Le paradoxe au cœur des mathématiques : le théorème d'incomplétude de Gödel - Marcus du Sautoy : fiche pour apprendre l’anglais

Complétez la formule exacte qui introduit une phrase à analyser : ____: "Water freezes at zero degrees Celsius."

Pourquoi “This statement is false.” crée-t-elle un paradoxe dans cette énigme ?

1. La phrase n'a pas de sujet.
2. Le mot “false” ne peut être utilisé qu'en mathématiques.
3. “This statement” renvoie à la phrase elle-même.

Complétez la phrase avec l’expression de deux mots étudiée ici qui signifie « si cela est vrai » : The library may still be open. ____, we can return the books tonight.

Utilisez would make + objet + adjectif pour compléter le résultat hypothétique : Removing the warning label ____ the box unsafe.

Complétez l’énoncé logique avec if ... then ... : ____ a number ends in zero, ____ it is divisible by ten.

Utilisez by + la forme en -ing de read pour compléter la phrase : ____ the instructions carefully, Mia finished the project correctly.

Quelle situation peut le mieux être décrite comme an unresolvable paradox ?

1. Une question reste sans réponse parce que personne ne l'a encore vérifiée.
2. Un problème de mathématiques est difficile, mais sa réponse est connue.
3. Une règle rend la même affirmation à la fois vraie et fausse, sans offrir aucune issue.

Quelle est la principale fonction discursive de la question mise en évidence dans ce contexte ?

1. Elle montre que la classification habituelle entre vrai et faux a échoué et introduit l'idée suivante.
2. Elle annonce que l'affirmation est certainement fausse.
3. Elle demande où l'affirmation se trouve physiquement.

Complétez la phrase avec l'expression cible de trois mots qui présente une première impression de manière atténuée : This shortcut ____ a good idea, but it creates more work.

Quelle proposition est une expérience de pensée plutôt qu'une expérience réalisée dans le monde réel ?

1. Measure how long three batteries power the same flashlight.
2. Imagine that nobody needed sleep and reason through how schools and jobs would change.
3. Plant two seeds and record which one grows faster.

Complétez la phrase avec le passé de lead et la préposition nécessaire : A strange clue ____ the detective ____ an important discovery.

Dans la phrase She found an idea that would change her life, qu'exprime would change ?

1. Un changement ultérieur vu depuis un point antérieur du récit.
2. Une prédiction faite dans le présent au sujet d'un changement qui ne s'est pas encore produit.
3. Une demande polie pour que l'idée change sa vie.

Complétez la phrase avec la forme passée de have to do with : The delay ____ a damaged cable.

Quelle expression désigne les limites de ce que les systèmes de démonstration peuvent établir, plutôt que des erreurs dans des démonstrations individuelles ?

1. limitations of mathematical proofs
2. mistakes in mathematical proofs
3. steps in mathematical proofs

Quelle phrase suit la même organisation de l’information : terme + is + catégorie + proposition en that décrivant sa fonction ?

1. Can an algorithm solve this specific problem?
2. An algorithm can solve a specific problem very quickly.
3. An algorithm is a set of steps that solves a specific problem.

Quelle phrase emploie le bon ordre des mots dans une proposition intégrée en why ?

1. Why was the answer correct?
2. The teacher explained why was the answer correct.
3. The teacher explained why the answer was correct.

Complétez la phrase avec l’expression de deux mots de la leçon qui signifie « éléments de base » : Trust and communication are the ____ of a strong team.

Complétez la phrase avec la structure passive de dénomination be called : Closed shapes with three sides ____ triangles.

Dans l'expression the numbers involved, que signifie involved ?

1. les nombres pertinents pour la question
2. les nombres qui ont déjà été démontrés
3. les nombres difficiles à calculer

Complétez la phrase avec from ... to ... pour montrer toute l’étendue : The workshop welcomes participants ____ complete beginners ____ experienced designers.

Utilisez built et constructed pour compléter la phrase : The platform is ____ open-source technology and ____ reusable modules.

Quelle phrase exprime une attente raisonnable concernant une capacité à partir d’une condition, plutôt qu’une affirmation directe de capacité ou une obligation ?

1. If the code is correct, the user should be able to sign in.
2. If the code is correct, the user can sign in.
3. If the code is correct, the user must sign in.

Complétez la phrase avec l'expression double de cette leçon qui signifie « établir comme vrai ou établir comme faux » : A second measurement could ____ the scientist's claim.

Complétez la phrase avec l'expression de cette leçon qui signifie « sans le moindre doute » : After checking the original file, Maya could identify the author ____.

Complétez la phrase avec l'expression de trois mots de cette leçon qui signifie « a commencé à travailler dans ce domaine professionnel » : After finishing her cybersecurity training, Ava ____.

