Transformasi linear tiga dimensi | Bab 5, Esensi aljabar linear: catatan belajar bahasa Inggris

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Halo semuanya, hari ini saya punya video yang cukup singkat untuk kalian,

just sort of a footnote between chapters. Catatan

semacam catatan kaki di antara bab-bab.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

Di dua video sebelumnya, saya membahas transformasi linier dan matriks,

but I only showed the specific case of transformations

tapi saya hanya menunjukkan kasus spesifik dari transformasi

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

yang mengubah vektor dua dimensi menjadi vektor dua dimensi lainnya.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

Secara umum sepanjang seri ini, kita akan bekerja terutama dalam dua dimensi,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Idiom

sebagian besar karena lebih mudah dilihat di layar dan lebih mudah dipahami.

But more importantly than that, Alur pesan

Namun yang lebih penting dari itu,

once you get all the core ideas in two dimensions,

setelah Anda memahami semua ide intinya dalam dua dimensi,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Phrasal verb

mereka akan terbawa dengan sangat mulus ke dimensi yang lebih tinggi.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Catatan

Namun demikian, ada baiknya kita sesekali mengintip ke luar dari dunia datar ini

to, you know, see what it means to apply these ideas

untuk, Anda tahu, melihat apa artinya menerapkan ide-ide ini

in more than just those two dimensions. Tata bahasa

di lebih dari sekadar dua dimensi itu.

For example, consider a linear transformation

Misalnya, pertimbangkan sebuah transformasi linier

with three-dimensional vectors as inputs

dengan vektor tiga dimensi sebagai input

and three-dimensional vectors as outputs.

dan vektor tiga dimensi sebagai output.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Pilihan kata

Kita dapat memvisualisasikan ini dengan menekan semua titik di ruang tiga dimensi

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Tata bahasa

yang diwakili oleh kisi-kisi sedemikian rupa sehingga garis-garis kisi tetap sejajar dan berjarak sama

and which fixes the origin in place. Pilihan kata

dan yang menetapkan titik asal pada tempatnya.

And just as with two dimensions,

Dan sama seperti dengan dua dimensi,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Pilihan kata

setiap titik ruang yang kita lihat bergerak di sekitar sebenarnya hanyalah proksi untuk sebuah vektor

who has its tip at that point

yang ujungnya berada di titik itu

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Alur pesan

dan apa yang sebenarnya kita lakukan adalah memikirkan vektor input yang berpindah ke output terkaitnya.

And just as with two dimensions,

Dan sama seperti dua dimensi,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Frasa

salah satu transformasi ini dijelaskan sepenuhnya oleh ke mana vektor basis pergi.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Tapi sekarang, ada tiga vektor basis standar yang biasanya kita gunakan.

The unit vector in the x direction, i-hat,

Vektor satuan dalam arah x, i-topi,

the unit vector in the y direction, j-hat,

vektor satuan dalam arah y, j-topi,

and a new guy, Pilihan kata

dan satu lagi,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

vektor satuan dalam arah z, disebut k-topi.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

Faktanya, saya pikir lebih mudah untuk memikirkan transformasi ini dengan hanya mengikuti vektor basis tersebut

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

karena kisi 3D penuh yang mewakili semua titik bisa menjadi agak berantakan.

By leaving a copy of the original axes in the background, Tata bahasa

Dengan meninggalkan salinan sumbu asli di latar belakang,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Pilihan kata

kita dapat memikirkan koordinat tempat masing-masing dari ketiga vektor basis ini mendarat.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Catat koordinat ketiga vektor ini sebagai kolom-kolom matriks 3x3.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Ini menghasilkan sebuah matriks yang menjelaskan transformasi sepenuhnya hanya dengan menggunakan sembilan angka.

As a simple example,

Sebagai contoh sederhana,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

pertimbangkan transformasi yang memutar ruang 90 derajat di sekitar sumbu y.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Pilihan kata

Jadi itu berarti ia memindahkan i-topi ke koordinat 0 0 -1 pada sumbu z.

It doesn't move j-hat,

Ia tidak memindahkan j-topi,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

sehingga tetap di koordinat 0 1 0,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

lalu k-topi pindah ke sumbu x di 1 0 0.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Ketiga set koordinat ini menjadi kolom-kolom dari sebuah matriks yang mendeskripsikan transformasi rotasi tersebut.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

Untuk melihat di mana vektor dengan koordinat x y z mendarat,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Frasa

penalaran yang digunakan hampir identik dengan dua dimensi.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Catatan

Masing-masing koordinat itu dapat dianggap sebagai instruksi untuk menskalakan setiap vektor basis

so that they add together to get your vector.

sehingga mereka dapat ditambahkan bersama untuk mendapatkan vektor Anda.

And the important part, just like the 2D case, Alur pesan

Dan bagian pentingnya, sama seperti kasus 2D,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Tata bahasa

adalah bahwa proses penskalaan dan penambahan ini berfungsi baik sebelum maupun sesudah transformasi.

So to see where your vector lands,

Jadi untuk melihat di mana vektor Anda mendarat,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Frasa

Anda mengalikan koordinat-koordinat itu dengan kolom matriks yang sesuai

and then you add together the three results.

lalu Anda menjumlahkan ketiga hasilnya.

Multiplying two matrices is also similar.

Mengalikan dua matriks juga serupa.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Tata bahasa

Setiap kali Anda melihat dua matriks 3x3 dikalikan bersama,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Pilihan kata

Anda harus membayangkan pertama menerapkan transformasi yang dikodekan oleh matriks sebelah kanan,

then applying the transformation encoded by the left one.

lalu menerapkan transformasi yang dikodekan oleh matriks sebelah kiri.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Alur pesan

Ternyata perkalian matriks 3D sangat penting untuk bidang-bidang seperti grafis komputer dan robotika

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

karena hal-hal seperti rotasi dalam tiga dimensi bisa sangat sulit untuk dijelaskan,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Phrasal verb

tetapi mereka lebih mudah dipahami jika Anda dapat memecahnya

as the composition of separate, easier to think about rotations. Pilihan kata

sebagai komposisi dari rotasi-rotasi yang terpisah dan lebih mudah untuk dipikirkan.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Melakukan perkalian matriks ini secara numerik, sekali lagi,

pretty similar to the two-dimensional case.

sangat mirip dengan kasus dua dimensi.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Tata bahasa

Kenyataannya, cara yang baik untuk menguji pemahaman Anda tentang video sebelumnya

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Phrasal verb

adalah dengan mencoba menalar dengan tepat seperti apa seharusnya perkalian matriks ini,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

pikirkan dengan cermat bagaimana kaitannya dengan gagasan penerapan dua transformasi berturut-turut dalam ruang.

In the next video,

Di video berikutnya,

I'll start getting into the determinant. Phrasal verb

saya akan mulai membahas tentang determinan.