Les produits vectoriels | Chapitre 10, L'essence de l'algèbre linéaire : fiche pour apprendre l’anglais

Last video, I talked about the dot product,

Dans la dernière vidéo, j'ai parlé du produit scalaire,

showing both the standard introduction to the topic, Grammaire

en montrant à la fois l'introduction standard à ce sujet,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

ainsi qu'une vision plus profonde de la façon dont il se rapporte aux transformations linéaires.

I'd like to do the same thing for cross products,

J'aimerais faire la même chose pour les produits vectoriels,

which also have a standard introduction

qui ont également une introduction standard

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Idiomes

ainsi qu'une compréhension plus profonde à la lumière des transformations linéaires.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Mais cette fois, je vais le diviser en deux vidéos distinctes.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Idiomes

Ici, j'essaierai d'aborder les points principaux que l'on montre généralement aux étudiants sur le produit vectoriel.

And in the next video,

Et dans la prochaine vidéo,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

je montrerai une vision qui est moins souvent enseignée,

but really satisfying when you learn it.

mais vraiment satisfaisante quand on l'apprend.

We'll start in two dimensions.

Nous allons commencer en deux dimensions.

If you have two vectors V and W,

Si vous avez deux vecteurs V et W,

think about the parallelogram that they span out. Phrasal verbs

pensez au parallélogramme qu'ils sous-tendent.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Notes

Ce que je veux dire par là, c'est que si vous prenez une copie de V et déplacez sa queue vers la pointe de W,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

et que vous prenez une copie de W et déplacez sa queue vers la pointe de V,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

les quatre vecteurs maintenant à l'écran délimitent un certain parallélogramme.

The cross product of V and W,

Le produit vectoriel de V et W,

written with the X-shaped multiplication symbol,

écrit avec le symbole de multiplication en forme de X,

is the area of this parallelogram.

est l'aire de ce parallélogramme.

Well, almost. Fil du propos

Eh bien, presque.

We also need to consider orientation.

Nous devons également tenir compte de l'orientation.

Basically, if V is on the right of W,

En gros, si V est à la droite de W,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

alors V vectoriel W est positif et égal à l'aire du parallélogramme.

But if V is on the left of W,

Mais si V est à la gauche de W,

then the cross product is negative,

alors le produit vectoriel est négatif,

namely the negative area of that parallelogram.

c'est-à-dire l'aire négative de ce parallélogramme.

Notice, this means that order matters. Phrases

Remarquez que cela signifie que l'ordre compte.

If you swapped V and W,

Si vous échangiez V et W,

instead taking W cross V,

en prenant plutôt W vectoriel V,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Grammaire

le produit vectoriel deviendrait l'opposé de ce qu'il était auparavant.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

La façon dont je me souviens toujours de l'ordre ici, c'est que lorsque vous prenez le produit vectoriel des deux vecteurs de base dans l'ordre,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-chapeau vectoriel j-chapeau, le résultat doit être positif.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

En fait, l'ordre de vos vecteurs de base est ce qui définit l'orientation.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Donc, puisque i-chapeau est à la droite de j-chapeau,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

je me souviens que V vectoriel W doit être positif chaque fois que V est à la droite de W.

So, for example, with the vectors shown here,

Donc, par exemple, avec les vecteurs montrés ici,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

je vais juste vous dire que l'aire de ce parallélogramme est de sept.

And since V is on the left of W,

Et puisque V est à la gauche de W,

the cross product should be negative.

le produit vectoriel devrait être négatif.

So, V cross W is negative seven.

Donc, V vectoriel W vaut moins sept.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Mais bien sûr, vous voulez être capable de calculer cela sans que quelqu'un vous donne l'aire.

This is where the determinant comes in. Phrasal verbs

C'est là que le déterminant entre en jeu.

So, if you didn't see chapter five of this series, Grammaire

Donc, si vous n'avez pas vu le chapitre cinq de cette série,

where I talk about the determinant,

où je parle du déterminant,

now would be a really good time to go take a look.

ce serait vraiment le bon moment pour aller y jeter un coup d'œil.

Even if you did see it, but it was a while ago,

Même si vous l'avez vu, mais qu'il y a un certain temps,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Idiomes

je recommanderais d'y jeter un autre coup d'œil juste pour vous assurer que ces idées sont fraîches dans votre esprit.

