Croissance exponentielle et épidémies : fiche pour apprendre l’anglais

The phrase exponential growth is familiar to most people.

L'expression croissance exponentielle est familière à la plupart des gens.

And yet, human intuition has a hard time really recognizing what it means sometimes. Phrases

Et pourtant, l'intuition humaine a parfois du mal à vraiment reconnaître ce que cela signifie.

We can anchor on a sequence of small-seeming numbers Idiomes

Nous pouvons nous ancrer sur une suite de nombres qui semblent petits

and then become surprised when suddenly those numbers look big,

et être surpris quand soudain ces nombres ont l'air grands,

even if the overall trend follows an exponential perfectly consistently.

même si la tendance générale suit une exponentielle de manière parfaitement cohérente.

This right here is the data for the recorded cases of COVID-19,

Voici ici les données des cas enregistrés de COVID-19,

aka the coronavirus,

alias le coronavirus,

at least at the time that I'm writing this.

du moins au moment où j'écris ceci.

Never one to waste an opportunity for a math lesson, Grammaire

N'étant pas du genre à gaspiller l'occasion de donner une leçon de maths,

I thought this might be a good time for all of us to go back to the basics Grammaire

j'ai pensé que ce pourrait être le bon moment pour nous tous de revenir aux bases

on what exponential growth really is,

sur ce qu'est vraiment la croissance exponentielle,

where it comes from,

d'où elle vient,

what it implies,

ce que cela implique,

and maybe most pressingly,

et peut-être le plus urgent,

how to know when it's coming to an end.

comment savoir quand elle touche à sa fin.

Exponential growth means that as you go from one day to the next, Grammaire

La croissance exponentielle signifie que lorsque vous passez d'un jour au suivant,

it involves multiplying by some constant.

cela implique de multiplier par une certaine constante.

In our data, the number of cases in each day

Dans nos données, le nombre de cas de chaque jour

tends to be a multiple of about 1.15 to 1.25 Vocabulaire

a tendance à être un multiple d'environ 1,15 à 1,25

of the number of cases the previous day.

du nombre de cas du jour précédent.

Now, viruses are a textbook example of this kind of growth Phrases

Or, les virus sont un exemple typique de ce genre de croissance

because what causes new cases are the existing cases.

parce que ce qui cause les nouveaux cas, ce sont les cas existants.

So, if the number of cases on a given day is n,

Donc, si le nombre de cas un jour donné est n,

and we say that each individual with the virus is exposed to,

et que nous disons que chaque individu porteur du virus est exposé,

on average, e people on a given day,

en moyenne, à e personnes un jour donné,

and each one of those exposures has a probability p

et que chacune de ces expositions a une probabilité p

of becoming a new infection,

de devenir une nouvelle infection,

then the number of new cases on a given day

alors le nombre de nouveaux cas un jour donné

is e * p * n.

est e * p * n.

And the fact that n itself is a factor in its own change

Et le fait que n lui-même soit un facteur de son propre changement

is what really makes things go fast

est ce qui fait vraiment que les choses vont vite

because if n gets big,

car si n devient grand,

it means the rate of growth itself is getting big.

cela signifie que le taux de croissance lui-même devient grand.

One way to think about this is that as you add the new cases Fil du propos

Une façon d'y penser est qu'en ajoutant les nouveaux cas

to get the next day's count,

pour obtenir le compte du lendemain,

you can factor out the n. Phrasal verbs

vous pouvez mettre n en évidence.

So, it's just the same as multiplying by some constant

C'est donc exactement la même chose que de multiplier par une constante

that's bigger than one.

qui est supérieure à un.

This is sometimes easier to see

C'est parfois plus facile à voir

if we put the y-axis of our graph on a logarithmic scale,

si l'on met l'axe des y de notre graphique sur une échelle logarithmique,

which means that each step of a fixed distance

ce qui signifie que chaque pas d'une distance fixe

corresponds to multiplying by a certain factor.

correspond à une multiplication par un certain facteur.

In this case, each step is another power of 10.

Dans ce cas, chaque pas est une autre puissance de 10.

On this scale,

Sur cette échelle,

exponential growth should look like a straight line.

la croissance exponentielle devrait ressembler à une ligne droite.

