Vektor | Bab 1, Esensi aljabar linear: catatan belajar bahasa Inggris

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

Akar fundamental dari seluruh blok pembangun aljabar linear adalah vektor.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Catatan

Jadi, ada baiknya memastikan bahwa kita semua memiliki pemahaman yang sama

about what exactly a vector is.

tentang apa sebenarnya vektor itu.

You see, broadly speaking, Alur pesan

Begini, secara garis besar,

there are three distinct but related ideas about vectors,

ada tiga gagasan yang berbeda namun terkait tentang vektor,

which I'll call the physics student perspective,

yang akan saya sebut sebagai perspektif mahasiswa fisika,

the computer science student perspective,

perspektif mahasiswa ilmu komputer,

and the mathematician's perspective.

dan perspektif matematikawan.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

Perspektif mahasiswa fisika adalah bahwa vektor adalah panah yang menunjuk di dalam ruang.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

Apa yang mendefinisikan suatu vektor adalah panjangnya dan arah yang ditunjuknya.

But as long as those two facts are the same, Tata bahasa

Namun selama kedua fakta itu sama,

you can move it all around and it's still the same vector.

Anda dapat memindahkannya ke mana saja dan itu tetaplah vektor yang sama.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

Vektor yang hidup di bidang datar adalah dua dimensi,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

dan mereka yang berada di ruang yang lebih luas tempat Anda dan saya tinggal adalah tiga dimensi.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

Perspektif ilmu komputer adalah bahwa vektor adalah daftar angka yang terurut.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Misalnya, katakanlah Anda sedang melakukan analisis tentang harga rumah,

and the only features you cared about were square footage and price.

dan satu-satunya fitur yang Anda pedulikan adalah luas bangunan dan harga.

You might model each house with a pair of numbers,

Anda dapat memodelkan setiap rumah dengan sepasang angka,

the first indicating square footage and the second indicating price.

yang pertama menunjukkan luas bangunan dan yang kedua menunjukkan harga.

Notice the order matters here.

Perhatikan bahwa urutannya penting di sini.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

Dalam istilah teknis, Anda memodelkan rumah sebagai vektor dua dimensi,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

di mana dalam konteks ini vektor hanyalah kata yang keren untuk daftar,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

dan apa yang membuatnya dua dimensi adalah fakta bahwa panjang daftar itu adalah dua.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Alur pesan

Matematikawan, di sisi lain, berusaha menggeneralisasi kedua pandangan ini,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

pada dasarnya mengatakan bahwa vektor bisa berupa apa saja di mana ada gagasan yang masuk akal

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

tentang menambahkan dua vektor dan mengalikan vektor dengan angka,

operations that I'll talk about later on in this video.

operasi yang akan saya bicarakan nanti di video ini.

The details of this view are rather abstract

Detail dari pandangan ini agak abstrak

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

dan saya sebenarnya berpikir ada baiknya mengabaikannya sampai video terakhir dari seri ini,

favoring a more concrete setting in the interim. Pilihan kata

dan lebih memilih pengaturan yang lebih konkret untuk sementara waktu.

But the reason I bring it up here Phrasal verb

Tetapi alasan saya mengemukakannya di sini

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

adalah bahwa ini mengisyaratkan fakta bahwa gagasan penjumlahan vektor

and multiplication by numbers will play an important role

dan perkalian dengan angka akan memainkan peran penting

throughout linear algebra.

di seluruh aljabar linear.

But before I talk about these operations,

Tetapi sebelum saya berbicara tentang operasi-operasi ini,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

mari kita tetapkan sebuah pemikiran spesifik untuk diingat

when I say the word vector.

ketika saya mengucapkan kata vektor.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Phrasal verb

Mengingat fokus geometris yang saya tuju di sini,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

setiap kali saya memperkenalkan topik baru yang melibatkan vektor,

I want you to first think about an arrow,

saya ingin Anda pertama-tama memikirkan sebuah panah,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

dan secara khusus, pikirkan tentang panah tersebut di dalam sistem koordinat,

like the XY plane,

seperti bidang XY,

with its tail sitting at the origin.

dengan ekornya yang berada di titik asal.

This is a little bit different from the physics student perspective,

Ini sedikit berbeda dari perspektif mahasiswa fisika,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

di mana vektor dapat dengan bebas duduk di mana pun mereka inginkan di dalam ruang.

In linear algebra,

Dalam aljabar linear,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

hampir selalu kasusnya adalah bahwa vektor Anda akan berakar di titik asal.

