Combinazioni lineari, span e vettori di base | Capitolo 2, L'Essenza dell'Algebra Lineare: appunti per imparare l’inglese

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

Nello scorso video, insieme alle idee di addizione di vettori e moltiplicazione scalare, ho descritto le coordinate dei vettori,

where there's this back and forth between, Modi di dire

dove c'è questa relazione di andata e ritorno tra,

for example,

per esempio,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

coppie di numeri e vettori bidimensionali.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Ora, immagino che le coordinate dei vettori fossero già familiari a molti di voi,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Discorso

ma c'è un altro modo interessante di pensare a queste coordinate,

which is pretty central to linear algebra.

che è piuttosto centrale per l'algebra lineare.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Grammatica

Quando hai una coppia di numeri che serve a descrivere un vettore,

like 3 -2,

come 3 -2,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Grammatica

voglio che tu pensi a ogni coordinata come a uno scalare,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

cioè che tu pensi a come ognuna di esse allunga o comprime i vettori.

In the XY coordinate system,

Nel sistema di coordinate XY,

there are two very special vectors.

ci sono due vettori molto speciali.

The one pointing to the right with length one,

Quello che punta a destra con lunghezza uno,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

comunemente chiamato i-hat, o versore nella direzione X,

and the one pointing straight up with length one,

e quello che punta dritto verso l'alto con lunghezza uno,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

comunemente chiamato j-hat, o versore nella direzione Y.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Ora, pensa alla coordinata X del nostro vettore come a uno scalare che scala i-hat,

stretching it by a factor of 3, Espressioni

allungandolo di un fattore 3,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

e alla coordinata Y come a uno scalare che scala j-hat,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

capovolgendolo e allungandolo di un fattore 2.

In this sense,

In questo senso,

the vector that these coordinates describe

il vettore che queste coordinate descrivono

is the sum of two scaled vectors.

è la somma di due vettori scalati.

That's a surprisingly important concept,

Questo è un concetto sorprendentemente importante,

this idea of adding together two scaled vectors.

questa idea di sommare insieme due vettori scalati.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Quei due vettori i-hat e j-hat hanno un nome speciale,

by the way.

a proposito.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Insieme, sono chiamati la base di un sistema di coordinate.

What this means basically

Ciò che questo significa fondamentalmente

is that when you think about coordinates as scalars,

è che quando pensi alle coordinate come a scalari,

the basis vectors are what those scalars actually,

i vettori di base sono ciò che quegli scalari in realtà,

you know, scale.

sai, scalano.

There's also a more technical definition,

C'è anche una definizione più tecnica,

but I'll get to that later.

ma ci arriverò più tardi.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Espressioni

Inquadrare il nostro sistema di coordinate in termini di questi due speciali vettori di base,

it raises a pretty interesting and subtle point. Espressioni

solleva un punto piuttosto interessante e sottile.

We could have chosen different basis vectors Grammatica

Avremmo potuto scegliere vettori di base diversi

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

e ottenere un nuovo sistema di coordinate del tutto ragionevole.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Per esempio, prendi un vettore che punta in alto a destra,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

insieme a un altro vettore che punta in qualche modo in basso a destra.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

Prenditi un momento per pensare a tutti i diversi vettori che puoi ottenere

by choosing two scalars,

scegliendo due scalari,

using each one to scale one of the vectors,

usando ciascuno di essi per scalare uno dei vettori,

then adding together what you get.

e poi sommando ciò che ottieni.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

Quali vettori bidimensionali puoi raggiungere modificando le scelte degli scalari?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

La risposta è che puoi raggiungere ogni possibile vettore bidimensionale,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

e penso che sia un bel rompicapo contemplare il perché.

A new pair of basis vectors like this

Una nuova coppia di vettori di base come questa

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

ci dà ancora un modo valido per passare avanti e indietro tra coppie di numeri

and two-dimensional vectors,

e vettori bidimensionali,

but the association is definitely different from the one that you get

ma l'associazione è decisamente diversa da quella che si ottiene

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

usando la base più standard di i-hat e j-hat.

This is something I'll go into much more detail on later, Phrasal verbs

Questo è un argomento in cui entrerò molto più in dettaglio in seguito,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

descrivendo l'esatta relazione tra diversi sistemi di coordinate,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

ma per ora, voglio solo che tu apprezzi il fatto che

any time we describe vectors numerically,

ogni volta che descriviamo i vettori numericamente,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Espressioni

ciò dipende da una scelta implicita di quali vettori di base stiamo usando.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Quindi, ogni volta che scali due vettori e li sommi in questo modo,

it's called a linear combination of those two vectors. Lessico

si chiama combinazione lineare di quei due vettori.