Looking at our data,

En regardant nos données,

it seems like it took 20 days to go from 100 to 1,000

il semble qu'il a fallu 20 jours pour passer de 100 à 1 000

and 13 days to go from that to 10,000.

et 13 jours pour passer de là à 10 000.

And if you do a simple linear regression to find the best fit line, Vocabulaire

Et si vous faites une simple régression linéaire pour trouver la droite la mieux ajustée,

you can look at the slope of that line to draw a conclusion Phrases

vous pouvez regarder la pente de cette droite pour en tirer une conclusion

like we tend to multiply by 10 every 16 days,

comme le fait que nous avons tendance à multiplier par 10 tous les 16 jours,

on average.

en moyenne.

This regression also lets us be a little more quantitative

Cette régression nous permet également d'être un peu plus quantitatifs

about exactly how close the exponential fit really is.

sur la précision exacte de l'ajustement exponentiel.

And to use the technical statistical jargon here, Fil du propos

Et pour utiliser le jargon statistique technique ici,

the answer is that it's really freaking close. Vocabulaire

la réponse est que c'est sacrément proche.

But it can be hard to digest exactly what that means if true. Idiomes

Mais il peut être difficile de digérer exactement ce que cela signifie si c'est vrai.

When you see one country with, say, 6,000 cases Intention

Quand vous voyez un pays avec, disons, 6 000 cas

and another with 60,

et un autre avec 60,

it's easy to think that the second is doing 100 times better,

il est facile de penser que le second s'en sort 100 fois mieux,

and hence fine.

et donc que tout va bien.

But if you're actually in a situation

Mais si vous êtes réellement dans une situation

where numbers multiply by 10 every 16 days,

où les nombres sont multipliés par 10 tous les 16 jours,

another way to view the same fact Fil du propos

une autre façon de voir le même fait

is that the second country is about a month behind the first.

est que le deuxième pays a environ un mois de retard sur le premier.

Now, this is, of course, rather worrying

Or, c'est bien sûr assez inquiétant

if you draw out the line.

si vous prolongez la courbe.

I'm recording this on March 6th,

J'enregistre ceci le 6 mars,

and if the present trend continues,

et si la tendance actuelle se poursuit,

it would mean hitting a million cases in 30 days,

cela signifierait atteindre un million de cas en 30 jours,

hitting 10 million in 47 days,

atteindre 10 millions en 47 jours,

100 million in 64 days,

100 millions en 64 jours,

and 1 billion in 81 days.

et 1 milliard en 81 jours.

Needless to say, though, Fil du propos

Il va sans dire, cependant,

you can't just draw out a line like this forever.

que l'on ne peut pas simplement prolonger une courbe comme celle-ci à l'infini.

It clearly has to start slowing down at some point.

Elle doit clairement commencer à ralentir à un moment donné.

But the crucial question is when?

Mais la question cruciale est quand ?

Is it like the SARS outbreak of 2002,

Est-ce comme l'épidémie de SRAS de 2002,

which capped out around 8,000 cases, Phrasal verbs

qui a plafonné autour de 8 000 cas,

or the Spanish flu of 1918,

ou la grippe espagnole de 1918,

which ultimately infected about 27% of the world's population?

qui a finalement infecté environ 27 % de la population mondiale ?

In general, with no context,

En général, sans contexte,

just drawing a line through your data

le simple fait de tracer une ligne à travers vos données

is not a great way to make predictions. Intention

n'est pas une bonne façon de faire des prédictions.

But remember,

Mais rappelez-vous,

there's an actual reason to expect an exponential here.

il y a une vraie raison de s'attendre à une exponentielle ici.

If the number of new cases each day

Si le nombre de nouveaux cas chaque jour

is proportional to the number of existing cases, Vocabulaire

est proportionnel au nombre de cas existants,

it necessarily means each day you multiply by some constant.

cela signifie nécessairement que chaque jour vous multipliez par une constante.

So, moving forward d days

Donc, avancer de d jours

is the same as multiplying by that constant d times.

revient à multiplier par cette constante d fois.

The only way that stops Grammaire

La seule façon pour que cela s'arrête

is if either the number e or p goes down.

est que le nombre e ou p diminue.

