Cos'è il paradosso della dicotomia di Zenone? - Colm Kelleher: appunti per imparare l’inglese
TED-Ed
Panoramica del video: Il paradosso della dicotomia di Zenone sembra rendere impossibile il movimento, perché ogni percorso contiene infinite tappe sempre più piccole. Trasformando un cammino di un miglio in una serie infinita e confrontandolo con un quadrato diviso ripetutamente, il video mostra perché la durata complessiva è comunque di un’ora. Principali punti di inglese: 1. paradoxes, arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory. — Significato e registro del lessico: Capire la definizione contestuale di paradox, anziché considerarlo soltanto un’affermazione sconcertante, e riconoscere come un’apposizione possa spiegare un termine tecnico a un pubblico non specialistico. 2. turn the story into a math problem. — Espressioni fisse e collocazioni: Imparare a usare turn X into Y per descrivere la trasformazione di un racconto o di una situazione concreta in un modello formale, notando come qui l’espressione segnali il passaggio dalla storia di Zenone al calcolo. 3. sum to a finite answer, — Significato e registro del lessico: Riconoscere sum to come verbo matematico che indica il totale di una serie e usarlo per formulare il risultato controintuitivo per cui infiniti termini positivi possono avere un valore finito.
In questa lezione
Zeno of Elea: identificare una persona tramite un luogo
Zeno è il nome della persona, mentre of Elea lo identifica tramite il suo legame con Elea, un'antica città greca. In questa frase, l'intero nome significa «Zeno proveniente da Elea»; Elea non è un cognome moderno. I testi storici usano spesso Name + of + Place per collocare o distinguere una persona. Interpreta of + luogo come un riferimento geografico, a meno che il contesto non indichi un altro rapporto.
Esercizio
Qual è la funzione di of Elea nel nome storico Zeno of Elea?
- Dice che Elea è il cognome di Zeno.
- Identifica Zeno tramite il luogo da cui proveniva.
- Significa che Zeno possiede la città di Elea.
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Identifica Zeno tramite il luogo da cui proveniva.
an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, Note
0:17un antico filosofo greco famoso per aver inventato una serie di paradossi,
famous for inventing: indicare il motivo della fama
In famous for inventing, for introduce il motivo per cui Zeno è conosciuto. Inventing ha la forma in -ing perché viene dopo la preposizione for; quindi l'espressione significa «conosciuto perché ha inventato qualcosa», non «allo scopo di inventare». Usa il modello riutilizzabile be famous for + nome o forma in -ing: un luogo può essere famoso per il suo cibo e una persona può essere famosa per aver fatto qualcosa.
Esercizio
Completa la frase con il modello famous for + -ing: The engineer is ____ a low-cost water filter.
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famous for inventing
a number of: diversi o molti
In a number of paradoxes, a number of è un’espressione di quantità che significa “diversi” o “molti”. Precede il sostantivo numerabile plurale paradoxes. Considera a number of come un’unica unità. Qui number non indica una cifra né il numero totale.
Esercizio
Completa la frase usando a number of: We received ____ useful suggestions.
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a number of
arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory.
0:21argomenti che sembrano logici ma la cui conclusione è assurda o contraddittoria.
paradoxes, arguments that...: una definizione in apposizione
Il sintagma nominale arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory è in apposizione a paradoxes. Dopo la virgola, rinomina e definisce paradoxes; non introduce un altro gruppo separato di arguments. Qui arguments significa linee di ragionamento, non litigi. Le due descrizioni mostrano la tensione fondamentale: il ragionamento sembra logico, ma la conclusione è assurda o contraddittoria.
Esercizio
Quale funzione svolge in questa frase il sintagma nominale dopo la virgola?
- Afferma che ogni argomentazione logica ha una conclusione assurda.
- Introduce arguments come un argomento separato e non collegato a paradoxes.
- Definisce paradoxes come argomentazioni che sembrano logiche ma hanno una conclusione assurda o contraddittoria.
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Definisce paradoxes come argomentazioni che sembrano logiche ma hanno una conclusione assurda o contraddittoria.
Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. Note
0:27gli sconcertanti enigmi di Zenone ispirano matematici e filosofi a comprendere meglio la natura dell'infinito.
mind-bending riddles: enigmi che sfidano la mente
Mind-bending è un aggettivo vivace e figurato che indica qualcosa di estremamente difficile, strano o sorprendente da comprendere. Non significa che il cervello si pieghi fisicamente. Qui modifica riddles e presenta i problemi di Zenone come idee che sfidano i normali modi di pensare. La struttura mind-bending + nome può descrivere qualcosa che fa riconsiderare ciò che sembra possibile o logico.
Esercizio
Che cosa significa mind-bending riddles qui?
- enigmi estremamente difficili o sorprendenti da concepire
- enigmi semplici che non richiedono quasi alcuna riflessione
- enigmi che cambiano fisicamente la forma del cervello
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enigmi estremamente difficili o sorprendenti da concepire
have inspired ... to better understand: influenza presente e struttura inspire + oggetto + to
La struttura inspire someone to do something significa dare a una persona o a un gruppo la motivazione o nuove idee per compiere un’azione. In questa frase, mathematicians and philosophers sono le persone influenzate, mentre to better understand indica ciò che sono state spinte a fare; non esprime lo scopo di Zenone. Have inspired è il present perfect inglese. Collega l’influenza passata degli enigmi alla sua importanza che continua fino al presente. Better modifica understand e significa “in modo più completo” o “più chiaramente”.
Esercizio
Completa la frase con il present perfect di inspire: These discoveries ____ young scientists to explore the ocean.
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have inspired
the nature of infinity: nature nel senso di «carattere essenziale»
La struttura the nature of + nome indica il carattere fondamentale o le qualità essenziali di qualcosa. Qui, the nature of infinity si riferisce a ciò che l'infinito è in sostanza e a come si comporta; nature non significa «mondo naturale». Questa struttura è comune nel linguaggio esplicativo e accademico quando si parla di un concetto, un problema o un fenomeno.
Esercizio
Nella frase "The course explores the nature of memory," che cosa significa the nature of memory?
- un ricordo del mondo naturale
- il carattere fondamentale della memoria
- un luogo nella natura in cui ricordare
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il carattere fondamentale della memoria
One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, Grammatica
0:33Uno dei problemi più noti di Zenone è chiamato il paradosso della dicotomia,
One of the best known: un membro famoso di un gruppo
One of the best known indica un membro molto conosciuto all'interno di un gruppo più ampio. In questa frase, of Zeno's problems specifica il gruppo e dopo best known si sottintende la parola problems. L'espressione significa «uno dei problemi più famosi di Zenone», non «il suo unico problema più famoso». Questa struttura è utile per presentare un membro rappresentativo di un gruppo ordinato per importanza o notorietà.
Esercizio
Quale frase usa correttamente la struttura one of the best-known + nome plurale?
- One of the best-known museums in Paris are the Louvre.
- One of the best-known museum in Paris is the Louvre.
- One of the best-known museums in Paris is the Louvre.