Where does this word linear come from?

Da dove viene questa parola lineare?

Why does this have anything to do with lines? Espressioni

Perché questo ha qualcosa a che fare con le linee (rette)?

Well, this isn't the etymology,

Beh, questa non è l'etimologia,

but one way I like to think about it is that Discorso

ma un modo in cui mi piace pensarla è che

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

se fissi uno di quegli scalari e lasci che l'altro cambi il suo valore liberamente,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

la punta del vettore risultante disegna una linea retta.

Now, if you let both scalars range freely Grammatica

Ora, se lasci che entrambi gli scalari varino liberamente

and consider every possible vector that you can get,

e consideri ogni possibile vettore che puoi ottenere,

there are two things that can happen.

ci sono due cose che possono succedere.

For most pairs of vectors,

Per la maggior parte delle coppie di vettori,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

sarai in grado di raggiungere ogni possibile punto nel piano.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Modi di dire

Ogni vettore bidimensionale è alla tua portata.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Phrasal verbs

Tuttavia, nello sfortunato caso in cui i tuoi due vettori originali si allineino per caso,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

la punta del vettore risultante è limitata solo a questa singola retta che passa per l'origine.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

In realtà, tecnicamente, c'è anche una terza possibilità.

Both your vectors could be zero,

Entrambi i tuoi vettori potrebbero essere zero,

in which case you'd just be stuck at the origin. Grammatica

nel qual caso saresti semplicemente bloccato all'origine.

Here's some more terminology.

Ecco un po' più di terminologia.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

L'insieme di tutti i possibili vettori che puoi raggiungere con una combinazione lineare di una data coppia di vettori

is called the span of those two vectors. Lessico

è chiamato lo spazio generato (o span) da quei due vettori.

So, restating what we just saw in this lingo,

Quindi, riformulando ciò che abbiamo appena visto in questo gergo,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

lo spazio generato dalla maggior parte delle coppie di vettori 2D è tutti i vettori dello spazio 2D,

but when they line up,

ma quando si allineano,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

il loro spazio generato è tutti i vettori la cui punta si trova su una certa retta.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Modi di dire

Ricordi come ho detto che l'algebra lineare ruota attorno all'addizione di vettori e alla moltiplicazione scalare?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

Beh, lo spazio generato da due vettori è fondamentalmente un modo di chiedere,

what are all the possible vectors you can reach

quali sono tutti i possibili vettori che puoi raggiungere

using only these two fundamental operations,

usando solo queste due operazioni fondamentali,

vector addition and scalar multiplication?

addizione di vettori e moltiplicazione scalare?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

Questo è un buon momento per parlare di come le persone pensino comunemente ai vettori come a punti.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Diventa davvero affollato pensare a un'intera collezione di vettori posizionati su una retta,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

e ancora più affollato pensare a tutti i vettori bidimensionali che riempiono il piano in una volta sola.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Quindi, quando si ha a che fare con collezioni di vettori come questa,

it's common to represent each one with just a point in space.

è comune rappresentare ciascuno di essi con un semplice punto nello spazio.

The point at the tip of that vector,

Il punto sulla punta di quel vettore,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

dove, come al solito, voglio che tu pensi a quel vettore con la sua coda all'origine.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

In questo modo, se vuoi pensare a ogni possibile vettore la cui punta si trova su una certa retta,

just think about the line itself.

pensa semplicemente alla retta stessa.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

Allo stesso modo, per pensare a tutti i possibili vettori bidimensionali contemporaneamente,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

concettualizza ciascuno di essi come il punto in cui si trova la sua punta.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Quindi, in effetti, quello a cui penserai è il foglio piatto infinito dello spazio bidimensionale stesso,

leaving the arrows out of it. Phrasal verbs

lasciando fuori le frecce.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Espressioni

In generale, se stai pensando a un vettore da solo,

think of it as an arrow.

pensalo come a una freccia.

And if you're dealing with a collection of vectors,

E se hai a che fare con una collezione di vettori,

it's convenient to think of them all as points.

è conveniente pensarli tutti come punti.

So, for our span example,

Quindi, per il nostro esempio dello spazio generato,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Phrasal verbs

lo spazio generato dalla maggior parte delle coppie di vettori finisce per essere l'intero foglio infinito dello spazio bidimensionale,

but if they line up,

ma se si allineano,

their span is just a line.

il loro spazio generato è solo una retta.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

L'idea di spazio generato diventa molto più interessante se iniziamo a pensare ai vettori nello spazio tridimensionale.

