Kombinasi linear, rentangan, dan vektor basis | Bab 2, Esensi aljabar linear: catatan belajar bahasa Inggris

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

Di video sebelumnya, bersama dengan gagasan penjumlahan vektor dan perkalian skalar, saya menjelaskan koordinat vektor,

where there's this back and forth between, Idiom

di mana ada hubungan bolak-balik antara,

for example,

misalnya,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

pasangan angka dan vektor dua dimensi.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Sekarang, saya membayangkan koordinat vektor mungkin sudah tidak asing bagi banyak dari Anda,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Alur pesan

tetapi ada cara menarik lainnya untuk memikirkan koordinat ini,

which is pretty central to linear algebra.

yang sangat penting bagi aljabar linear.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Tata bahasa

Ketika Anda memiliki sepasang angka yang dimaksudkan untuk mendeskripsikan sebuah vektor,

like 3 -2,

seperti 3 -2,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Tata bahasa

saya ingin Anda menganggap setiap koordinat sebagai sebuah skalar,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

artinya pikirkan tentang bagaimana masing-masing meregangkan atau memampatkan vektor.

In the XY coordinate system,

Dalam sistem koordinat XY,

there are two very special vectors.

ada dua vektor yang sangat istimewa.

The one pointing to the right with length one,

Yang menunjuk ke kanan dengan panjang satu,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

yang biasa disebut i-hat atau vektor satuan di arah X,

and the one pointing straight up with length one,

dan yang menunjuk lurus ke atas dengan panjang satu,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

yang biasa disebut j-hat, atau vektor satuan di arah Y.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Sekarang, anggaplah koordinat X dari vektor kita sebagai skalar yang menskalakan i-hat,

stretching it by a factor of 3, Frasa

meregangkannya dengan faktor 3,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

dan koordinat Y sebagai skalar yang menskalakan j-hat,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

membaliknya dan meregangkannya dengan faktor 2.

In this sense,

Dalam arti ini,

the vector that these coordinates describe

vektor yang dideskripsikan oleh koordinat ini

is the sum of two scaled vectors.

adalah jumlah dari dua vektor yang diskalakan.

That's a surprisingly important concept,

Itu adalah konsep yang sangat penting secara mengejutkan,

this idea of adding together two scaled vectors.

ide tentang menjumlahkan dua vektor yang diskalakan ini.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Ngomong-ngomong, kedua vektor i-hat dan j-hat tersebut,

by the way.

memiliki nama khusus.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Bersama-sama, mereka disebut basis dari sebuah sistem koordinat.

What this means basically

Apa artinya ini pada dasarnya

is that when you think about coordinates as scalars,

adalah ketika Anda menganggap koordinat sebagai skalar,

the basis vectors are what those scalars actually,

vektor basis adalah apa yang sebenarnya diskalakan oleh,

you know, scale.

Anda tahu, skalar-skalar tersebut.

There's also a more technical definition,

Ada juga definisi yang lebih teknis,

but I'll get to that later.

tetapi saya akan membahasnya nanti.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Frasa

Dengan membingkai sistem koordinat kita dalam bentuk dua vektor basis khusus ini,

it raises a pretty interesting and subtle point. Frasa

itu memunculkan poin yang cukup menarik dan halus.

We could have chosen different basis vectors Tata bahasa

Kita bisa saja memilih vektor basis yang berbeda

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

dan mendapatkan sistem koordinat baru yang sama masuk akalnya.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Sebagai contoh, ambil sebuah vektor yang menunjuk ke atas dan ke kanan,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

bersama dengan vektor lain yang menunjuk ke bawah dan ke kanan dengan cara tertentu.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

Luangkan waktu sejenak untuk memikirkan semua vektor berbeda yang bisa Anda dapatkan

by choosing two scalars,

dengan memilih dua skalar,

using each one to scale one of the vectors,

menggunakan masing-masing untuk menskalakan salah satu vektor,

then adding together what you get.

lalu menjumlahkan apa yang Anda dapatkan.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

Vektor dua dimensi mana saja yang dapat Anda capai dengan mengubah pilihan skalar?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

Jawabannya adalah Anda dapat mencapai setiap kemungkinan vektor dua dimensi,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

dan saya pikir ini adalah teka-teki yang bagus untuk direnungkan alasannya.