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One of the best-known museums in Paris is the Louvre.
is called the dichotomy paradox: dare un nome a un concetto
Qui, is called the dichotomy paradox significa «ha il nome the dichotomy paradox». Is called è la forma passiva di call: il soggetto è il problema a cui viene dato il nome, mentre la persona che dà o usa quel nome non viene indicata. La struttura be called + nome è un modo comune per introdurre un termine e collegare un concetto al suo nome riconosciuto. In questo uso, called significa «denominato», non «contattato per telefono».
Esercizio
Completa la frase con la struttura passiva di denominazione be called al presente: This visual effect ____ the wagon-wheel effect.
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is called
which means the paradox of cutting in two in ancient Greek. Discorso
0:37che significa il paradosso del tagliare in due in greco antico.
which means ...: aggiungere una spiegazione
Qui, which rimanda al nome the dichotomy paradox. La proposizione relativa non restrittiva which means ... aggiunge il significato di quel nome: «il paradosso del tagliare in due». Non introduce un argomento separato. Questa struttura organizza le informazioni così: prima il nome e poi una breve spiegazione. La virgola prima di which indica che la spiegazione è un'informazione aggiuntiva collegata al termine o all'idea precedente.
Esercizio
Qual è la funzione di which means ... nella frase dell'esempio?
- Indica chi ha inventato il termine.
- Inizia un argomento non collegato.
- Spiega brevemente il termine precedente.
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Spiega brevemente il termine precedente.
It goes something like this: introdurre una versione approssimativa
It goes something like this significa «Più o meno viene raccontato, formulato o spiegato così». In questo uso, goes descrive come si sviluppano una storia, una spiegazione o una sequenza; non significa «cammina». La frase funziona da passaggio: porta da un'idea generale a un esempio semplificato o a una versione raccontata in modo approssimativo. something like this avverte che ciò che segue presenta la struttura generale, non necessariamente le parole originali o tutti i dettagli.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione di quattro parole che introduce una versione approssimativa: I cannot remember the exact announcement, but it ____: 'The museum will close at six.'
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goes something like this
After a long day of sitting around thinking, Phrasal verbs
0:43Dopo una lunga giornata passata a stare seduto a pensare,
sitting around: restare seduti senza fare molto
In sitting around, around aggiunge l'idea di restare in un posto senza svolgere molte attività con uno scopo preciso. Significa «starsene seduti senza fare granché» o «passare il tempo seduti», non sedersi in cerchio o muoversi intorno a qualcosa. thinking è una forma in -ing che mostra che cosa avveniva durante quel tempo. La persona stava pensando, quindi la frase non significa che non facesse letteralmente nulla; tuttavia, sitting around dà alla scena un tono rilassato o leggermente improduttivo.
Esercizio
Nella frase After lunch, we sat around talking for an hour, che cosa suggerisce sat around?
- Siamo rimasti seduti in modo rilassato e relativamente inattivo mentre parlavamo.
- Ci siamo seduti in cerchio intorno a un altro oggetto.
- Siamo passati dalla posizione eretta a quella seduta e poi siamo andati via immediatamente.
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Siamo rimasti seduti in modo rilassato e relativamente inattivo mentre parlavamo.
Zeno decides to walk from his house to the park.
0:46Zenone decide di camminare da casa sua al parco.
The fresh air clears his mind and helps him think better. Modi di dire
0:48L'aria fresca gli schiarisce le idee e lo aiuta a pensare meglio.
clears his mind: gli schiarisce le idee
Clears his mind significa che qualcosa rende i suoi pensieri meno affollati o confusi, permettendogli di pensare con maggiore calma e chiarezza. In questa frase, l'aria fresca provoca questo cambiamento mentale. Mind si riferisce ai suoi pensieri e al suo stato mentale. Non viene pulito fisicamente nulla e l'espressione non significa che i suoi ricordi vengano cancellati.
Esercizio
Che cosa significa "A quiet walk clears Ben's mind"?
- Aiuta Ben a pensare con maggiore chiarezza.
- Pulisce fisicamente il cervello di Ben.
- Fa dimenticare a Ben tutto ciò che sa.
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Aiuta Ben a pensare con maggiore chiarezza.
he first has to get halfway to the park. Grammatica
0:53deve prima arrivare a metà strada per il parco.
In order to + forma base del verbo: esprimere uno scopo
In order to introduce uno scopo o un obiettivo ed è seguito dalla forma base del verbo. In questa frase, in order to get to the park indica che l'obiettivo è arrivare al parco; raggiungere metà strada è un passo verso quell'obiettivo. L'espressione di scopo non indica che l'obiettivo sia già stato raggiunto. Spiega perché l'azione o il requisito principale è importante.
Esercizio
Usa l'espressione studiata per completare la frase: Ava wore a helmet ____ protect her head.
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in order to
first has to get halfway: il primo passaggio necessario
L’espressione indica il primo passaggio necessario del ragionamento. first colloca questo passaggio prima delle fasi successive, has to esprime necessità e get halfway significa raggiungere il punto a metà strada verso la destinazione. Qui has to non suggerisce che un’altra persona abbia dato un ordine. Il percorso stesso rende inevitabile passare per il punto intermedio prima di arrivare al parco.
Esercizio
Nella frase, che cosa indica he first has to get halfway?
- Arrivare a metà strada è il primo passaggio necessario.
- Un’altra persona gli ha ordinato di arrivare soltanto a metà strada.
- Ha già completato l’intero viaggio.
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Arrivare a metà strada è il primo passaggio necessario.
This portion of his journey takes some finite amount of time. Lessico
0:55Questa porzione del suo viaggio richiede una quantità di tempo finita.
finite amount of time: limitato, ma non necessariamente breve
A finite amount of time è un intervallo di tempo con un limite: non continua per sempre. finite descrive se la durata è limitata, non se sembra piccola o breve. In questa frase, ogni parte del viaggio richiede una durata limitata. La formulazione sostiene il contrasto logico tra il tempo finito necessario per una parte e l’idea di un numero infinito di parti.
Esercizio
Quale affermazione spiega meglio a finite amount of time?
- Continua per sempre senza alcun limite.
- Deve durare soltanto pochi secondi.
- Ha un limite, ma non è necessariamente breve.
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Ha un limite, ma non è necessariamente breve.
he needs to walk half the remaining distance. Espressioni
1:00deve camminare per metà della distanza rimanente.
half the remaining distance: metà di ciò che resta
Half the remaining distance significa metà della distanza che resta ancora da percorrere in quel momento. Remaining stabilisce la quantità di riferimento, quindi l'espressione non significa metà della distanza totale iniziale. La struttura riutilizzabile è half the remaining + sostantivo: prima si individua ciò che resta, poi si prende la metà di quella quantità.
Esercizio
Un sentiero è lungo 12 chilometri. Mia ne ha già percorsi 8. Che cosa significa qui half the remaining distance?
- 4 chilometri, cioè tutta la distanza che resta.
- 6 chilometri, cioè la metà dell'intero sentiero.
- 2 chilometri, cioè la metà dei 4 chilometri che restano.
