Les vecteurs | Chapitre 1, L'essence de l'algèbre linéaire : fiche pour apprendre l’anglais

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

La racine fondamentale, la pierre angulaire de l'algèbre linéaire, c'est le vecteur.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Notes

Il vaut donc la peine de s'assurer que nous sommes tous sur la même longueur d'onde

about what exactly a vector is.

quant à ce qu'est exactement un vecteur.

You see, broadly speaking, Fil du propos

Vous voyez, de manière générale,

there are three distinct but related ideas about vectors,

il y a trois idées distinctes mais liées concernant les vecteurs,

which I'll call the physics student perspective,

que j'appellerai la perspective de l'étudiant en physique,

the computer science student perspective,

la perspective de l'étudiant en informatique,

and the mathematician's perspective.

et la perspective du mathématicien.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

La perspective de l'étudiant en physique est que les vecteurs sont des flèches pointant dans l'espace.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

Ce qui définit un vecteur donné, c'est sa longueur et la direction dans laquelle il pointe.

But as long as those two facts are the same, Grammaire

Mais tant que ces deux caractéristiques sont identiques,

you can move it all around and it's still the same vector.

vous pouvez le déplacer partout et ce sera toujours le même vecteur.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

Les vecteurs qui vivent dans un plan plat sont bidimensionnels,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

et ceux situés dans l'espace plus vaste dans lequel vous et moi vivons sont tridimensionnels.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

La perspective de l'informatique est que les vecteurs sont des listes ordonnées de nombres.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Par exemple, disons que vous faisiez des analyses sur les prix des maisons,

and the only features you cared about were square footage and price.

et que les seules caractéristiques qui vous intéressaient étaient la superficie et le prix.

You might model each house with a pair of numbers,

Vous pourriez modéliser chaque maison avec une paire de nombres,

the first indicating square footage and the second indicating price.

le premier indiquant la superficie et le second le prix.

Notice the order matters here.

Remarquez que l'ordre compte ici.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

Dans le jargon, vous modéliseriez les maisons comme des vecteurs bidimensionnels,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

où dans ce contexte, vecteur est à peu près juste un mot sophistiqué pour liste,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

et ce qui le rend bidimensionnel, c'est le fait que la longueur de cette liste est de deux.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Fil du propos

Le mathématicien, en revanche, cherche à généraliser ces deux visions,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

en disant essentiellement qu'un vecteur peut être n'importe quoi où il y a une notion sensée

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

d'additionner deux vecteurs et de multiplier un vecteur par un nombre,

operations that I'll talk about later on in this video.

opérations dont je parlerai plus tard dans cette vidéo.

The details of this view are rather abstract

Les détails de cette vision sont plutôt abstraits

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

et je pense d'ailleurs qu'il est sain de l'ignorer jusqu'à la dernière vidéo de cette série,

favoring a more concrete setting in the interim. Vocabulaire

en privilégiant un cadre plus concret d'ici là.

But the reason I bring it up here Phrasal verbs

Mais la raison pour laquelle j'en parle ici

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

c'est que cela laisse entendre que les idées d'addition de vecteurs

and multiplication by numbers will play an important role

et de multiplication par des nombres joueront un rôle important

throughout linear algebra.

tout au long de l'algèbre linéaire.

But before I talk about these operations,

Mais avant que je ne parle de ces opérations,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

mettons-nous d'accord sur une pensée spécifique à garder à l'esprit

when I say the word vector.

quand je prononce le mot vecteur.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Phrasal verbs

Étant donné l'approche géométrique que je vise ici,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

chaque fois que j'introduis un nouveau sujet impliquant des vecteurs,

I want you to first think about an arrow,

je veux que vous pensiez d'abord à une flèche,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

et plus précisément, pensez à cette flèche dans un système de coordonnées,

like the XY plane,

comme le plan XY,

with its tail sitting at the origin.

avec sa queue située à l'origine.

This is a little bit different from the physics student perspective,

C'est un peu différent de la perspective de l'étudiant en physique,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

où les vecteurs peuvent librement se trouver n'importe où dans l'espace.

In linear algebra,

En algèbre linéaire,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

il est presque toujours vrai que votre vecteur sera enraciné à l'origine.

