Prodotti vettoriali | Capitolo 10, L'essenza dell'algebra lineare: appunti per imparare l’inglese

Last video, I talked about the dot product,

Nello scorso video, ho parlato del prodotto scalare,

showing both the standard introduction to the topic, Grammatica

mostrando sia l'introduzione standard all'argomento,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

sia una visione più approfondita di come si relaziona alle trasformazioni lineari.

I'd like to do the same thing for cross products,

Vorrei fare la stessa cosa per i prodotti vettoriali,

which also have a standard introduction

che hanno anch'essi un'introduzione standard

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Modi di dire

insieme a una comprensione più profonda alla luce delle trasformazioni lineari.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Ma questa volta, dividerò l'argomento in due video separati.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Modi di dire

Qui, cercherò di toccare i punti principali che di solito vengono mostrati agli studenti sul prodotto vettoriale.

And in the next video,

E nel prossimo video,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

mostrerò una visione che viene insegnata meno comunemente,

but really satisfying when you learn it.

ma che è davvero soddisfacente quando la si impara.

We'll start in two dimensions.

Inizieremo in due dimensioni.

If you have two vectors V and W,

Se avete due vettori V e W,

think about the parallelogram that they span out. Phrasal verbs

pensate al parallelogramma che essi generano.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Note

Quello che intendo dire è che se prendete una copia di V e spostate la sua coda sulla punta di W,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

e prendete una copia di W e spostate la sua coda sulla punta di V,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

i quattro vettori ora sullo schermo racchiudono un certo parallelogramma.

The cross product of V and W,

Il prodotto vettoriale di V e W,

written with the X-shaped multiplication symbol,

scritto con il simbolo di moltiplicazione a forma di X,

is the area of this parallelogram.

è l'area di questo parallelogramma.

Well, almost. Discorso

Beh, quasi.

We also need to consider orientation.

Dobbiamo considerare anche l'orientamento.

Basically, if V is on the right of W,

Fondamentalmente, se V si trova a destra di W,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

allora V vettore W è positivo ed è uguale all'area del parallelogramma.

But if V is on the left of W,

Ma se V si trova a sinistra di W,

then the cross product is negative,

allora il prodotto vettoriale è negativo,

namely the negative area of that parallelogram.

ovvero l'area negativa di quel parallelogramma.

Notice, this means that order matters. Espressioni

Notate che questo significa che l'ordine è importante.

If you swapped V and W,

Se scambiaste V e W,

instead taking W cross V,

calcolando invece W vettore V,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Grammatica

il prodotto vettoriale diventerebbe il negativo di ciò che era prima.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

Il modo in cui ricordo sempre l'ordine qui è che quando si calcola il prodotto vettoriale dei due vettori di base in ordine,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-hat vettore j-hat, il risultato dovrebbe essere positivo.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

Infatti, l'ordine dei vettori di base è ciò che definisce l'orientamento.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Quindi, poiché i-hat è a destra di j-hat,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

ricordo che V vettore W deve essere positivo ogni volta che V si trova a destra di W.

So, for example, with the vectors shown here,

Quindi, per esempio, con i vettori mostrati qui,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

vi dirò semplicemente che l'area di quel parallelogramma è sette.

And since V is on the left of W,

E poiché V si trova a sinistra di W,

the cross product should be negative.

il prodotto vettoriale dovrebbe essere negativo.

So, V cross W is negative seven.

Quindi, V vettore W è meno sette.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Ma ovviamente, volete essere in grado di calcolarlo senza che qualcuno vi dica l'area.

This is where the determinant comes in. Phrasal verbs

È qui che entra in gioco il determinante.

So, if you didn't see chapter five of this series, Grammatica

Quindi, se non avete visto il capitolo cinque di questa serie,

where I talk about the determinant,

dove parlo del determinante,

now would be a really good time to go take a look.

ora sarebbe davvero un buon momento per andargli a dare un'occhiata.

Even if you did see it, but it was a while ago,

Anche se lo avete visto, ma è stato un po' di tempo fa,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Modi di dire

vi consiglierei di dargli un'altra occhiata solo per assicurarvi che quelle idee siano fresche nella vostra mente.

