Matriks tak-persegi sebagai transformasi antar dimensi | Bab 8, Esensi aljabar linear: catatan belajar bahasa Inggris

Hey everyone,

Halo semuanya,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Alur pesan

saya punya catatan kaki singkat lainnya untuk kalian di antara bab-bab hari ini.

When I've talked about linear transformations so far,

Sejauh ini, saat saya berbicara tentang transformasi linear,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

saya hanya benar-benar berbicara tentang transformasi dari vektor 2D ke vektor 2D lainnya

represented with 2x2 matrices

yang direpresentasikan dengan matriks 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

atau dari vektor 3D ke vektor 3D lainnya

represented with 3x3 matrices.

yang direpresentasikan dengan matriks 3x3.

But several commenters have asked about non-square matrices, Budaya

Tapi beberapa komentator bertanya tentang matriks non-persegi,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Catatan

jadi saya pikir saya akan meluangkan waktu sejenak untuk sekadar menunjukkan apa artinya secara geometris.

By now in the series,

Pada titik ini dalam seri ini,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Frasa

kalian sebenarnya telah memiliki sebagian besar latar belakang yang dibutuhkan untuk mulai memikirkan pertanyaan seperti ini sendiri,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Catatan

tetapi saya akan mulai membahasnya hanya untuk memberikan sedikit dorongan mental.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Frasa

Sangat masuk akal untuk membicarakan tentang transformasi antar dimensi,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

seperti yang mengubah vektor 2D menjadi vektor 3D.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Tata bahasa

Sekali lagi, hal yang membuat salah satu dari ini menjadi linear adalah garis kisinya tetap sejajar dan berjarak sama

and that the origin maps to the origin. Pilihan kata

dan titik asal dipetakan ke titik asal.

What I have pictured here is the input space on the left, Catatan

Apa yang saya gambarkan di sini adalah ruang input di sebelah kiri,

which is just 2D space,

yang hanya berupa ruang 2D,

and the output of the transformation shown on the right.

dan output transformasi ditunjukkan di sebelah kanan.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Tata bahasa

Alasan saya tidak menampilkan pergerakan input ke output seperti yang biasa saya lakukan

is not just animation laziness.

bukan sekadar karena kemalasan membuat animasi.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Catatan

Perlu ditekankan bahwa input vektor 2D sangatlah berbeda dari output vektor 3D ini

living in a completely separate unconnected space.

yang hidup di ruang yang sama sekali terpisah dan tidak terhubung.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Frasa

Mengkodekan salah satu transformasi ini dengan matriks sebenarnya sama saja dengan apa yang telah kita lakukan sebelumnya.

You look at where each basis vector lands Catatan

Kalian melihat di mana setiap vektor basis mendarat

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Frasa

dan menuliskan koordinat titik pendaratannya sebagai kolom-kolom suatu matriks.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Sebagai contoh, apa yang kalian lihat di sini adalah output transformasi yang membawa i-topi

to the coordinates 2 -1 -2

ke koordinat 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

dan j-topi ke koordinat 0 1 1.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Alur pesan

Perhatikan, ini berarti matriks yang mengkodekan transformasi kita memiliki tiga baris dan dua kolom,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Catatan

yang mana, menggunakan terminologi standar, menjadikannya matriks 3x2.

In the language of last video, Alur pesan

Dalam bahasa dari video terakhir,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Budaya

ruang kolom matriks ini, tempat di mana semua vektor mendarat,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Pilihan kata

adalah bidang 2D yang memotong titik asal ruang 3D.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Budaya

Namun matriks tersebut masih ber-rank penuh karena jumlah dimensi pada ruang kolom ini

is the same as the number of dimensions of the input space.

sama dengan jumlah dimensi dari ruang input.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Catatan

Jadi, jika kalian melihat matriks 3x2 di luar sana,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

kalian bisa tahu bahwa matriks itu memiliki interpretasi geometris memetakan dua dimensi menjadi tiga dimensi.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Karena kedua kolom menunjukkan bahwa ruang input memiliki dua vektor basis

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

dan ketiga baris menunjukkan bahwa tempat mendarat untuk masing-masing vektor basis tersebut

is described with three separate coordinates.

dideskripsikan dengan tiga koordinat terpisah.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

Demikian pula, jika kalian melihat matriks 2x3 dengan dua baris dan tiga kolom,

what do you think that means?

menurut kalian apa artinya itu?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Nah, tiga kolom menunjukkan bahwa kalian memulai dari ruang yang memiliki tiga vektor basis,

so we're starting in three dimensions.

jadi kita mulai dalam tiga dimensi.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

Dan dua baris menunjukkan bahwa titik pendaratan untuk masing-masing dari ketiga vektor basis tersebut

is described with only two coordinates,

dideskripsikan hanya dengan dua koordinat,

so they must be landing in two dimensions. Tata bahasa

jadi mereka pasti mendarat dalam dua dimensi.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Budaya

Jadi, ini adalah transformasi dari ruang 3D ke bidang 2D.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Idiom

Sebuah transformasi yang akan terasa sangat tidak nyaman jika kalian membayangkan melewatinya.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

Kalian juga bisa memiliki transformasi dari dua dimensi ke satu dimensi.

One-dimensional space is really just the number line, Budaya

Ruang satu dimensi sebenarnya hanyalah garis bilangan,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Phrasal verb

jadi transformasi seperti ini menerima vektor 2D dan memuntahkan angka.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Pilihan kata

Memikirkan tentang garis kisi yang tetap sejajar dan berjarak sama sedikit rumit karena semua pemampatan yang terjadi di sini.

So, in this case,

Jadi, dalam kasus ini,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Tata bahasa

pemahaman visual untuk apa arti linearitas adalah jika kalian memiliki sederet titik yang berjarak sama,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

mereka akan tetap berjarak sama setelah dipetakan ke garis bilangan.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

Salah satu transformasi ini dikodekan dengan matriks 1x2,

each of whose two columns has just a single entry. Catatan

yang masing-masing dari dua kolomnya hanya memiliki satu entri.

The two columns represent where the basis vectors land,

Dua kolom tersebut merepresentasikan tempat vektor basis mendarat,

and each one of those columns requires just one number,

dan masing-masing kolom tersebut hanya membutuhkan satu angka,

the number that that basis vector landed on.

angka tempat vektor basis tersebut mendarat.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Frasa

Ini sebenarnya adalah jenis transformasi yang sangat bermakna dengan kaitan erat dengan perkalian titik,

and I'll be talking about that next video.

dan saya akan membicarakannya di video berikutnya.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Catatan

Sampai saat itu, saya mendorong kalian untuk bermain-main dengan ide ini sendiri,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

merenungkan makna dari hal-hal seperti perkalian matriks dan sistem persamaan linear

in the context of transformations between different dimensions. Frasa

dalam konteks transformasi antar dimensi yang berbeda.

Have fun.

Selamat bersenang-senang.