Vettori | Capitolo 1, L'essenza dell'algebra lineare: appunti per imparare l’inglese

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

La radice fondamentale di tutto questo elemento costruttivo per l'algebra lineare è il vettore.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Note

Quindi, vale la pena assicurarsi che siamo tutti sulla stessa lunghezza d'onda

about what exactly a vector is.

su cosa sia esattamente un vettore.

You see, broadly speaking, Discorso

Vedete, in termini generali,

there are three distinct but related ideas about vectors,

ci sono tre idee distinte ma correlate sui vettori,

which I'll call the physics student perspective,

che chiamerò la prospettiva dello studente di fisica,

the computer science student perspective,

la prospettiva dello studente di informatica,

and the mathematician's perspective.

e la prospettiva del matematico.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

La prospettiva dello studente di fisica è che i vettori siano frecce che puntano nello spazio.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

Ciò che definisce un dato vettore è la sua lunghezza e la direzione in cui punta.

But as long as those two facts are the same, Grammatica

Ma finché questi due dati restano gli stessi,

you can move it all around and it's still the same vector.

potete spostarlo ovunque e rimarrà sempre lo stesso vettore.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

I vettori che vivono nel piano piatto sono bidimensionali,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

e quelli che si trovano nello spazio più ampio in cui viviamo noi sono tridimensionali.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

La prospettiva dell'informatica è che i vettori siano liste ordinate di numeri.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Per esempio, supponiamo che stiate facendo un'analisi sui prezzi delle case,

and the only features you cared about were square footage and price.

e le uniche caratteristiche che vi interessano siano la metratura e il prezzo.

You might model each house with a pair of numbers,

Potreste modellare ogni casa con una coppia di numeri,

the first indicating square footage and the second indicating price.

il primo che indica la metratura e il secondo che indica il prezzo.

Notice the order matters here.

Notate che qui l'ordine è importante.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

In gergo, stimereste le case come vettori bidimensionali,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

dove in questo contesto vettore è praticamente solo una parola sofisticata per lista,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

e ciò che la rende bidimensionale è il fatto che la lunghezza di quella lista è due.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Discorso

Il matematico, d'altra parte, cerca di generalizzare entrambe queste visioni,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

dicendo fondamentalmente che un vettore può essere qualsiasi cosa dove ci sia un concetto sensato

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

di aggiungere due vettori e moltiplicare un vettore per un numero,

operations that I'll talk about later on in this video.

operazioni di cui parlerò più avanti in questo video.

The details of this view are rather abstract

I dettagli di questa visione sono piuttosto astratti

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

e onestamente penso sia salutare ignorarla fino all'ultimo video di questa serie,

favoring a more concrete setting in the interim. Lessico

favorendo un'impostazione più concreta nel frattempo.

But the reason I bring it up here Phrasal verbs

Ma il motivo per cui ne parlo qui

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

è che suggerisce il fatto che le idee di addizione vettoriale

and multiplication by numbers will play an important role

e di moltiplicazione per numeri giocheranno un ruolo importante

throughout linear algebra.

in tutta l'algebra lineare.

But before I talk about these operations,

Ma prima di parlare di queste operazioni,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

fissiamo un concetto specifico da tenere a mente

when I say the word vector.

quando dico la parola vettore.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Phrasal verbs

Dato il focus geometrico a cui sto puntando qui,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

ogni volta che introduco un nuovo argomento che coinvolge i vettori,

I want you to first think about an arrow,

voglio che pensiate prima di tutto a una freccia,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

e nello specifico, pensate a quella freccia all'interno di un sistema di coordinate,

like the XY plane,

come il piano XY,

with its tail sitting at the origin.

con la sua coda posta nell'origine.

This is a little bit different from the physics student perspective,

Questo è un po' diverso dalla prospettiva dello studente di fisica,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

dove i vettori possono stare liberamente dove vogliono nello spazio.

In linear algebra,

Nell'algebra lineare,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

è quasi sempre così che il vostro vettore sarà radicato nell'origine.