A new pair of basis vectors like this

Sepasang vektor basis baru seperti ini

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

masih memberi kita cara yang valid untuk bolak-balik antara pasangan angka

and two-dimensional vectors,

dan vektor dua dimensi,

but the association is definitely different from the one that you get

tetapi asosiasinya pasti berbeda dari yang Anda dapatkan

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

jika menggunakan basis i-hat dan j-hat yang lebih standar.

This is something I'll go into much more detail on later, Phrasal verb

Ini adalah sesuatu yang akan saya bahas lebih detail nanti,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

menggambarkan hubungan pasti antara sistem koordinat yang berbeda,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

tetapi untuk saat ini, saya hanya ingin Anda menghargai fakta bahwa

any time we describe vectors numerically,

kapan pun kita mendeskripsikan vektor secara numerik,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Frasa

itu bergantung pada pilihan implisit dari vektor basis apa yang kita gunakan.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Jadi, setiap kali Anda menskalakan dua vektor dan menjumlahkannya seperti ini,

it's called a linear combination of those two vectors. Pilihan kata

ini disebut kombinasi linear dari kedua vektor tersebut.

Where does this word linear come from?

Dari mana kata linear ini berasal?

Why does this have anything to do with lines? Frasa

Mengapa ini ada hubungannya dengan garis (lines)?

Well, this isn't the etymology,

Yah, ini bukan etimologinya,

but one way I like to think about it is that Alur pesan

tetapi salah satu cara saya suka memikirkannya adalah

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

jika Anda menetapkan salah satu skalar tersebut dan membiarkan yang lain mengubah nilainya secara bebas,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

ujung dari vektor yang dihasilkan akan menggambar garis lurus.

Now, if you let both scalars range freely Tata bahasa

Sekarang, jika Anda membiarkan kedua skalar bervariasi secara bebas

and consider every possible vector that you can get,

dan mempertimbangkan setiap kemungkinan vektor yang bisa Anda dapatkan,

there are two things that can happen.

ada dua hal yang bisa terjadi.

For most pairs of vectors,

Untuk sebagian besar pasangan vektor,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

Anda akan dapat mencapai setiap kemungkinan titik di bidang.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Idiom

Setiap vektor dua dimensi berada dalam jangkauan Anda.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Phrasal verb

Namun, dalam kasus sial di mana kedua vektor asli Anda kebetulan sejajar,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

ujung dari vektor yang dihasilkan terbatas hanya pada satu garis tunggal ini yang melewati titik asal.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

Sebenarnya, secara teknis, ada kemungkinan ketiga juga.

Both your vectors could be zero,

Kedua vektor Anda bisa saja nol,

in which case you'd just be stuck at the origin. Tata bahasa

dalam hal ini Anda hanya akan terjebak di titik asal.

Here's some more terminology.

Berikut adalah beberapa terminologi lagi.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

Himpunan semua kemungkinan vektor yang dapat Anda capai dengan kombinasi linear dari sepasang vektor yang diberikan

is called the span of those two vectors. Pilihan kata

disebut sebagai rentangan (span) dari kedua vektor tersebut.

So, restating what we just saw in this lingo,

Jadi, menyatakan kembali apa yang baru saja kita lihat dalam bahasa ini,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

rentangan dari sebagian besar pasangan vektor 2D adalah semua vektor di ruang 2D,

but when they line up,

tetapi ketika mereka sejajar,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

rentangannya adalah semua vektor yang ujungnya terletak pada garis tertentu.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Idiom

Ingat bagaimana saya mengatakan bahwa aljabar linear berpusat di sekitar penjumlahan vektor dan perkalian skalar?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

