Les matrices non carrées comme transformations entre dimensions | Chapitre 8, L'essence de l'algèbre linéaire : fiche pour apprendre l’anglais

Hey everyone,

Bonjour à tous,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Fil du propos

j'ai une autre petite note de bas de page pour vous entre deux chapitres aujourd'hui.

When I've talked about linear transformations so far,

Jusqu'à présent, quand j'ai parlé de transformations linéaires,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

j'ai seulement parlé de transformations de vecteurs 2D vers d'autres vecteurs 2D

represented with 2x2 matrices

représentées par des matrices 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

ou de vecteurs 3D vers d'autres vecteurs 3D

represented with 3x3 matrices.

représentées par des matrices 3x3.

But several commenters have asked about non-square matrices, Culture

Mais plusieurs personnes dans les commentaires ont posé des questions sur les matrices non carrées,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Notes

alors j'ai pensé prendre un moment pour montrer ce qu'elles signifient géométriquement.

By now in the series,

À ce stade de la série,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Phrases

vous avez en fait presque tout le bagage nécessaire pour commencer à réfléchir à une telle question par vous-mêmes,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Notes

mais je vais commencer à en parler juste pour vous donner un petit élan mental.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Phrases

Il est tout à fait raisonnable de parler de transformations entre différentes dimensions,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

comme une qui prend des vecteurs 2D pour en faire des vecteurs 3D.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Grammaire

Encore une fois, ce qui rend l'une d'elles linéaire, c'est que les lignes du quadrillage restent parallèles et régulièrement espacées

and that the origin maps to the origin. Vocabulaire

et que l'origine atterrit sur l'origine.

What I have pictured here is the input space on the left, Notes

Ce que j'ai illustré ici, c'est l'espace d'entrée à gauche,

which is just 2D space,

qui est simplement un espace 2D,

and the output of the transformation shown on the right.

et la sortie de la transformation affichée à droite.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Grammaire

La raison pour laquelle je ne montre pas les entrées se déplacer vers les sorties comme je le fais d'habitude

is not just animation laziness.

n'est pas seulement par paresse d'animation.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Notes

Il vaut la peine de souligner que les entrées de vecteurs 2D sont des animaux très différents de ces sorties de vecteurs 3D

living in a completely separate unconnected space.

qui vivent dans un espace complètement séparé et déconnecté.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Phrases

Encoder l'une de ces transformations avec une matrice, c'est vraiment la même chose que ce que nous avons fait auparavant.

You look at where each basis vector lands Notes

Vous regardez où chaque vecteur de base atterrit

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Phrases

et vous écrivez les coordonnées des points d'atterrissage comme les colonnes d'une matrice.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Par exemple, ce que vous regardez ici est une sortie d'une transformation qui amène i-hat

to the coordinates 2 -1 -2

aux coordonnées 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

et j-hat aux coordonnées 0 1 1.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Fil du propos

Remarquez que cela signifie que la matrice encodant notre transformation a trois lignes et deux colonnes,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Notes

ce qui, pour utiliser la terminologie standard, en fait une matrice 3x2.

In the language of last video, Fil du propos

Dans le langage de la dernière vidéo,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Culture

l'espace des colonnes de cette matrice, l'endroit où atterrissent tous les vecteurs,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Vocabulaire

est un plan 2D qui coupe à travers l'origine de l'espace 3D.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Culture

Mais la matrice est toujours de rang plein car le nombre de dimensions dans cet espace des colonnes

is the same as the number of dimensions of the input space.

est le même que le nombre de dimensions de l'espace d'entrée.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Notes

Donc, si vous voyez une matrice 3x2 dans la nature,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

vous pouvez savoir qu'elle a l'interprétation géométrique de transformer deux dimensions en trois dimensions.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Puisque les deux colonnes indiquent que l'espace d'entrée a deux vecteurs de base

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

et que les trois lignes indiquent que les points d'atterrissage pour chacun de ces vecteurs de base

is described with three separate coordinates.

sont décrits avec trois coordonnées distinctes.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

De même, si vous voyez une matrice 2x3 avec deux lignes et trois colonnes,

what do you think that means?

qu'est-ce que vous pensez que cela signifie ?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Eh bien, les trois colonnes indiquent que vous commencez dans un espace qui a trois vecteurs de base,

so we're starting in three dimensions.

donc nous commençons en trois dimensions.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

Et les deux lignes indiquent que le point d'atterrissage pour chacun de ces trois vecteurs de base

is described with only two coordinates,

est décrit avec seulement deux coordonnées,

so they must be landing in two dimensions. Grammaire

donc ils doivent atterrir en deux dimensions.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Culture

Donc, c'est une transformation de l'espace 3D sur le plan 2D.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Idiomes

Une transformation qui devrait sembler très inconfortable si vous vous imaginiez la subir.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

Vous pourriez aussi avoir une transformation de deux dimensions vers une dimension.

One-dimensional space is really just the number line, Culture

L'espace unidimensionnel est en réalité juste la droite numérique,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Phrasal verbs

donc une transformation comme celle-ci prend des vecteurs 2D et recrache des nombres.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Vocabulaire

Penser que les lignes du quadrillage restent parallèles et régulièrement espacées est un peu confus en raison de tout l'écrasement qui se produit ici.

So, in this case,

Donc, dans ce cas,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Grammaire

la compréhension visuelle de ce que signifie la linéarité est que si vous avez une ligne de points régulièrement espacés,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

ils resteraient régulièrement espacés une fois projetés sur la droite numérique.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

L'une de ces transformations est encodée avec une matrice 1x2,

each of whose two columns has just a single entry. Notes

dont chacune des deux colonnes n'a qu'une seule entrée.

The two columns represent where the basis vectors land,

Les deux colonnes représentent où les vecteurs de base atterrissent,

and each one of those columns requires just one number,

et chacune de ces colonnes ne nécessite qu'un seul nombre,

the number that that basis vector landed on.

le nombre sur lequel ce vecteur de base a atterri.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Phrases

C'est en fait un type de transformation étonnamment significatif avec des liens étroits avec le produit scalaire,

and I'll be talking about that next video.

et j'en parlerai dans la prochaine vidéo.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Notes

D'ici là, je vous encourage à jouer avec cette idée par vous-mêmes,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

en contemplant les significations de choses comme la multiplication de matrices et les systèmes d'équations linéaires

in the context of transformations between different dimensions. Phrases

dans le contexte de transformations entre différentes dimensions.

Have fun.

Amusez-vous bien.