Capire i numeri irrazionali - Ganesh Pai: appunti per imparare l’inglese
TED-Ed
Panoramica del video: Il video racconta come la scoperta dei numeri irrazionali da parte di Ippaso mise in crisi la convinzione pitagorica che ogni numero fosse un rapporto, dimostra per assurdo che √2 è irrazionale e chiarisce perché tali valori possano comunque essere rappresentati esattamente tramite la geometria. Principali punti di inglese: 1. dictum of all is number — Cultura, media e contesto reale: Comprendi questa massima pitagorica come la dottrina secondo cui numeri e rapporti strutturano la realtà. Il contesto chiarisce perché un numero non esprimibile come rapporto tra interi rappresentasse una crisi sia matematica sia filosofica. 2. must have been even, and Q must have been even as well, — Grammatica e strutture della frase: Riconosci must have been come una deduzione logica su una condizione precedente, non come un obbligo. Potrai usare questa costruzione per ricostruire ciò che doveva necessariamente derivare da prove già presentate in dimostrazioni, resoconti o spiegazioni. 3. The key here is that — Discorso, narrazione e retorica: Usa questo segnale per passare dagli esempi alla conclusione concettuale centrale. Qui mette in primo piano la distinzione tra i numeri e i decimali o rapporti usati per esprimerli, aiutando il pubblico a individuare con precisione il punto essenziale dell’argomento.
In questa lezione
Like many heroes of Greek myths, the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods. Note
0:06Come molti eroi dei miti greci, si vociferava che il filosofo Ippaso fosse stato punito a morte dagli dèi.
Like many heroes of Greek myths: un paragone che crea una cornice mitologica
Qui Like è una preposizione che significa «come» o «in modo simile a»; non è il verbo «piacere». La struttura Like many + sostantivo plurale presenta prima un gruppo o uno schema noto e poi concentra l'attenzione su una persona o una cosa. Greek myths indica l'antica tradizione greca di racconti su dèi ed eroi, non normali documenti storici. Paragonando Ippaso agli eroi puniti dagli dèi, il narratore dà a una storia di matematica una cornice drammatica e mitologica, senza affermare che Ippaso fosse davvero un eroe della mitologia.
Esercizio
Quale funzione svolge Like many heroes of Greek myths in questa frase?
- Afferma che Ippaso è letteralmente un eroe di un mito greco.
- Paragona Ippaso agli eroi mitologici e dà alla sua storia una cornice drammatica.
- Dice che a Ippaso piacciono molti eroi della mitologia greca.
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Paragona Ippaso agli eroi mitologici e dà alla sua storia una cornice drammatica.
was rumored to have been mortally punished: un evento passivo precedente
La struttura soggetto + was rumored to... riferisce un'affermazione che circolava nel passato senza presentarla come un fatto confermato. Permette al narratore di mantenere una certa distanza dall'affermazione. In to have been mortally punished, to have been + participio passato è un infinito perfetto passivo. La punizione viene collocata prima della voce del passato e il soggetto subisce l'azione. Mortally indica che la punizione era fatale o ha causato la morte.
Esercizio
Usa was rumored e la forma passiva perfetta di destroy per completare la frase: The missing painting ____ in the flood.
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was rumored to have been destroyed
But what was his crime?: una domanda che crea suspense
But what was his crime? è una domanda che il narratore pone e poi risolve, non una richiesta rivolta al pubblico perché fornisca informazioni. Collega la punizione già menzionata alla sua causa ancora sconosciuta e crea un vuoto informativo. All’inizio, But segnala il passaggio da ciò che è successo al perché è successo. Questo tipo di domanda organizza il racconto facendo attendere al pubblico la rivelazione successiva, che potrebbe essere sorprendente.
Esercizio
Qual è la principale funzione narrativa di “But what was his crime?”
- Mostrare che il narratore non sa più che cosa è successo.
- Chiedere al pubblico di risolvere un caso legale prima che il video continui.
- Creare un vuoto informativo e introdurre la risposta sorprendente del narratore.
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Creare un vuoto informativo e introdurre la risposta sorprendente del narratore.
Hippasus's transgression was a mathematical proof: rivelare un “crimine” inaspettato
La proposizione colloca transgression, una parola formale e fortemente negativa per una grave violazione, da un lato di was, e a mathematical proof, un atto intellettuale neutro, dall’altro. Questo contrasto fornisce la risposta sorprendente alla domanda precedente: l’atto trattato come una colpa fu ottenere un risultato matematico. Qui mathematical proof indica una dimostrazione logica che un’affermazione matematica è vera, non una prova comune come quella di un’indagine. Chiamarla transgression presenta la scoperta in modo drammatico perché sfidava convinzioni accettate; non significa che le dimostrazioni matematiche siano normalmente dei reati.
Esercizio
Perché “Hippasus's transgression was a mathematical proof” ha un effetto drammatico?
- Afferma che ogni dimostrazione matematica è illegale.
- Abbina una parola fortemente negativa per una colpa a un atto matematico neutro.
- Usa proof per indicare una prova materiale trovata sulla scena di un crimine.