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2 chilometri, cioè la metà dei 4 chilometri che restano.
he still needs to walk half the distance that's left,
1:07deve ancora camminare per metà della distanza che resta,
again and again and again: una ripetizione che sembra continuare
Again and again significa già ripetutamente. Aggiungere un altro and again allunga intenzionalmente l'espressione e fa sembrare la ripetizione più forte o quasi infinita; normalmente non significa esattamente tre volte. In questa frase, l'espressione ripetuta raggruppa molti episodi in un unico schema continuo. Indica che lo stesso processo ricomincia più volte, invece di presentare tre eventi distinti.
Esercizio
Valuta l'affermazione su questa frase: The screen froze again and again and again. L'espressione indica che lo schermo si è bloccato esattamente tre volte.
- Falso
- Vero
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Falso
You can see that we can keep going like this forever, Note
1:15Puoi capire che possiamo continuare così all'infinito,
You can see that per guidare a una conclusione
In questa frase, You can see that introduce una conclusione che l’ascoltatore può comprendere in base alla spiegazione fornita fino a quel momento. See significa “riconoscere o capire”, non necessariamente “guardare con gli occhi”. Questa struttura organizza la spiegazione passando dal ragionamento precedente all’affermazione successiva. Invita inoltre l’ascoltatore a considerare quella conclusione come qualcosa a cui può arrivare anche da solo.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione della lezione che guida l’ascoltatore verso una conclusione: From these results, ____ the new method is faster.
Mostra risposta
you can see that
can keep going per un’attività o un processo che continua
Can keep going significa “poter continuare”. La sua struttura è can + keep + verbo in -ing: can esprime capacità o possibilità, mentre keep indica che l’attività o il processo continua. In questa frase, going non descrive il camminare. Rappresenta la ripetizione dello stesso ragionamento; like this indica che il metodo rimane uguale, mentre forever segnala che non c’è un punto in cui fermarsi.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione di tre parole della lezione che significa “può continuare”: The discussion is useful, so it ____ for ten more minutes.
Mostra risposta
can keep going
dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, Grammatica
1:18dividendo qualsiasi distanza rimasta in parti sempre più piccole,
whatever distance is left: tutta la distanza rimasta, qualunque sia
In questa frase, whatever distance is left significa «tutta la distanza che rimane, qualunque sia la quantità». Whatever introduce una relativa libera; l’intera espressione indica ciò che viene diviso. Qui whatever non significa «non importa» come atteggiamento di indifferenza né «scegliere a caso». Lascia la quantità non specificata perché la distanza restante può cambiare.
Esercizio
Che cosa significa whatever time is left in questa frase: “Use whatever time is left to check your work.”?
- tutto il tempo che rimane, qualunque sia la durata
- il tempo che è già stato usato
- una quantità di tempo scelta a caso e senza attenzione
Mostra risposta
tutto il tempo che rimane, qualunque sia la durata
smaller and smaller: sempre più piccolo
Smaller and smaller segue il modello comparativo + and + lo stesso comparativo. Descrive una tendenza continua: ogni fase è più piccola della precedente. Nella frase, le parti continuano a diminuire di dimensione. La ripetizione non descrive due cose separate. Lo stesso modello compare in faster and faster e more and more difficult.
Esercizio
Usa smaller nel modello del comparativo ripetuto per completare la frase: As the balloon lost air, it became ____.
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smaller and smaller
each of which takes some finite time to traverse. Note
1:21ognuna delle quali richiede un tempo finito per essere attraversata.
each of which: aggiungere informazioni su ogni elemento
Each of which significa «ciascuno di quegli elementi». Which riprende l’insieme plurale menzionato nella proposizione precedente — qui, smaller pieces — mentre each considera i suoi membri uno alla volta. Dopo la virgola, each of which takes... introduce una proposizione relativa esplicativa che aggiunge informazioni su ogni elemento. Poiché each è singolare, anche il verbo è al singolare: takes, non take.
Esercizio
Nella frase “The plan has four steps, each of which is important,” a che cosa si riferisce each of which?
- Ciascuno dei quattro passaggi
- Il piano nel suo insieme
- Solo l’ultimo passaggio
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Ciascuno dei quattro passaggi
to traverse: percorrere un intero tragitto o una zona
In questa frase, to traverse significa percorrere o attraversare l’intera lunghezza di un tratto o di un percorso. L’infinito completa takes some finite time: quel tempo serve per terminare il movimento lungo ogni tratto. Traverse è un verbo relativamente formale che mette in evidenza il passaggio completo da un lato o da un’estremità all’altra. Non significa semplicemente viaggiare.
Esercizio
Un manuale dice: “The robot needs ten minutes to traverse the tunnel.” Che cosa significa traverse qui?
- Misurare il tunnel senza attraversarlo
- Fare un viaggio vicino al tunnel
- Attraversare il tunnel da un’estremità all’altra
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Attraversare il tunnel da un’estremità all’altra
So, how long does it take Zeno to get to the park? Grammatica
1:25Quindi, quanto tempo impiega Zenone per arrivare al parco?
How long does it take ...?: chiedere quanto tempo occorre
How long does it take + persona + to + verbo? serve a chiedere quanto tempo occorre a una persona per completare un'azione. Qui, it non indica una cosa; occupa la posizione del soggetto, mentre Zeno to get to the park identifica la persona e l'azione di cui si misura la durata. Si usa does perché il soggetto grammaticale è it. In una risposta, lo stesso schema diventa It takes + persona + quantità di tempo + to + verbo, come in It takes me ten minutes to get ready.
Esercizio
Completa lo schema con take per chiedere la durata: ____ you to walk to school?
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How long does it take
Well, to find out, we need to add the times of each of the pieces of the journey. Phrasal verbs
1:28Ebbene, per scoprirlo, dobbiamo sommare i tempi di ciascuna delle parti del viaggio.
to find out: scoprire una risposta sconosciuta
To find out significa «per conoscere o scoprire un'informazione che non è ancora nota». In questa frase, sommare i tempi è il metodo usato per ottenere la risposta, quindi find out non significa localizzare un oggetto fisico. L'oggetto dopo find out non viene espresso perché dal contesto è già chiaro a quale domanda si vuole rispondere. Il to iniziale indica lo scopo: il calcolo viene eseguito per scoprire la risposta.
Esercizio
Completa il verbo frasale che significa «scoprire un fatto sconosciuto controllando»: To ____ what time the library closes, check its website.
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find out
there are infinitely many of these finite-sized pieces. Grammatica
1:33ci sono infiniti di questi pezzi di dimensione finita.
The problem is, ...: introdurre la difficoltà principale
The problem is, ... sposta l'attenzione di chi ascolta sulla difficoltà principale di una spiegazione o di un'argomentazione. La proposizione dopo la virgola specifica quale sia esattamente la difficoltà; qui è l'esistenza di un numero infinito di pezzi di dimensioni finite. Nel parlato e nelle spiegazioni colloquiali è comune The problem is, + proposizione. La forma più integrata The problem is that + proposizione svolge la stessa funzione organizzativa: segnala che l'informazione successiva è l'ostacolo, la contraddizione o il limite importante.