Nah, rentangan dari dua vektor pada dasarnya adalah cara untuk bertanya,

what are all the possible vectors you can reach

apa saja semua kemungkinan vektor yang dapat Anda capai

using only these two fundamental operations,

hanya menggunakan dua operasi fundamental ini,

vector addition and scalar multiplication?

penjumlahan vektor dan perkalian skalar?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

Ini adalah waktu yang tepat untuk berbicara tentang bagaimana orang umumnya menganggap vektor sebagai titik.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Menjadi sangat sesak untuk memikirkan sekumpulan vektor yang terletak pada sebuah garis,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

dan lebih sesak lagi untuk memikirkan semua vektor dua dimensi secara bersamaan yang memenuhi bidang.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Jadi, ketika berhadapan dengan sekumpulan vektor seperti ini,

it's common to represent each one with just a point in space.

adalah hal yang umum untuk merepresentasikan masing-masing vektor dengan sebuah titik di ruang.

The point at the tip of that vector,

Titik di ujung vektor tersebut,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

di mana, seperti biasa, saya ingin Anda memikirkan vektor itu dengan pangkalnya di titik asal.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

Dengan cara itu, jika Anda ingin memikirkan setiap kemungkinan vektor yang ujungnya berada di garis tertentu,

just think about the line itself.

pikirkan saja garis itu sendiri.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

Demikian pula, untuk memikirkan semua kemungkinan vektor dua dimensi sekaligus,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

konseptualisasikan masing-masing sebagai titik di mana ujungnya berada.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Jadi, pada praktiknya, apa yang akan Anda pikirkan adalah lembaran datar tak terbatas dari ruang dua dimensi itu sendiri,

leaving the arrows out of it. Phrasal verb

tanpa menyertakan panahnya.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Frasa

Secara umum, jika Anda memikirkan sebuah vektor itu sendiri,

think of it as an arrow.

pikirkan itu sebagai panah.

And if you're dealing with a collection of vectors,

Dan jika Anda berurusan dengan sekumpulan vektor,

it's convenient to think of them all as points.

akan lebih mudah untuk menganggap semuanya sebagai titik.

So, for our span example,

Jadi, untuk contoh rentangan (span) kita,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Phrasal verb

rentangan dari sebagian besar pasangan vektor berakhir menjadi seluruh lembaran tak terbatas dari ruang dua dimensi,

but if they line up,

tetapi jika mereka sejajar,

their span is just a line.

rentangannya hanyalah sebuah garis.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

Gagasan tentang rentangan menjadi jauh lebih menarik jika kita mulai memikirkan vektor di ruang tiga dimensi.

For example,

Sebagai contoh,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

jika Anda mengambil dua vektor dalam ruang 3D yang tidak menunjuk ke arah yang sama,

what does it mean to take their span?

apa artinya mengambil rentangannya?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Nah, rentangannya adalah kumpulan dari semua kemungkinan kombinasi linear dari kedua vektor tersebut,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

yang berarti semua kemungkinan vektor yang Anda dapatkan dengan menskalakan masing-masing dari keduanya dengan cara tertentu

and then adding them together.

dan kemudian menjumlahkannya.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Idiom

Anda bisa membayangkan memutar dua kenop yang berbeda untuk mengubah dua skalar yang mendefinisikan kombinasi linear tersebut,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

menjumlahkan vektor yang diskalakan dan mengikuti ujung dari vektor yang dihasilkan.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Ujung tersebut akan melacak semacam lembaran datar yang memotong melalui titik asal dari ruang tiga dimensi.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Lembaran datar ini adalah rentangan dari kedua vektor tersebut,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Alur pesan

atau lebih tepatnya, himpunan semua kemungkinan vektor yang ujungnya terletak pada lembaran datar tersebut adalah rentangan dari kedua vektor Anda.

Isn't that a beautiful mental image?

Bukankah itu sebuah gambaran mental yang indah?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Jadi, apa yang terjadi jika kita menambahkan vektor ketiga dan mempertimbangkan rentangan dari ketiga vektor tersebut?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Kombinasi linear dari tiga vektor didefinisikan dengan cara yang hampir sama seperti untuk dua vektor.