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Abbina una parola fortemente negativa per una colpa a un atto matematico neutro.
irrational numbers: numeri che non sono rapporti tra interi
In matematica, un irrational number è un numero che non può essere scritto come un rapporto a/b, dove a e b sono interi e b non è zero. √2 e π sono esempi. In questa frase, irrational numbers indica il tipo di numeri scoperti. Irrational è qui un termine matematico; non significa che i numeri pensino o agiscano senza ragione.
Esercizio
In matematica, che cos'è un irrational number?
- Un numero che può sempre essere scritto come rapporto tra due interi.
- Un numero che agisce senza ragione.
- Un numero che non può essere scritto come rapporto tra due interi.
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Un numero che non può essere scritto come rapporto tra due interi.
Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians Espressioni
0:25Ippaso apparteneva a un gruppo chiamato i matematici pitagorici,
belonged to a group called ...: appartenenza e nome del gruppo
La struttura A belonged to a group called B significa che A era membro di un gruppo chiamato B. Belonged to esprime l'appartenenza nel passato; called B è una proposizione relativa abbreviata che equivale a that was called B e identifica il nome del gruppo. Nella frase, Hippasus era membro dei Pythagorean mathematicians. Qui called significa “chiamato”, non “contattato per telefono”. La stessa struttura può presentare una scuola di pensiero, un'organizzazione, un club o una squadra.
Esercizio
Usa belong to al passato e called per completare la frase: Nina ____ a group ____ the River Guardians.
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belonged to · called
who had a religious reverence for numbers. Lessico
0:31che avevano una venerazione religiosa per i numeri.
religious reverence for numbers: venerazione quasi religiosa per i numeri
Reverence for something esprime un rispetto profondo e solenne per qualcosa, spesso accompagnato da un senso di soggezione o sacralità. È più intenso di respect. La struttura abituale è reverence for + sostantivo. Qui religious descrive il tipo e l’intensità della venerazione. Il loro atteggiamento verso i numeri era quasi una forma di devozione religiosa; non significa che i numeri fossero semplicemente un argomento di studio religioso.
Esercizio
Quale situazione richiede più naturalmente la parola reverence?
- Un cliente apprezza un nuovo spuntino.
- Un dipendente controlla un normale orario.
- Le persone trattano un antico luogo sacro con rispetto profondo e solenne.
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Le persone trattano un antico luogo sacro con rispetto profondo e solenne.
dictum of “all is number”: la massima «tutto è numero»
Dictum è una parola formale che indica un’affermazione o un principio breve presentato come autorevole. Qui all is number costituisce il contenuto del dictum: la formula viene generalmente scritta “All is number.” La frase riassume una concezione filosofica associata ai pitagorici: il numero e le relazioni numeriche erano considerati fondamentali per l’ordine della realtà. Va letta come una massima filosofica concisa, non come un’equazione moderna o come un’istruzione a numerare ogni oggetto.
Esercizio
Che cosa esprime il dictum “All is number” in questo contesto?
- Un’equazione moderna usata nell’aritmetica.
- Una tesi filosofica secondo cui il numero e le relazioni numeriche sono alla base della realtà.
- Un ordine di assegnare un numero a ogni oggetto.
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Una tesi filosofica secondo cui il numero e le relazioni numeriche sono alla base della realtà.
suggested that numbers were the building blocks of the universe. Modi di dire
0:35suggeriva che i numeri fossero i mattoni dell'universo.
building blocks of the universe: una metafora per gli elementi fondamentali dell'universo
Building blocks indica letteralmente i pezzi di base usati per costruire qualcosa di più grande. Qui l'espressione è una metafora: i numeri sono presentati come gli elementi fondamentali da cui sono formati l'universo e il suo ordine. Nella struttura the building blocks of + sostantivo, il sostantivo indica il sistema più grande. Qui blocks non significa «ostacoli» e la frase non parla di veri blocchi giocattolo.
Esercizio
In questa frase, che cosa significa building blocks of the universe?
- Gli elementi fondamentali che formano l'universo.
- Ostacoli che impediscono all'universo di funzionare.
- Blocchi giocattolo collocati da qualche parte nello spazio.
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Gli elementi fondamentali che formano l'universo.
And part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics Grammatica
0:38E parte di questa convinzione era che tutto, dalla cosmologia e la metafisica
everything from X to Y: indicare un'ampia gamma
Everything from X to Y usa due estremi contrastanti per mostrare un'ampia gamma. Comprende gli estremi nominati e suggerisce molte altre cose lungo tutta quella gamma. Qui, cosmology and metaphysics sono posti a un estremo, mentre music and morals sono all'altro. Il grande cambiamento di ambito sottolinea quanto ampiamente si pensasse che questa convinzione fosse applicabile; from ... to ... indica un intervallo concettuale, non un movimento.
Esercizio
Completa la frase con la struttura che esprime un intervallo: The library has everything ____ picture books ____ science magazines.
