Perché non si può dividere per zero? - TED-Ed: appunti per imparare l’inglese
TED-Ed
Panoramica del video: Il video spiega perché un quoziente che tende all’infinito quando il divisore si avvicina a zero non implica che la divisione per zero sia uguale all’infinito. Definisce la divisione tramite l’inverso moltiplicativo e mostra che dichiarare l’infinito inverso di zero produce contraddizioni come 1 = 2, pur ricordando che altri sistemi matematici possono cambiare le regole. Principali punti di inglese: 1. all we really know is that — Discorso, narrazione e retorica: Impara a restringere un ragionamento alla conclusione effettivamente sostenuta dalle prove. Qui l’espressione separa un’affermazione sul limite—i valori crescono senza limite mentre il divisore si avvicina a zero—dalla conclusione non dimostrata che dividere per zero equivalga davvero all’infinito. 2. If we want to divide by zero, we need to find its multiplicative inverse, — Grammatica e strutture della frase: Riconosci e usa If we want to..., we need to... per collegare un obiettivo a una condizione o a un passaggio necessario. La struttura rende chiare procedure e necessità logiche, evitando che il passaggio successivo sembri una scelta arbitraria. 3. make up a new rule? — Verbi frasali: Comprendi che make up qui significa inventare o definire qualcosa, non assemblarlo materialmente. La domanda introduce una regola ipotetica per verificarne le conseguenze; lo stesso verbo può descrivere regole, storie, spiegazioni o sistemi inventati.
In questa lezione
In the world of math: delimitare l'ambito dell'argomento
In the world of math è una struttura iniziale che indica a chi ascolta a quale campo appartiene l'affermazione successiva. Qui world è figurativo: indica l'insieme di idee, pratiche e regole legate alla matematica, non un luogo fisico separato. Poiché l'espressione viene all'inizio e termina con una virgola, definisce l'ambito prima dell'affermazione principale. Puoi riutilizzare In the world of + campo per introdurre ciò che è comune, importante o possibile all'interno di un argomento.
Esercizio
Completa l'apertura con la stessa struttura della lezione per delimitare l'argomento: ____ robotics, even tiny errors can matter.
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In the world of
many strange results are possible when we change the rules. Modi di dire
0:09sono possibili molti risultati strani quando cambiamo le regole.
change the rules: cambiare le condizioni di base di un sistema
Qui change the rules significa modificare le condizioni di base che determinano ciò che può accadere in un sistema. In matematica, queste regole possono essere ipotesi, definizioni od operazioni consentite; regole diverse possono quindi rendere possibili risultati diversi. L'espressione si può usare anche fuori dalla matematica quando qualcuno riscrive intenzionalmente il funzionamento di un gioco, di un'organizzazione o di un processo.
Esercizio
Un progettista di giochi riscrive il modo in cui vengono assegnati i punti. Quale frase descrive correttamente la situazione?
- The designer decides to change the rules.
- The designer decides to break the rules.
- The designer decides to follow the rules.
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The designer decides to change the rules.
But there's one rule that most of us have been warned not to break. Grammatica
0:13Ma c'è una regola che alla maggior parte di noi è stato intimato di non infrangere.
have been warned not to + verbo
“Have been warned” è la forma passiva del present perfect di “warn”. Mette in primo piano le persone che hanno ricevuto l’avvertimento, non chi lo ha dato. Il present perfect colloca l’avvertimento prima del momento attuale e mostra che è ancora rilevante. La struttura attiva “warn someone not to do something” diventa “someone has/have been warned not to do something” al passivo. Qui, “not to break” indica l’azione vietata, mentre “break a rule” significa infrangere una regola. In questa frase, la struttura presenta l’avvertimento come qualcosa che la maggior parte delle persone ha già ricevuto.
Esercizio
Completa la frase con la struttura passiva di avvertimento: For safety, visitors ____ enter the closed area.
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have been warned not to
divide A by B: dividere A per B
In matematica, “divide A by B” significa calcolare A ÷ B. A è il dividendo, cioè il numero da dividere, mentre B, dopo “by”, è il divisore. Quindi “divide by zero” significa usare zero come divisore. Nell’aritmetica ordinaria questa operazione non è definita, ed è per questo che la frase dice di non farlo.
Esercizio
Quale espressione legge correttamente 18 ÷ 6?
- eighteen divided by six
- eighteen divided into six
- six divided by eighteen
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eighteen divided by six
How can the simple combination of an everyday number and a basic operation cause such problems? Discorso
0:19Come può la semplice combinazione di un numero quotidiano e un'operazione di base causare tali problemi?
How can ... cause such problems? come domanda introduttiva per una spiegazione
La domanda con lo schema How can X cause Y? non chiede soltanto in che modo avvenga qualcosa. Qui mette a confronto un numero comune e un'operazione di base con i problemi inaspettati che causano, creando un contrasto sorprendente. Come domanda introduttiva, presenta l'enigma prima della spiegazione. In questo modo organizza chiaramente le informazioni: prima mostra il risultato sorprendente e poi spiega come o perché si verifica.
Esercizio
Quale domanda iniziale usa meglio How can...? per presentare un enigma sorprendente a cui si può rispondere con una spiegazione?
- Where is the packet of seeds?
- Can you put this seed in the blue pot?
- How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
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How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
Normally, dividing by smaller and smaller numbers gives you bigger and bigger answers. Grammatica
0:26Di norma, dividendo per numeri sempre più piccoli si ottengono risposte sempre più grandi.
smaller and smaller ... bigger and bigger per esprimere un cambiamento continuo
In smaller and smaller e bigger and bigger, la stessa forma comparativa viene ripetuta con and. Lo schema comparativo + and + comparativo indica che una qualità continua a cambiare nella stessa direzione nel tempo o lungo una sequenza. Qui, smaller and smaller descrive numeri che diminuiscono passo dopo passo, mentre bigger and bigger descrive risultati che aumentano passo dopo passo. Lo schema esprime una tendenza continua, non soltanto il fatto che qualcosa sia molto piccolo o molto grande.