Then, once you understand a new concept

Kemudian, setelah Anda memahami konsep baru

in the context of arrows in space, Frasa

dalam konteks panah di dalam ruang,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

kita akan menerjemahkannya ke sudut pandang daftar angka,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

yang dapat kita lakukan dengan mempertimbangkan koordinat vektor tersebut.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Sekarang, meskipun saya yakin banyak dari Anda sudah akrab dengan sistem koordinat ini,

it's worth walking through explicitly

ada baiknya menelusurinya secara eksplisit

since this is where all of the important back and forth happens

karena di sinilah semua interaksi penting terjadi

between the two perspectives of linear algebra.

antara dua perspektif aljabar linear.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

Memfokuskan perhatian kita pada dua dimensi untuk saat ini,

you have a horizontal line called the x-axis

Anda memiliki garis horizontal yang disebut sumbu x

and a vertical line called the y-axis.

dan garis vertikal yang disebut sumbu y.

The place where they intersect is called the origin,

Tempat perpotongan mereka disebut titik asal,

which you should think of as the center of space

yang harus Anda anggap sebagai pusat dari ruang

and the root of all vectors.

dan akar dari semua vektor.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Setelah memilih panjang sembarang untuk merepresentasikan satu,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

Anda membuat tanda centang pada setiap sumbu untuk merepresentasikan jarak ini.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Ketika saya ingin menyampaikan gagasan tentang ruang 2D secara keseluruhan,

which you'll see comes up a lot in these videos, Phrasal verb

yang akan Anda lihat sering muncul di video-video ini,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

saya akan memperpanjang tanda-tanda centang ini untuk membuat garis kisi.

But right now,

Tapi saat ini,

they'll actually get a little bit in the way. Idiom

mereka sebenarnya akan sedikit menghalangi.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

Koordinat vektor adalah sepasang angka

that basically gives instructions for how to get

yang pada dasarnya memberikan instruksi tentang cara mencapai

from the tail of that vector at the origin to its tip.

dari ekor vektor tersebut di titik asal ke ujungnya.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

Angka pertama memberi tahu Anda seberapa jauh berjalan di sepanjang sumbu x,

positive numbers indicating rightward motion,

angka positif menunjukkan gerakan ke arah kanan,

negative numbers indicating leftward motion,

angka negatif menunjukkan gerakan ke arah kiri,

and the second number tells you how far to walk

dan angka kedua memberi tahu Anda seberapa jauh berjalan

parallel to the y-axis after that,

sejajar dengan sumbu y setelah itu,

positive numbers indicating upward motion

angka positif menunjukkan gerakan ke atas

and negative numbers indicating downward motion.

dan angka negatif menunjukkan gerakan ke bawah.

To distinguish vectors from points,

Untuk membedakan vektor dari titik,

the convention is to write this pair of numbers vertically

konvensinya adalah menulis sepasang angka ini secara vertikal

with square brackets around them.

dengan tanda kurung siku di sekelilingnya.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Setiap pasangan angka memberi Anda satu dan hanya satu vektor,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

dan setiap vektor diasosiasikan dengan satu dan hanya satu pasangan angka.

What about in three dimensions?

Bagaimana dengan dalam tiga dimensi?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Nah, Anda menambahkan sumbu ketiga, yang disebut sumbu z,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

yang tegak lurus terhadap sumbu x dan y,

and in this case,

dan dalam kasus ini,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

setiap vektor diasosiasikan dengan tiga angka terurut.

The first tells you how far to move along the x-axis,

Yang pertama memberi tahu Anda seberapa jauh bergerak di sepanjang sumbu x,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

yang kedua memberi tahu Anda seberapa jauh bergerak sejajar dengan sumbu y,

and the third one tells you how far to then move

dan yang ketiga memberi tahu Anda seberapa jauh bergerak setelahnya

parallel to this new z-axis.

sejajar dengan sumbu z yang baru ini.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Setiap tiga angka memberi Anda satu vektor unik di dalam ruang,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

dan setiap vektor di dalam ruang memberi Anda tepat tiga angka.

All right,

Baiklah,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

jadi kembali ke penjumlahan vektor dan perkalian dengan angka.

After all, Alur pesan

Lagi pula,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

setiap topik dalam aljabar linear akan berpusat pada dua operasi ini.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

Untungnya, masing-masing cukup mudah untuk didefinisikan.

Let's say we have two vectors,

Katakanlah kita memiliki dua vektor,

one pointing up and a little to the right

yang satu menunjuk ke atas dan sedikit ke kanan

and the other one pointing right and down a bit.

dan yang satunya lagi menunjuk ke kanan dan sedikit ke bawah.

To add these two vectors,

Untuk menjumlahkan kedua vektor ini,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

pindahkan yang kedua sehingga ekornya duduk di ujung vektor yang pertama.