Then, once you understand a new concept

Ensuite, une fois que vous comprendrez un nouveau concept

in the context of arrows in space, Phrases

dans le contexte des flèches dans l'espace,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

nous le traduirons vers le point de vue des listes de nombres,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

ce que nous pouvons faire en considérant les coordonnées du vecteur.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Maintenant, bien que je sois sûr que beaucoup d'entre vous sont déjà familiers avec ce système de coordonnées,

it's worth walking through explicitly

il vaut la peine d'y aller explicitement

since this is where all of the important back and forth happens

puisque c'est là que se produit tout le va-et-vient important

between the two perspectives of linear algebra.

entre les deux perspectives de l'algèbre linéaire.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

En concentrant notre attention sur deux dimensions pour le moment,

you have a horizontal line called the x-axis

vous avez une ligne horizontale appelée l'axe des x

and a vertical line called the y-axis.

et une ligne verticale appelée l'axe des y.

The place where they intersect is called the origin,

L'endroit où elles se croisent s'appelle l'origine,

which you should think of as the center of space

que vous devriez considérer comme le centre de l'espace

and the root of all vectors.

et la racine de tous les vecteurs.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Après avoir choisi une longueur arbitraire pour représenter un,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

vous faites des graduations sur chaque axe pour représenter cette distance.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Quand je veux transmettre l'idée de l'espace 2D dans son ensemble,

which you'll see comes up a lot in these videos, Phrasal verbs

ce qui, vous le verrez, revient souvent dans ces vidéos,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

j'étendrai ces graduations pour faire des lignes de quadrillage.

But right now,

Mais pour le moment,

they'll actually get a little bit in the way. Idiomes

elles seront un peu encombrantes.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

Les coordonnées d'un vecteur sont une paire de nombres

that basically gives instructions for how to get

qui donnent essentiellement des instructions sur la façon de se rendre

from the tail of that vector at the origin to its tip.

de la queue de ce vecteur à l'origine jusqu'à sa pointe.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

Le premier nombre vous dit jusqu'où marcher le long de l'axe des x,

positive numbers indicating rightward motion,

les nombres positifs indiquant un mouvement vers la droite,

negative numbers indicating leftward motion,

les nombres négatifs indiquant un mouvement vers la gauche,

and the second number tells you how far to walk

et le deuxième nombre vous dit jusqu'où marcher

parallel to the y-axis after that,

parallèlement à l'axe des y après cela,

positive numbers indicating upward motion

les nombres positifs indiquant un mouvement vers le haut

and negative numbers indicating downward motion.

et les nombres négatifs indiquant un mouvement vers le bas.

To distinguish vectors from points,

Pour distinguer les vecteurs des points,

the convention is to write this pair of numbers vertically

la convention est d'écrire cette paire de nombres verticalement

with square brackets around them.

avec des crochets autour d'eux.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Chaque paire de nombres vous donne un et un seul vecteur,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

et chaque vecteur est associé à une et une seule paire de nombres.

What about in three dimensions?

Qu'en est-il en trois dimensions ?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Eh bien, vous ajoutez un troisième axe, appelé l'axe des z,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

qui est perpendiculaire à la fois aux axes x et y,

and in this case,

et dans ce cas,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

chaque vecteur est associé à un triplet ordonné de nombres.

The first tells you how far to move along the x-axis,

Le premier vous dit jusqu'où vous déplacer le long de l'axe des x,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

le second vous dit jusqu'où vous déplacer parallèlement à l'axe des y,

and the third one tells you how far to then move

et le troisième vous dit jusqu'où vous déplacer ensuite

parallel to this new z-axis.

parallèlement à ce nouvel axe des z.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Chaque triplet de nombres vous donne un vecteur unique dans l'espace,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

et chaque vecteur dans l'espace vous donne exactement un triplet de nombres.

All right,

Très bien,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

revenons à l'addition de vecteurs et à la multiplication par des nombres.

After all, Fil du propos

Après tout,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

chaque sujet en algèbre linéaire va se centrer sur ces deux opérations.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

Heureusement, chacune est assez simple à définir.

Let's say we have two vectors,

Disons que nous avons deux vecteurs,

one pointing up and a little to the right

l'un pointant vers le haut et un peu vers la droite

and the other one pointing right and down a bit.

et l'autre pointant vers la droite et un peu vers le bas.

To add these two vectors,

Pour additionner ces deux vecteurs,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

déplacez le second pour que sa queue repose sur la pointe du premier.