You'll choose three different scalars,

Anda akan memilih tiga skalar yang berbeda,

scale each of those vectors,

menskalakan setiap vektor tersebut,

and then add them all together.

lalu menjumlahkan semuanya.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

Dan sekali lagi, rentangan dari vektor-vektor ini adalah himpunan semua kemungkinan kombinasi linear.

Two different things could happen here.

Dua hal berbeda bisa terjadi di sini.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Jika vektor ketiga Anda kebetulan berada di rentangan dari dua vektor pertama,

then the span doesn't change.

maka rentangannya tidak berubah.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Anda seolah-olah terjebak di lembaran datar yang sama itu.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Alur pesan

Dengan kata lain, menambahkan versi yang diskalakan dari vektor ketiga tersebut ke dalam kombinasi linear

doesn't really give you access to any new vectors.

tidak benar-benar memberi Anda akses ke vektor baru mana pun.

But if you just randomly choose a third vector,

Tetapi jika Anda secara acak memilih vektor ketiga,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

hampir pasti ia tidak berada pada rentangan dari dua vektor pertama itu.

Then, since it's pointing in a separate direction,

Kemudian, karena ia menunjuk ke arah yang terpisah,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Idiom

ia membuka akses ke setiap kemungkinan vektor tiga dimensi.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Salah satu cara yang saya suka untuk memikirkannya adalah ketika Anda menskalakan vektor ketiga yang baru itu,

it moves around that span sheet of the first two,

ia bergerak di sekitar lembaran rentangan dari dua vektor pertama,

sweeping it through all of space.

menyapunya melalui seluruh ruang.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Idiom

Cara lain untuk memikirkannya adalah bahwa Anda memanfaatkan sepenuhnya ketiga skalar yang berubah bebas yang Anda miliki

to access the full three dimensions of space.

untuk mengakses ketiga dimensi ruang sepenuhnya.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Sekarang, dalam kasus di mana vektor ketiga sudah berada di rentangan dua vektor pertama,

or the case where two vectors happen to line up,

atau kasus di mana dua vektor kebetulan sejajar,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Pilihan kata

kita ingin beberapa terminologi untuk mendeskripsikan fakta bahwa setidaknya satu dari vektor-vektor ini redundan,

not adding anything to our span.

tidak menambahkan apa pun ke dalam rentangan kita.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Kapan pun ini terjadi, di mana Anda memiliki beberapa vektor dan Anda dapat menghapus salah satunya tanpa mengurangi rentangannya,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Pilihan kata

terminologi yang relevan adalah dengan mengatakan bahwa mereka bergantung linear.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Frasa

Cara lain untuk mengungkapkannya adalah dengan mengatakan bahwa salah satu vektor dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari yang lain,

since it's already in the span of the others.

karena ia sudah berada dalam rentangan dari yang lain.

On the other hand, Alur pesan

Di sisi lain,

if each vector really does add another dimension to the span, Tata bahasa

jika setiap vektor benar-benar menambahkan dimensi lain ke dalam rentangan,

they're said to be linearly independent. Pilihan kata

mereka dikatakan bebas linear.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Jadi, dengan semua terminologi itu dan mudah-mudahan dengan beberapa gambaran mental yang baik untuk menyertainya,

let me leave you with a puzzle before we go. Frasa

izinkan saya meninggalkan Anda dengan sebuah teka-teki sebelum kita pergi.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Pilihan kata

Definisi teknis dari sebuah basis dari sebuah ruang adalah himpunan vektor-vektor bebas linear yang merentangkan ruang tersebut.

Now, given how I described a basis earlier,

Sekarang, mengingat bagaimana saya menggambarkan sebuah basis sebelumnya,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

dan mengingat pemahaman Anda saat ini tentang kata rentangan dan bebas linear,

think about why this definition would make sense.

pikirkan mengapa definisi ini masuk akal.

In the next video,

Di video berikutnya,

I'll get into matrices in transforming space.

saya akan masuk ke dalam matriks dalam mentransformasikan ruang.

See you then.

Sampai jumpa.