Quelle phrase emploie threaten de la même manière abstraite que l'exemple ?

1. Several errors threatened confidence in the report.
2. The speaker threatened the audience with punishment.
3. The child whispered a warning to her friend.

Complétez la phrase avec la forme passée de be eager to : The researchers ____ confirm the result.

Dans la phrase mathematics had no contradictions, quelle interprétation est correcte ?

1. Les problèmes mathématiques n'étaient jamais difficiles.
2. Les mathématiciens étaient d'accord sur toutes les questions.
3. Le système ne pouvait pas établir de conclusions incompatibles entre elles.

Quelle interprétation correspond le mieux à Gödel himself wasn't so sure ?

1. Gödel lui-même avait quelques doutes, contrairement au groupe plus confiant.
2. Gödel ignorait complètement le problème.
3. Gödel rejetait fermement toute approche mathématique.

Employez even + la forme comparative de confident pour montrer une nouvelle baisse de confiance : After two more errors, the reviewers were ____ that the figures were accurate.

Complétez la phrase avec l’expression cible qui signifie la méthode adaptée à cette tâche : A survey may be ____ understand why customers leave.

Quelle phrase emploie while dans le même sens concessif que l’exemple ?

1. While I was washing the dishes, the doorbell rang.
2. Please wait here while I check the schedule.
3. While the instructions look simple, the machine is difficult to operate.

Quelle description correspond le mieux à a self-referential paradox ?

1. Une phrase renvoie à un fait présenté dans un autre livre.
2. Une personne refuse de partager avec les autres.
3. Un énoncé crée une contradiction en renvoyant à lui-même.

Que signifie ici “numbers don't typically talk about themselves” ?

1. En général, les nombres ne renvoient pas à eux-mêmes et ne se décrivent pas eux-mêmes.
2. Les nombres restent généralement silencieux quand on les lit à voix haute.
3. Les nombres préfèrent parler d’autres nombres.

Quel rôle le passage en évidence joue-t-il dans cette phrase ?

1. Il établit un cadre familier de vrai ou faux avant que la phrase change de direction.
2. Il donne les détails de l'idée de Gödel.
3. Il affirme que toutes les parties des mathématiques sont faciles.

Quel rôle but Gödel had an idea joue-t-il dans le récit ?

1. Il prouve que l'idée de Gödel était déjà correcte.
2. Il répète la règle du vrai ou du faux sans changer de direction.
3. Il passe de la règle donnée en contexte à une nouvelle idée qui sera expliquée ensuite.

Complétez la structure translate A into B : The scanner translates printed pages ____ searchable text.

Complétez la phrase avec so that et la forme passive correcte de understand : The safety message was rewritten ____ it could ____ by children.

Quel est le rôle de This meant that dans l'exemple ?

1. Elle introduit un fait sans rapport avec l'étape précédente.
2. Elle donne une définition du dictionnaire pour le mot mathematics.
3. Elle relie l'étape précédente d'encodage à une conséquence qui en a découlé.

Dans encoded statements of mathematics, qu’indique encoded ?

1. Les énoncés ont été reconvertis depuis un code vers leur forme d’origine.
2. Les énoncés ont forcément été dissimulés afin de rester secrets.
3. Les énoncés ont été convertis sous une forme codée.

Que signifie allowed mathematics to talk about itself dans cette phrase ?

1. Cela a autorisé les mathématiciens à discuter du codage.
2. Cela a fait parler les mathématiques à voix haute.
3. Cela a permis aux mathématiques d’exprimer des énoncés sur elles-mêmes.

Qu’affirme l’énoncé entre guillemets ?

1. Il affirme que cet énoncé ne peut pas démontrer une autre équation.
2. Il affirme que personne n’a le droit d’écrire une démonstration.
3. Il affirme que ce même énoncé ne peut pas être démontré dans le système.

Complétez la structure cible avec as et la forme en -ing de make : She rewrote the results ____ a chart, ____ the pattern easier to see.

Complétez la structure cible However, unlike + groupe nominal : ____, ____ the old model, this one uses less energy.

Dans mathematical statements must be true or false, qu'exprime must ?

1. Le cadre logique exige que chaque énoncé ait l'une des deux valeurs.
2. Quelqu'un ordonne aux énoncés de choisir leur comportement.
3. Les énoncés promettent de dire la vérité.

Que fait So, which is it? après l'énoncé de deux possibilités ?

1. Elle introduit un nouveau sujet sans rapport avec le raisonnement précédent.
2. Elle ramène la discussion au choix entre ces possibilités.
3. Elle affirme que les deux possibilités sont certainement correctes.

Lisez cette phrase : “If the screen is blank, that means the computer is not receiving a signal.” Quel est le rôle de “that means” ?