For the 2D cross product, V cross W,

Pour le produit vectoriel 2D, V vectoriel W,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

ce que vous faites est d'écrire les coordonnées de V comme la première colonne d'une matrice,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

et vous prenez les coordonnées de W et en faites la deuxième colonne.

Then you just compute the determinant.

Ensuite, vous calculez simplement le déterminant.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

C'est parce qu'une matrice dont les colonnes représentent V et W correspond à une transformation linéaire qui déplace les vecteurs de base i-chapeau et j-chapeau vers V et W.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

Le déterminant sert uniquement à mesurer comment les aires changent en raison d'une transformation.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

Et l'aire prototypique que nous regardons est le carré unité reposant sur i-chapeau et j-chapeau.

After the transformation,

Après la transformation,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Phrasal verbs

ce carré se transforme en le parallélogramme qui nous intéresse.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Grammaire

Donc, le déterminant, qui mesure généralement le facteur par lequel les aires sont modifiées,

gives the area of this parallelogram,

donne l'aire de ce parallélogramme,

since it evolved from a square that started with area one.

puisqu'il a évolué à partir d'un carré qui a commencé avec une aire de un.

What's more, if V is on the left of W,

De plus, si V est à la gauche de W,

it means that orientation was flipped during that transformation,

cela signifie que l'orientation a été inversée pendant cette transformation,

which is what it means for the determinant to be negative. Grammaire

ce qui explique pourquoi le déterminant est négatif.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

À titre d'exemple, disons que V a pour coordonnées moins trois un,

and W has coordinates two one.

et W a pour coordonnées deux un.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

Le déterminant de la matrice avec ces coordonnées comme colonnes est moins trois fois un moins deux fois un,

which is negative five.

ce qui fait moins cinq.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Donc, de toute évidence, l'aire du parallélogramme qu'ils définissent est de cinq.

And since V is on the left of W,

Et puisque V est à la gauche de W,

it should make sense that this value is negative.

il est logique que cette valeur soit négative.

As with any new operation you learn,

Comme pour toute nouvelle opération que vous apprenez,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Notes

je recommanderais de jouer un peu avec cette notion dans votre tête juste pour avoir une intuition de ce qu'est le produit vectoriel.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Par exemple, vous pourriez remarquer que lorsque deux vecteurs sont perpendiculaires,

or at least close to being perpendicular,

ou du moins près de l'être,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Grammaire

leur produit vectoriel est plus grand qu'il ne le serait s'ils pointaient dans des directions très similaires,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

parce que l'aire de ce parallélogramme est plus grande lorsque les côtés sont plus proches d'être perpendiculaires.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Phrasal verbs

Une autre chose que vous pourriez remarquer est que si vous deviez agrandir l'un de ces vecteurs,

perhaps multiplying V by three,

peut-être en multipliant V par trois,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Phrases

alors l'aire de ce parallélogramme est également agrandie d'un facteur de trois.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Fil du propos

Donc, ce que cela signifie pour l'opération, c'est que trois V vectoriel W sera exactement trois fois la valeur de V vectoriel W.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Grammaire

Maintenant, même si tout cela est une opération mathématique parfaitement valable,

what I just described is technically not the cross product. Vocabulaire

ce que je viens de décrire n'est techniquement pas le produit vectoriel.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

Le vrai produit vectoriel est quelque chose qui combine deux vecteurs 3D différents pour obtenir un nouveau vecteur 3D.

Just as before, Fil du propos

Comme auparavant,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

nous allons toujours considérer le parallélogramme défini par les deux vecteurs que nous multiplions ensemble.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Idiomes

Et l'aire de ce parallélogramme va toujours jouer un grand rôle.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Fil du propos

Pour être concret, disons que l'aire est de 2,5 pour les vecteurs montrés ici.

But as I said, the cross product is not a number,

Mais comme je l'ai dit, le produit vectoriel n'est pas un nombre,

it's a vector.

c'est un vecteur.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

La longueur de ce nouveau vecteur sera l'aire de ce parallélogramme,

which in this case is 2.5.

qui dans ce cas est de 2,5.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

Et la direction de ce nouveau vecteur sera perpendiculaire au parallélogramme.

But which way, right?