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from · to
followed eternal rules describable as ratios of numbers. Espressioni
0:44seguisse regole eterne descrivibili come rapporti tra numeri.
describable as ratios of numbers: descrivibile come rapporti tra numeri
Describable as significa «che può essere descritto o rappresentato come». Qui, describable as ratios of numbers viene dopo rules e lo modifica: le regole possono essere espresse sotto forma di rapporti numerici. As introduce la forma della descrizione; non esprime un normale paragone di somiglianza. La struttura compatta rules describable as ... può essere sviluppata come rules that are describable as .... Il suffisso -able dà a describable il significato di possibilità, quindi la frase afferma che questa rappresentazione matematica è possibile.
Esercizio
Quale frase indica che una descrizione è possibile senza affermare che qualcuno l'abbia già usata?
- The pattern is describable as a repeating wave.
- The pattern is described as a repeating wave in the report.
- The report describes the pattern as a repeating wave.
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The pattern is describable as a repeating wave.
Thus, any number could be written as such a ratio. Note
0:49Pertanto, qualsiasi numero poteva essere scritto come tale rapporto.
Thus come indicatore di conclusione
Thus è un connettivo conclusivo che significa «quindi» o «di conseguenza». All'inizio di questa frase, segnala al lettore che l'affermazione secondo cui qualsiasi numero poteva essere scritto come un rapporto di quel tipo deriva dal ragionamento precedente, invece di aprire un nuovo argomento. Quando incontri Thus, collega le informazioni come base → conclusione. Questo aiuta a seguire la logica delle spiegazioni e delle argomentazioni.
Esercizio
Quale connettivo introduce meglio la seconda frase come conclusione? Every side of the square has the same length. _____, measuring one side is enough.
- Thus
- However
- For example
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Thus
could be written as such a ratio: rappresentare un numero in un’altra forma
In matematica, write A as B significa «rappresentare A nella forma B», non semplicemente mettere delle parole per iscritto. La struttura passiva A could be written as B concentra l’attenzione su A e sulla forma che può assumere. Qui, such a ratio rimanda al tipo di rapporto già menzionato. La proposizione afferma quindi che qualsiasi numero può essere rappresentato nella forma di rapporto descritta in precedenza.
Esercizio
Completa la frase con la forma passiva di write A as B: The decimal 0.5 can be ____ the fraction 1/2.
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written as
5 over 1: leggere ad alta voce la frazione 5/1
Nel linguaggio matematico orale inglese, A over B indica la frazione o il quoziente A/B. Il numero prima di over è il numeratore e quello dopo è il denominatore. Quindi, five over one significa 5/1, che è uguale a 5. Qui, over serve a leggere oralmente la linea di frazione. Non ha il significato spaziale di «sopra».
Esercizio
Ascolta la frase in inglese e scegli quella che senti. Fai attenzione all’ordine di five e one e alla differenza tra over e to.
- The fraction is one over five.
- The fraction is five over one.
- The ratio is five to one.
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The fraction is five over one.
Even an infinitely extending decimal like this Lessico
0:59Persino un decimale che si estende all'infinito come questo
an infinitely extending decimal: un numero decimale che si estende all’infinito
An infinitely extending decimal indica un numero decimale le cui cifre continuano senza una cifra finale. Infinitely modifica extending, mentre l’intero gruppo infinitely extending descrive decimal. Qui, extending non significa che qualcosa stia diventando fisicamente più grande. Descrive il proseguire delle cifre decimali. L’espressione da sola non indica se le cifre si ripetono.
Esercizio
Che cosa significa an infinitely extending decimal in questo contesto?
- Un numero decimale le cui cifre scritte diventano fisicamente più grandi.
- Un numero decimale le cui cifre continuano senza fine.
- Un numero decimale che termina dopo poche cifre.
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Un numero decimale le cui cifre continuano senza fine.
could be expressed exactly as 34 over 45. Espressioni
1:03poteva essere espresso esattamente come 34 fratto 45.
could be expressed exactly as 34 over 45: potrebbe essere espresso esattamente come 34/45
Could be expressed as è costruito con il modello passivo verbo modale + be + participio passato. Indica che lo stesso valore può essere scritto in un’altra forma. Qui, 34 over 45 indica la frazione 34/45. Exactly è essenziale: indica che il numero decimale e la frazione hanno valori identici, non soltanto valori vicini dopo un arrotondamento o una stima.
Esercizio
Quale frase indica che il numero decimale e la frazione hanno esattamente lo stesso valore?
- The decimal could be expressed approximately as two thirds.
- The decimal could be expressed exactly as two thirds.
- The decimal is greater than two thirds.
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The decimal could be expressed exactly as two thirds.
All of these are what we now call rational numbers. Espressioni
1:06Tutti questi sono quelli che oggi chiamiamo numeri razionali.
what we now call rational numbers: introdurre un nome moderno
In questa frase, what we now call rational numbers significa «le cose che oggi chiamiamo numeri razionali». Qui what introduce una proposizione nominale; non serve a formulare una domanda. L’intera proposizione viene dopo are e identifica che cosa sono all of these. Lo schema what + soggetto + call + nome collega qualcosa alla sua denominazione attuale. now sottolinea che si tratta del nome usato oggi, quindi lo schema è particolarmente utile nelle spiegazioni storiche.