Esercizio
Completa la frase con lo schema comparativo ripetuto che significa «sempre più forte»: The music grew ____ as the parade came closer.
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louder and louder
L'ellissi in By 1 ... By 1 millionth
By 1 e By 1 millionth sono elementi paralleli abbreviati. Il primo calcolo stabilisce la struttura ripetuta 10 divided by ..., quindi gli elementi successivi significano 10 divided by 1 e 10 divided by one millionth. Si tratta di un'ellissi: l'informazione condivisa viene omessa perché l'elenco permette di recuperarla facilmente. In una spiegazione rapida, mantieni la struttura comune e inserisci ogni nuovo divisore.
Esercizio
In questo elenco di calcoli, qual è la forma completa di By 1 millionth?
- 1 millionth divided by 10
- 10 divided by 1 millionth
- 10 multiplied by 1 millionth
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10 divided by 1 millionth
And so on per concludere un elenco incompleto
And so on compare alla fine di un elenco o di una serie. Indica che seguono altri elementi o passaggi dello stesso tipo o secondo lo stesso schema, ma che il parlante non li nominerà tutti. Chi ascolta deve poter dedurre ciò che verrebbe dopo dagli esempi o dalla regola già presentati.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione della lezione che indica che l'elenco continua: We need paper, pencils, folders, ____.
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and so on
So it seems like if you divide by numbers that keep shrinking all the way down to zero, Note
0:40Sembra quindi che, se si divide per numeri che continuano a rimpicciolirsi fino a zero,
it seems like if ...: un'inferenza condizionale provvisoria
Nella sequenza it seems like if ..., it seems like presenta l'idea successiva come un'impressione basata su ciò che si vede o si sa fino a quel momento, non come una conclusione dimostrata. La parola if introduce la condizione su cui si basa tale impressione. Questa formulazione permette di proporre un possibile andamento lasciando spazio per verificarlo, limitarlo o correggerlo.
Esercizio
Quale frase presenta una condizione come un'inferenza provvisoria anziché come un fatto dimostrato?
- Every battery definitely runs down faster in the cold.
- It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
- We have proved that every battery runs down faster in the cold.
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It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
keep shrinking: keep + -ing per esprimere un cambiamento continuo
Keep + una forma in -ing indica che un'azione o un cambiamento continua o si ripete. Qui keep shrinking significa «continuare a diventare più piccolo». Descrive una tendenza in corso, non uno stato fisso in cui qualcosa è piccolo. Il verbo concorda con il soggetto: numbers keep shrinking, ma a number keeps shrinking.
Esercizio
Completa la frase con la forma corretta di keep + changing: The weather ____ throughout the day.
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keeps changing
all the way down to zero: enfasi sull'intera discesa
In all the way down to zero, all the way intensifica l'estensione del cambiamento: questo continua per l'intero intervallo fino al punto finale indicato. Down mostra la direzione discendente e to zero specifica che il punto finale è zero. La struttura all the way down to + punto basso può descrivere quantità, livelli, temperature o movimento fisico. Mette in evidenza l'intero percorso verso il basso, non soltanto il valore finale.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione della lezione che significa «per tutta la discesa fino a zero»: The gauge fell ____.
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all the way down to zero
the answer will grow to the largest thing possible.
0:45la risposta crescerà fino alla grandezza massima possibile.
Then isn't the answer to 10 / 0 actually infinity? Intento
0:48Quindi la risposta a 10 / 0 non è in realtà infinito?
Then isn't ... actually ...?: presentare una conclusione attesa
Then collega la domanda al ragionamento appena presentato: se ciò è vero, questa conclusione sembra derivarne. La domanda negativa isn't ...? non è del tutto neutra; presenta l'infinito come la risposta che il parlante si aspetta sembri naturale. Actually aggiunge una piccola sfida all'idea precedente, come se si chiedesse se questo sia il vero risultato. La domanda invita a confermare o propone un'idea da esaminare, ma non dimostra che la conclusione sia corretta.
Esercizio
Che cosa comunica principalmente la domanda negativa in questa frase?
- Chiede una risposta qualsiasi senza suggerirne nessuna.
- Dimostra che dividere per zero equivale all'infinito.
- Presenta l'infinito come la conclusione che il parlante si aspetta sembri naturale.
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Presenta l'infinito come la conclusione che il parlante si aspetta sembri naturale.
may sound plausible: ragionevole a prima vista, ma non dimostrato
In questa frase, may sound plausible significa «può sembrare ragionevole o credibile». May mantiene incerta la valutazione, sound descrive l'impressione prodotta dall'idea e plausible indica che l'idea potrebbe essere vera in base a ciò che si sa. L'espressione viene spesso usata per ammettere che un'argomentazione sembra convincente a prima vista, prima di esaminarla con più attenzione. Non afferma che l'argomentazione sia corretta.
Esercizio
Quale frase dice che una spiegazione sembra ragionevole, ma non è ancora stata dimostrata?
- The explanation is easy to hear, but hard to understand.
- The explanation is certainly true, so no evidence is needed.
- The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
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The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
but all we really know is that if we divide 10 by a number that tends towards zero, Note
0:54ma tutto ciò che sappiamo davvero è che se dividiamo 10 per un numero che tende a zero,
all we really know is that: limitare un'affermazione a ciò che sostengono le prove
La struttura all we really know is that... restringe la discussione al contenuto effettivamente sostenuto dalle prove. Grammaticalmente, all we really know è il soggetto, mentre la proposizione introdotta da that esprime tutto ciò che si può sapere. Qui, all ha un valore restrittivo vicino a «l'unica cosa», mentre really sottolinea ciò che è davvero certo. Questa struttura serve a fermare un'inferenza troppo sicura e a sostituirla con un'affermazione prudente e basata sulle prove.