Esercizio
Completa con la struttura di tre parole che inizia con The problem e introduce la difficoltà principale: ____, the room is too small for the whole group.
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The problem is
there are infinitely many: esprimere un numero illimitato
There are infinitely many ... è una struttura esistenziale che indica che il numero di elementi non è finito. Infinitely modifica many e insieme formano un'espressione di quantità; non significa semplicemente «un numero molto grande». L'espressione può essere seguita direttamente da un sostantivo numerabile plurale, come in infinitely many points, oppure da of + un gruppo definito, come in infinitely many of these pieces. Si usa are perché gli elementi introdotti sono plurali. In questa frase, ogni pezzo ha dimensioni finite, ma il numero di pezzi è infinito; finite-sized descrive ogni pezzo, mentre infinitely many indica quanti pezzi esistono.
Esercizio
Completa con l'espressione esistenziale di quattro parole che usa infinitely many per indicare un numero illimitato: A line has length, but ____ points on it.
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there are infinitely many
So, shouldn't the total time be infinity? Intento
1:36Quindi, il tempo totale non dovrebbe essere infinito?
Shouldn't the total time be infinity? per presentare una conclusione attesa
La domanda negativa shouldn't the total time be infinity? è costruita con should not. Qui equivale a chiedere: «In base al ragionamento fatto finora, l'infinito non è il risultato che dovremmo aspettarci?» Chi parla presenta l'infinito come la risposta apparentemente logica e invita l'ascoltatore a considerarla o confermarla. Una domanda negativa di questo tipo esprime un'aspettativa; non è una richiesta neutra di informazioni sconosciute. Non dimostra la conclusione, ma la presenta come qualcosa che sembra dover derivare dal ragionamento.
Esercizio
In "Shouldn't the total time be infinity?", che cosa implica qui la domanda negativa?
- Chi parla afferma che il tempo totale non è sicuramente infinito.
- Chi parla si aspetta che dal ragionamento derivi l'infinito e chiede all'ascoltatore di considerare questa conclusione.
- Chi parla pone una domanda neutra e non suggerisce alcuna risposta attesa.
Mostra risposta
Chi parla si aspetta che dal ragionamento derivi l'infinito e chiede all'ascoltatore di considerare questa conclusione.
This argument, by the way, is completely general. Note
1:40Questo argomento, tra l'altro, è completamente generale.
by the way come segnale di un inciso collegato
By the way è un segnale discorsivo che colloca un commento leggermente fuori dalla linea principale della spiegazione. Le virgole mostrano che è parentetico: la frase rimane grammaticalmente completa anche senza l'espressione. Qui non abbandona l'argomento per passare a un tema non collegato. Presenta is completely general come un inciso relativo alla portata dell'argomento, anziché come il passaggio successivo del ragionamento.
Esercizio
Qual è la funzione di by the way in "This argument, by the way, is completely general."?
- Mostra che chi parla sta tornando all'argomento principale dopo un'interruzione.
- Segnala l'affermazione come un inciso collegato, non come il passaggio principale successivo.
- Riformula l'idea precedente con parole diverse.
Mostra risposta
Segnala l'affermazione come un inciso collegato, non come il passaggio principale successivo.
completely general: valido per tutti i casi pertinenti
In matematica e in logica, completely general significa che il ragionamento non dipende da un solo esempio particolare. Si applica a tutti i casi pertinenti dello stesso tipo. Qui, general significa «ampiamente applicabile», non «ordinario». L'espressione mostra che la conclusione può essere estesa oltre l'esempio di cui si sta parlando.
Esercizio
In una spiegazione matematica, che cosa significa “This argument is completely general”?
- Non contiene un ragionamento dettagliato.
- È ordinario e poco interessante.
- Si applica a tutti i casi pertinenti.
Mostra risposta
Si applica a tutti i casi pertinenti.
It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. Grammatica
1:42Afferma che viaggiare da qualsiasi luogo verso qualsiasi altro luogo dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita.
from any location to any other location: da qualsiasi luogo a qualsiasi altro luogo
La struttura from any X to any other X include ogni possibile X di partenza e ogni X di arrivo diverso. In questa frase, indica tutte le possibili coppie di luoghi diversi. Other è importante perché mostra che la destinazione non è il luogo di partenza. La struttura può essere riutilizzata con nomi come station, folder o node.
Esercizio
Completa la struttura from any X to any other X con l'espressione di destinazione di tre parole: This pass lets you travel from any station to ____.
Mostra risposta
any other station
In other words: segnalare una riformulazione
In other words segnala che chi parla sta per esprimere di nuovo l'idea precedente in modo più chiaro, breve o diretto. In questa frase, l'espressione trasforma il ragionamento precedente in una conclusione netta: l'argomento equivale a dire che il movimento non può avvenire. Non introduce una nuova ragione.
Esercizio
Dopo In other words, quale relazione ci si dovrebbe aspettare di solito?
- Una riformulazione più chiara dell'idea precedente
- Un esempio specifico dell'idea precedente
- Una ragione aggiuntiva a sostegno dell'idea precedente
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Una riformulazione più chiara dell'idea precedente
all motion is impossible: motion come movimento in generale
all motion is impossible esprime una conclusione logica molto ampia: nessun movimento di una persona o di un oggetto può avvenire. all dà alla frase una portata universale; non si parla soltanto di una passeggiata o di un singolo oggetto. Qui motion è un sostantivo astratto non numerabile che indica il movimento o il cambiamento di posizione. Non significa un gesto della mano né una proposta formale presentata durante una riunione.
Esercizio
Leggi questa frase: A strange theory claims that all motion is impossible. Che cosa significa motion?
- Una proposta presentata durante una riunione
- Un singolo gesto della mano
- Movimento o cambiamento di posizione in generale
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Movimento o cambiamento di posizione in generale
clearly absurd: un giudizio forte su una conclusione
Clearly absurd significa che qualcosa è evidentemente irragionevole o impossibile da accettare perché è in conflitto con la logica o con fatti fondamentali. Absurd è più forte di strange: non significa soltanto che qualcosa è insolito. In questa frase, l'espressione presenta prima il giudizio di chi parla. Poi but sposta l'attenzione sulla vera domanda: se la conclusione non può essere corretta, quale passaggio del ragionamento è sbagliato?
Esercizio
Quale significato corrisponde meglio a clearly absurd nella frase?
- Evidentemente illogico o irragionevole
- Un po' insolito, ma accettabile
- Difficile da pronunciare
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Evidentemente illogico o irragionevole
flaw in the logic: un difetto nel ragionamento
A flaw in the logic è una debolezza o un errore nel ragionamento che impedisce di arrivare correttamente alla conclusione. Qui flaw è astratto: non è un segno o una crepa fisica. La struttura a flaw in + sostantivo identifica il sistema o l'idea che contiene il difetto, come in a flaw in the argument o a flaw in the design. La domanda chiede quale passaggio del ragionamento non sia valido.
Esercizio
Usa l'espressione della lezione che significa “una debolezza nel ragionamento”: The conclusion does not follow, so there must be ____.