Esercizio
Usa lo schema di quattro parole della lezione per introdurre il nome attuale: The old document describes a tool similar to ____ a compass.
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what we now call
But Hippasus found one number that violated this harmonious rule, Modi di dire
1:10Ma Ippaso trovò un numero che violava questa regola armoniosa,
violated this harmonious rule: violare una regola armoniosa
Qui violate a rule significa non rispettare una regola o non essere conforme a essa, non necessariamente infrangere una legge. Le proprietà del numero erano incompatibili con lo schema matematico. Un numero non può disobbedire intenzionalmente. Rendendo il numero il soggetto di violated, il racconto lo personifica, mentre harmonious presenta il vecchio sistema come ordinato e bello. Insieme, queste parole fanno sembrare l’eccezione un intruso che sconvolge l’ordine.
Esercizio
Che cosa significa violated this harmonious rule nella frase?
- Il numero aveva commesso un reato secondo la legge.
- Il numero non rispettava la regola matematica.
- Il numero aveva reso la regola più precisa.
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Il numero non rispettava la regola matematica.
one that was not supposed to exist: un conflitto drammatico con le aspettative accettate
Qui one sostituisce un numero menzionato in precedenza. La proposizione relativa that was not supposed to exist identifica il numero a cui si riferisce chi parla. Was not supposed to exist significa che le convinzioni matematiche accettate davano motivo di pensare che un numero simile non potesse esistere. È una formulazione drammatica, non una regola o un divieto ufficiale. In questo modo, un conflitto astratto tra prove e teoria diventa una sorpresa raccontata come in una storia.
Esercizio
Leggi questa frase: Researchers found a particle that was not supposed to exist. Che cosa significa più probabilmente was not supposed to exist?
- I ricercatori non avevano ancora dato un nome alla particella.
- Un'autorità aveva vietato ufficialmente l'esistenza della particella.
- La teoria accettata prevedeva che una particella simile non potesse esistere.
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La teoria accettata prevedeva che una particella simile non potesse esistere.
According to Pythagoras' theorem: indicare la base di una conclusione
According to + sintagma nominal significa usare quella fonte o regola come base per ciò che segue. Qui, Pythagoras' theorem è la regola matematica che sostiene il passaggio successivo della spiegazione. All'inizio di una frase, questa espressione stabilisce la base delle informazioni successive ed è normalmente seguita da una virgola. Qui, According to significa secondo o in base a; non significa obbedire al teorema.
Esercizio
Completa l'espressione che indica la fonte: According ____ the safety guide, this door must remain closed.
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to
the diagonal length would be square root of 2. Cultura
1:26la lunghezza della diagonale sarebbe la radice quadrata di 2.
square root of 2: come leggere √2 in inglese
In matematica, square root of 2 indica il numero positivo che, moltiplicato per se stesso, dà 2. Si scrive √2. Qui root fa parte del termine matematico square root; non indica la radice di una pianta. L'espressione specifica il valore della lunghezza della diagonale.
Esercizio
Quale espressione matematica corrisponde a square root of 2?
- √2
- 2 ÷ 2
- 2²
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√2
But try as he might: una struttura concessiva per uno sforzo senza successo
Try as he might è una struttura concessiva invertita che significa sebbene abbia provato con tutte le sue forze. Presenta il suo sforzo come reale, ma incapace di cambiare il risultato che segue. Lo schema è verbo alla forma base + as + soggetto + might: Try as he might. Qui might fa parte dell'intera struttura concessiva; non significa semplicemente che forse proverà. Il But iniziale rafforza il contrasto e la virgola segnala che il risultato viene dopo.
Esercizio
Completa la frase con la struttura che significa sebbene abbia provato con tutte le mie forze: ____, I couldn't open the jar.
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Try as I might
Hippasus could not express this as a ratio of two integers. Espressioni
1:31Ippaso non riuscì a esprimerla come rapporto tra due numeri interi.
express this as a ratio of two integers: esprimere un valore come rapporto tra due interi
Express A as B significa «mostrare o scrivere A nella forma B». Qui, this si riferisce a √2, mentre a ratio of two integers è una frazione p/q formata da numeri interi, con q diverso da zero. In questo uso matematico, express indica la rappresentazione di un valore in una forma precisa, non la comunicazione di un sentimento o di un'opinione.
Esercizio
Completa la frase con la struttura express A as B: We can ____ 0.75 ____ a ratio of two integers.
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express · as
instead of giving up: usare instead of + -ing per indicare un'alternativa
Instead of giving up indica che arrendersi è l'opzione non scelta; la proposizione principale spiega poi che cosa è successo o che cosa è stato fatto al suo posto. Quando un verbo segue instead of, si usa la forma in -ing: instead of giving up, non instead of give up. Lo stesso schema può confrontare altre azioni, come instead of waiting o instead of arguing.
Esercizio
Completa la frase con la forma corretta di give: Instead of ____ up, Maya tried a different method.
