Combinaisons linéaires, espace engendré et base | Chapitre 2, L'Essence de l'algèbre linéaire : fiche pour apprendre l’anglais

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

Dans la dernière vidéo, en plus des concepts d'addition de vecteurs et de multiplication par un scalaire, j'ai décrit les coordonnées de vecteurs,

where there's this back and forth between, Idiomes

où il y a ce va-et-vient entre,

for example,

par exemple,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

des paires de nombres et des vecteurs bidimensionnels.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Maintenant, j'imagine que les coordonnées de vecteurs étaient déjà familières pour beaucoup d'entre vous,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Fil du propos

mais il existe une autre façon intéressante de voir ces coordonnées,

which is pretty central to linear algebra.

qui est plutôt centrale en algèbre linéaire.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Grammaire

Lorsque vous avez une paire de nombres censée décrire un vecteur,

like 3 -2,

comme 3 et -2,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Grammaire

je veux que vous considériez chaque coordonnée comme un scalaire,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

c'est-à-dire que vous pensiez à la façon dont chacun étire ou écrase les vecteurs.

In the XY coordinate system,

Dans le système de coordonnées XY,

there are two very special vectors.

il existe deux vecteurs très spéciaux.

The one pointing to the right with length one,

Celui qui pointe vers la droite avec une longueur de un,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

communément appelé i-hat, ou le vecteur unitaire dans la direction X,

and the one pointing straight up with length one,

et celui qui pointe directement vers le haut avec une longueur de un,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

communément appelé j-hat, ou le vecteur unitaire dans la direction Y.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Maintenant, considérez la coordonnée X de notre vecteur comme un scalaire qui met à l'échelle i-hat,

stretching it by a factor of 3, Phrases

en l'étirant par un facteur de 3,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

et la coordonnée Y comme un scalaire qui met à l'échelle j-hat,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

en l'inversant et en l'étirant par un facteur de 2.

In this sense,

En ce sens,

the vector that these coordinates describe

le vecteur que ces coordonnées décrivent

is the sum of two scaled vectors.

est la somme de deux vecteurs mis à l'échelle.

That's a surprisingly important concept,

C'est un concept étonnamment important,

this idea of adding together two scaled vectors.

cette idée d'additionner deux vecteurs mis à l'échelle.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Ces deux vecteurs i-hat et j-hat ont un nom spécial,

by the way.

au fait.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Ensemble, ils sont appelés la base d'un système de coordonnées.

What this means basically

Ce que cela signifie fondamentalement

is that when you think about coordinates as scalars,

c'est que lorsque vous considérez les coordonnées comme des scalaires,

the basis vectors are what those scalars actually,

les vecteurs de base sont ce que ces scalaires,

you know, scale.

vous savez, mettent réellement à l'échelle.

There's also a more technical definition,

Il y a aussi une définition plus technique,

but I'll get to that later.

mais j'y viendrai plus tard.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Phrases

En définissant notre système de coordonnées à l'aide de ces deux vecteurs de base spéciaux,

it raises a pretty interesting and subtle point. Phrases

cela soulève un point assez intéressant et subtil.

We could have chosen different basis vectors Grammaire

Nous aurions pu choisir des vecteurs de base différents

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

et obtenir un nouveau système de coordonnées tout à fait raisonnable.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Par exemple, prenez un vecteur pointant vers le haut et vers la droite,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

avec un autre vecteur pointant vers le bas et vers la droite d'une certaine manière.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

Prenez un moment pour réfléchir à tous les différents vecteurs que vous pouvez obtenir

by choosing two scalars,

en choisissant deux scalaires,

using each one to scale one of the vectors,

en utilisant chacun pour mettre à l'échelle l'un des vecteurs,

then adding together what you get.

puis en additionnant ce que vous obtenez.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

Quels vecteurs bidimensionnels pouvez-vous atteindre en modifiant les choix de scalaires ?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

La réponse est que vous pouvez atteindre n'importe quel vecteur bidimensionnel possible,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

et je pense que c'est une bonne énigme de réfléchir à pourquoi.

A new pair of basis vectors like this

Une nouvelle paire de vecteurs de base comme celle-ci

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

nous donne toujours un moyen valide de faire des va-et-vient entre des paires de nombres

and two-dimensional vectors,

et des vecteurs bidimensionnels,

but the association is definitely different from the one that you get

mais l'association est définitivement différente de celle que vous obtenez

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

en utilisant la base plus standard de i-hat et j-hat.

This is something I'll go into much more detail on later, Phrasal verbs

C'est un sujet sur lequel je reviendrai beaucoup plus en détail plus tard,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

en décrivant la relation exacte entre les différents systèmes de coordonnées,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

mais pour l'instant, je veux juste que vous appréciiez le fait que

any time we describe vectors numerically,

chaque fois que nous décrivons des vecteurs numériquement,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Phrases

cela dépend d'un choix implicite des vecteurs de base que nous utilisons.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Ainsi, chaque fois que vous mettez à l'échelle deux vecteurs et les additionnez de cette façon,

it's called a linear combination of those two vectors. Vocabulaire

c'est ce qu'on appelle une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

Where does this word linear come from?