Esercizio
Un'unica impronta dimostra che qualcuno era presente, ma non chi fosse. Quale frase resta entro i limiti delle prove?
- We know exactly who was here.
- The footprint proves that nobody was here.
- All we really know is that someone was here.
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All we really know is that someone was here.
tends towards zero ... tends towards infinity: avvicinarsi a un limite
Qui, tends towards significa “avvicinarsi sempre di più a” mentre cambia un altro valore. La parola o quantità dopo towards indica l'obiettivo o la direzione del limite: tends towards zero e tends towards infinity descrivono entrambe la direzione del cambiamento. In matematica, questa espressione descrive un comportamento limite, non un valore già raggiunto. Un denominatore può tendere a zero senza essere zero; un risultato che tende all'infinito cresce senza limite invece di diventare un normale numero chiamato infinito.
Esercizio
Un valore si avvicina sempre di più a zero, ma potrebbe non essere mai uguale a zero. Quale frase lo esprime con maggiore precisione?
- The value moves away from zero.
- The value is equal to zero.
- The value tends towards zero.
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The value tends towards zero.
And that's not the same thing as saying that 10 / 0 is equal to infinity. Note
1:03E non è la stessa cosa di dire che 10 / 0 è uguale all'infinito.
not the same thing as saying: respingere una falsa equivalenza
La struttura that's not the same thing as saying that X respinge una falsa equivalenza. Segnala a chi ascolta che l'affermazione precedente non giustifica la conclusione più forte o diversa introdotta dopo saying that. Organizza l'argomentazione in due passaggi: prima conserva l'affermazione originale, poi delimita ciò che essa non afferma. In questa frase, il tendere all'infinito viene distinto dall'affermazione che una divisione per zero sia uguale all'infinito.
Esercizio
Completa la frase con la struttura evidenziata: The forecast says rain is possible. That is ____ it will definitely rain.
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not the same thing as saying
is equal to per esprimere un'uguaglianza matematica esatta
Is equal to esprime un'uguaglianza esatta: l'espressione che viene prima ha lo stesso valore di quella che viene dopo. La struttura è A + be + equal to + B, quindi be concorda con A. Qui, l'espressione fa parte di un'affermazione su 10 / 0. Il parlante dice che un'idea non equivale a formulare quell'affermazione di uguaglianza; is equal to indica la relazione affermata, ma non dimostra che sia vera.
Esercizio
Completa l'equazione con la struttura be equal to: Twelve divided by three ____ four.
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is equal to
Well, let's take a closer look at what division really means. Espressioni
1:11Bene, diamo un'occhiata più da vicino a cosa significa davvero la divisione.
take a closer look at come passaggio a un'analisi più approfondita
Take a closer look at significa esaminare qualcosa con maggiore attenzione o più nel dettaglio. Ciò che segue at può essere concreto, come un'immagine, oppure astratto, come un'idea o un problema. Con Let's, il parlante invita il pubblico a esaminare insieme l'argomento. In una spiegazione, l'espressione serve spesso come passaggio dalla presentazione di una domanda alla sua analisi.
Esercizio
Completa l'invito con l'espressione obiettivo take a closer look at: Let's ____ the evidence.
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take a closer look at
how many times must we add 2 together to make 10? Grammatica
1:18quante volte dobbiamo sommare 2 insieme per fare 10?
How many times must we ... to make ...?: chiedere quante ripetizioni servono per raggiungere un risultato
How many times chiede il numero di ripetizioni. In How many times must we + forma base del verbo ... to + forma base del verbo ...?, must presenta l’azione come necessaria e la proposizione con to indica il risultato da raggiungere. Qui, add 2 together significa includere ripetutamente un altro 2 nella somma finché il totale non arriva a 10. La domanda riformula 10 ÷ 2 chiedendo «quanti 2 formano 10»: cinque.
Esercizio
Completa la domanda con l’espressione che chiede il numero necessario di ripetizioni: ____ must we add 4 together to make 20?
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How many times
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it in the following way. Lessico
1:26Dividere per un numero è essenzialmente l'inverso della moltiplicazione per esso nel seguente modo.
the reverse of multiplying by it / in the following way: divisione della struttura
The reverse of + sostantivo o forma in -ing indica un processo che ne annulla un altro o che procede nella direzione opposta. In A is the reverse of B, A e B vengono presentati come processi inversi. Qui, it si riferisce a a number: dividere per quel numero viene descritto come l’inverso del moltiplicare per esso. L’in finale del segmento evidenziato non fa parte di the reverse of. È l’inizio di in the following way, che segnala che seguirà una spiegazione o una dimostrazione.
Esercizio
Quale frase presenta chiaramente un processo come l’azione che ne annulla un altro?
- Unzipping a jacket happens after zipping it up.
- Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
- Unzipping a jacket is similar to zipping it up.
Mostra risposta
Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
If we multiply any number by a given number x, Lessico
1:32Se moltiplichiamo un qualsiasi numero per un dato numero x,
a given number x: un numero x stabilito in anticipo
Qui given è un aggettivo che significa “specificato o scelto in anticipo”. In a given number x, x rappresenta un numero considerato già stabilito, anche se il suo valore effettivo non è scritto. Nei testi matematici e tecnici, given indica spesso un’informazione già stabilita dal problema. Non significa che qualcuno abbia regalato il numero.
Esercizio
Che cosa significa given nell’istruzione “Choose a given value for x”?