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giving
he decided to prove it couldn't be done. Grammatica
1:36decise di dimostrare che non poteva essere fatto.
decided to prove ... couldn't be done: decidere di dimostrare che qualcosa era impossibile
Dopo decide si usa to + forma base del verbo per indicare l'azione scelta. Decided to prove significa che ha scelto di cercare di dimostrare che qualcosa era vero. Qui, to prove completa il significato di decided; non è un'espressione di scopo separata. La proposizione it couldn't be done indica ciò che voleva dimostrare. Couldn't be done è al passivo: l'attenzione è sull'impossibilità del compito, non sull'incapacità di una persona specifica.
Esercizio
Quale frase esprime correttamente che una persona ha deciso di dimostrare che un compito era impossibile?
- Ravi decided proving the task couldn't be done.
- Ravi decided to prove the task couldn't be done.
- Ravi decided to prove he couldn't do the task.
Mostra risposta
Ravi decided to prove the task couldn't be done.
Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true, Espressioni
1:38Ippaso iniziò supponendo che la visione del mondo pitagorica fosse vera,
began by assuming that: presentare un'ipotesi come primo passo
La struttura begin by + verbo in -ing indica la prima azione o il metodo usato per iniziare un processo. Qui, il primo passo di Ippaso fu supporre che l'idea seguente fosse vera. By indica il metodo o il passaggio, non un luogo. Poiché by è una preposizione, il verbo successivo assume la forma in -ing: assuming. That introduce l'intero contenuto dell'ipotesi.
Esercizio
Usa il passato di begin by + -ing per indicare il primo passo: To start the proof with an assumption, the team ____ that every measurement was accurate.
Mostra risposta
began by assuming
that √2 could be expressed as a ratio of two integers.
1:43che √2 potesse essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
hypothetical integers: interi supposti per ragionare
In questa frase, hypothetical integers indica numeri interi di cui si suppone temporaneamente l’esistenza per sviluppare un ragionamento. Hypothetical descrive il loro ruolo nel ragionamento; non afferma che la loro esistenza sia già stata dimostrata. Questo uso compare quando un’argomentazione parte da un caso immaginato o supposto e poi esamina ciò che ne consegue.
Esercizio
In un’argomentazione matematica, che cosa sono gli hypothetical integers?
- Interi qualsiasi, senza valori specifici indicati
- Interi temporaneamente supposti ai fini del ragionamento
- Interi la cui esistenza è già stata dimostrata
Mostra risposta
Interi temporaneamente supposti ai fini del ragionamento
Assuming the ratio was reduced to its simplest form, Espressioni
1:52Supponendo che il rapporto fosse ridotto ai minimi termini,
reduced to its simplest form: ridotto alla forma più semplice
Reduced to its simplest form significa semplificato il più possibile. In un rapporto tra numeri interi, i due termini non hanno più alcun fattore comune maggiore di 1. Qui, reduced descrive un cambiamento di forma, non una diminuzione del valore del rapporto. La struttura passiva was reduced indica che la semplificazione è già stata eseguita.
Esercizio
Completa la frase con l’espressione obiettivo che significa «completamente semplificato»: Before comparing the fractions, make sure each one has been ____.
Mostra risposta
reduced to its simplest form
any common factors: divisori condivisi in matematica
In matematica, i common factors (fattori comuni) sono numeri interi positivi che dividono senza resto ciascuno di due o più numeri. Qui common significa “condiviso”, non “ordinario”. Per esempio, 2 divide sia 6 sia 8, quindi è un fattore comune di 6 e 8. In un ragionamento con una frazione ridotta ai minimi termini, could not have any common factors significa che P e Q non condividono alcun fattore maggiore di 1. A rigore, 1 è un fattore di ogni intero positivo, quindi questa formulazione lo esclude per convenzione; not ... any significa “nessuno”.
Esercizio
Quale frase usa correttamente common factor?
- 6 is a common factor of 12 and 18.
- 12 is a common factor of 6 and 18.
- 36 is a common factor of 12 and 18.
Mostra risposta
6 is a common factor of 12 and 18.
To prove that ...: indicare lo scopo prima della proposizione principale
La frase all’infinito posta all’inizio, To prove that √2 was not rational, indica lo scopo dell’azione che segue. La proposizione introdotta da that specifica l’affermazione da dimostrare: √2 was not rational. Questa frase iniziale presenta l’obiettivo, ma da sola non costituisce una frase completa. Dopo la virgola deve seguire una proposizione principale che indichi chi ha agito e che cosa ha fatto per raggiungere tale obiettivo.
Esercizio
Completa la frase. Usa To prove that seguito da the design was safe: ____, the engineers tested a scale model.
Mostra risposta
To prove that the design was safe
Hippasus just had to prove that P over Q cannot exist.
2:02Ippaso doveva solo dimostrare che P fratto Q non poteva esistere.
So he multiplied both sides of the equation by Q Espressioni
2:07Quindi moltiplicò entrambi i lati dell'equazione per Q
multiplied both sides of the equation by Q: moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per Q
Nella struttura multiply A by B, A è ciò che viene moltiplicato e B è il fattore. Qui A è both sides of the equation e B è Q, quindi le espressioni a sinistra e a destra vengono entrambe moltiplicate per Q. both sides of the equation indica le espressioni a sinistra e a destra del segno di uguale, non i lati fisici di un oggetto. Applicare la stessa moltiplicazione a entrambi i membri mantiene l'equazione in equilibrio.