Then, once you understand a new concept

Quindi, una volta compreso un nuovo concetto

in the context of arrows in space, Espressioni

nel contesto delle frecce nello spazio,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

lo tradurremo nel punto di vista della lista di numeri,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

cosa che possiamo fare considerando le coordinate del vettore.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Ora, anche se sono sicuro che molti di voi abbiano già familiarità con questo sistema di coordinate,

it's worth walking through explicitly

vale la pena esaminarlo esplicitamente

since this is where all of the important back and forth happens

poiché è qui che avviene tutto l'importante passaggio avanti e indietro

between the two perspectives of linear algebra.

tra le due prospettive dell'algebra lineare.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

Concentrando per il momento la nostra attenzione sulle due dimensioni,

you have a horizontal line called the x-axis

avete una linea orizzontale chiamata asse x

and a vertical line called the y-axis.

e una linea verticale chiamata asse y.

The place where they intersect is called the origin,

Il punto in cui si intersecano si chiama origine,

which you should think of as the center of space

che dovreste considerare come il centro dello spazio

and the root of all vectors.

e la radice di tutti i vettori.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Dopo aver scelto una lunghezza arbitraria per rappresentare l'uno,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

si fanno dei segni di graduazione su ogni asse per rappresentare questa distanza.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Quando voglio trasmettere l'idea dello spazio 2D nel suo insieme,

which you'll see comes up a lot in these videos, Phrasal verbs

cosa che vedrete comparire spesso in questi video,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

estenderò questi segni per creare le linee di una griglia.

But right now,

Ma in questo momento,

they'll actually get a little bit in the way. Modi di dire

sarebbero solo un po' d'intralcio.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

Le coordinate di un vettore sono una coppia di numeri

that basically gives instructions for how to get

che fondamentalmente danno le istruzioni su come arrivare

from the tail of that vector at the origin to its tip.

dalla coda di quel vettore nell'origine fino alla sua punta.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

Il primo numero vi dice quanto camminare lungo l'asse x,

positive numbers indicating rightward motion,

i numeri positivi indicano un movimento verso destra,

negative numbers indicating leftward motion,

i numeri negativi indicano un movimento verso sinistra,

and the second number tells you how far to walk

e il secondo numero vi dice quanto camminare

parallel to the y-axis after that,

parallelamente all'asse y dopo di che,

positive numbers indicating upward motion

i numeri positivi indicano un movimento verso l'alto

and negative numbers indicating downward motion.

e i numeri negativi indicano un movimento verso il basso.

To distinguish vectors from points,

Per distinguere i vettori dai punti,

the convention is to write this pair of numbers vertically

la convenzione è di scrivere questa coppia di numeri verticalmente

with square brackets around them.

con parentesi quadre attorno.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Ogni coppia di numeri vi dà uno e un solo vettore,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

e ogni vettore è associato a una e una sola coppia di numeri.

What about in three dimensions?

E per quanto riguarda le tre dimensioni?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Beh, si aggiunge un terzo asse, chiamato asse z,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

che è perpendicolare sia all'asse x che all'asse y,

and in this case,

e in questo caso,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

ogni vettore è associato a una terna ordinata di numeri.

The first tells you how far to move along the x-axis,

Il primo vi dice quanto muovervi lungo l'asse x,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

il secondo vi dice quanto muovervi parallelamente all'asse y,

and the third one tells you how far to then move

e il terzo vi dice quanto muovervi successivamente

parallel to this new z-axis.

parallelamente a questo nuovo asse z.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Ogni terna di numeri vi dà un vettore unico nello spazio,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

e ogni vettore nello spazio vi dà esattamente una terna di numeri.

All right,

Va bene,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

torniamo all'addizione vettoriale e alla moltiplicazione per numeri.

After all, Discorso

Dopotutto,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

ogni argomento nell'algebra lineare si concentrerà su queste due operazioni.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

Fortunatamente, ciascuna è abbastanza semplice da definire.

Let's say we have two vectors,

Supponiamo di avere due vettori,

one pointing up and a little to the right

uno che punta verso l'alto e un po' a destra

and the other one pointing right and down a bit.

e l'altro che punta a destra e un po' in basso.

To add these two vectors,

Per sommare questi due vettori,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

spostate il secondo in modo che la sua coda si trovi sulla punta del primo.