Then, if you draw a new vector

Kemudian, jika Anda menggambar vektor baru

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

dari ekor vektor pertama ke tempat ujung vektor kedua sekarang berada,

that new vector is their sum.

vektor baru itu adalah hasil jumlahnya.

This definition of addition, by the way, Alur pesan

Definisi penjumlahan ini, omong-omong,

is pretty much the only time in linear algebra

adalah hampir satu-satunya saat dalam aljabar linear

where we let vectors stray away from the origin.

di mana kita membiarkan vektor menyimpang dari titik asal.

Now,

Sekarang,

why is this a reasonable thing to do?

mengapa ini merupakan hal yang masuk akal untuk dilakukan?

Why this definition of addition and not some other one?

Mengapa menggunakan definisi penjumlahan ini dan bukan yang lain?

Well,

Nah,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

cara saya suka memikirkannya adalah bahwa setiap vektor merepresentasikan pergerakan tertentu,

a step with a certain distance and direction in space.

sebuah langkah dengan jarak dan arah tertentu di dalam ruang.

If you take a step along the first vector,

Jika Anda mengambil langkah di sepanjang vektor pertama,

then take a step in the direction and distance

kemudian mengambil langkah dalam arah dan jarak

described by the second vector,

yang digambarkan oleh vektor kedua,

the overall effect is just the same as if you moved

efek keseluruhannya sama saja dengan jika Anda bergerak

along the sum of those two vectors to start with. Frasa

di sepanjang jumlah kedua vektor tersebut untuk memulainya.

You could think about this as an extension

Anda dapat memikirkan ini sebagai perluasan

of how we think about adding numbers on a number line.

tentang bagaimana kita memikirkan penjumlahan angka pada garis bilangan.

One way that we teach kids to think about this,

Satu cara kita mengajarkan anak-anak untuk memikirkan ini,

say with 2 + 5,

katakanlah dengan 2 + 5,

is to think of moving two steps to the right,

adalah memikirkan tentang bergerak dua langkah ke kanan,

followed by another five steps to the right.

diikuti oleh lima langkah lagi ke kanan.

The overall effect is the same

Efek keseluruhannya sama

as if you just took seven steps to the right.

seperti jika Anda baru saja mengambil tujuh langkah ke kanan.

In fact,

Faktanya,

let's see how vector addition looks numerically.

mari kita lihat bagaimana penjumlahan vektor terlihat secara numerik.

The first vector here has coordinates 1 2,

Vektor pertama di sini memiliki koordinat 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

dan yang kedua memiliki koordinat 3 -1.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Pilihan kata

Ketika Anda mengambil jumlah vektor menggunakan metode ujung-ke-ekor ini,

you can think of a four-step path

Anda dapat memikirkan jalur empat langkah

from the origin to the tip of the second vector.

dari titik asal ke ujung vektor kedua.

Walk one to the right,

Berjalan satu ke kanan,

then two up,

lalu dua ke atas,

then three to the right,

lalu tiga ke kanan,

then one down.

lalu satu ke bawah.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

Mengatur ulang langkah-langkah ini sehingga Anda pertama-tama melakukan semua gerakan ke arah kanan,

then do all the vertical motion,

kemudian melakukan semua gerakan vertikal,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

Anda dapat membacanya sebagai menyatakan pertama bergerak 1 + 3 ke kanan,

then move 2 -1 up.

kemudian bergerak 2 - 1 ke atas.

So,

Jadi,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

vektor baru tersebut memiliki koordinat 1 + 3 dan 2 + -1.

In general,

Secara umum,

vector addition in this list of numbers conception

penjumlahan vektor dalam konsepsi daftar angka ini

looks like matching up their terms and adding each one together.

terlihat seperti mencocokkan suku-sukunya dan menambahkan masing-masing bersama-sama.

The other fundamental vector operation

Operasi vektor mendasar lainnya

is multiplication by a number.

adalah perkalian dengan angka.

Now,

Sekarang,

this is best understood just by looking at a few examples. Tata bahasa

ini paling baik dipahami hanya dengan melihat beberapa contoh.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

Jika Anda mengambil angka dua dan mengalikannya dengan vektor tertentu,

it means you stretch out that vector Phrasal verb

itu berarti Anda meregangkan vektor tersebut

so that it's two times as long as when you started. Tata bahasa

sehingga menjadi dua kali lebih panjang dari saat Anda memulai.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Jika Anda mengalikan vektor itu dengan, katakanlah, 1/3,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Phrasal verb

itu berarti Anda meremasnya menjadi 1/3 panjang aslinya.