Esercizio
Quale istruzione significa applicare una moltiplicazione per 5 sia al membro sinistro sia a quello destro dell'equazione?
- Add 5 to both sides of the equation.
- Divide both sides of the equation by 5.
- Multiply both sides of the equation by 5.
Mostra risposta
Multiply both sides of the equation by 5.
squared both sides: elevare entrambi i membri al quadrato
In squared both sides, square è un verbo che significa elevare alla seconda potenza. Ogni espressione completa, sia a sinistra sia a destra, viene moltiplicata per se stessa. Qui, both sides indica le due espressioni separate dal segno di uguale. Squaring non significa disegnare un quadrato né semplicemente moltiplicare ogni membro per 2.
Esercizio
Quale istruzione indica di elevare ogni membro completo di un'equazione alla seconda potenza?
- Multiply both sides of the equation by 2.
- Square both sides of the equation.
- Take the square root of both sides of the equation.
Mostra risposta
Square both sides of the equation.
Multiplying any number by 2 results in an even number, Espressioni
2:14Moltiplicare qualsiasi numero per 2 dà come risultato un numero pari,
results in an even number: esprimere un risultato
Result in significa “causare o produrre un determinato risultato”. Qui, moltiplicare per 2 è presentato come il processo, mentre un numero pari è il risultato. Qui result è un verbo, non un sostantivo. L’intera frase in -ing Multiplying any number by 2 funziona come un unico soggetto, quindi il verbo assume la forma singolare results.
Esercizio
Completa la frase con la forma corretta di result e una preposizione: Ignoring a small leak can ____ serious damage.
Mostra risposta
result in
had to be even: necessità logica
Had to be può esprimere una conclusione resa necessaria dalle prove o dalla logica. In questa frase, il ragionamento precedente non lascia altre possibilità: P al quadrato era necessariamente pari. Non descrive un ordine o una regola imposta al numero. Si usa la forma passata had perché la dimostrazione viene raccontata al passato, mentre so segnala che questa affermazione è la conclusione.
Esercizio
Che cosa significa had to be even in questa argomentazione matematica?
- Qualcuno preferiva che il numero fosse pari.
- Una regola imponeva che il numero fosse pari.
- La logica dimostrava che era impossibile che fosse dispari.
Mostra risposta
La logica dimostrava che era impossibile che fosse dispari.
That couldn't be true if P was odd, Grammatica
2:21Questo non poteva essere vero se P fosse stato dispari,
That couldn't be true if...: escludere una conclusione con una condizione
That rimanda alla conclusione precedente secondo cui il quadrato di P sarebbe pari. Couldn't be true indica che tale conclusione sarebbe logicamente impossibile; non parla della capacità di una persona. La proposizione con if fornisce la condizione che esclude la conclusione. La struttura X couldn't be true if Y aiuta a verificare un'ipotesi: se Y è vero, X non può essere vero nello stesso momento.
Esercizio
In questa frase, che cosa significa couldn't be true?
- Qualcuno non aveva la capacità di decidere se P fosse dispari.
- Se P fosse dispari, la conclusione precedente sarebbe logicamente impossibile.
- P aveva il permesso di scegliere un valore dispari.
Mostra risposta
Se P fosse dispari, la conclusione precedente sarebbe logicamente impossibile.
because an odd number times itself is always odd.
2:24perché un numero dispari moltiplicato per se stesso è sempre dispari.
where A is an integer: aggiungere una condizione a una variabile
Nella scrittura matematica, where A is an integer aggiunge una condizione alla variabile A dell'espressione precedente. Qui significa che A è un numero intero. In questo uso, where non indica un luogo. Permette di definire un simbolo o di indicare quali valori può assumere una variabile dopo aver presentato una formula.
Esercizio
Completa la frase matematica con una proposizione con where che indichi che n è un numero intero: Let x = 2n, ____.
Mostra risposta
where n is an integer
Substituting this into the equation and simplifying Espressioni
2:35Sostituendolo nell'equazione e semplificando
Substituting ... into the equation and simplifying: sostituire nell’equazione e semplificare
Substitute A into B significa sostituire con A la variabile o l’espressione corrispondente in B. Qui, this si riferisce a P = 2 * A, ottenuto nel passaggio precedente, mentre the equation è l’equazione in cui viene inserita quell’espressione. Le forme coordinate in -ing, Substituting ... and simplifying, presentano due passaggi di calcolo: prima si effettua la sostituzione, poi si semplifica l’espressione risultante. Questo tipo di frase procedurale è normalmente seguito da una proposizione principale che indica il risultato.
Esercizio
Quale frase descrive in modo naturale l’uso di x = 3 in 4x = y e la successiva semplificazione del risultato?
- For 4x = y, substituting the equation into x = 3 and simplifying gives y = 12.