1. Il introduit la conclusion tirée de la condition.
2. Il traduit le mot “blank”.
3. Il commence un sujet sans rapport.

Utilisez le does emphatique + la base verbale have pour compléter la correction : “You said the plan has no benefit, but it ____ one important advantage.”

Complétez la phrase avec la structure exacte if ..., then it must ... : ____ an integer ends in 0, ____ it ____ divisible by 10.

Dans ce raisonnement, à quoi sert This contradiction means ... ?

1. Cette expression résume une incohérence et introduit la conclusion qui en découle.
2. Elle donne une définition de dictionnaire du mot contradiction.
3. Elle fait passer le sujet à un exemple sans rapport.

Que signifie can't dans « The answer can't be false because it follows from the rule » ?

1. Il est logiquement impossible que la réponse soit fausse.
2. Le locuteur est incapable de rendre la réponse fausse.
3. Il n’est pas permis que la réponse soit fausse.

Complétez la structure formelle de conclusion : The machine accepts only valid tickets. This ticket was accepted, ____ this ticket is valid.

Quel rôle joue le début mis en évidence dans la phrase ?

1. Il indique que le résultat ne s’est pas encore produit.
2. Il introduit une raison sans créer de contraste avec un point précédent.
3. Il crée un contraste avec le point précédent, renforce l’évaluation et introduit une raison.

Dans une discussion mathématique, que signifie ici a true equation ?

1. Une équation qui existe réellement, que son affirmation mathématique soit vraie ou non.
2. Une équation qui utilise uniquement des nombres réels.
3. Une équation dont l’affirmation mathématique est vraie.

Dans cette phrase, qu'indique asserts au sujet de l'équation ?

1. Elle présente formellement une affirmation que l'on peut juger vraie ou fausse.
2. Elle parle très fort.
3. Elle démontre l'affirmation à l'aide de raisons qui la soutiennent.

Utilisez l'expression idiomatique de la leçon pour compléter la phrase : Trust is ____ a healthy friendship.

Dans le nom Gödel's incompleteness theorem, que désigne incompleteness ?

1. Une démonstration inachevée à laquelle il faut ajouter des pages.
2. L'affirmation selon laquelle les mathématiques ne possèdent aucune démonstration valide.
3. Une limite de certains systèmes formels : certains énoncés vrais ne peuvent pas être démontrés à l'intérieur du système.

Complétez la phrase avec le mot relatif qui ajoute un commentaire non restrictif : The update adds a search tool, ____ makes old files easier to find.

Dans cette phrase, que signifie paradigm ?

1. un cadre général pour comprendre et organiser des idées
2. une seule formule mathématique
3. un cas illustratif

Complétez la structure avec either ... or: A binary answer is ____ yes ____ no.

Qu'indique le groupe mis en évidence dans cette phrase ?

1. Chaque ensemble d'axiomes démontre la proposition.
2. La proposition est physiquement entourée d'axiomes.
3. La démontrabilité est évaluée à l'aide d'un ensemble précis d'axiomes.

Quelle option conserve correctement le sens de unprovable true statements ?

1. Elles sont fausses puisqu'il n'existe aucune démonstration.
2. Elles sont vraies, même si le système ne peut pas les démontrer.
3. Ce sont des propositions vraies dont les démonstrations n'ont pas encore été trouvées, mais le seront certainement.

Complétez la phrase avec la structure cible pour indiquer qu’il est impossible d’ouvrir la fenêtre : The broken handle ____ open the window.

Complétez avec la forme future de there be et always pour montrer que la limite persistera : ____ cases the rule does not cover.

Complétez le modèle concession-moyen-rôle. Utilisez Even if, by et as une fois chacun : ____ you improve the plan ____ adding a checklist ____ a safety tool, some risks may remain.

Dans la phrase d'origine, que signifie account for ?

1. Expliquer pourquoi les énoncés sont vrais
2. Prendre en compte ou traiter les énoncés dans le système
3. Dépendre des énoncés

Dans la phrase “That very decision caused the delay,” qu’indique very ?

1. The exact decision already mentioned caused the delay.
2. A different decision prevented the delay.
3. The decision was extremely difficult.

Complétez la phrase avec l’expression de quatre mots commençant par No et signifiant « quel que soit le nombre » : ____ books you read, there will always be more to discover.

Quelle interprétation correspond le mieux à la phrase ?

1. Le système contiendra inévitablement des énoncés vrais qui ne peuvent pas y être démontrés.
2. Le système pourrait contenir des énoncés qui sont probablement vrais.
3. Tout énoncé vrai a déjà été démontré dans le système.

Que signifie ici It's Gödels all the way down ?

