le paradoxe est résolu.

Fil du propos

Going back to Zeno's ... : transition pour reprendre un sujet antérieur

Going back to Zeno's journey est une transition placée en début de phrase qui ramène la discussion à un sujet mentionné auparavant. Elle organise l'explication : après le modèle du carré et de la somme, le locuteur reporte l'attention sur le voyage de Zénon. L'expression décrit un déplacement dans la discussion, et non un déplacement physique. La proposition principale explique ensuite ce qui devient clair lorsque l'on reprend le sujet précédent.

Exercice

Utilisez going, back et to dans le bon ordre pour compléter la transition qui ramène à un sujet précédent : ____ our earlier question, the answer is now clear.

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Going back to

Grammaire

the paradox is resolved : un résultat à la voix passive

The paradox is resolved emploie la forme passive be + participe passé : the paradox subit l’action au lieu de l’accomplir. La phrase met l’accent sur le résultat — le problème apparent peut maintenant être expliqué — sans nommer la personne ou le raisonnement qui l’a résolu. Quand le sujet est un problème, resolved signifie « résolu, réglé ou expliqué clairement ». Il ne signifie pas « a décidé de faire quelque chose » ; ce sens prend normalement une personne comme sujet dans une structure telle que she resolved to continue.

Exercice

Que signifie « the paradox is resolved » dans l’exemple ?

  1. Le paradoxe a décidé d’agir.
  2. Le paradoxe a été résolu ou expliqué.
  3. Le paradoxe est devenu plus difficile à comprendre.
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Le paradoxe a été résolu ou expliqué.

Not only does the infinite series sum to a finite answer, Notes

3:42

Non seulement la série infinie s'additionne pour donner une réponse finie,

Vocabulaire

sum to a finite answer : donner un résultat fini par addition

Sum to + résultat signifie « s’additionner pour atteindre ce résultat ou lui être égal ». Ici, the infinite series est le sujet, et a finite answer est le résultat obtenu en additionnant ses termes. Dans ce contexte, sum ne signifie pas « résumer ». En mathématiques, une série peut avoir une infinité de termes, mais les totaux peuvent se rapprocher de plus en plus d’une valeur finie fixe à mesure que l’on ajoute des termes. Dans ce cas, on dit que la série sums to cette valeur.

Exercice

Complétez la phrase en employant sum comme verbe avec la préposition nécessaire : The three payments ____ $150.

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sum to

but that finite answer is the same one that common sense tells us is true.

3:46

mais cette réponse finie est la même que ce que le bon sens nous dit être vrai.

Grammaire

Not only does ... but ... : inversion avec Not only en tête

Not only ... but ... relie deux affirmations et présente la seconde comme un ajout, souvent plus fort. Ici, la première affirmation est que la série infinie a une somme finie ; la proposition introduite par but ajoute que cette réponse correspond aussi au bon sens. Comme Not only ouvre la première proposition, il y a inversion entre le sujet et l’auxiliaire : does précède le sujet et sum reste à la base verbale. Dans ce modèle au présent simple, on emploie Not only does + sujet singulier + base verbale ..., but + proposition dans l’ordre normal ....

Exercice

Complétez l’inversion au présent simple avec l’auxiliaire requis : Not only ____ the pattern repeat, but it also becomes easier to recognize.

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does

Zeno's journey takes 1 hour.

3:50

Le voyage de Zénon prend 1 heure.