- For 4x = y, simplifying x = 3 into the equation gives y = 12.
- For 4x = y, substituting x = 3 into the equation and simplifying gives y = 12.
Mostra risposta
For 4x = y, substituting x = 3 into the equation and simplifying gives y = 12.
must have been even ... as well: forte deduzione su uno stato precedente
Must have been + un aggettivo o un nome si usa per esprimere una forte conclusione logica su uno stato passato o già stabilito. Qui il ragionamento conclude prima che Q al quadrato fosse pari e poi che anche Q stesso fosse pari. Must esprime necessità logica, non obbligo. As well significa «anche» e aggiunge Q alla stessa conclusione. La ripetizione di must have been rende espliciti entrambi i passaggi del ragionamento.
Esercizio
Ascolta la frase in inglese e scegli ciò che senti. Concentrati sulla differenza tra must have been, must be e might have been.
- The gate might have been open.
- The gate must be open.
- The gate must have been open.
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The gate must have been open.
making both P and Q even: una costruzione in -ing che esprime il risultato
Making both P and Q even è una costruzione in -ing che indica il risultato del passaggio precedente del ragionamento. Significa che il fatto precedente fa sì che P e Q siano entrambi pari. La struttura è make + oggetto + aggettivo: l’oggetto è both P and Q e l’aggettivo è even. Qui make significa “far diventare o far essere in un certo stato”, non “creare”, mentre both ... and ... include sia P sia Q.
Esercizio
Completa la costruzione di risultato con la forma corretta di make: The teacher added a diagram, ____ the idea easier to understand.
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making
But if that was true, then...: indicare una condizione logica e il suo risultato
La struttura if ..., then ... separa una condizione dalla conclusione che ne deriva. Qui, that rimanda alla conclusione precedente secondo cui P e Q sono entrambi pari; se è vera, devono avere in comune il fattore 2. But segnala che questa nuova conclusione crea un problema per l’ipotesi precedente. Then è spesso facoltativo nei periodi ipotetici di uso quotidiano, ma è utile nelle dimostrazioni e nelle spiegazioni perché rende esplicito il passaggio logico successivo.
Esercizio
Completa il ragionamento condizionale con if ... then ...: ____ the battery is dead, ____ the device will not turn on.
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If · then
which contradicted the initial statement. Espressioni
2:57il che contraddiceva l'affermazione iniziale.
which contradicted the initial statement: riassumere un risultato incompatibile
La proposizione che inizia con which si riferisce al risultato o al fatto menzionato subito prima, non a initial statement. Aggiunge che quel risultato precedente era incompatibile con l'affermazione di partenza. In un ragionamento formale, contradict a statement significa che le due affermazioni non possono essere vere contemporaneamente. Qui initial statement è l'ipotesi presentata all'inizio dell'argomentazione.
Esercizio
Quale funzione svolge which contradicted the initial statement nell'argomentazione?
- Dice che il risultato precedente era in conflitto con l'affermazione iniziale.
- Dice che il risultato precedente sosteneva l'affermazione iniziale.
- Ripete l'affermazione iniziale con parole diverse.
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Dice che il risultato precedente era in conflitto con l'affermazione iniziale.
that's how Hippasus concluded: chiudere un processo con la sua conclusione
That's how + soggetto + verbo richiama un processo appena spiegato e lo presenta come il modo in cui è avvenuta l'azione. Qui, that's how Hippasus concluded significa che il ragionamento precedente ha portato Ippaso alla conclusione. Alla fine di una spiegazione, And that's how... chiude la sequenza e conduce l'ascoltatore al risultato, espresso qui nella proposizione con that dopo concluded. È un'affermazione sul metodo, non una domanda con how.
Esercizio
Dopo che uno scienziato ha spiegato l'intero processo di verifica, quale frase chiude naturalmente il processo e presenta la conclusione?
- That's why the scientists scheduled the test for Monday.
- That's when the scientists first arrived at the laboratory.
- That's how the scientists concluded that the water was safe.
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That's how the scientists concluded that the water was safe.
a proof by contradiction: dimostrare un'affermazione tramite un risultato impossibile
A proof by contradiction è un metodo di dimostrazione matematica. Si suppone temporaneamente che l'affermazione da dimostrare sia falsa. Se questa ipotesi porta necessariamente a un risultato logicamente impossibile, non può essere vera e l'affermazione originale deve quindi essere vera. Qui, That's called... assegna un nome formale al ragionamento appena presentato. Contradiction indica un'incompatibilità logica, non un disaccordo o un litigio tra persone.
Esercizio
Quale descrizione corrisponde meglio a a proof by contradiction?
- Ripetere l'affermazione con parole diverse.
- Supporre che l'affermazione sia falsa e mostrare che ciò conduce a un risultato impossibile.
- Controllare alcuni esempi e considerare lo schema una dimostrazione completa.
