Trasformazioni lineari tridimensionali | Capitolo 5, L'essenza dell'algebra lineare: appunti per imparare l’inglese

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Ciao a tutti, oggi ho un video relativamente breve per voi,

just sort of a footnote between chapters. Note

solo una specie di nota a piè di pagina tra i capitoli.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

Negli ultimi due video, ho parlato di trasformazioni lineari e matrici,

but I only showed the specific case of transformations

ma ho mostrato solo il caso specifico di trasformazioni

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

che portano vettori bidimensionali ad altri vettori bidimensionali.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

In generale in questa serie lavoreremo principalmente in due dimensioni,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Modi di dire

principalmente perché è più facile da vedere sullo schermo e da capire.

But more importantly than that, Discorso

Ma, cosa ancora più importante,

once you get all the core ideas in two dimensions,

una volta capite tutte le idee di base in due dimensioni,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Phrasal verbs

si trasferiscono quasi senza problemi a dimensioni superiori.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Note

Tuttavia, è bene curiosare fuori da questo mondo piatto ogni tanto

to, you know, see what it means to apply these ideas

per, sai, vedere cosa significa applicare queste idee

in more than just those two dimensions. Grammatica

in più di quelle sole due dimensioni.

For example, consider a linear transformation

Ad esempio, consideriamo una trasformazione lineare

with three-dimensional vectors as inputs

con vettori tridimensionali come input

and three-dimensional vectors as outputs.

e vettori tridimensionali come output.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Lessico

Possiamo visualizzarlo schiacciando tutti i punti nello spazio tridimensionale

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Grammatica

rappresentato da una griglia in modo tale da mantenere le linee della griglia parallele ed equamente distanziate

and which fixes the origin in place. Lessico

e che fissi l'origine al suo posto.

And just as with two dimensions,

E proprio come con le due dimensioni,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Lessico

ogni punto dello spazio che vediamo muoversi è in realtà solo un rappresentante di un vettore

who has its tip at that point

che ha la sua punta in quel punto

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Discorso

e quello che stiamo realmente facendo è pensare ai vettori di input che si spostano verso i loro output corrispondenti.

And just as with two dimensions,

E proprio come con due dimensioni,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Espressioni

una di queste trasformazioni è completamente descritta da dove vanno a finire i vettori di base.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Ma ora, ci sono tre vettori di base standard che usiamo tipicamente.

The unit vector in the x direction, i-hat,

Il vettore unitario nella direzione x, i-hat,

the unit vector in the y direction, j-hat,

il vettore unitario nella direzione y, j-hat,

and a new guy, Lessico

e un nuovo arrivato,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

il vettore unitario nella direzione z, chiamato k-hat.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

Infatti, penso sia più facile pensare a queste trasformazioni seguendo solo quei vettori di base

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

poiché la griglia 3D completa che rappresenta tutti i punti può diventare un po' disordinata.

By leaving a copy of the original axes in the background, Grammatica

Lasciando una copia degli assi originali sullo sfondo,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Lessico

possiamo pensare alle coordinate di dove atterra ciascuno di questi tre vettori di base.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Registra le coordinate di questi tre vettori come colonne di una matrice 3x3.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Questo ci dà una matrice che descrive completamente la trasformazione usando solo nove numeri.

As a simple example,

Come semplice esempio,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

consideriamo la trasformazione che ruota lo spazio di 90 gradi attorno all'asse y.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Lessico

Ciò significherebbe che porta i-hat alle coordinate 0 0 -1 sull'asse z.

It doesn't move j-hat,

Non muove j-hat,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

quindi rimane alle coordinate 0 1 0,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

e poi k-hat si sposta sull'asse x a 1 0 0.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Quei tre set di coordinate diventano le colonne di una matrice che descrive quella trasformazione di rotazione.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

Per vedere dove atterra un vettore con coordinate x y z,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Espressioni

il ragionamento è quasi identico a quello per le due dimensioni.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Note

Ciascuna di quelle coordinate può essere pensata come istruzioni per scalare ogni vettore di base

so that they add together to get your vector.

in modo che si sommino per ottenere il tuo vettore.

And the important part, just like the 2D case, Discorso

E la parte importante, proprio come nel caso 2D,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Grammatica

è che questo processo di ridimensionamento e addizione funziona sia prima che dopo la trasformazione.

So to see where your vector lands,

Quindi per vedere dove atterra il tuo vettore,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Espressioni

moltiplichi quelle coordinate per le colonne corrispondenti della matrice

and then you add together the three results.

e poi sommi i tre risultati.

Multiplying two matrices is also similar.

Anche moltiplicare due matrici è simile.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Grammatica

Ogni volta che vedi due matrici 3x3 moltiplicate insieme,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Lessico

dovresti immaginare di applicare prima la trasformazione codificata da quella di destra,

then applying the transformation encoded by the left one.

poi applicare la trasformazione codificata da quella di sinistra.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Discorso

Risulta che la moltiplicazione di matrici 3D è in realtà piuttosto importante per campi come la computer grafica e la robotica,

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

poiché cose come le rotazioni in tre dimensioni possono essere piuttosto difficili da descrivere,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Phrasal verbs

ma sono più facili da capire se si riescono a scomporre

as the composition of separate, easier to think about rotations. Lessico

come la composizione di rotazioni separate e più facili da pensare.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Eseguire numericamente questa moltiplicazione di matrici è, ancora una volta,

pretty similar to the two-dimensional case.

molto simile al caso bidimensionale.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Grammatica

Infatti, un buon modo per testare la tua comprensione dell'ultimo video

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Phrasal verbs

sarebbe cercare di dedurre come dovrebbe apparire nello specifico questa moltiplicazione di matrici,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

pensando attentamente a come si relaziona con l'idea di applicare due trasformazioni successive nello spazio.

In the next video,

Nel prossimo video,

I'll start getting into the determinant. Phrasal verbs

inizierò a introdurre il determinante.