- Specificato o scelto in anticipo
- Che cambia continuamente
- Ricevuto in regalo
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Specificato o scelto in anticipo
we can ask if there's a new number we can multiply by afterwards
1:35possiamo chiederci se c'è un nuovo numero per cui possiamo moltiplicare dopo
get back to where we started: tornare allo stato iniziale
In get back to where we started, get back to significa “tornare a”, mentre where we started indica il punto o la condizione iniziale. Qui l’espressione è figurata: dopo un’altra moltiplicazione, il valore torna a essere quello precedente alle operazioni. La stessa espressione può descrivere il ripristino di uno stato precedente in un piano, una discussione o un processo; non richiede uno spostamento fisico.
Esercizio
Quale frase significa che annullare le modifiche ha ripristinato lo stato iniziale?
- Undoing the update moved us to a new stage.
- Undoing the update forced us to start from scratch.
- Undoing the update got us back to where we started.
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Undoing the update got us back to where we started.
the new number is called the multiplicative inverse of x. Lessico
1:43il nuovo numero si chiama inverso moltiplicativo di x.
l’inverso moltiplicativo di x
In matematica, l’inverso moltiplicativo di x è un numero che, moltiplicato per x, dà 1. Per ogni x diverso da zero, è 1/x; per esempio, l’inverso moltiplicativo di 5 è 1/5. La parte of x identifica il numero di partenza. Lo zero non ha un inverso moltiplicativo, perché nessun numero moltiplicato per zero dà 1.
Esercizio
Quale numero è l’inverso moltiplicativo di 5?
- -5
- 1/5
- 0
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1/5
For example, if you multiply 3 by 2 to get 6,
1:47Ad esempio, se si moltiplica 3 per 2 per ottenere 6,
you can then multiply by 1/2 to get back to 3.
1:51si può poi moltiplicare per 1/2 per tornare a 3.
As you might notice, per guidare un’osservazione
As you might notice, è un’espressione di apertura che dirige l’attenzione di chi ascolta verso uno schema o una caratteristica osservabile nelle informazioni già mostrate. Collega le prove o gli esempi precedenti al commento successivo di chi parla. Might attenua l’ipotesi: chi ascolta potrebbe averlo già notato, ma chi parla non sostiene che sia sicuramente così. Per questo suona più gentile di un comando diretto che inizi con Notice that.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione di quattro parole che guida gentilmente il pubblico verso una caratteristica osservabile: ____, both bars reach the same height.
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As you might notice
the product of any number and its multiplicative inverse is always 1. Lessico
2:05il prodotto di qualsiasi numero per il suo inverso moltiplicativo è sempre 1.
il prodotto di A e B
In matematica, the product of A and B indica il risultato della moltiplicazione di A per B. Qui A corrisponde a any number e B a its multiplicative inverse; product è il sostantivo matematico «prodotto», non un oggetto fabbricato o venduto. L'intero sintagma nominale evidenziato è il soggetto della frase. Le parole successive is always 1 indicano il valore di quel prodotto.
Esercizio
Completa la frase matematica con il sostantivo che indica il risultato di una moltiplicazione: The ____ of 4 and 3 is 12.
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product
Se vogliamo..., dobbiamo...
La struttura If we want to + verbo, we need to + verbo collega un obiettivo a un'azione necessaria. La proposizione con if presenta l'obiettivo, mentre la principale con need to indica ciò che deve accadere o essere fatto per perseguirlo. Qui la struttura introduce un passaggio del ragionamento: per considerare la divisione per zero, chi parla cerca prima l'inverso moltiplicativo di zero. La struttura esprime un requisito, ma non garantisce che quel requisito possa davvero essere soddisfatto.
Esercizio
Completa la struttura che collega un obiettivo a un'azione necessaria: If we want to protect our passwords, we ____ keep them private.
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need to
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give 1. Grammatica
2:19Questo dovrebbe essere un numero tale che, moltiplicato per zero, dia 1.
such a number that... per indicare una proprietà necessaria
Qui, such a number that... significa un numero del tipo richiesto, la cui proprietà viene indicata subito dopo. La struttura è such + a/an + nome numerabile singolare + proposizione con that. La proposizione multiplying it by zero would give 1 indica quale proprietà dovrebbe avere quel numero ipotetico. Sebbene such...that introduca spesso un risultato, qui serve a definire una condizione in un ragionamento matematico. Interpreta la proposizione con that come il criterio che il numero deve soddisfare.
Esercizio
Completa la descrizione matematica con la struttura esatta such a number that: We need ____ doubling it gives twelve.
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such a number that
But because anything multiplied by zero is still zero, Grammatica
2:25Ma poiché qualsiasi cosa moltiplicata per zero rimane zero,
anything multiplied by zero come relativa passiva ridotta
Multiplied by zero è un sintagma al participio passato posto dopo anything. Ha significato passivo: anything riceve l'azione. La forma completa è anything that is multiplied by zero. Si tratta di una proposizione relativa passiva ridotta: that is viene omesso, mentre multiplied rimane. Questo modificatore posposto e compatto è comune nei testi matematici, scientifici ed esplicativi.
Esercizio
Quale proposizione relativa completa ha lo stesso significato di anything multiplied by zero?
- anything that is multiplied by zero
- anything that has multiplied zero
- anything that multiplies zero
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anything that is multiplied by zero
So zero has no multiplicative inverse. Lessico
2:31Quindi lo zero non ha un inverso moltiplicativo.
has no + sostantivo in zero has no multiplicative inverse
In zero has no multiplicative inverse, has no + sostantivo presenta ciò che manca come qualcosa che il soggetto non possiede. Qui la frase esprime un fatto matematico: non esiste alcun numero che, moltiplicato per zero, dia 1. Usa soggetto + has/have no + sostantivo per affermare direttamente che qualcosa è privo di un elemento, un risultato o una proprietà. No rende già negativo il sintagma nominale, quindi non aggiungere not.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione esatta con has no + sostantivo che significa che un triangolo non ha un quarto lato: In ordinary geometry, a triangle ____.