When you multiply it by a negative number,

Ketika Anda mengalikannya dengan angka negatif,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Phrasal verb

seperti -1.8, maka vektor tersebut pertama-tama akan dibalik arahnya,

then stretched out by that factor of 1.8. Frasa

lalu diregangkan oleh faktor 1.8 tersebut.

This process of stretching or squishing

Proses meregangkan atau meremas

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

atau kadang-kadang membalikkan arah vektor disebut penskalaan.

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

Dan setiap kali Anda menemukan angka, seperti dua atau 1/3 atau -1.8,

acting like this, scaling some vector,

bertindak seperti ini, menskalakan suatu vektor,

you call it a scalar.

Anda menyebutnya skalar.

In fact, throughout linear algebra,

Faktanya, di seluruh aljabar linear,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

salah satu hal utama yang dilakukan angka adalah menskalakan vektor.

So,

Jadi,

it's common to use the word scalar

merupakan hal yang umum untuk menggunakan kata skalar

pretty much interchangeably with the word number. Frasa

hampir secara bergantian dengan kata angka.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Secara numerik, meregangkan vektor dengan faktor, katakanlah, dua

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

berkorespondensi dengan mengalikan setiap komponennya dengan faktor tersebut,

two.

dua.

So,

Jadi,

in the conception of vectors as lists of numbers,

dalam konsepsi vektor sebagai daftar angka,

multiplying a given vector by a scalar

mengalikan vektor tertentu dengan skalar

means multiplying each one of those components by that scalar.

berarti mengalikan masing-masing komponen tersebut dengan skalar itu.

You'll see in the following videos what I mean

Anda akan melihat di video-video berikutnya apa yang saya maksud

when I say that linear algebra topics tend to revolve Frasa

ketika saya mengatakan bahwa topik aljabar linear cenderung berkisar

around these two fundamental operations,

pada dua operasi mendasar ini,

vector addition and scalar multiplication.

penjumlahan vektor dan perkalian skalar.

And I'll talk more in the last video

Dan saya akan berbicara lebih banyak di video terakhir

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

tentang bagaimana dan mengapa matematikawan hanya memikirkan operasi-operasi ini,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Phrasal verb

secara independen dan diabstraksi dari bagaimanapun Anda memilih untuk merepresentasikan vektor.

In truth,

Sejujurnya,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Tata bahasa

tidak masalah apakah Anda memikirkan vektor secara fundamental sebagai panah di ruang,

like I'm suggesting you do,

seperti yang saya sarankan untuk Anda lakukan,

that happen to have a nice numerical representation, Tata bahasa

yang kebetulan memiliki representasi numerica yang bagus,

or fundamentally as lists of numbers

atau secara fundamental sebagai daftar angka

that happen to have a nice geometric interpretation.

yang kebetulan memiliki interpretasi geometris yang bagus.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Tata bahasa

Kegunaan aljabar linear tidak terlalu berkaitan dengan salah satu dari kedua pandangan ini

than it does with the ability to translate back and forth between them. Frasa

melainkan dengan kemampuan untuk menerjemahkan bolak-balik di antara keduanya.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Ini memberikan analis data cara yang bagus untuk mengonseptualisasikan

many lists of numbers in a visual way,

banyak daftar angka dengan cara visual,

which can seriously clarify patterns in data

yang dapat sangat memperjelas pola dalam data

and give a global view of what certain operations do.

dan memberikan pandangan global tentang apa yang dilakukan operasi tertentu.

And on the flip side, Alur pesan

Dan di sisi lain,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

ia memberi orang-orang seperti fisikawan dan pemrogram grafis komputer

a language to describe space

sebuah bahasa untuk mendeskripsikan ruang

and the manipulation of space

dan manipulasi ruang

using numbers that can be crunched and run through a computer. Pilihan kata

menggunakan angka-angka yang dapat dihitung dan dijalankan melalui komputer.

When I do math-y animations, for example, Pilihan kata

Ketika saya membuat animasi bernuansa matematika, misalnya,

I start by thinking about what's actually going on in space Idiom

saya mulai dengan memikirkan tentang apa yang sebenarnya terjadi di dalam ruang

and then get the computer to represent things numerically,

dan kemudian meminta komputer untuk merepresentasikan berbagai hal secara numerik,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Tata bahasa

dengan demikian mencari tahu di mana harus menempatkan piksel di layar.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

Dan melakukan itu biasanya bergantung pada banyak pemahaman aljabar linear.

So,

Jadi,

there are your vector basics,

itulah dasar-dasar vektor Anda,

and in the next video,

dan di video berikutnya,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

saya akan mulai membahas beberapa konsep yang cukup rapi seputar vektor,

like span, bases, and linear dependence.

seperti rentangan (span), basis, dan ketergantungan linear.

See you then.

Sampai jumpa.