For example,

Per esempio,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

se prendi due vettori nello spazio 3D che non puntano nella stessa direzione,

what does it mean to take their span?

cosa significa calcolare il loro spazio generato?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Beh, il loro spazio generato è la collezione di tutte le possibili combinazioni lineari di quei due vettori,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

il che significa tutti i possibili vettori che ottieni scalando ciascuno dei due in qualche modo

and then adding them together.

e poi sommandoli insieme.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Modi di dire

Puoi immaginare di girare due manopole diverse per cambiare i due scalari che definiscono la combinazione lineare,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

sommando i vettori scalati e seguendo la punta del vettore risultante.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Quella punta traccerà una sorta di foglio piatto che taglia l'origine dello spazio tridimensionale.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Questo foglio piatto è lo spazio generato dai due vettori,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Discorso

o più precisamente, l'insieme di tutti i possibili vettori le cui punte giacciono su quel foglio piatto è lo spazio generato dai tuoi due vettori.

Isn't that a beautiful mental image?

Non è una bellissima immagine mentale?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Quindi, cosa succede se aggiungiamo un terzo vettore e consideriamo lo spazio generato da tutti e tre quei ragazzi?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Una combinazione lineare di tre vettori è definita praticamente nello stesso modo in cui lo è per due.

You'll choose three different scalars,

Sceglierai tre scalari diversi,

scale each of those vectors,

scalerai ciascuno di quei vettori,

and then add them all together.

e poi li sommerai tutti insieme.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

E ancora una volta, lo spazio generato da questi vettori è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari.

Two different things could happen here.

Qui potrebbero accadere due cose diverse.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Se il tuo terzo vettore si trova per caso nello spazio generato dai primi due,

then the span doesn't change.

allora lo spazio generato non cambia.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Sei in un certo senso intrappolato su quello stesso foglio piatto.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Discorso

In altre parole, aggiungere una versione scalata di quel terzo vettore alla combinazione lineare

doesn't really give you access to any new vectors.

non ti dà davvero accesso a nessun nuovo vettore.

But if you just randomly choose a third vector,

Ma se scegli semplicemente a caso un terzo vettore,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

è quasi certamente non situato nello spazio generato da quei primi due.

Then, since it's pointing in a separate direction,

Quindi, poiché punta in una direzione separata,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Modi di dire

sblocca l'accesso a ogni possibile vettore tridimensionale.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Un modo in cui mi piace pensarci è che mentre scali quel nuovo terzo vettore,

it moves around that span sheet of the first two,

esso si muove attorno a quel foglio generato dai primi due,

sweeping it through all of space.

spazzandolo attraverso tutto lo spazio.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Modi di dire

Un altro modo per pensarci è che stai facendo pieno uso dei tre scalari in libera variazione che hai a disposizione

to access the full three dimensions of space.

per accedere a tutte e tre le dimensioni dello spazio.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Ora, nel caso in cui il terzo vettore fosse già situato nello spazio generato dai primi due,

or the case where two vectors happen to line up,

o nel caso in cui due vettori si allineassero per caso,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Lessico

vogliamo una terminologia per descrivere il fatto che almeno uno di questi vettori è ridondante,

not adding anything to our span.

non aggiungendo nulla al nostro spazio generato.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Ogni volta che accade questo, dove hai più vettori e potresti rimuoverne uno senza ridurre lo spazio generato,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Lessico

la terminologia adatta è dire che sono linearmente dipendenti.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Espressioni

Un altro modo di formulare ciò sarebbe dire che uno dei vettori può essere espresso come una combinazione lineare degli altri,

since it's already in the span of the others.

poiché è già nello spazio generato dagli altri.

On the other hand, Discorso

D'altra parte,

if each vector really does add another dimension to the span, Grammatica

se ogni vettore aggiunge davvero un'altra dimensione allo spazio generato,

they're said to be linearly independent. Lessico

si dice che sono linearmente indipendenti.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Quindi, con tutta questa terminologia e si spera con alcune buone immagini mentali ad accompagnarla,

let me leave you with a puzzle before we go. Espressioni

lascia che ti lasci con un rompicapo prima di andare.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Lessico

La definizione tecnica di una base di uno spazio è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano quello spazio.

Now, given how I described a basis earlier,

Ora, dato come ho descritto una base in precedenza,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

e data la tua attuale comprensione delle parole spazio generato (span) e linearmente indipendente,

think about why this definition would make sense.

pensa al perché questa definizione avrebbe senso.

In the next video,

Nel prossimo video,

I'll get into matrices in transforming space.

entrerò nelle matrici nella trasformazione dello spazio.

See you then.

Ci vediamo.