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has no fourth side
Does that really settle things though? come passaggio dubitativo
Settle things significa risolvere completamente la questione. La domanda non serve soltanto a chiedere informazioni: really mette in dubbio che la conclusione precedente sia sufficiente. Mettere though alla fine aggiunge un contrasto simile a “anche così” o “ma”. Nel complesso, la domanda riapre la discussione e porta la spiegazione da una risposta apparente a un problema più profondo.
Esercizio
In una discussione, che cosa fa chi domanda Does that really settle things though?
- Conferma che la discussione è definitivamente conclusa
- Mette in dubbio che la conclusione precedente risolva completamente il problema
- Chiede a qualcuno di mettere in ordine diversi oggetti
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Mette in dubbio che la conclusione precedente risolva completamente il problema
After all, mathematicians have broken rules before. Discorso
2:37Dopotutto, i matematici hanno già infranto le regole in passato.
After all per introdurre una ragione a sostegno
After all introduce un fatto che sostiene o rafforza l'idea appena espressa. Funziona come un richiamo a considerare una ragione che l'ascoltatore probabilmente può accettare; non indica un ordine temporale. Qui invita l'ascoltatore a collegare il fatto che i matematici abbiano già infranto le regole all'affermazione o alla domanda precedente. Una struttura informativa comune è: affermazione o suggerimento + after all + fatto a sostegno.
Esercizio
Quale frase usa after all per introdurre un fatto che sostiene l'affermazione precedente?
- After all the meetings, we finally made a decision.
- We cleaned the room after all.
- We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
Mostra risposta
We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
for a long time there was no such thing as taking the square root of negative numbers. Note
2:41per molto tempo non è esistita una cosa come estrarre la radice quadrata dei numeri negativi.
There was no such thing as ... per esprimere l'inesistenza nel passato
There was no such thing as ... indica che un tipo di oggetto, pratica o concetto non esisteva, non era disponibile o non era riconosciuto in un momento passato. La struttura riutilizzabile è there was no such thing as + nome o forma in -ing. In questa frase, taking the square root of negative numbers è un'espressione in -ing che nomina una pratica o un concetto matematico. Per parlare del presente, si usa there is no such thing as ....
Esercizio
Completa la frase con la struttura al passato no such thing as: In 1900, ____ online banking.
Mostra risposta
there was no such thing as
taking the square root of negative numbers: calcolare la radice quadrata dei numeri negativi
Take the square root of X è l’espressione matematica standard per trovare un numero che, moltiplicato per sé stesso, dà X. Qui si usa taking perché l’intera operazione segue no such thing as ed è trattata come un’attività o un concetto. In questa espressione matematica, take non significa trasportare o rimuovere fisicamente qualcosa.
Esercizio
Completa l’istruzione con la struttura take + the square root + of: To find the side length, ____ 81.
Mostra risposta
take the square root of
But then mathematicians defined the square root of -1 as a new number called i, Espressioni
2:47Ma poi i matematici hanno definito la radice quadrata di -1 come un nuovo numero chiamato i,
defined X as Y ... a new number called i: definire e assegnare un nome
Define X as Y significa attribuire a X il significato o lo status preciso espresso da Y. In questa frase, X è the square root of -1 e Y è a new number, quindi la struttura introduce formalmente una definizione matematica. Called i è una proposizione passiva ridotta che modifica l’espressione a new number; equivale a a new number that is called i. Insieme, le due parti indicano sia la definizione sia il nome del numero.
Esercizio
Completa la frase di definizione e denominazione con define X as Y e called: We ____ a polygon with three equal sides ____ a special triangle ____ an equilateral triangle.
Mostra risposta
define · as · called
opening up a whole new mathematical world of complex numbers. Note
2:53aprendo un mondo matematico completamente nuovo di numeri complessi.
open up a whole new world of: aprire un mondo di nuove possibilità
Qui opening up significa rendere accessibili nuove possibilità o un nuovo campo del sapere, non aprire fisicamente un oggetto. A whole new mathematical world of... rafforza questa idea presentando il nuovo campo come un mondo da esplorare. La struttura riutilizzabile è open up a whole new world of + sostantivo. Indica che qualcosa dà accesso a molte possibilità all'interno di quell'ambito.
Esercizio
Quale frase usa opened up a whole new world of per indicare che sono diventate disponibili molte nuove possibilità?
- Amir opened up a box of old photographs.
- Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
- Amir opened the kitchen window.
Mostra risposta
Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
complex numbers: il termine matematico per i numeri complessi
L'espressione complex numbers è il termine matematico standard per i numeri che possono essere scritti nella forma a + bi, dove a e b sono numeri reali e i² = -1. Per esempio, 3 + 2i è un numero complesso. Qui complex fa parte di un termine fisso; non significa semplicemente difficile da capire. Considera complex number come un unico nome matematico completo.
Esercizio
Completa la frase con il termine matematico standard per i numeri della forma a + bi: Numbers such as 3 + 2i are called ____.
Mostra risposta
complex numbers
couldn't we just make up a new rule? Phrasal verbs
2:59non potremmo semplicemente inventare una nuova regola?
make up a new rule: inventare una regola
In make up a new rule, make up significa inventare o creare una regola che prima non esisteva. Qui è un verbo frasale e non va interpretato unendo i significati letterali di make e up. L’oggetto a new rule indica ciò che viene inventato. Questo uso è frequente quando si creano regole per un gioco, una situazione immaginaria o una soluzione rapida.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione evidenziata che significa «inventare una nuova regola»: Before our new game begins, let's ____.
Mostra risposta
make up a new rule
Say that ... per introdurre un’ipotesi temporanea
All’inizio di questa frase, Say that ... significa supponiamo o ammettiamo. Non chiede a qualcuno di pronunciare quelle parole ad alta voce. La struttura stabilisce una definizione o condizione temporanea e poi invita chi ascolta a esplorarne il risultato. È comune nelle spiegazioni orali e negli esperimenti mentali.