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a flaw in the logic
it helps to turn the story into a math problem. Espressioni
1:56aiuta trasformare la storia in un problema di matematica.
To resolve the paradox come apertura di scopo
To resolve the paradox è un sintagma infinitivo di scopo. Posto prima della proposizione principale, spiega perché il parlante consiglia il passo successivo: trasformare la storia in un problema matematico. Come segnale discorsivo, sposta la spiegazione dall'individuazione di una contraddizione alla presentazione di un modo per affrontarla. Qui resolve significa trovare una soluzione o una spiegazione soddisfacente, non decidere.
Esercizio
Quale funzione svolge il sintagma iniziale To resolve the paradox in questa frase?
- Dice che il paradosso è già stato risolto.
- Indica lo scopo del passo successivo.
- Indica il risultato del problema matematico.
Mostra risposta
Indica lo scopo del passo successivo.
turn the story into a math problem: la struttura turn X into Y
Turn the story into a math problem usa la struttura turn X into Y, che significa far diventare X un Y o trasformare X in una nuova forma. Qui, the story è X e a math problem è Y. Il parlante non chiede di ruotare fisicamente la storia. L'espressione descrive la riformulazione dei dettagli narrativi come quantità e relazioni che possono essere analizzate matematicamente.
Esercizio
Completa la frase con il passato di turn X into Y: Yesterday, the editor ____ the long interview ____ a short article.
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turned · into
Let's supposed that Zeno's house is 1 mi from the park
1:58Supponiamo che la casa di Zenone si trovi a 1 miglio dal parco
at 1 mi per hour: at per introdurre un tasso
In at 1 mi per hour, at introduce la velocità della camminata. La struttura è at + un tasso; per significa «per ogni», quindi la frase vuol dire «alla velocità di un miglio all'ora». Qui at non indica un luogo. mi è l'abbreviazione scritta di mile. La stessa struttura at + un tasso può introdurre anche altri tassi misurabili, come meters per second o pages per minute.
Esercizio
Completa la frase con at + 60 miles per hour: The bus was traveling ____.
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at 60 miles per hour
Common sense tells us that the time for the journey should be 1 hour. Discorso
2:04Il buon senso ci dice che il tempo del viaggio dovrebbe essere di 1 ora.
Common sense tells us that: presentare un'affermazione come giudizio intuitivo
Common sense tells us that non riporta le parole di una persona reale. L'espressione personifica common sense, «il buon senso», e indica che l'esperienza quotidiana ci porta ad aspettarci che l'affermazione seguente sia vera. Come cornice iniziale, presenta l'informazione dopo that come la risposta intuitiva. Chi scrive può poi confrontare questa intuizione con un calcolo, un'argomentazione formale o un risultato sorprendente.
Esercizio
Qual è la funzione di Common sense tells us that in questa frase: Common sense tells us that the shorter route should take less time?
- Dimostra l'affermazione con un calcolo formale.
- Presenta l'affermazione come un giudizio intuitivo basato sull'esperienza quotidiana.
- Riferisce che una persona ci ha dato l'informazione.
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Presenta l'affermazione come un giudizio intuitivo basato sull'esperienza quotidiana.
But let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. Note
2:08Ma guardiamo le cose dal punto di vista di Zenone e dividiamo il viaggio in parti.
from Zeno's point of view: presentare la prospettiva di Zenone
From Zeno's point of view presenta la spiegazione secondo il modo di ragionare di Zenone. In questa frase, chi parla ci invita ad adottare temporaneamente la sua interpretazione del percorso; l'espressione non indica un luogo fisico da cui guardare. La struttura riutilizzabile è from + persona al possessivo + point of view, come from Maya's point of view o from my point of view. Indica quale prospettiva organizza l'affermazione successiva.
Esercizio
Completa con la struttura from ... point of view che significa «secondo Daniel»: ____, the new schedule gives us more time.
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From Daniel's point of view
divide up: dividere un intero in più parti
Divide up significa separare un intero in più parti o quote più piccole. Nella frase, l'intero è the journey e into pieces indica le parti risultanti. Up è una particella del verbo frasale, non una direzione. Aggiunge l'idea di trattare l'intero dividendolo in parti, anche se divide the journey into pieces sarebbe ugualmente corretto dal punto di vista grammaticale.
Esercizio
Completa con la forma di due parole di divide che sottolinea la divisione di un intero in parti: Let's ____ the presentation into four short sections.
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divide up
and so on: continuare un elenco o uno schema già chiaro
In questa frase, and so on chiude la sequenza dopo che sono stati forniti abbastanza termini per mostrare la regola. Indica a chi ascolta che le parti successive continuano nello stesso modo, quindi il parlante non le elenca una per una. Più in generale, l’espressione segnala un elenco incompleto o uno schema ripetuto i cui elementi omessi si possono dedurre. Di solito suggerisce più di una possibile continuazione, non un solo elemento omesso.
Esercizio
In “The pattern continues 2, 4, 8, 16, and so on,” che cosa comunica and so on a chi ascolta?
- Manca soltanto un altro elemento.
- Gli elementi precedenti sono sbagliati.
- Altri elementi seguono lo stesso schema.
Mostra risposta
Altri elementi seguono lo stesso schema.
Summing up: sommare quantità per ottenere un totale
Qui, Summing up significa sommare tutti i valori di tempo per trovarne il totale. Il complemento all these times indica quantità numeriche e il risultato è una serie, quindi sum up ha il suo significato matematico, non quello quotidiano di riassumere delle idee. La proposizione in -ing all’inizio indica l’operazione che porta al risultato principale: dopo aver sommato i tempi, otteniamo la serie. Questa struttura può presentare un calcolo o un altro passaggio prima di dichiararne il risultato.
Esercizio
Usa la forma in -ing di sum up per descrivere la somma degli importi: ____ the four monthly bills, we got a total of $800.
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Summing up
a series that looks like this: introdurre una forma visiva
In questa frase, a series that looks like this sposta la spiegazione dal calcolo descritto a voce alla serie matematica mostrata subito dopo. this indica la forma visualizzata della serie. Qui, looks like this significa “ha questa forma” o “è disposta come mostrato”, non semplicemente “ha lo stesso aspetto fisico”. Questa struttura sposta l’attenzione dalle parole a una formula, un diagramma, un elenco o una dimostrazione.
Esercizio
Che funzione ha a series that looks like this in questa frase?
- Dice che la serie ha lo stesso aspetto fisico di un altro oggetto.
- Dice che chi parla non conosce la forma della serie.
- Indica la forma della serie matematica mostrata.
Mostra risposta
Indica la forma della serie matematica mostrata.
since there are: introdurre una ragione
Qui since significa «perché» o «dato che». La proposizione che inizia con since there are fornisce una ragione: nel membro destro ci sono infiniti termini e ogni termine è finito. La proposizione successiva, the sum should equal infinity, viene presentata come conclusione. Since può anche indicare un punto iniziale nel tempo, ma qui non ha questo uso. La frase presenta una premessa per un ragionamento, non dice quando è iniziato qualcosa.