For the 2D cross product, V cross W,

Per il prodotto vettoriale 2D, V vettore W,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

ciò che fate è scrivere le coordinate di V come la prima colonna di una matrice,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

e prendete le coordinate di W e ne fate la seconda colonna.

Then you just compute the determinant.

Poi calcolate semplicemente il determinante.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

Questo perché una matrice le cui colonne rappresentano V e W corrisponde a una trasformazione lineare che sposta i vettori di base i-hat e j-hat in V e W.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

Il determinante consiste nel misurare come cambiano le aree a causa di una trasformazione.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

E l'area prototipica che osserviamo è il quadrato unitario che poggia su i-hat e j-hat.

After the transformation,

Dopo la trasformazione,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Phrasal verbs

quel quadrato viene trasformato nel parallelogramma che ci interessa.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Grammatica

Quindi, il determinante, che generalmente misura il fattore di cui vengono modificate le aree,

gives the area of this parallelogram,

fornisce l'area di questo parallelogramma,

since it evolved from a square that started with area one.

poiché si è evoluto da un quadrato che era partito con area uno.

What's more, if V is on the left of W,

Inoltre, se V è a sinistra di W,

it means that orientation was flipped during that transformation,

significa che l'orientamento è stato capovolto durante quella trasformazione,

which is what it means for the determinant to be negative. Grammatica

che è ciò che significa per il determinante essere negativo.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

Ad esempio, supponiamo che V abbia coordinate meno tre e uno,

and W has coordinates two one.

e W abbia coordinate due e uno.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

Il determinante della matrice con quelle coordinate come colonne è meno tre per uno meno due per uno,

which is negative five.

che fa meno cinque.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Quindi, evidentemente, l'area del parallelogramma che definiscono è cinque.

And since V is on the left of W,

E poiché V si trova a sinistra di W,

it should make sense that this value is negative.

dovrebbe avere senso che questo valore sia negativo.

As with any new operation you learn,

Come per ogni nuova operazione che imparate,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Note

vi consiglierei di giocherellare un po' con questa nozione nella vostra testa solo per avere una sensazione intuitiva di cosa sia il prodotto vettoriale.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Per esempio, potreste notare che quando due vettori sono perpendicolari,

or at least close to being perpendicular,

o almeno vicini all'essere perpendicolari,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Grammatica

il loro prodotto vettoriale è più grande di quanto lo sarebbe se puntassero in direzioni molto simili,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

perché l'area di quel parallelogramma è più grande quando i lati sono più vicini all'essere perpendicolari.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Phrasal verbs

Un'altra cosa che potreste notare è che se doveste scalare uno di quei vettori,

perhaps multiplying V by three,

forse moltiplicando V per tre,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Espressioni

allora anche l'area di quel parallelogramma viene scalata di un fattore tre.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Discorso

Quindi, ciò che questo significa per l'operazione è che tre V vettore W sarà esattamente tre volte il valore di V vettore W.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Grammatica

Ora, sebbene tutta questa sia un'operazione matematica perfettamente valida,

what I just described is technically not the cross product. Lessico

ciò che ho appena descritto tecnicamente non è il prodotto vettoriale.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

Il vero prodotto vettoriale è qualcosa che combina due diversi vettori 3D per ottenere un nuovo vettore 3D.

Just as before, Discorso

Proprio come prima,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

considereremo ancora il parallelogramma definito dai due vettori di cui stiamo facendo il prodotto vettoriale.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Modi di dire

E l'area di questo parallelogramma giocherà ancora un ruolo importante.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Discorso

Per essere concreti, supponiamo che l'area sia 2,5 per i vettori mostrati qui.

But as I said, the cross product is not a number,

Ma come ho detto, il prodotto vettoriale non è un numero,

it's a vector.

è un vettore.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

La lunghezza di questo nuovo vettore sarà l'area di quel parallelogramma,

which in this case is 2.5.

che in questo caso è 2,5.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

E la direzione di quel nuovo vettore sarà perpendicolare al parallelogramma.

But which way, right?