Esercizio
In quale frase Say introduce un’ipotesi temporanea?
- Say the number five clearly.
- Lena said that each box was heavy.
- Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
Mostra risposta
Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
see what happens: osservare un risultato sconosciuto
In questa frase, see what happens significa “provare qualcosa e osservare il risultato”. Qui see vuol dire “scoprire osservando”, non soltanto “usare gli occhi”. What happens è una domanda indiretta dopo see. Lascia aperto il risultato: chi parla non afferma ancora di sapere che cosa succederà.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione di tre parole della lezione che significa “osservare il risultato sconosciuto”: Let's change one setting and ____.
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see what happens
imagining we don't know anything about infinity already. Grammatica
3:08immaginando di non sapere ancora nulla dell'infinito.
imagining we don't know... come ipotesi aggiuntiva
Imagining we don't know anything about infinity already è una proposizione al participio presente che aggiunge l’ipotesi adottata durante l’azione principale. Chi parla ci chiede di mettere da parte le conoscenze precedenti per l’esperimento mentale. Il soggetto sottinteso di imagining è we, cioè le stesse persone che compiono l’azione principale nel contesto. In una frase completa, l’idea può essere sviluppata come while we imagine that we don't know anything about infinity already.
Esercizio
Quale frase mostra chiaramente che il soggetto della proposizione principale è anche chi compie l’azione di imagining?
- Imagining that we knew nothing, the answer surprised us.
- The problem appeared on the screen, imagining that we knew nothing about the usual solution.
- We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
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We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Based on the definition of a multiplicative inverse, Espressioni
3:11In base alla definizione di inverso moltiplicativo,
Based on the definition of: indicare la definizione su cui si basa una conclusione
Based on the definition of ... indica che la conclusione successiva deriva da ciò che un termine significa per definizione. L'espressione nomina prima la definizione usata come base del ragionamento. La struttura è Based on the definition of + sintagma nominale, seguita dalla conclusione. Nel sottotitolo, la definizione di inverso moltiplicativo è la base del passaggio successivo del parlante.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione obiettivo che significa «usare la definizione come base»: ____ a square, we know that it has four equal sides.
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Based on the definition of
must be equal to: esprimere un risultato logicamente necessario
Qui must esprime una necessità logica, non un ordine o un obbligo. must be equal to 1 significa che il parlante presenta 1 come l'unico risultato consentito dalla definizione o dal ragionamento. La struttura soggetto + must be equal to + valore è comune nelle spiegazioni matematiche. Segnala un'uguaglianza dedotta, ma da sola non dimostra che il ragionamento sia corretto.
Esercizio
Quale frase indica più chiaramente che una regola rende il risultato logicamente necessario?
- The result is equal to ten.
- The result should be equal to ten.
- The result must be equal to ten.
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The result must be equal to ten.
That means 0 * infinity + 0 * infinity should equal 2. Grammatica
3:18Ciò significa che 0 * infinito + 0 * infinito dovrebbe essere uguale a 2.
should equal 2: un risultato logicamente atteso
In “should equal 2”, should indica il risultato atteso in base alle ipotesi o al calcolo attuali. L’idea è: “se il ragionamento fin qui è corretto, il risultato è 2”. Qui should esprime un’aspettativa logica, non un consiglio o un obbligo. La struttura è should + forma base del verbo, quindi si dice should equal, non should to equal.
Esercizio
Completa la frase con should equal per esprimere il risultato atteso: After counting both teams' points, the total ____ thirty.
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should equal
by the distributive property: citare una regola
In “by the distributive property”, by significa “secondo” o “sulla base di”. L’espressione indica la regola matematica che giustifica il passaggio successivo. Collocando by + regola/teorema/definizione all’inizio di una frase o di un passaggio, si organizza la spiegazione presentando la giustificazione prima del risultato.
Esercizio
Usa by + il nome della regola per completare la spiegazione: ____, 3(x + 2) = 3x + 6.
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By the distributive property
the left side of the equation can be rearranged to 0 + 0 * infinity. Grammatica
3:26il lato sinistro dell'equazione può essere riorganizzato in (0 + 0) * infinito.
can be rearranged to + forma risultante
Can be rearranged to segue lo schema modale can + passivo be rearranged + to. L’espressione è l’elemento che viene trasformato, quindi non occorre specificare chi esegue l’operazione algebrica. To introduce la forma risultante. In matematica, normalmente indica che l’espressione viene riscritta in una forma equivalente, non che il suo valore viene modificato.
Esercizio
Completa con can + la forma passiva di rearrange + to: The equation ____ x = 6.
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can be rearranged to
reduces down to + risultato semplificato
Reduces down to significa «diventa una forma più semplice dopo la semplificazione». Il soggetto è l’espressione originale, mentre to introduce il risultato più semplice. In questa frase, that richiama l’espressione che viene semplificata.
Esercizio
Usa l’espressione colloquiale esatta che significa «si semplifica in»: After combining like terms, the expression ____ 3x.
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reduces down to
Unfortunately, we've already defined this as equal to 1,
3:39Purtroppo, abbiamo già definito questo come uguale a 1,
while the other side of the equation is still telling us it's equal to 2. Discorso
3:43mentre l'altro lato dell'equazione ci sta ancora dicendo che è uguale a 2.
while the other side of the equation...: introdurre un risultato contrastante
Qui while significa “mentre invece” o “al contrario”, non “durante il tempo in cui”. Introduce l’altro membro dell’equazione come un’informazione in conflitto con il risultato già in discussione. Mettendo il secondo risultato in una proposizione con while, chi parla rende evidente la discrepanza. is still telling us è una personificazione informale: l’equazione continua a mostrare o indicare che il valore è 2.
Esercizio
Quale frase usa while per mettere a confronto due risultati contrastanti?