Esercizio
Nell’esempio, quale funzione svolge since?
- Indica quando è iniziata l’equazione.
- Introduce una ragione per la conclusione.
- Mostra un contrasto tra due equazioni.
Mostra risposta
Introduce una ragione per la conclusione.
the right hand side of the equation: il membro destro dell’equazione
The right hand side of the equation indica tutto ciò che è scritto a destra del segno di uguale. In a = b + c, il membro destro è b + c. Qui hand fa parte di un’espressione fissa di posizione: right hand side significa «lato destro». Non si riferisce alla mano destra di una persona. Nelle spiegazioni matematiche, questa espressione aiuta a individuare una parte dell’equazione.
Esercizio
In x + 2 = 7, a quale parte si riferisce the right hand side of the equation?
- 7
- il segno di uguale
- x + 2
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7
might say: introdurre un punto di vista ipotetico
Qui, Zeno might say non riporta una citazione confermata. Chi parla attribuisce temporaneamente a Zenone una possibile linea di ragionamento, in modo da poterla esaminare e affrontare. La struttura someone might say... può introdurre un’obiezione, un’interpretazione o una risposta immaginata. might rende il punto di vista ipotetico e lo separa dall’affermazione personale di chi parla.
Esercizio
Valuta l’affermazione: in Zeno might say, chi parla conferma che Zenone abbia realmente pronunciato quelle esatte parole.
- Falso
- Vero
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Falso
This is the problem with Zeno's argument. Discorso
2:34Questo è il problema dell'argomento di Zenone.
This is the problem with ...: indicare un difetto
This is the problem with ... richiama un difetto o una difficoltà appena spiegati. This identifica quel punto precedente, mentre with introduce l’argomento, il piano o l’altra cosa che presenta il problema. In questa frase, chi parla critica l’argomentazione di Zenone. Non significa che il problema appartenga a Zenone.
Esercizio
Usa la struttura evidenziata per richiamare il difetto precedente: The app drains the battery in an hour. ____ the app.
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This is the problem with
have since realized: una comprensione raggiunta più tardi
Have realized è al present perfect, mentre l’avverbio since significa «dopo quel momento precedente» o «più tardi». Nel complesso, have since realized indica che la comprensione è arrivata più tardi ed è ancora rilevante ora. Qui since funziona da solo tra have e realized. Non introduce una proposizione temporale, quindi l’espressione non significa «da quando si sono resi conto».
Esercizio
Nella frase “Historians have since realized that the date was wrong,”, che cosa significa since?
- A partire dal momento descritto da una proposizione dopo since
- Perché
- Più tardi, dopo il momento precedente
Mostra risposta
Più tardi, dopo il momento precedente
it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. Note
2:38è possibile sommare infiniti termini di dimensione finita e ottenere comunque una risposta finita.
It is possible to + verbo alla forma base
It is possible to + verbo alla forma base significa che un’azione o un risultato può verificarsi. Qui, it è un soggetto formale: non si riferisce a un oggetto. Il vero contenuto è la frase all’infinito che comincia con to add up. Questa struttura mette prima un soggetto grammaticale breve e poi l’azione più lunga, rendendo la spiegazione più facile da seguire.
Esercizio
Completa la frase con l’apertura di due parole che contiene il soggetto formale: ____ possible to finish the route before sunset.
Mostra risposta
It is
add up infinitely many finite-sized terms: sommare infiniti termini finiti
Qui, add up significa calcolare un totale mediante un’addizione. L’oggetto infinitely many finite-sized terms indica che cosa viene sommato: ci sono infiniti termini, ma ogni singolo termine ha una grandezza finita. In questo contesto matematico, add up descrive un vero calcolo, non il fatto che una spiegazione abbia senso.
Esercizio
Quale frase usa add up nel senso di calcolare il totale di diversi valori?
- His explanation does not add up.
- These test scores add up to 360.
- Add up the four test scores.
Mostra risposta
Add up the four test scores.
still get a finite answer: still segnala un risultato inatteso
In questa frase, still indica che un risultato resta possibile nonostante un fatto che sembra portare alla conclusione opposta. Sommare infiniti termini può far pensare a un totale infinito, ma si può comunque ottenere un risultato finito. Qui still ha una funzione concessiva e segnala un risultato contrario alle aspettative. Organizza l’informazione nel senso di “nonostante il sorprendente fatto precedente, questo risultato resta valido”, invece di indicare soltanto che qualcosa continua nel tempo.
Esercizio
Che cosa segnala still nell’esempio?
- Ogni termine di grandezza finita ha lo stesso valore numerico.
- Il processo per trovare la risposta continua per molto tempo.
- Un risultato finito è possibile nonostante l’aspettativa creata da un numero infinito di termini.
Mostra risposta
Un risultato finito è possibile nonostante l’aspettativa creata da un numero infinito di termini.
How, you ask?: anticipare la domanda del pubblico
How, you ask? significa «Forse vi state chiedendo come sia possibile». Chi parla formula la domanda che probabilmente ha il pubblico; non sta raccontando una vera interruzione. Questa domanda retorica crea un dialogo immaginario e fa avanzare la spiegazione. Di solito anticipa una risposta che segue immediatamente.
Esercizio
Vero o falso: in How, you ask?, chi parla riferisce che una persona del pubblico lo ha davvero interrotto e ha posto la domanda.
- Vero
- Falso
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Falso
think of it this way: introdurre una nuova prospettiva
'Think of it this way' invita chi ascolta a usare un nuovo punto di vista per comprendere l'argomento. Qui, it si riferisce all'idea già in discussione, mentre this way anticipa la spiegazione che segue. L'espressione organizza la spiegazione annunciando un cambio di prospettiva; non significa letteralmente pensare a un oggetto fisico in un certo modo.
Esercizio
Che cosa segnala 'Let's think of it this way' nella frase?
- Una descrizione della forma fisica dell'idea
- Un nuovo modo di capire l'idea
- Un ordine di memorizzare le parole esatte
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Un nuovo modo di capire l'idea
Let's start with a square that has area 1 unit. Espressioni
2:47Cominciamo con un quadrato che ha un'area di 1 unità.
start with: indicare l'oggetto iniziale
'Start with' significa scegliere qualcosa come primo oggetto, materiale, esempio o passaggio di un processo. In questa frase, un quadrato con area pari a 1 unità è l'oggetto iniziale per ciò che segue. La struttura è start with + sintagma nominale. With introduce il contenuto iniziale; qui non significa «insieme a».
Esercizio
Usa start e la preposizione che introduce il primo elemento di una sequenza: Let's ____ the easiest question.
Mostra risposta
start with
chop the square in half: tagliare il quadrato a metà
Chop the square in half significa tagliare il quadrato in modo che diventi due parti uguali. La struttura è chop + oggetto + in half; in half indica il risultato dell'azione. Qui chop è un modo vivace e informale per parlare della divisione di una figura disegnata. La stessa struttura può descrivere il taglio di un oggetto fisico in due parti uguali.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione di risultato di due parole vista in questa lezione, che significa 'in due parti uguali': Chop the sandwich ____.
