Perkalian Silang | Bab 10, Esensi aljabar linear: catatan belajar bahasa Inggris

Last video, I talked about the dot product,

Di video terakhir, saya membahas tentang produk titik,

showing both the standard introduction to the topic, Tata bahasa

yang menunjukkan pengenalan standar terhadap topik tersebut,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

serta pandangan yang lebih mendalam tentang bagaimana kaitannya dengan transformasi linear.

I'd like to do the same thing for cross products,

Saya ingin melakukan hal yang sama untuk produk silang,

which also have a standard introduction

yang juga memiliki pengantar standar

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Idiom

serta pemahaman yang lebih dalam melalui lensa transformasi linear.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Tapi kali ini, saya membaginya menjadi dua video yang terpisah.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Idiom

Di sini, saya akan mencoba menyoroti poin-poin utama yang biasanya diajarkan kepada siswa mengenai produk silang.

And in the next video,

Dan di video berikutnya,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

Saya akan menunjukkan pandangan yang jarang diajarkan,

but really satisfying when you learn it.

tapi sangat memuaskan ketika Anda mempelajarinya.

We'll start in two dimensions.

Kita akan mulai di ruang dua dimensi.

If you have two vectors V and W,

Jika Anda memiliki dua vektor V dan W,

think about the parallelogram that they span out. Phrasal verb

pikirkan tentang jajar genjang yang mereka rentangkan.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Catatan

Maksud saya adalah jika Anda mengambil salinan V dan memindahkan pangkalnya ke ujung W,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

lalu mengambil salinan W dan memindahkan pangkalnya ke ujung V,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

keempat vektor yang kini ada di layar mengelilingi suatu jajar genjang tertentu.

The cross product of V and W,

Produk silang dari V dan W,

written with the X-shaped multiplication symbol,

yang ditulis dengan simbol perkalian berbentuk X,

is the area of this parallelogram.

adalah luas dari jajar genjang ini.

Well, almost. Alur pesan

Yah, hampir.

We also need to consider orientation.

Kita juga perlu mempertimbangkan orientasi.

Basically, if V is on the right of W,

Pada dasarnya, jika V berada di sebelah kanan W,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

maka V silang W adalah positif dan sama dengan luas jajar genjang tersebut.

But if V is on the left of W,

Namun jika V berada di sebelah kiri W,

then the cross product is negative,

maka produk silangnya adalah negatif,

namely the negative area of that parallelogram.

yaitu nilai negatif dari luas jajar genjang tersebut.

Notice, this means that order matters. Frasa

Perhatikan, ini berarti bahwa urutan itu penting.

If you swapped V and W,

Jika Anda menukar letak V dan W,

instead taking W cross V,

dan justru menghitung W silang V,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Tata bahasa

maka produk silangnya akan menjadi negatif dari apa pun nilai sebelumnya.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

Cara saya selalu mengingat urutannya di sini adalah bahwa ketika Anda mengambil produk silang dari dua vektor basis secara berurutan,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-hat silang j-hat, hasilnya harus positif.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

Faktanya, urutan vektor basis Anda adalah hal yang menentukan orientasi.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Jadi, karena i-hat berada di sebelah kanan j-hat,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

Saya ingat bahwa V silang W harus positif setiap kali V berada di sebelah kanan W.

So, for example, with the vectors shown here,

Jadi, sebagai contoh, dengan vektor yang ditunjukkan di sini,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

Saya akan memberi tahu Anda bahwa luas jajar genjang tersebut adalah tujuh.

And since V is on the left of W,

Dan karena V berada di sebelah kiri W,

the cross product should be negative.

maka produk silangnya harus negatif.

So, V cross W is negative seven.

Jadi, V silang W adalah negatif tujuh.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Namun tentu saja, Anda ingin bisa menghitungnya tanpa ada yang memberitahu Anda luasnya.

This is where the determinant comes in. Phrasal verb

Di sinilah determinan berperan.

So, if you didn't see chapter five of this series, Tata bahasa

Jadi, jika Anda belum menonton bab lima dari seri ini,

where I talk about the determinant,

di mana saya membahas tentang determinan,

now would be a really good time to go take a look.

sekarang adalah saat yang tepat untuk melihatnya.

Even if you did see it, but it was a while ago,

Bahkan jika Anda sudah melihatnya, tetapi sudah lama,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Idiom

Saya menyarankan Anda untuk menontonnya lagi guna memastikan konsep-konsep tersebut kembali segar di ingatan Anda.