Then, if you draw a new vector

Poi, se disegnate un nuovo vettore

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

dalla coda del primo al punto in cui si trova ora la punta del secondo,

that new vector is their sum.

quel nuovo vettore è la loro somma.

This definition of addition, by the way, Discorso

Questa definizione di addizione, a proposito,

is pretty much the only time in linear algebra

è praticamente l'unica volta nell'algebra lineare

where we let vectors stray away from the origin.

in cui permettiamo ai vettori di allontanarsi dall'origine.

Now,

Ora,

why is this a reasonable thing to do?

perché questa è una cosa sensata da fare?

Why this definition of addition and not some other one?

Perché questa definizione di addizione e non un'altra?

Well,

Beh,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

il modo in cui mi piace pensarci è che ogni vettore rappresenta un certo movimento,

a step with a certain distance and direction in space.

un passo con una certa distanza e direzione nello spazio.

If you take a step along the first vector,

Se fate un passo lungo il primo vettore,

then take a step in the direction and distance

e poi fate un passo nella direzione e distanza

described by the second vector,

descritte dal secondo vettore,

the overall effect is just the same as if you moved

l'effetto complessivo è esattamente lo stesso che se vi foste mossi

along the sum of those two vectors to start with. Espressioni

lungo la somma di quei due vettori per cominciare.

You could think about this as an extension

Potreste pensarla come un'estensione

of how we think about adding numbers on a number line.

del modo in cui pensiamo di sommare numeri su una linea numerica.

One way that we teach kids to think about this,

Un modo in cui insegniamo ai bambini a pensarci,

say with 2 + 5,

per esempio con 2 + 5,

is to think of moving two steps to the right,

è quello di pensare a fare due passi a destra,

followed by another five steps to the right.

seguiti da altri cinque passi a destra.

The overall effect is the same

L'effetto complessivo è lo stesso

as if you just took seven steps to the right.

come se aveste semplicemente fatto sette passi a destra.

In fact,

Infatti,

let's see how vector addition looks numerically.

vediamo come l'addizione di vettori si presenta numericamente.

The first vector here has coordinates 1 2,

Il primo vettore qui ha coordinate 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

e il secondo ha coordinate 3 -1.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Lessico

Quando calcolate la somma vettoriale usando questo metodo coda-punta,

you can think of a four-step path

potete pensare a un percorso in quattro passi

from the origin to the tip of the second vector.

dall'origine alla punta del secondo vettore.

Walk one to the right,

Camminate di uno a destra,

then two up,

poi di due in alto,

then three to the right,

poi di tre a destra,

then one down.

poi di uno in basso.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

Riorganizzando questi passi in modo da fare prima tutto il movimento verso destra,

then do all the vertical motion,

e poi tutto il movimento verticale,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

potete leggerlo dicendo di muovervi prima di 1 + 3 verso destra,

then move 2 -1 up.

e poi di 2 - 1 verso l'alto.

So,

Quindi,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

il nuovo vettore ha coordinate 1 + 3 e 2 + -1.

In general,

In generale,

vector addition in this list of numbers conception

l'addizione vettoriale in questa concezione della lista di numeri

looks like matching up their terms and adding each one together.

sembra come abbinare i loro termini e sommare ciascuno di essi.

The other fundamental vector operation

L'altra operazione fondamentale per i vettori

is multiplication by a number.

è la moltiplicazione per un numero.

Now,

Ora,

this is best understood just by looking at a few examples. Grammatica

questo si comprende meglio semplicemente guardando alcuni esempi.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

Se prendete il numero due e lo moltiplicate per un dato vettore,

it means you stretch out that vector Phrasal verbs

significa che allungate quel vettore

so that it's two times as long as when you started. Grammatica

in modo che sia due volte più lungo di quando avete iniziato.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Se moltiplicate quel vettore, diciamo, per 1/3,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Phrasal verbs

significa che lo schiacciate in modo che diventi 1/3 della lunghezza originale.

When you multiply it by a negative number,

Quando lo moltiplicate per un numero negativo,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Phrasal verbs

come -1.8, allora il vettore viene prima ribaltato,

then stretched out by that factor of 1.8. Espressioni

e poi allungato di quel fattore di 1.8.