Mostra risposta
in half
keep track of the areas: tenere traccia delle aree
Keep track of significa continuare a controllare o registrare informazioni nel tempo. In questa frase, l'informazione è l'area di ciascun pezzo mentre i pezzi cambiano. La struttura è keep track of + l'informazione controllata. Qui track non indica un percorso fisico; l'espressione si concentra sul rimanere informati per non dimenticare o perdere nulla.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione di questa lezione che contiene keep e track: Use this chart to ____ our weekly progress.
Mostra risposta
keep track of
each with an area of 1/2: aggiungere una proprietà a ogni parte
In questa frase, each si riferisce alle due parti. L'espressione with an area of 1/2 indica l'area di ciascuna, quindi ogni parte ha individualmente un'area di 1/2. Lo schema compatto nome plurale + each with + sintagma nominale aggiunge una proprietà a ogni membro senza ripetere un'intera proposizione. Qui equivale a two parts, and each part has an area of 1/2.
Esercizio
Usa la struttura compatta each with per completare la frase: The cabin has three bedrooms, ____ private bathroom.
Mostra risposta
each with a
The next slice divides one of those halves in half, Grammatica
3:04Il taglio successivo divide una di quelle metà a metà,
one of those halves: scegliere un elemento da un gruppo noto
Le parole those halves rimandano alle due parti create dal taglio precedente. One seleziona una sola metà da quel gruppo noto, quindi viene poi divisa soltanto una metà. Nello schema one of + sintagma nominale plurale, one è singolare perché rappresenta l'elemento selezionato, mentre halves resta plurale perché indica il gruppo da cui si sceglie.
Esercizio
Quale espressione seleziona correttamente una scatola da un gruppo già identificato? Completa la frase: Please open ___ and check inside.
- one of those boxes
- one those boxes
- one of that boxes
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one of those boxes
the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Lessico
3:10l'area totale è sempre la somma delle aree di tutti i pezzi.
no matter how many times: un risultato che non cambia
No matter how many times + soggetto + verbo introduce una concessione relativa alla frequenza. Il numero di ripetizioni può cambiare, ma il risultato della proposizione principale resta invariato. Qui le figure possono essere divise più e più volte; nonostante ciò, la regola sull’area totale rimane valida. In questo uso, no matter non significa che non ci sia alcun problema.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione obiettivo no matter how many times: ____ we try, the lock will not open without the correct code.
Mostra risposta
No matter how many times
slice up: tagliare qualcosa in più pezzi
Slice up + complemento oggetto significa tagliare una cosa intera in più pezzi. La particella up aggiunge l’idea che la divisione venga portata a termine; non indica una direzione verso l’alto. In questa frase, boxes si riferisce a figure o blocchi disegnati. Il parlante immagina quindi che queste figure vengano divise in parti più piccole, non che vengano tagliate delle scatole da imballaggio.
Esercizio
Nella frase del video, che cosa significa slice up the boxes?
- Disegnare scatole intorno a tutti i pezzi
- Spostare le scatole verso l’alto
- Tagliare le figure in più pezzi
Mostra risposta
Tagliare le figure in più pezzi
the sum of the areas of all the pieces: sommare le aree delle parti
Qui sum è un sostantivo che indica il totale ottenuto sommando numeri o quantità. Nella struttura the sum of X, X indica i valori che vengono sommati. In the areas of all the pieces, ogni pezzo contribuisce con la propria area, non con il pezzo fisico in sé. L'intera espressione significa quindi tutte le singole aree sommate insieme.
Esercizio
Completa la frase con la struttura nominale che significa «il totale ottenuto sommando»: The total score is ____ the points from all four rounds.
Mostra risposta
the sum of
Now, you can see why we chose this particular way of cutting up the square. Note
3:15Ora, puoi capire perché abbiamo scelto questo particolare modo di tagliare il quadrato.
you can see why: segnalare che ora il motivo è chiaro
In you can see why + una proposizione di causa, see significa capire, non guardare con gli occhi. Le parole dopo why indicano quale motivo ora può essere compreso. In una spiegazione, l'espressione funziona come un segnale organizzativo: collega le prove o i passaggi appena presentati al motivo di una scelta o di un risultato. Now sottolinea che le informazioni precedenti hanno reso chiaro quel motivo.
Esercizio
In una spiegazione, che cosa comunica you can see why all'interlocutore?
- L'interlocutore deve scegliere un nuovo motivo.
- Le informazioni precedenti rendono comprensibile il motivo.
- Il motivo può essere visto come un oggetto fisico.
Mostra risposta
Le informazioni precedenti rendono comprensibile il motivo.
particular way of cutting up the square: un modo specifico di suddividere il quadrato
In questa frase, particular significa «specifico» o «scelto appositamente»; qui non significa «esigente». This particular way indica un metodo preciso, non un metodo qualsiasi. Chi parla spiega perché è stato scelto quel metodo. La struttura way of + -ing indica come viene compiuta un’azione. Qui, way of cutting up the square significa il metodo usato per dividere il quadrato in parti più piccole. Il modello riutilizzabile è a particular way of doing something.
Esercizio
Completa la struttura obiettivo con la preposizione usata prima di una forma in -ing: This particular way ____ arranging the cards makes the pattern easy to see.
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of
We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. Grammatica
3:18Abbiamo ottenuto la stessa serie infinita che avevamo per il tempo del viaggio di Zenone.
the same infinite series as ...: la stessa serie infinita che ...
La struttura the same + nome + as ... collega due elementi identici sotto l’aspetto rilevante. Qui, la serie appena ottenuta è identica alla serie infinita usata per il tempo del viaggio di Zenone. Le informazioni dopo as forniscono l’elemento di confronto: we had for the time of Zeno's journey. Non fermarti a the same infinite series; la proposizione con as indica a quale serie viene fatta corrispondere.
Esercizio
Completa la struttura di confronto the same ... as: The second diagram shows the same pattern ____ the first one.
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as
As we construct: as per due processi che procedono insieme
Qui As we construct significa «mentre continuiamo a costruire» o «man mano che la costruzione procede». L’espressione introduce una proposizione di tempo e processo che collega la costruzione in corso a un altro cambiamento. La funzione principale di as qui è mostrare sviluppi che procedono insieme. Non equivale semplicemente a because: la frase è organizzata intorno a cambiamenti paralleli, anche se il primo processo può contribuire a causare il secondo.
Esercizio
Qual è la funzione principale di As we construct in questa frase?
- Presenta la costruzione come un processo in corso insieme a un altro cambiamento.
- Contrappone la costruzione all’altro cambiamento.
- Afferma che la costruzione è l’unica ragione dell’altro cambiamento.
Mostra risposta
Presenta la costruzione come un processo in corso insieme a un altro cambiamento.
more and more blue pieces: un numero in aumento
In more and more blue pieces, more and more indica che il numero dei pezzi blu continua ad aumentare mentre il processo va avanti. Va interpretato come un’unica struttura che significa «un numero crescente di», non come due usi separati di more.