Then, if you draw a new vector

Ensuite, si vous dessinez un nouveau vecteur

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

de la queue du premier à l'endroit où se trouve maintenant la pointe du second,

that new vector is their sum.

ce nouveau vecteur est leur somme.

This definition of addition, by the way, Fil du propos

Cette définition de l'addition, soit dit en passant,

is pretty much the only time in linear algebra

est à peu près la seule fois en algèbre linéaire

where we let vectors stray away from the origin.

où nous laissons les vecteurs s'éloigner de l'origine.

Now,

Maintenant,

why is this a reasonable thing to do?

pourquoi est-ce une chose raisonnable à faire ?

Why this definition of addition and not some other one?

Pourquoi cette définition de l'addition et pas une autre ?

Well,

Eh bien,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

la façon dont j'aime y penser est que chaque vecteur représente un certain mouvement,

a step with a certain distance and direction in space.

une étape avec une certaine distance et direction dans l'espace.

If you take a step along the first vector,

Si vous faites un pas le long du premier vecteur,

then take a step in the direction and distance

puis faites un pas dans la direction et la distance

described by the second vector,

décrites par le second vecteur,

the overall effect is just the same as if you moved

l'effet global est le même que si vous vous déplaciez

along the sum of those two vectors to start with. Phrases

le long de la somme de ces deux vecteurs pour commencer.

You could think about this as an extension

Vous pourriez penser à cela comme une extension

of how we think about adding numbers on a number line.

de la façon dont nous pensons à l'addition de nombres sur une droite numérique.

One way that we teach kids to think about this,

Une façon dont nous apprenons aux enfants à y penser,

say with 2 + 5,

disons avec 2 + 5,

is to think of moving two steps to the right,

c'est de penser à faire deux pas vers la droite,

followed by another five steps to the right.

suivis de cinq autres pas vers la droite.

The overall effect is the same

L'effet global est le même

as if you just took seven steps to the right.

que si vous aviez simplement fait sept pas vers la droite.

In fact,

En fait,

let's see how vector addition looks numerically.

voyons à quoi ressemble l'addition de vecteurs numériquement.

The first vector here has coordinates 1 2,

Le premier vecteur ici a pour coordonnées 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

et le second a pour coordonnées 3 -1.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Vocabulaire

Lorsque vous prenez la somme vectorielle en utilisant cette méthode de la pointe à la queue,

you can think of a four-step path

vous pouvez penser à un chemin en quatre étapes

from the origin to the tip of the second vector.

de l'origine à la pointe du second vecteur.

Walk one to the right,

Marchez de un vers la droite,

then two up,

puis de deux vers le haut,

then three to the right,

puis de trois vers la droite,

then one down.

puis de un vers le bas.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

En réorganisant ces étapes pour faire d'abord tout le mouvement vers la droite,

then do all the vertical motion,

puis tout le mouvement vertical,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

vous pouvez le lire comme disant d'abord déplacez-vous de 1 + 3 vers la droite,

then move 2 -1 up.

puis déplacez-vous de 2 - 1 vers le haut.

So,

Donc,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

le nouveau vecteur a pour coordonnées 1 + 3 et 2 + -1.

In general,

En général,

vector addition in this list of numbers conception

l'addition de vecteurs dans cette conception de liste de nombres

looks like matching up their terms and adding each one together.

ressemble à associer leurs termes et à les additionner chacun ensemble.

The other fundamental vector operation

L'autre opération vectorielle fondamentale

is multiplication by a number.

est la multiplication par un nombre.

Now,

Or,

this is best understood just by looking at a few examples. Grammaire

c'est mieux compris juste en regardant quelques exemples.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

Si vous prenez le nombre deux et le multipliez par un vecteur donné,

it means you stretch out that vector Phrasal verbs

cela signifie que vous étirez ce vecteur

so that it's two times as long as when you started. Grammaire

pour qu'il soit deux fois plus long qu'au départ.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Si vous multipliez ce vecteur par, disons, 1/3,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Phrasal verbs

cela signifie que vous le comprimez pour qu'il fasse 1/3 de la longueur d'origine.

When you multiply it by a negative number,

Lorsque vous le multipliez par un nombre négatif,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Phrasal verbs

comme -1.8, alors le vecteur est d'abord retourné,

then stretched out by that factor of 1.8. Phrases

puis étiré par ce facteur de 1.8.