For the 2D cross product, V cross W,

Untuk produk silang 2D, V silang W,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

apa yang Anda lakukan adalah menuliskan koordinat V sebagai kolom pertama dari sebuah matriks,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

lalu mengambil koordinat W dan menjadikannya kolom kedua.

Then you just compute the determinant.

Kemudian Anda tinggal menghitung determinannya.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

Hal ini karena sebuah matriks yang kolomnya mewakili V dan W berkorespondensi dengan suatu transformasi linear yang memindahkan vektor basis i-hat dan j-hat ke V dan W.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

Determinan pada dasarnya adalah mengukur bagaimana luas berubah akibat suatu transformasi.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

Dan prototipe luasan yang kita lihat adalah persegi satuan yang bersandar pada i-hat dan j-hat.

After the transformation,

Setelah transformasi tersebut,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Phrasal verb

persegi itu diubah menjadi jajar genjang yang kita pedulikan.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Tata bahasa

Jadi, determinan, yang umumnya mengukur faktor perubahan luas area,

gives the area of this parallelogram,

menghasilkan luasan jajar genjang ini,

since it evolved from a square that started with area one.

karena ia berevolusi dari sebuah persegi yang awalnya memiliki luas satu.

What's more, if V is on the left of W,

Terlebih lagi, jika V berada di sebelah kiri W,

it means that orientation was flipped during that transformation,

itu berarti orientasinya dibalik selama transformasi tersebut,

which is what it means for the determinant to be negative. Tata bahasa

yang mana merupakan arti dari determinan bernilai negatif.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

Sebagai contoh, katakanlah V memiliki koordinat negatif tiga satu,

and W has coordinates two one.

dan W memiliki koordinat dua satu.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

Determinan matriks yang menggunakan koordinat tersebut sebagai kolomnya adalah negatif tiga dikali satu dikurangi dua dikali satu,

which is negative five.

yang sama dengan negatif lima.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Jadi, jelas bahwa luasan jajar genjang yang mereka bentuk adalah lima.

And since V is on the left of W,

Dan karena V berada di sebelah kiri W,

it should make sense that this value is negative.

maka masuk akal jika nilai ini negatif.

As with any new operation you learn,

Seperti halnya operasi baru yang Anda pelajari,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Catatan

Saya menyarankan untuk sedikit bermain-main dengan konsep ini di kepala Anda untuk mendapatkan pemahaman intuitif tentang apa itu produk silang.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Contohnya, Anda mungkin menyadari bahwa ketika dua vektor saling tegak lurus,

or at least close to being perpendicular,

atau setidaknya hampir tegak lurus,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Tata bahasa

produk silangnya akan lebih besar daripada jika mereka menunjuk ke arah yang sangat mirip,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

karena luas jajar genjang tersebut menjadi lebih besar ketika sisi-sisinya mendekati tegak lurus.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Phrasal verb

Hal lain yang mungkin Anda perhatikan adalah jika Anda menskalakan salah satu vektor tersebut,

perhaps multiplying V by three,

mungkin mengalikan V dengan tiga,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Frasa

maka luas jajar genjang itu juga akan diskalakan dengan faktor tiga.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Alur pesan

Jadi, apa arti hal ini bagi operasi tersebut adalah bahwa tiga V silang W akan bernilai tepat tiga kali lipat dari nilai V silang W.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Tata bahasa

Nah, meskipun semua ini adalah operasi matematika yang sangat valid,

what I just described is technically not the cross product. Pilihan kata

apa yang baru saja saya jelaskan secara teknis bukanlah produk silang.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

Produk silang yang sebenarnya adalah sesuatu yang menggabungkan dua vektor 3D yang berbeda untuk menghasilkan sebuah vektor 3D yang baru.

Just as before, Alur pesan

Sama seperti sebelumnya,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

kita masih akan mempertimbangkan jajar genjang yang dibentuk oleh dua vektor yang kita silangkan bersama-sama.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Idiom

Dan luasan jajar genjang ini masih akan memainkan peran besar.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Alur pesan

Agar konkret, katakanlah luasannya adalah 2,5 untuk vektor yang ditunjukkan di sini.

But as I said, the cross product is not a number,

Tapi seperti yang saya katakan, produk silang bukanlah sebuah angka,

it's a vector.

melainkan sebuah vektor.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

Panjang vektor baru ini akan sama dengan luas jajar genjang tersebut,

which in this case is 2.5.

yang dalam kasus ini adalah 2,5.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

Dan arah vektor baru tersebut akan tegak lurus terhadap jajar genjang itu.

But which way, right?

Tapi, ke arah mana, kan?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Maksud saya, ada dua kemungkinan vektor dengan panjang 2,5 yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu.