It's inevitable that this will eventually happen,

Il est inévitable que cela finisse par se produire,

even in the most perfectly pernicious model for a virus,

même dans le modèle le plus parfaitement pernicieux pour un virus,

which would be where every day each person with the infection

qui serait celui où chaque jour chaque personne infectée

is exposed to a random subset of the world's population,

est exposée à un sous-ensemble aléatoire de la population mondiale,

at some point most of the people they're exposed to

à un certain point, la plupart des personnes auxquelles elles sont exposées

would already be sick,

seraient déjà malades,

and so they couldn't become new cases.

et donc elles ne pourraient pas devenir de nouveaux cas.

In our equation,

Dans notre équation,

that would mean that the probability of an exposure becoming a new infection

cela signifierait que la probabilité qu'une exposition devienne une nouvelle infection

would have to include some kind of factor

devrait inclure un certain type de facteur

to account for the probability that someone you're exposed to Phrasal verbs

pour tenir compte de la probabilité que quelqu'un auquel vous êtes exposé

is already infected.

soit déjà infecté.

For a random shuffling model like this,

Pour un modèle de mélange aléatoire comme celui-ci,

that could mean including a factor like 1 -

cela pourrait signifier d'inclure un facteur comme 1 moins

the proportion of people in the world who are already infected.

la proportion de personnes dans le monde qui sont déjà infectées.

Including that factor,

En incluant ce facteur,

and then solving for how n grows,

puis en résolvant la façon dont n croît,

you get what's known in the business as a logistic curve, Phrases

vous obtenez ce qu'on appelle dans le jargon une courbe logistique,

which is essentially indistinguishable from an exponential at the beginning, Vocabulaire

qui est essentiellement indiscernable d'une exponentielle au début,

but ultimately it levels out Phrasal verbs

mais qui finit par s'aplanir

once you're approaching the total population size,

une fois que l'on s'approche de la taille totale de la population,

which is what you would expect.

ce qui est ce à quoi on s'attendrait.

True exponentials essentially never exist in the real world.

Les vraies exponentielles n'existent pratiquement jamais dans le monde réel.

Every one of them is really the start of a logistic curve.

Chacune d'entre elles est en fait le début d'une courbe logistique.

Now, this point right here,

Or, ce point juste ici,

where that logistic curve goes from curving upward Grammaire

où cette courbe logistique passe d'une courbure vers le haut

to instead curving downward,

à une courbure vers le bas,

is known as the inflection point.

est connu sous le nom de point d'inflexion.

There, the number of new cases each day,

Là, le nombre de nouveaux cas chaque jour,

represented by the slope of this curve, Grammaire

représenté par la pente de cette courbe,

stops increasing and instead stays roughly constant

cesse d'augmenter et reste plutôt à peu près constant

before it starts decreasing.

avant de commencer à diminuer.

So, one number that people often follow with epidemics

Donc, un nombre que les gens suivent souvent lors des épidémies

is the growth factor,

est le facteur de croissance,

which is defined as the ratio Phrases

qui est défini comme le rapport

between the number of new cases one day

entre le nombre de nouveaux cas un jour

and the number of new cases the previous day.

et le nombre de nouveaux cas le jour précédent.

So, just to be clear, Fil du propos

Donc, juste pour être clair,

if you were looking at all of the totals from one day to the next,

si vous regardiez tous les totaux d'un jour au suivant,

then tracking the changes between those totals,

puis suiviez les changements entre ces totaux,

the growth factor is a ratio between two successive changes.

le facteur de croissance est un rapport entre deux changements successifs.

While you're on the exponential part, Fil du propos

Tant que vous êtes dans la partie exponentielle,

this factor stays consistently above one.

ce facteur reste constamment supérieur à un.

Whereas as soon as your growth factor looks closer to one,

Tandis que dès que votre facteur de croissance semble plus proche de un,

it's a sign that you've hit the inflection.

c'est le signe que vous avez atteint l'inflexion.

This can make for another counterintuitive fact Phrasal verbs

Cela peut conduire à un autre fait contre-intuitif

while following the data.

lors du suivi des données.

Think about what it would feel like Grammaire

Pensez à ce que l'on ressentirait

for the number of new cases one day

si le nombre de nouveaux cas un jour

to be about 15% more

était environ 15 % plus élevé

than the number of new cases the previous day.

que le nombre de nouveaux cas le jour précédent.

And contrast that with what it would feel like Fil du propos

Et contrastez cela avec ce que l'on ressentirait

for it to be about the same.

s'il était à peu près le même.