Esercizio
Completa la frase con la struttura che significa «un numero crescente di»: ____ visitors come to the museum each year.
Mostra risposta
More and more
to use the math jargon: segnalare il passaggio ai termini tecnici
L’espressione incidentale to use the math jargon significa «formulare la prossima idea con la terminologia matematica». Non descrive il processo matematico in sé, ma indica a chi ascolta come interpretare le parole successive. È un segnale che organizza le informazioni: chi parla passa da una spiegazione semplice o visiva a una formulazione più specialistica. In questa frase, jargon è neutro e non presenta quelle parole come prive di senso.
Esercizio
Che cosa segnala chi parla con to use the math jargon?
- La formulazione successiva userà termini matematici specialistici.
- La spiegazione matematica verrà abbandonata.
- I termini successivi sono privi di significato.
Mostra risposta
La formulazione successiva userà termini matematici specialistici.
as we take the limit as n tends to infinity, Lessico
3:27prendendo il limite per n che tende all'infinito,
take the limit as n tends to infinity: descrivere un processo di limite
Take the limit è un’espressione verbale matematica standard che significa «calcolare il limite», non «rimuovere una restrizione». La proposizione as n tends to infinity stabilisce la direzione del processo: n cresce senza limite. Qui n rappresenta il numero di passaggi o di termini. L’infinito non è un normale numero finale che n raggiunge; l’espressione chiede a quale valore si avvicina la quantità considerata quando n diventa arbitrariamente grande.
Esercizio
In matematica, che cosa chiede di fare take the limit as n tends to infinity?
- Porre n uguale a un numero ordinario chiamato infinito.
- Esaminare il valore a cui si avvicina una quantità mentre n cresce senza limite.
- Rimuovere una restrizione dopo aver scelto un piccolo valore di n.
Mostra risposta
Esaminare il valore a cui si avvicina una quantità mentre n cresce senza limite.
the entire square becomes covered with blue. Grammatica
3:30l'intero quadrato viene ricoperto di blu.
becomes covered with blue: cambiamento verso uno stato interessato
Become + participio passato descrive un cambiamento verso uno stato che riguarda il soggetto. Qui, becomes covered indica che il quadrato passa dal non essere completamente coperto all'essere coperto. With blue identifica ciò che copre o riempie la sua superficie. The entire square è l'elemento coinvolto; non sta coprendo attivamente qualcos'altro.
Esercizio
Completa la frase con la forma corretta al presente di become + covered with: As autumn continues, the sidewalk ____ leaves.
Mostra risposta
becomes covered with
and so: introdurre una conclusione
And so collega un fatto o una ragione già espressi alla conclusione che segue. L'informazione precedente costituisce la base; la proposizione successiva presenta il risultato ricavato da quella base. In questa frase, l'area del quadrato è 1 unità e and so introduce la conclusione che la somma infinita deve essere uguale a 1. Qui, so organizza il ragionamento; non significa molto e non modifica un aggettivo.
Esercizio
Quale frase usa and so per introdurre una conclusione ricavata dal fatto precedente?
- The road was so icy that buses could not move.
- Sam checked the map and the train schedule.
- The road was icy, and so the school opened late.
Mostra risposta
The road was icy, and so the school opened late.
infinite sum must equal 1: must indica necessità logica
Qui, infinite sum è il totale ottenuto sommando un numero infinito di termini. La proposizione afferma che questo totale è 1. Must esprime una necessità logica, non un ordine. Poiché le parti del modello riempiono un quadrato di area 1, il ragionamento impone che la somma sia uguale a 1. Lo stesso uso di must indica una conclusione che deriva necessariamente dai fatti forniti.
Esercizio
Che cosa comunica must nella frase dell'esempio?
- Il risultato è soltanto una possibilità.
- Alla somma è stato dato un ordine.
- La conclusione deriva necessariamente dal ragionamento.
Mostra risposta
La conclusione deriva necessariamente dal ragionamento.
we can now see how the paradox is resolved. Grammatica
3:40ora possiamo vedere come si risolve il paradosso.
Going back to Zeno's ...: transizione per riprendere un argomento precedente
Going back to Zeno's journey è una transizione iniziale che riporta la discussione a un argomento menzionato in precedenza. Organizza la spiegazione: dopo il modello del quadrato e della somma, chi parla riporta l'attenzione sul viaggio di Zenone. L'espressione descrive uno spostamento nella discussione, non un movimento fisico. La proposizione principale spiega poi che cosa diventa chiaro quando si riprende l'argomento precedente.
Esercizio
Usa going, back e to nell'ordine corretto per completare la transizione che riprende un argomento: ____ our earlier question, the answer is now clear.
Mostra risposta
Going back to
the paradox is resolved: un risultato espresso al passivo
The paradox is resolved usa la forma passiva be + participio passato: the paradox riceve l’azione invece di compierla. La frase mette in primo piano il risultato —ora il problema apparente può essere spiegato— senza indicare la persona o il ragionamento che lo ha risolto. Quando il soggetto è un problema, resolved significa «risolto, chiarito o spiegato con precisione». Non significa «ha deciso di fare qualcosa»; quel significato normalmente richiede una persona come soggetto in una struttura come she resolved to continue.
Esercizio
Che cosa significa “the paradox is resolved” nell’esempio?
- Il paradosso è stato risolto o spiegato.
- Il paradosso è diventato più confuso.
- Il paradosso ha deciso di agire.
Mostra risposta
Il paradosso è stato risolto o spiegato.
Not only does the infinite series sum to a finite answer, Note
3:42Non solo la serie infinita si somma in una risposta finita,
sum to a finite answer: dare un risultato finito come somma
Sum to + risultato significa “sommarsi fino a raggiungere quel risultato o essere uguale a esso”. Qui, the infinite series è il soggetto, mentre a finite answer è il risultato ottenuto sommando i suoi termini. In questo caso, sum non significa “riassumere”. In matematica, una serie può avere infiniti termini, ma i totali possono avvicinarsi sempre di più a un valore finito fisso man mano che si aggiungono termini. Quando ciò accade, si dice che la serie sums to quel valore.
Esercizio
Completa la frase usando sum come verbo con la preposizione necessaria: The three payments ____ $150.
Mostra risposta
sum to
but that finite answer is the same one that common sense tells us is true.
3:46ma quella risposta finita è la stessa che il buon senso ci dice essere vera.
Not only does ... but ...: inversione con Not only all’inizio
Not only ... but ... collega due affermazioni correlate e presenta la seconda come un’aggiunta, spesso più forte. Qui, la prima affermazione è che la serie infinita ha una somma finita; la proposizione con but aggiunge che questa risposta coincide anche con il buon senso. Poiché Not only apre la prima proposizione, si verifica l’inversione tra soggetto e ausiliare: does viene prima del soggetto e sum resta alla forma base. In questo schema al presente semplice si usa Not only does + soggetto singolare + forma base del verbo ..., but + proposizione nell’ordine normale ....
Esercizio
Completa l’inversione al presente semplice con l’ausiliare necessario: Not only ____ the pattern repeat, but it also becomes easier to recognize.
Mostra risposta
does