This process of stretching or squishing

Ce processus d'étirement ou de compression

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

ou parfois d'inversion de la direction d'un vecteur est appelé mise à l'échelle.

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

Et chaque fois que vous attrapez un nombre, comme deux ou 1/3 ou -1.8,

acting like this, scaling some vector,

agissant ainsi, mettant à l'échelle un vecteur,

you call it a scalar.

vous l'appelez un scalaire.

In fact, throughout linear algebra,

En fait, tout au long de l'algèbre linéaire,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

l'une des principales choses que font les nombres est de mettre à l'échelle des vecteurs.

So,

Donc,

it's common to use the word scalar

il est courant d'utiliser le mot scalaire

pretty much interchangeably with the word number. Phrases

de manière pratiquement interchangeable avec le mot nombre.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Numériquement, l'étirement d'un vecteur par un facteur de, disons, deux

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

correspond à la multiplication de chacune de ses composantes par ce facteur,

two.

deux.

So,

Donc,

in the conception of vectors as lists of numbers,

dans la conception des vecteurs comme des listes de nombres,

multiplying a given vector by a scalar

multiplier un vecteur donné par un scalaire

means multiplying each one of those components by that scalar.

signifie multiplier chacune de ces composantes par ce scalaire.

You'll see in the following videos what I mean

Vous verrez dans les vidéos suivantes ce que je veux dire

when I say that linear algebra topics tend to revolve Phrases

quand je dis que les sujets de l'algèbre linéaire ont tendance à tourner

around these two fundamental operations,

autour de ces deux opérations fondamentales,

vector addition and scalar multiplication.

l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire.

And I'll talk more in the last video

Et je parlerai plus en détail dans la dernière vidéo

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

de la façon dont et pourquoi le mathématicien ne pense qu'à ces opérations,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Phrasal verbs

indépendamment et abstraitement de la façon dont vous choisissez de représenter les vecteurs.

In truth,

En vérité,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Grammaire

peu importe que vous pensiez aux vecteurs comme étant fondamentalement des flèches dans l'espace,

like I'm suggesting you do,

comme je vous suggère de le faire,

that happen to have a nice numerical representation, Grammaire

qui se trouvent avoir une belle représentation numérique,

or fundamentally as lists of numbers

ou fondamentalement comme des listes de nombres

that happen to have a nice geometric interpretation.

qui se trouvent avoir une belle interprétation géométrique.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Grammaire

L'utilité de l'algèbre linéaire a moins à voir avec l'une ou l'autre de ces visions

than it does with the ability to translate back and forth between them. Phrases

qu'avec la capacité de traduire d'une à l'autre.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Elle donne à l'analyste de données une belle façon de conceptualiser

many lists of numbers in a visual way,

de nombreuses listes de nombres d'une manière visuelle,

which can seriously clarify patterns in data

ce qui peut sérieusement clarifier les modèles dans les données

and give a global view of what certain operations do.

et donner une vue globale de ce que font certaines opérations.

And on the flip side, Fil du propos

Et d'un autre côté,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

elle donne aux gens comme les physiciens et les programmeurs graphiques

a language to describe space

un langage pour décrire l'espace

and the manipulation of space

et la manipulation de l'espace

using numbers that can be crunched and run through a computer. Vocabulaire

en utilisant des nombres qui peuvent être traités et exécutés par un ordinateur.

When I do math-y animations, for example, Vocabulaire

Quand je fais des animations mathématiques, par exemple,

I start by thinking about what's actually going on in space Idiomes

je commence par penser à ce qui se passe réellement dans l'espace

and then get the computer to represent things numerically,

et je demande ensuite à l'ordinateur de représenter les choses numériquement,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Grammaire

en calculant ainsi où placer les pixels sur l'écran.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

Et faire cela repose généralement sur une grande compréhension de l'algèbre linéaire.

So,

Donc,

there are your vector basics,

voilà vos bases sur les vecteurs,

and in the next video,

et dans la prochaine vidéo,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

je commencerai à aborder des concepts assez intéressants autour des vecteurs,

like span, bases, and linear dependence.

comme l'espace engendré (span), les bases et la dépendance linéaire.

See you then.

À la prochaine.