- The first report says the road is open, while the second says it is closed.
- We waited inside while the storm passed.
- While the printer was running, I answered an email.
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The first report says the road is open, while the second says it is closed.
Oddly enough, that's not necessarily wrong. Note
3:51Stranamente, ciò non è necessariamente sbagliato.
Oddly enough: segnalare un punto inatteso
Oddly enough prepara chi ascolta a qualcosa di sorprendente o contrario alle aspettative. In questa frase, segnala che dovremmo riconsiderare la prima impressione secondo cui il risultato deve essere sbagliato. L’espressione commenta l’intera affermazione che segue. enough non significa che qualcosa abbia raggiunto un grado sufficiente di stranezza; le due parole funzionano insieme come un’espressione fissa.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione fissa di due parole formata da odd che segnala un risultato sorprendente: ____, the old battery lasted longer than the new one.
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Oddly enough
not necessarily wrong: non equivale a definitely right
In not necessarily wrong, la negazione not si applica a necessarily. Chi parla respinge l’idea che qualcosa debba per forza essere sbagliato, quindi entrambe le possibilità restano aperte: potrebbe essere sbagliato oppure no. È una correzione prudente, non un’affermazione che la cosa sia sicuramente giusta. Usa la struttura not necessarily + aggettivo quando vuoi mettere in dubbio un giudizio assoluto senza affermare il contrario.
Esercizio
Che cosa significa “The plan is not necessarily wrong”?
- Il piano potrebbe essere sbagliato oppure no.
- Il piano è sicuramente giusto.
- Il piano è sicuramente sbagliato.
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Il piano potrebbe essere sbagliato oppure no.
It's just not true in our normal world of numbers. Discorso
3:54Semplicemente non è vero nel nostro normale mondo dei numeri.
just not true in our normal world of numbers: limitare l’ambito
L’espressione in our normal world of numbers si collega a not true e indica l’ambito in cui si applica il giudizio. L’affermazione viene respinta nel sistema numerico familiare di cui si sta parlando, invece di essere dichiarata impossibile in ogni sistema immaginabile. Qui just significa simply e dà enfasi a not true. Non significa only; è l’espressione con in a limitare la portata. Questo schema «giudizio + ambito» organizza un’argomentazione indicando sia la conclusione sia dove essa vale.
Esercizio
Quale frase limita un’affermazione a un solo ambito senza dire che è falsa ovunque?
- The rule is not true in ordinary arithmetic.
- The rule is never true in any system.
- Ordinary arithmetic is not a true rule.
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The rule is not true in ordinary arithmetic.
There's still a way it could be mathematically valid Lessico
3:58Ci sarebbe ancora un modo in cui potrebbe essere matematicamente valido,
mathematically valid: valido secondo le regole matematiche
In questa frase, mathematically valid significa «accettabile o possibile secondo le regole della matematica». Mathematically è un avverbio che indica il criterio usato per valutare valid. Qui, valid significa che l'idea è coerente con le definizioni e le regole scelte. Ha il senso di «logicamente accettabile», non quello di «non scaduto» usato per un biglietto o un documento.
Esercizio
Completa la frase con l'espressione inglese di due parole che significa «accettabile secondo le regole matematiche»: This unusual proof is ____.
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mathematically valid
if 1, 2, and every other number were equal to zero. Grammatica
4:00se 1, 2 e ogni altro numero fossero uguali a zero.
if ... were equal to zero: una condizione ipotetica
If introduce una condizione immaginaria: supponiamo che 1, 2 e tutti gli altri numeri abbiano valore zero. La proposizione non presenta questo come un fatto; crea una situazione matematica insolita in cui si potrebbe considerare un'altra affermazione. La struttura è if + soggetto + verbo al passato. Were equal to significa «avevano lo stesso valore di». Poiché il soggetto nomina più numeri, were concorda anche con un soggetto plurale; il significato ipotetico deriva quindi dall'intera proposizione con if e dal contesto, non soltanto da were.
Esercizio
Quale frase presenta una condizione non reale usando if + passato e un risultato con would?
- Because the map was accurate, we reached the hotel.
- If this map is accurate, we can follow it.
- If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
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If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
But having infinity equal to zero is ultimately not all that useful to mathematicians or anyone else. Lessico
4:05Ma avere l'infinito uguale a zero alla fine non è così utile per i matematici o per nessun altro.
not all that useful: una valutazione negativa attenuata
In not all that useful, all that significa «a un livello così alto» all’interno della struttura negativa. L’intera espressione significa quindi «non molto utile» o «meno utile del previsto»; di solito non significa che qualcosa sia completamente inutile. La struttura not all that + aggettivo attenua una valutazione negativa. Qui, chi parla giudica limitato il valore pratico dell’idea.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione esatta di quattro parole di questa lezione che significa «meno utile del previsto»: The extra feature looks impressive, but it is ____ for most users.
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not all that useful
There actually is something called the Riemann sphere that involves dividing by zero by a different method, Cultura
4:13In realtà esiste una cosa chiamata sfera di Riemann che prevede la divisione per zero con un metodo diverso,
the Riemann sphere: un nome proprio matematico
The Riemann sphere, o sfera di Riemann, è il nome proprio di un modello matematico: il piano complesso con l’aggiunta di un punto, chiamato punto all’infinito. Il modello può essere rappresentato mediante una sfera, il che spiega la parola sphere nel nome. Qui il termine indica un quadro matematico diverso per discutere l’infinito. Non significa una comune palla fisica e non afferma che l’aritmetica ordinaria permetta la divisione per zero.
Esercizio
A che cosa si riferisce il nome the Riemann sphere nella frase?
- Una normale palla fisica usata per mostrare la divisione.
- Una regola che permette la divisione per zero nell’aritmetica ordinaria.
- Un modello matematico che aggiunge un punto all’infinito al piano complesso.