1. Les limites de type Gödel réapparaissent à mesure que le système est étendu.
2. Plusieurs personnes appelées Gödel se déplacent vers le bas.
3. Un seul théorème règle toutes les extensions possibles du système.

Dans cette phrase, que signifie rocked the foundations of the field ?

1. Cela a profondément remis en question les croyances fondamentales du domaine.
2. Cela a physiquement endommagé les fondations d'un bâtiment.
3. Cela a apporté un changement mineur et ordinaire dans le domaine.

Quelle phrase utilise un groupe final en -ing pour ajouter le résultat de l'événement précédent ?

1. The storm closed the airport and hundreds of travelers waited nearby.
2. The storm closed the airport, leaving hundreds of travelers stranded.
3. Because the storm closed the airport, hundreds of travelers were stranded.

Complétez la phrase avec would one day et la forme passive de solve : In 1995, researchers believed the puzzle ____.

Quel rôle joue while dans cette phrase ? “While most neighbors supported the plan, some opposed it.”

1. Il indique que deux actions ont duré exactement aussi longtemps.
2. Il donne la raison pour laquelle certaines personnes se sont opposées au projet.
3. Il oppose les réactions de deux groupes.

Dans “Some fervently debated it,”, que nous indique fervently ?

1. Ils ont débattu à voix basse pour éviter d'attirer l'attention.
2. Ils ont débattu avec une émotion et une conviction fortes.
3. Ils ont débattu de nombreuses fois.

Quelle phrase emploie others still pour présenter la réaction persistante d'un groupe différent ?

1. Most families went home, but others still waited for the final announcement.
2. Most families went home, and every family left at the same time.
3. The families stood still while they waited for the final announcement.

Que signifie newly uncovered hole in the heart of their field dans cette phrase ?

1. Un trou physique récemment creusé au milieu d'une ferme
2. Un problème médical touchant le cœur des chercheurs
3. Une limite grave récemment révélée au centre de leur domaine universitaire

Quelle phrase emploie as dans le même sens d'évolution dans le temps que la proposition mise en évidence ?

1. The box is as heavy as the chair.
2. She works as an engineer.
3. As more evidence emerged, the team grew more confident.

Quelle phrase met l'accent sur le moment où l'inquiétude commence ?

1. After an hour with no reply, Leo had stopped worrying that something was wrong.
2. After an hour with no reply, Leo never worried that something was wrong.
3. After an hour with no reply, Leo began to worry that something was wrong.

Dans l'exemple, que désigne their life's work ?

1. Les travaux qu'ils comptaient faire pendant un après-midi
2. Le travail principal auquel ils avaient consacré de nombreuses années
3. Les tâches routinières qu'ils effectuaient chaque jour

Quelle phrase emploie le mieux la métaphore des portes pour dire qu’une règle a créé et limité des possibilités dans des proportions à peu près égales ?

1. The new rule closed every door and created no new options.
2. The new rule opened a door after the office closed.
3. The new rule opened as many doors as it closed.

Utilisez la structure de quatre mots inspire + key innovations + in, avec inspire au passé : The discovery ____ battery design.

Complétez la phrase avec le passé de dedicate her career to : Maria ____ improving rural health care.

Quel sens correspond le mieux à provably unprovable statements ?

1. On a déjà démontré que ces énoncés sont faux.
2. Ces énoncés sont probablement difficiles à démontrer.
3. On peut démontrer que ces énoncés sont indémontrables.

Quelle suite complète le mieux ce bilan concessif par une conclusion principale positive : « So while the trip may have cost more than expected, ... » ?

1. it also took two hours longer than planned.
2. the tickets had blue numbers printed on them.
3. we still made memories we will always value.

Complétez avec l’expression cible de deux mots qui signifie « en raison de, avec une attribution positive » : ____ Noah's quick repair, the robot worked again.

Quelle option explique le mieux la phrase ?

1. Ils peuvent accepter l’incertitude comme une partie centrale de la recherche de la vérité.
2. Ils peuvent tenir physiquement quelque chose d’inconnu pendant un voyage.
3. Ils peuvent éviter les questions sans réponse jusqu’à ce que tous les faits soient prouvés.

Que vous indique theorem dans le nom Pythagorean theorem ?

1. C’est une consigne ordinaire donnée en classe.
2. C’est une supposition non vérifiée concernant tous les triangles.
3. C’est un énoncé mathématique établi par une démonstration.

Quel est le rôle de in the first place dans cette phrase ?

1. Elle demande où se trouvait physiquement la première démonstration.
2. Elle demande comment la démonstration a été établie à l'origine.
3. Elle demande si la démonstration a remporté la première place.

Complétez la phrase avec la structure one of the cornerstones of : Reliable evidence is one ____ good research.