D'où vient ce mot linéaire ?

Why does this have anything to do with lines? Phrases

Pourquoi cela a-t-il un rapport avec des lignes ?

Well, this isn't the etymology,

Eh bien, ce n'est pas l'étymologie,

but one way I like to think about it is that Fil du propos

mais une façon dont j'aime y penser est que

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

si vous fixez un de ces scalaires et laissez l'autre changer de valeur librement,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

l'extrémité du vecteur résultant dessine une ligne droite.

Now, if you let both scalars range freely Grammaire

Maintenant, si vous laissez les deux scalaires varier librement

and consider every possible vector that you can get,

et considérez chaque vecteur possible que vous pouvez obtenir,

there are two things that can happen.

deux choses peuvent se produire.

For most pairs of vectors,

Pour la plupart des paires de vecteurs,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

vous pourrez atteindre tous les points possibles dans le plan.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Idiomes

Chaque vecteur bidimensionnel est à votre portée.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Phrasal verbs

Cependant, dans le cas malheureux où vos deux vecteurs d'origine se trouvent être alignés,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

l'extrémité du vecteur résultant est limitée à cette seule ligne passant par l'origine.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

En fait, techniquement, il y a aussi une troisième possibilité.

Both your vectors could be zero,

Vos deux vecteurs pourraient être nuls,

in which case you'd just be stuck at the origin. Grammaire

auquel cas vous seriez simplement coincé à l'origine.

Here's some more terminology.

Voici un peu plus de terminologie.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

L'ensemble de tous les vecteurs possibles que vous pouvez atteindre avec une combinaison linéaire d'une paire de vecteurs donnée

is called the span of those two vectors. Vocabulaire

est appelé l'espace engendré (ou span) par ces deux vecteurs.

So, restating what we just saw in this lingo,

Donc, pour reformuler ce que nous venons de voir dans ce jargon,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

l'espace engendré par la plupart des paires de vecteurs 2D correspond à tous les vecteurs de l'espace 2D,

but when they line up,

mais lorsqu'ils sont alignés,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

leur espace engendré correspond à tous les vecteurs dont l'extrémité repose sur une certaine ligne.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Idiomes

Vous vous souvenez que j'ai dit que l'algèbre linéaire s'articule autour de l'addition de vecteurs et de la multiplication par un scalaire ?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

Eh bien, l'espace engendré par deux vecteurs est fondamentalement une façon de demander :

what are all the possible vectors you can reach

quels sont tous les vecteurs possibles que vous pouvez atteindre

using only these two fundamental operations,

en utilisant uniquement ces deux opérations fondamentales,

vector addition and scalar multiplication?

l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire ?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

C'est le bon moment pour parler de la façon dont les gens considèrent couramment les vecteurs comme des points.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Cela devient vraiment encombré de penser à toute une collection de vecteurs posés sur une ligne,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

et encore plus encombré de penser à tous les vecteurs bidimensionnels remplissant le plan en même temps.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Ainsi, lorsqu'on traite des collections de vecteurs comme celle-ci,

it's common to represent each one with just a point in space.

il est courant de représenter chacun par un simple point dans l'espace.

The point at the tip of that vector,

Le point situé à l'extrémité de ce vecteur,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

où, comme d'habitude, je veux que vous pensiez à ce vecteur avec son origine au point (0,0).

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

De cette façon, si vous voulez penser à tous les vecteurs possibles dont l'extrémité se trouve sur une certaine ligne,

just think about the line itself.

pensez simplement à la ligne elle-même.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

De même, pour penser à tous les vecteurs bidimensionnels possibles en même temps,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

conceptualisez chacun comme le point où se trouve son extrémité.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Donc, en effet, ce à quoi vous penserez, c'est à la feuille plate infinie de l'espace bidimensionnel lui-même,

leaving the arrows out of it. Phrasal verbs

en laissant les flèches de côté.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Phrases

En général, si vous pensez à un vecteur seul,

think of it as an arrow.

considérez-le comme une flèche.

And if you're dealing with a collection of vectors,

Et si vous traitez une collection de vecteurs,

it's convenient to think of them all as points.

il est pratique de tous les considérer comme des points.

So, for our span example,

Donc, pour notre exemple d'espace engendré,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Phrasal verbs

l'espace engendré par la plupart des paires de vecteurs finit par être la feuille infinie entière de l'espace bidimensionnel,

but if they line up,

mais s'ils s'alignent,

their span is just a line.

leur espace engendré n'est qu'une ligne.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

L'idée de l'espace engendré devient beaucoup plus intéressante si nous commençons à penser aux vecteurs dans un espace tridimensionnel.