Ma da che parte, giusto?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Voglio dire, ci sono due vettori possibili con lunghezza 2,5 che sono perpendicolari a un dato piano.

This is where the right hand rule comes in. Lessico

È qui che entra in gioco la regola della mano destra.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Puntate l'indice della vostra mano destra in direzione di V.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Phrasal verbs

Poi distendete il dito medio in direzione di W.

Then, when you point up your thumb,

Quindi, quando puntate il pollice in alto,

that's the direction of the cross product.

quella è la direzione del prodotto vettoriale.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Ad esempio, supponiamo che V fosse un vettore con lunghezza due che punta dritto verso l'alto nella direzione Z,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

e W è un vettore con lunghezza due che punta nella pura direzione Y.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

Il parallelogramma che definiscono in questo semplice esempio è in realtà un quadrato,

since they're perpendicular and have the same length. Grammatica

poiché sono perpendicolari e hanno la stessa lunghezza.

And the area of that square is four.

E l'area di quel quadrato è quattro.

So, their cross product should be a vector with length four.

Quindi, il loro prodotto vettoriale dovrebbe essere un vettore di lunghezza quattro.

Using the right hand rule,

Usando la regola della mano destra,

their cross product should point in the negative X direction.

il loro prodotto vettoriale dovrebbe puntare nella direzione X negativa.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Quindi, il prodotto vettoriale di questi due vettori è meno quattro volte i-hat.

For more general computations,

Per calcoli più generali,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Intento

esiste una formula che potreste memorizzare se lo voleste,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

ma è comune e più facile ricordare invece un certo processo che coinvolge il determinante 3D.

Now, this process looks truly strange at first.

Ora, questo processo sembra davvero strano all'inizio.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

Scrivete una matrice 3D in cui la seconda e la terza colonna contengono le coordinate di V e W.

But for that first column,

Ma per quella prima colonna,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

scrivete i vettori di base i-hat, j-hat e k-hat.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Quindi, calcolate il determinante di questa matrice.

The silliness is probably clear here.

L'assurdità è probabilmente chiara qui.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Modi di dire

Cosa diavolo significa inserire un vettore come elemento di una matrice?

Students are often told that this is just a notational trick.

Agli studenti viene spesso detto che questo è solo un trucco di notazione.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Note

Quando eseguite i calcoli come se i-hat, j-hat e k-hat fossero numeri,

then you get some linear combination of those basis vectors.

allora ottenete una certa combinazione lineare di quei vettori di base.

And the vector defined by that linear combination,

E il vettore definito da quella combinazione lineare,

students are told to just believe, Intento

viene detto agli studenti di crederci e basta,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

è l'unico vettore perpendicolare a V e W la cui magnitudine è l'area del parallelogramma appropriato

and whose direction obeys the right hand rule.

e la cui direzione obbedisce alla regola della mano destra.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Intento

E certo, in un certo senso questo è solo un trucco notazionale.

But there is a reason for doing it.

Ma c'è una ragione per farlo.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Discorso

Non è solo una coincidenza che il determinante sia ancora una volta importante.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

E mettere i vettori di base in quegli spazi non è solo una cosa casuale da fare.

To understand where all of this comes from,

Per capire da dove proviene tutto questo,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

aiuta usare l'idea di dualità che ho introdotto nello scorso video.

This concept is a little bit heavy, Modi di dire

Questo concetto è però un po' pesante.

though.

Quindi, lo sto inserendo in un video di approfondimento separato per chiunque di voi sia curioso di saperne di più.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Senza dubbio, esula dall'essenza dell'algebra lineare.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Note

La parte importante qui è sapere cosa rappresenta geometricamente quel vettore prodotto vettoriale.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Quindi, se volete saltare il prossimo video,

So, if you want to skip that next video,

sentitevi liberi di farlo.

feel free. Intento

Ma per quelli di voi che sono disposti ad andare un po' più a fondo e che sono curiosi della connessione tra questo calcolo e la geometria sottostante,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Modi di dire

le idee di cui parlerò nel prossimo video sono semplicemente un pezzo di matematica davvero elegante.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

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