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Un modello matematico che aggiunge un punto all’infinito al piano complesso.
a story for another day: rimandare un argomento
L’espressione idiomatica a story for another day significa «un argomento o una spiegazione da discutere più avanti, non adesso». Qui story non è letterale: può indicare il contesto, le ragioni o i dettagli, non necessariamente un racconto. Dicendo that's a story for another day, chi parla riconosce l’argomento secondario e lo chiude per il momento, così da poter continuare la discussione principale.
Esercizio
Una persona vuole mettere da parte un dettaglio non urgente e continuare la spiegazione principale. Quale frase è più naturale?
- How the machine learned that trick is a story for another day.
- How the machine learned that trick is a story from the other day.
- How the machine learned that trick is a story on another date.
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How the machine learned that trick is a story for another day.
In the meantime: riportare l’attenzione al presente
In the meantime indica l’intervallo che precede un evento atteso, una spiegazione o il passaggio successivo. Introduce ciò che accade o può essere fatto durante quell’intervallo. Qui funziona anche come transizione per organizzare le informazioni: l’argomento secondario precedente è stato rimandato, quindi l’espressione riporta l’attenzione su ciò che conta adesso. All’inizio di una frase completa, normalmente introduce una proposizione sulla situazione o sull’azione attuale.
Esercizio
Scegli la transizione migliore: The software update will finish in an hour. ____, you can back up your files.
- In the meantime
- At the same time
- For the time being
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In the meantime
dividing by zero in the most obvious way doesn't work out so great. Phrasal verbs
4:23dividere per zero nel modo più ovvio non funziona molto bene.
doesn't work out so great: il risultato non è molto buono
Qui work out significa «svilupparsi o concludersi con un determinato risultato». Quando il soggetto è un metodo o una situazione, doesn't work out indica che il risultato non è positivo o soddisfacente. Doesn't work out so great è un modo informale e leggermente attenuato per dire «non va molto bene». Rende il giudizio negativo più leggero rispetto a un'affermazione diretta come «fails».
Esercizio
Che cosa significa “The experiment didn't work out so great.”?
- L'esperimento prevedeva esercizio fisico.
- L'esperimento ha avuto molto successo.
- L'esperimento ha avuto un risultato deludente.
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L'esperimento ha avuto un risultato deludente.
But that shouldn't stop us from living dangerously Grammatica
4:27Ma questo non dovrebbe impedirci di vivere pericolosamente
shouldn't stop us from living dangerously: stop + persona + from + -ing
La struttura stop + persona + from + -ing significa «impedire a qualcuno di fare qualcosa». In shouldn't stop us from living, us è la persona coinvolta, from è una preposizione e quindi living prende la forma in -ing. Shouldn't stop us from ... indica che non si dovrebbe permettere a un problema o a un contrattempo di bloccare l'azione successiva. Living dangerously è qui un'esagerazione scherzosa: significa continuare a sperimentare con audacia, non dare un vero consiglio sulla sicurezza.
Esercizio
Completa la frase con stop + persona + from + -ing: One mistake shouldn't ____.
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stop us from trying again
and experimenting with breaking mathematical rules Espressioni
4:30e di sperimentare infrangendo le regole matematiche
experimenting with breaking: la struttura experiment with + -ing
Experiment with doing something significa provare un metodo o un'azione per osservare che cosa succede. Qui breaking mathematical rules è l'azione sottoposta a una prova esplorativa; non si afferma che le regole siano già state infrante. In questa struttura, with è una preposizione, quindi il verbo seguente va nella forma in -ing: experiment with breaking, non experiment with break.
Esercizio
Completa la frase con la forma corretta di experiment with + rearrange: The team is ____ the pieces to see what works best.
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experimenting with rearranging
to see if we can invent fun new worlds to explore. Note
4:33per vedere se possiamo inventare nuovi mondi divertenti da esplorare.
to see if we can invent: esprimere lo scopo
To see if we can invent esprime lo scopo di un'azione precedente: si compie quell'azione per scoprire se è possibile inventare qualcosa. Qui see significa «scoprire» e if equivale a whether, cioè «se» in una domanda indiretta; non introduce una condizione. Lo schema riutilizzabile è action + to see if + subject + can + base verb. Dopo can si usa la forma base invent, non invents o to invent.
Esercizio
Usa la struttura di scopo to see if... per completare la frase: Let's test the materials ____ build a stronger bridge.
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to see if we can
fun new worlds to explore come metafora di ambiti astratti
Qui, fun new worlds non indica pianeti o luoghi reali. L'espressione paragona i sistemi matematici creati con nuove regole a mondi nei quali si può entrare e indagare. L'infinito to explore indica che cosa si può fare con quei mondi: mettere alla prova le regole e scoprire quali possibilità emergono. La metafora trasforma un'attività astratta in un'avventura. Suggerisce curiosità, sperimentazione e scoperta, non un viaggio reale.
Esercizio
In questa frase, che cosa significa probabilmente new worlds? A good story gives readers new worlds to explore.
- Nuove stanze usate per conservare i libri
- Pianeti scoperti di recente
- Nuove idee e possibilità immaginate
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Nuove idee e possibilità immaginate
mind-bending math: un aggettivo composto per idee che sfidano la mente
Mind-bending è un aggettivo composto che descrive qualcosa di così sorprendente, strano o complesso da mettere in discussione il nostro modo abituale di pensare. Qui, mind-bending math indica una matematica inizialmente difficile da immaginare o capire, ma anche capace di suscitare stupore. Il significato non è letterale: nulla piega fisicamente la mente. Il trattino unisce mind e bending affinché funzionino insieme come un solo aggettivo davanti a math.
Esercizio
Completa la frase con l'aggettivo composto di questa lezione: The science show presents a ____ idea that challenges everything we assume about time.
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mind-bending