Mais dans quel sens, n'est-ce pas ?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Je veux dire, il y a deux vecteurs possibles de longueur 2,5 qui sont perpendiculaires à un plan donné.

This is where the right hand rule comes in. Vocabulaire

C'est là que la règle de la main droite entre en jeu.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Pointez l'index de votre main droite dans la direction de V.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Phrasal verbs

Puis tendez votre majeur dans la direction de W.

Then, when you point up your thumb,

Ensuite, quand vous levez votre pouce vers le haut,

that's the direction of the cross product.

c'est la direction du produit vectoriel.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Par exemple, disons que V était un vecteur de longueur deux pointant droit vers le haut dans la direction Z,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

et W est un vecteur de longueur deux pointant dans la direction pure Y.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

Le parallélogramme qu'ils définissent dans cet exemple simple est en fait un carré,

since they're perpendicular and have the same length. Grammaire

puisqu'ils sont perpendiculaires et ont la même longueur.

And the area of that square is four.

Et l'aire de ce carré est de quatre.

So, their cross product should be a vector with length four.

Donc, leur produit vectoriel devrait être un vecteur de longueur quatre.

Using the right hand rule,

En utilisant la règle de la main droite,

their cross product should point in the negative X direction.

leur produit vectoriel devrait pointer dans la direction X négative.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Donc, le produit vectoriel de ces deux vecteurs est moins quatre fois i-chapeau.

For more general computations,

Pour des calculs plus généraux,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Intention

il existe une formule que vous pourriez mémoriser si vous le vouliez,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

mais il est courant et plus facile de se souvenir plutôt d'un certain processus impliquant le déterminant 3D.

Now, this process looks truly strange at first.

Maintenant, ce processus semble vraiment étrange au début.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

Vous écrivez une matrice 3D où les deuxième et troisième colonnes contiennent les coordonnées de V et W.

But for that first column,

Mais pour cette première colonne,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

vous écrivez les vecteurs de base i-chapeau, j-chapeau et k-chapeau.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Ensuite, vous calculez le déterminant de cette matrice.

The silliness is probably clear here.

L'absurdité est probablement claire ici.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Idiomes

Que diable cela signifie-t-il de mettre un vecteur comme élément d'une matrice ?

Students are often told that this is just a notational trick.

On dit souvent aux étudiants que c'est juste une astuce de notation.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Notes

Lorsque vous effectuez les calculs comme si i-chapeau, j-chapeau et k-chapeau étaient des nombres,

then you get some linear combination of those basis vectors.

alors vous obtenez une certaine combinaison linéaire de ces vecteurs de base.

And the vector defined by that linear combination,

Et le vecteur défini par cette combinaison linéaire,

students are told to just believe, Intention

on dit aux étudiants de simplement le croire,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

est l'unique vecteur perpendiculaire à V et W dont la grandeur est l'aire du parallélogramme approprié

and whose direction obeys the right hand rule.

et dont la direction obéit à la règle de la main droite.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Intention

Et bien sûr, dans un sens, c'est juste une astuce de notation.

But there is a reason for doing it.

Mais il y a une raison de le faire.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Fil du propos

Ce n'est pas juste une coïncidence que le déterminant soit encore une fois important.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

Et mettre les vecteurs de base dans ces emplacements n'est pas juste une chose aléatoire à faire.

To understand where all of this comes from,

Pour comprendre d'où vient tout cela,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

il est utile d'utiliser l'idée de dualité que j'ai introduite dans la dernière vidéo.

This concept is a little bit heavy, Idiomes

Ce concept est cependant un peu lourd.

though.

Donc, je le mets dans une vidéo de suivi séparée pour tous ceux d'entre vous qui sont curieux d'en apprendre davantage.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

On peut soutenir qu'il sort de l'essence de l'algèbre linéaire.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Notes

La partie importante ici est de savoir ce que ce vecteur de produit vectoriel représente géométriquement.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Donc, si vous voulez sauter cette prochaine vidéo,

So, if you want to skip that next video,

n'hésitez pas.

feel free. Intention

Mais pour ceux d'entre vous qui sont prêts à aller un peu plus loin et qui sont curieux de la connexion entre ce calcul et la géométrie sous-jacente,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Idiomes

les idées dont je parlerai dans la prochaine vidéo sont tout simplement une partie des mathématiques vraiment élégante.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

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