For example,

Par exemple,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

si vous prenez deux vecteurs dans l'espace 3D qui ne pointent pas dans la même direction,

what does it mean to take their span?

que signifie prendre leur espace engendré ?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Eh bien, leur espace engendré est la collection de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces deux vecteurs,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

c'est-à-dire tous les vecteurs possibles que vous obtenez en mettant à l'échelle chacun des deux d'une manière ou d'une autre

and then adding them together.

puis en les additionnant.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Idiomes

Vous pouvez en quelque sorte imaginer tourner deux boutons différents pour changer les deux scalaires définissant la combinaison linéaire,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

additionner les vecteurs mis à l'échelle et suivre l'extrémité du vecteur résultant.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Cette extrémité tracera une sorte de feuille plate traversant l'origine de l'espace tridimensionnel.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Cette feuille plate est l'espace engendré par les deux vecteurs,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Fil du propos

ou plus précisément, l'ensemble de tous les vecteurs possibles dont les extrémités se trouvent sur cette feuille plate est l'espace engendré par vos deux vecteurs.

Isn't that a beautiful mental image?

N'est-ce pas une belle image mentale ?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Alors, que se passe-t-il si nous ajoutons un troisième vecteur et considérons l'espace engendré par ces trois-là ?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Une combinaison linéaire de trois vecteurs est définie à peu près de la même manière que pour deux.

You'll choose three different scalars,

Vous choisirez trois scalaires différents,

scale each of those vectors,

mettrez à l'échelle chacun de ces vecteurs,

and then add them all together.

puis les additionnerez tous ensemble.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

Et encore une fois, l'espace engendré par ces vecteurs est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles.

Two different things could happen here.

Deux choses différentes pourraient se produire ici.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Si votre troisième vecteur se trouve être sur l'espace engendré par les deux premiers,

then the span doesn't change.

alors l'espace engendré ne change pas.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Vous êtes en quelque sorte piégé sur cette même feuille plate.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Fil du propos

En d'autres termes, ajouter une version mise à l'échelle de ce troisième vecteur à la combinaison linéaire

doesn't really give you access to any new vectors.

ne vous donne pas vraiment accès à de nouveaux vecteurs.

But if you just randomly choose a third vector,

Mais si vous choisissez simplement un troisième vecteur au hasard,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

il n'est presque certainement pas sur l'espace engendré par ces deux premiers.

Then, since it's pointing in a separate direction,

Alors, puisqu'il pointe dans une direction séparée,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Idiomes

il débloque l'accès à tous les vecteurs tridimensionnels possibles.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Une façon dont j'aime y penser est que lorsque vous mettez à l'échelle ce nouveau troisième vecteur,

it moves around that span sheet of the first two,

il se déplace autour de cette feuille d'espace engendré par les deux premiers,

sweeping it through all of space.

la balayant à travers tout l'espace.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Idiomes

Une autre façon d'y penser est que vous utilisez pleinement les trois scalaires qui changent librement et que vous avez à votre disposition

to access the full three dimensions of space.

pour accéder aux trois dimensions complètes de l'espace.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Maintenant, dans le cas où le troisième vecteur était déjà sur l'espace engendré par les deux premiers,

or the case where two vectors happen to line up,

ou dans le cas où deux vecteurs s'alignent par hasard,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Vocabulaire

nous avons besoin d'une terminologie pour décrire le fait qu'au moins l'un de ces vecteurs est redondant,

not adding anything to our span.

n'ajoutant rien à notre espace engendré.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Chaque fois que cela se produit, où vous avez plusieurs vecteurs et que vous pourriez en retirer un sans réduire l'espace engendré,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Vocabulaire

la terminologie appropriée est de dire qu'ils sont linéairement dépendants.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Phrases

Une autre façon de formuler cela serait de dire que l'un des vecteurs peut être exprimé comme une combinaison linéaire des autres,

since it's already in the span of the others.

puisqu'il est déjà dans l'espace engendré par les autres.

On the other hand, Fil du propos

En revanche,

if each vector really does add another dimension to the span, Grammaire

si chaque vecteur ajoute vraiment une autre dimension à l'espace engendré,

they're said to be linearly independent. Vocabulaire

on dit qu'ils sont linéairement indépendants.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Donc, avec toute cette terminologie et, je l'espère, de bonnes images mentales pour l'accompagner,

let me leave you with a puzzle before we go. Phrases

laissez-moi vous laisser avec une énigme avant de nous quitter.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Vocabulaire

La définition technique d'une base d'un espace est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent cet espace.

Now, given how I described a basis earlier,

Maintenant, étant donné la façon dont j'ai décrit une base plus tôt,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

et étant donné votre compréhension actuelle des mots espace engendré et linéairement indépendant,

think about why this definition would make sense.

réfléchissez à la raison pour laquelle cette définition aurait du sens.

In the next video,

Dans la prochaine vidéo,

I'll get into matrices in transforming space.

j'aborderai les matrices et la transformation de l'espace.

See you then.

À bientôt.