This process of stretching or squishing

Questo processo di allungamento o schiacciamento

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

o a volte di inversione della direzione di un vettore è chiamato ridimensionamento (scaling).

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

E ogni volta che trovate un numero, come due o 1/3 o -1.8,

acting like this, scaling some vector,

che agisce in questo modo, ridimensionando un vettore,

you call it a scalar.

lo chiamate scalare.

In fact, throughout linear algebra,

Infatti, in tutta l'algebra lineare,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

una delle cose principali che i numeri fanno è ridimensionare i vettori.

So,

Quindi,

it's common to use the word scalar

è comune usare la parola scalare

pretty much interchangeably with the word number. Espressioni

quasi in modo intercambiabile con la parola numero.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Numericamente, allungare un vettore di un fattore di, diciamo, due

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

corrisponde a moltiplicare ciascuna delle sue componenti per quel fattore,

two.

due.

So,

Quindi,

in the conception of vectors as lists of numbers,

nella concezione dei vettori come liste di numeri,

multiplying a given vector by a scalar

moltiplicare un dato vettore per uno scalare

means multiplying each one of those components by that scalar.

significa moltiplicare ciascuna di quelle componenti per quello scalare.

You'll see in the following videos what I mean

Vedrete nei video seguenti cosa intendo

when I say that linear algebra topics tend to revolve Espressioni

quando dico che gli argomenti dell'algebra lineare tendono a ruotare

around these two fundamental operations,

attorno a queste due operazioni fondamentali,

vector addition and scalar multiplication.

l'addizione vettoriale e la moltiplicazione scalare.

And I'll talk more in the last video

E parlerò di più nell'ultimo video

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

su come e perché il matematico pensa solo a queste operazioni,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Phrasal verbs

in modo indipendente e astratto da come scegliete di rappresentare i vettori.

In truth,

In verità,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Grammatica

non importa se pensate ai vettori fondamentalmente come frecce nello spazio,

like I'm suggesting you do,

come vi suggerisco di fare,

that happen to have a nice numerical representation, Grammatica

che per caso hanno una bella rappresentazione numerica,

or fundamentally as lists of numbers

o fondamentalmente come liste di numeri

that happen to have a nice geometric interpretation.

che per caso hanno una bella interpretazione geometrica.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Grammatica

L'utilità dell'algebra lineare ha meno a che fare con ciascuna di queste visioni

than it does with the ability to translate back and forth between them. Espressioni

rispetto a quanto faccia la capacità di tradurre avanti e indietro tra di esse.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Dà all'analista di dati un bel modo per concettualizzare

many lists of numbers in a visual way,

molte liste di numeri in modo visivo,

which can seriously clarify patterns in data

che può seriamente chiarire i modelli nei dati

and give a global view of what certain operations do.

e dare una visione globale di cosa fanno certe operazioni.

And on the flip side, Discorso

E d'altro canto,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

dà a persone come i fisici e i programmatori di computer grafica

a language to describe space

un linguaggio per descrivere lo spazio

and the manipulation of space

e la manipolazione dello spazio

using numbers that can be crunched and run through a computer. Lessico

usando numeri che possono essere elaborati e fatti girare su un computer.

When I do math-y animations, for example, Lessico

Quando faccio animazioni matematiche, per esempio,

I start by thinking about what's actually going on in space Modi di dire

inizio pensando a cosa stia effettivamente succedendo nello spazio

and then get the computer to represent things numerically,

e poi faccio in modo che il computer rappresenti le cose numericamente,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Grammatica

capendo così dove posizionare i pixel sullo schermo.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

E farlo di solito si basa su un sacco di comprensione dell'algebra lineare.

So,

Quindi,

there are your vector basics,

ecco le vostre basi sui vettori,

and in the next video,

e nel prossimo video,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

inizierò ad addentrarmi in alcuni concetti piuttosto interessanti che circondano i vettori,

like span, bases, and linear dependence.

come span (copertura), basi e dipendenza lineare.

See you then.

Ci vediamo allora.