Just looking at the totals they result in,

Rien qu'en regardant les totaux qui en résultent,

they don't really feel that different.

on n'a pas vraiment l'impression que c'est si différent.

But if the growth factor is one,

Mais si le facteur de croissance est de un,

it could mean you're at the inflection point of a logistic,

cela pourrait signifier que vous êtes au point d'inflexion d'une logistique,

which would mean the total number of cases

ce qui signifierait que le nombre total de cas

is going to max out at about two times Phrasal verbs

atteindra son maximum à environ deux fois

wherever you are now.

le niveau où vous en êtes maintenant.

But a growth factor bigger than one,

Mais un facteur de croissance supérieur à un,

subtle though that might seem, Grammaire

aussi subtil que cela puisse paraître,

means you're on the exponential part,

signifie que vous êtes sur la partie exponentielle,

which could imply there are orders of magnitude of growth Vocabulaire

ce qui pourrait impliquer qu'il y a des ordres de grandeur de croissance

still waiting ahead of you.

qui vous attendent encore.

Now, while it's true that in the worst-case situation,

Or, s'il est vrai que dans le pire des cas,

the saturation point is around the total population,

le point de saturation se situe autour de la population totale,

it's of course not at all true

il est bien sûr absolument faux de dire

that people with the virus are randomly shuffled

que les personnes porteuses du virus sont mélangées de manière aléatoire

around the world's population like this.

parmi la population mondiale de cette façon.

People are clustered in local communities.

Les gens sont regroupés dans des communautés locales.

However, if you run simulations

Cependant, si vous exécutez des simulations

where there's even a little bit of travel

où il y a même un tout petit peu de voyages

between clusters like this,

entre des groupes comme celui-ci,

the growth is actually not that much different.

la croissance n'est en fait pas si différente.

What you end up with is a kind of fractal pattern, Grammaire

Ce que vous obtenez au final est une sorte de motif fractal,

where communities themselves function like individuals.

où les communautés elles-mêmes fonctionnent comme des individus.

Each one has some exposure to others

Chacune a une certaine exposition aux autres

with some probability of spreading the infection,

avec une certaine probabilité de propager l'infection,

so the same underlying and exponential inducing laws apply.

ainsi, les mêmes lois sous-jacentes induisant l'exponentielle s'appliquent.

Fortunately, saturating the whole population

Heureusement, la saturation de l'ensemble de la population

is not the only thing that can cause Grammaire

n'est pas la seule chose qui peut faire

the two factors we care about to go down.

baisser les deux facteurs qui nous intéressent.

The amount of exposure can also go down

Le niveau d'exposition peut également baisser

when people stop gathering and traveling,

lorsque les gens cessent de se rassembler et de voyager,

and the infection rate can go down

et le taux d'infection peut baisser

when people just wash their hands more.

lorsque les gens se lavent simplement plus les mains.

The other thing that's counterintuitive about exponential growth,

L'autre chose qui est contre-intuitive concernant la croissance exponentielle,

this time in a more optimistic sense,

cette fois dans un sens plus optimiste,

is just how sensitive it is to this constant. Grammaire

c'est à quel point elle est sensible à cette constante.

For example, if it's 15%,

Par exemple, si elle est de 15 %,

like it is as I'm recording this,

comme c'est le cas au moment où j'enregistre ceci,

and we're at 21,000 cases now,

et que nous en sommes à 21 000 cas aujourd'hui,

that would mean that 61 days from now

cela signifierait que dans 61 jours

you hit over 100 million.

vous dépasserez les 100 millions.

But, if through a bit less exposure and infection,

Mais, si grâce à un peu moins d'exposition et d'infection,

that rate drops down to 5%,

ce taux tombe à 5 %,

it doesn't mean the projection also drops down

cela ne signifie pas que la projection diminue également

by a factor of three. Vocabulaire

d'un facteur de trois.

It actually drops down to around 400,000.

Elle tombe en fait à environ 400 000.

So, if people are sufficiently worried, Fil du propos

Donc, si les gens sont suffisamment inquiets,

then there's a lot less to worry about.

alors il y a beaucoup moins de raisons de s'inquiéter.

But if no one is worried,

Mais si personne ne s'inquiète,

that's when you should worry.

c'est là qu'il faut s'inquiéter.