This is where the right hand rule comes in. Pilihan kata

Di sinilah aturan tangan kanan berperan.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Arahkan jari telunjuk tangan kanan Anda ke arah V.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Phrasal verb

Lalu rentangkan jari tengah Anda ke arah W.

Then, when you point up your thumb,

Kemudian, saat Anda mengacungkan ibu jari Anda ke atas,

that's the direction of the cross product.

itulah arah dari produk silang tersebut.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Sebagai contoh, katakanlah V adalah sebuah vektor dengan panjang dua yang menunjuk lurus ke atas pada arah Z,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

dan W adalah sebuah vektor dengan panjang dua yang menunjuk murni ke arah Y.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

Jajar genjang yang mereka definisikan dalam contoh sederhana ini sebenarnya adalah sebuah persegi,

since they're perpendicular and have the same length. Tata bahasa

karena keduanya saling tegak lurus dan memiliki panjang yang sama.

And the area of that square is four.

Dan luas persegi itu adalah empat.

So, their cross product should be a vector with length four.

Jadi, produk silang mereka seharusnya adalah sebuah vektor dengan panjang empat.

Using the right hand rule,

Menggunakan aturan tangan kanan,

their cross product should point in the negative X direction.

produk silang mereka harus menunjuk ke arah sumbu X negatif.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Jadi, produk silang dari kedua vektor ini adalah negatif empat kali i-hat.

For more general computations,

Untuk perhitungan yang lebih umum,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Maksud

ada sebuah rumus yang bisa Anda hafal jika Anda mau,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

tetapi lebih umum dan lebih mudah untuk mengingat suatu proses tertentu yang melibatkan determinan 3D.

Now, this process looks truly strange at first.

Nah, proses ini terlihat sangat aneh pada awalnya.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

Anda menuliskan sebuah matriks 3D di mana kolom kedua dan ketiga berisi koordinat dari V dan W.

But for that first column,

Tetapi untuk kolom pertama tersebut,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

Anda menuliskan vektor basis i-hat, j-hat, dan k-hat.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Kemudian, Anda menghitung determinan dari matriks ini.

The silliness is probably clear here.

Keanehannya mungkin jelas terlihat di sini.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Idiom

Apa maksudnya memasukkan vektor sebagai entri dalam sebuah matriks?

Students are often told that this is just a notational trick.

Siswa sering diberitahu bahwa ini hanyalah sebuah trik notasi.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Catatan

Ketika Anda menjalankan perhitungan seolah-olah i-hat, j-hat, dan k-hat adalah angka,

then you get some linear combination of those basis vectors.

maka Anda mendapatkan suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis tersebut.

And the vector defined by that linear combination,

Dan vektor yang didefinisikan oleh kombinasi linear tersebut,

students are told to just believe, Maksud

siswa disuruh untuk percaya saja,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

adalah vektor unik yang tegak lurus terhadap V dan W yang besarannya adalah luasan jajar genjang yang bersesuaian,

and whose direction obeys the right hand rule.

dan yang arahnya mematuhi aturan tangan kanan.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Maksud

Dan tentu, dalam arti tertentu ini hanyalah sebuah trik notasi.

But there is a reason for doing it.

Tapi ada alasan untuk melakukannya.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Alur pesan

Bukan sekadar kebetulan bahwa determinan sekali lagi menjadi penting.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

Dan menempatkan vektor basis di tempat tersebut bukan hanya hal yang dilakukan secara acak.

To understand where all of this comes from,

Untuk memahami dari mana semua ini berasal,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

akan sangat membantu jika menggunakan ide dualitas yang saya perkenalkan di video sebelumnya.

This concept is a little bit heavy, Idiom

Namun, konsep ini agak sedikit berat.

though.

Jadi, saya menempatkannya dalam video lanjutan yang terpisah bagi Anda yang penasaran untuk mempelajarinya lebih lanjut.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Bisa dibilang, hal ini berada di luar esensi dari aljabar linear.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Catatan

Bagian penting di sini adalah mengetahui apa yang secara geometris diwakili oleh vektor produk silang itu.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Jadi, jika Anda ingin melewatkan video berikutnya,

So, if you want to skip that next video,

silakan saja.

feel free. Maksud

Namun bagi Anda yang bersedia untuk menyelam sedikit lebih dalam dan penasaran dengan hubungan antara perhitungan ini dan geometri yang mendasarinya,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Idiom

ide-ide yang akan saya bicarakan di video berikutnya adalah murni sebuah bagian matematika yang sangat elegan.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

lang_name_reference_keep_safe_but_do_not_use