Transformations linéaires en trois dimensions | Chapitre 5, L'essence de l'algèbre linéaire : fiche pour apprendre l’anglais

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Bonjour à tous, j'ai une vidéo relativement courte pour vous aujourd'hui,

just sort of a footnote between chapters. Notes

juste une sorte de note de bas de page entre les chapitres.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

Dans les deux dernières vidéos, j'ai parlé des transformations linéaires et des matrices,

but I only showed the specific case of transformations

mais je n'ai montré que le cas spécifique des transformations

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

qui transforment des vecteurs bidimensionnels en d'autres vecteurs bidimensionnels.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

En général, tout au long de cette série, nous travaillerons principalement en deux dimensions,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Idiomes

surtout parce que c'est plus facile à voir à l'écran et à comprendre.

But more importantly than that, Fil du propos

Mais plus important encore,

once you get all the core ideas in two dimensions,

une fois que vous avez compris toutes les idées fondamentales en deux dimensions,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Phrasal verbs

elles se transposent assez facilement aux dimensions supérieures.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Notes

Néanmoins, il est bon de jeter un œil en dehors de ce monde plat de temps en temps

to, you know, see what it means to apply these ideas

pour voir, vous savez, ce que signifie appliquer ces idées

in more than just those two dimensions. Grammaire

dans plus de dimensions que ces deux-là.

For example, consider a linear transformation

Par exemple, considérez une transformation linéaire

with three-dimensional vectors as inputs

avec des vecteurs tridimensionnels en entrée

and three-dimensional vectors as outputs.

et des vecteurs tridimensionnels en sortie.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Vocabulaire

Nous pouvons visualiser cela en écrasant tous les points dans l'espace tridimensionnel

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Grammaire

représentés par une grille de telle manière que les lignes de la grille restent parallèles et espacées uniformément

and which fixes the origin in place. Vocabulaire

et qui maintienne l'origine en place.

And just as with two dimensions,

Et tout comme avec deux dimensions,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Vocabulaire

chaque point de l'espace que nous voyons bouger n'est en fait qu'un représentant d'un vecteur

who has its tip at that point

qui a sa pointe à cet endroit

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Fil du propos

et ce que nous faisons vraiment, c'est penser aux vecteurs d'entrée se déplaçant vers leurs sorties correspondantes.

And just as with two dimensions,

Et tout comme avec deux dimensions,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Phrases

l'une de ces transformations est complètement décrite par la destination des vecteurs de base.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Mais maintenant, il y a trois vecteurs de base standard que nous utilisons typiquement.

The unit vector in the x direction, i-hat,

Le vecteur unitaire dans la direction x, i-hat,

the unit vector in the y direction, j-hat,

le vecteur unitaire dans la direction y, j-hat,

and a new guy, Vocabulaire

et un petit nouveau,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

le vecteur unitaire dans la direction z, appelé k-hat.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

En fait, je pense qu'il est plus facile de penser à ces transformations en ne suivant que ces vecteurs de base

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

car la grille 3D complète représentant tous les points peut devenir un peu désordonnée.

By leaving a copy of the original axes in the background, Grammaire

En laissant une copie des axes originaux en arrière-plan,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Vocabulaire

nous pouvons réfléchir aux coordonnées où chacun de ces trois vecteurs de base atterrit.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Enregistrez les coordonnées de ces trois vecteurs comme les colonnes d'une matrice 3x3.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Cela donne une matrice qui décrit complètement la transformation en n'utilisant que neuf nombres.

As a simple example,

Comme exemple simple,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

considérez la transformation qui fait tourner l'espace de 90 degrés autour de l'axe y.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Vocabulaire

Cela signifierait qu'elle emmène i-hat aux coordonnées 0 0 -1 sur l'axe z.

It doesn't move j-hat,

Elle ne déplace pas j-hat,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

donc il reste aux coordonnées 0 1 0,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

puis k-hat se déplace sur l'axe x en 1 0 0.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Ces trois ensembles de coordonnées deviennent les colonnes d'une matrice qui décrit cette transformation de rotation.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

Pour voir où atterrit un vecteur avec les coordonnées x y z,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Phrases

le raisonnement est presque identique à celui pour deux dimensions.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Notes

Chacune de ces coordonnées peut être considérée comme des instructions sur la façon de mettre à l'échelle chaque vecteur de base

so that they add together to get your vector.

pour qu'ils s'additionnent afin d'obtenir votre vecteur.

And the important part, just like the 2D case, Fil du propos

Et la partie importante, tout comme dans le cas 2D,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Grammaire

est que ce processus de mise à l'échelle et d'addition fonctionne aussi bien avant qu'après la transformation.

So to see where your vector lands,

Donc pour voir où votre vecteur atterrit,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Phrases

vous multipliez ces coordonnées par les colonnes correspondantes de la matrice

and then you add together the three results.

et ensuite vous additionnez les trois résultats.

Multiplying two matrices is also similar.

Multiplier deux matrices est également similaire.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Grammaire

Chaque fois que vous voyez deux matrices 3x3 se multiplier,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Vocabulaire

vous devriez imaginer d'abord appliquer la transformation codée par celle de droite,

then applying the transformation encoded by the left one.

puis appliquer la transformation codée par celle de gauche.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Fil du propos

Il s'avère que la multiplication de matrices 3D est en fait très importante pour des domaines comme l'infographie et la robotique,

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

car des choses comme les rotations en trois dimensions peuvent être assez difficiles à décrire,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Phrasal verbs

mais elles sont plus faciles à comprendre si vous pouvez les décomposer

as the composition of separate, easier to think about rotations. Vocabulaire

comme la composition de rotations séparées et plus faciles à concevoir.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Effectuer cette multiplication de matrices numériquement est, une fois de plus,

pretty similar to the two-dimensional case.

assez similaire au cas bidimensionnel.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Grammaire

En fait, un bon moyen de tester votre compréhension de la dernière vidéo

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Phrasal verbs

serait d'essayer de déduire à quoi cette multiplication de matrices devrait ressembler spécifiquement,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

en réfléchissant attentivement à la façon dont elle se rapporte à l'idée d'appliquer deux transformations successives dans l'espace.

In the next video,

Dans la prochaine vidéo,

I'll start getting into the determinant. Phrasal verbs

je commencerai à aborder le déterminant.