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Supporre che l'affermazione sia falsa e mostrare che ciò conduce a un risultato impossibile.
and according to the legend: indicare un racconto tradizionale come fonte
According to the legend è un indicatore della fonte: segnala che l'informazione successiva proviene da un racconto o da una credenza tradizionale. Non presenta l'informazione come un fatto storico verificato né come qualcosa che chi parla ha confermato personalmente. All'inizio di una proposizione, l'espressione indica all'ascoltatore come valutare tutto ciò che segue. L'and iniziale collega questo commento attribuito alla leggenda alla frase precedente.
Esercizio
Giudizio: L'espressione 'and according to the legend' significa che l'informazione seguente è stata verificata come fatto storico.
- Vero
- Falso
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Falso
the gods did not appreciate being contradicted. Modi di dire
3:08gli dèi non apprezzavano essere contraddetti.
did not appreciate being contradicted: disapprovazione espressa con moderazione
Qui, did not appreciate significa che qualcosa non piacque o non fu ben accolto, non semplicemente che mancò la gratitudine. È un modo indiretto ma fermo per dire che essere contraddetti infastidì gli dei. In being contradicted, gli dei ricevono l'azione; questa forma è chiamata gerundio passivo. La formulazione crea un umorismo impassibile. Contradiction passa dall'idea matematica di proof by contradiction all'azione quotidiana di dire a qualcuno che ha torto, mentre did not appreciate minimizza deliberatamente l'ira degli dei.
Esercizio
Usa contradict al gerundio passivo per completare la frase: The manager did not appreciate ____ in front of the team.
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being contradicted
even though we can't express irrational numbers as ratios of integers, Grammatica
3:12sebbene non possiamo esprimere i numeri irrazionali come rapporti di interi,
even though we can't express...: introdurre una concessione
Even though presenta un fatto vero e indica che l'idea principale si realizza nonostante quel fatto. Questa relazione si chiama concessione. Qui, il fatto riconosciuto è che i numeri irrazionali non possono essere espressi come rapporti tra numeri interi. Poiché questo frammento termina con una virgola, il pensiero non è ancora completo; ci si aspetta una proposizione principale che dica che cosa resta vero o possibile. Even though ha un significato simile ad although, non a because.
Esercizio
Scegli il connettivo che esprime concessione: ___ the backpack is heavy, Maya carries it to school every day.
- Because
- Even though
- So that
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Even though
it is possible to precisely plot some of them on the number line. Grammatica
3:16è possibile tracciarne alcuni con precisione sulla retta numerica.
It is possible to precisely plot...: esprimere la fattibilità in modo oggettivo
In It is possible to + forma base del verbo, it è un soggetto formale senza un referente preciso. Il contenuto vero e proprio si trova nella proposizione infinitiva: to precisely plot some of them on the number line. La frase afferma che l’azione può essere eseguita senza specificare chi la compie. Precisely modifica plot, quindi si parla di collocare i punti in posizioni esatte. Mettere l’avverbio tra to e plot è naturale in inglese.
Esercizio
Quale frase usa correttamente la struttura con it come soggetto formale per affermare che un’azione può essere eseguita?
- It is possibility to measure the room accurately with this device.
- It can possible measure the room accurately with this device.
- It is possible to measure the room accurately with this device.
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It is possible to measure the room accurately with this device.
All we need to do is form a right triangle Note
3:21Tutto ciò che dobbiamo fare è formare un triangolo rettangolo
All we need to do is form...: evidenziare l’unica azione necessaria
All we need to do is... significa “l’unica azione necessaria è...”. La proposizione All we need to do presenta il compito necessario come soggetto, mentre la parte dopo is specifica l’azione. È utile per ridurre un procedimento a un unico passaggio fondamentale. Poiché do rappresenta già l’azione necessaria, nell’inglese standard si usa comunemente la forma base del verbo dopo is: All we need to do is form..., non forms o formed.
Esercizio
Usa la forma base save per completare la struttura d’azione: All we need to do is ____ the file before closing the app.
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save
right triangle: un triangolo con un angolo di 90 gradi
Un right triangle è un triangolo con un angolo di 90 gradi. In questo termine geometrico, right significa che forma un angolo retto, non corretto o situato a destra. Il termine identifica il tipo di triangolo: è quello che ha un'ipotenusa opposta all'angolo di 90 gradi.
Esercizio
Quale significato di right triangle è adatto alla frase?
- Un triangolo con tutti e tre i lati uguali.
- Un triangolo situato sul lato destro.
- Un triangolo con un angolo di 90 gradi.
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Un triangolo con un angolo di 90 gradi.
hypotenuse has a length of √2: indicare la lunghezza di un lato
La hypotenuse è il lato opposto all'angolo di 90 gradi in un triangolo rettangolo. In questa frase, è il lato la cui lunghezza è √2. La struttura has a length of + misura esprime una dimensione in modo naturale: has a length of √2 significa che è lungo √2 unità. Qui has non indica possesso.
Esercizio
Quale frase dice in modo naturale che l'ipotenusa è lunga cinque unità?
- The hypotenuse is length with five units.
- The hypotenuse owns a length of five units.
- The hypotenuse has a length of five units.
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The hypotenuse has a length of five units.
can be extended along the line: can + forma passiva
In can be extended, can esprime una possibilità, mentre be + il participio passato extended forma il passivo. Un agente non espresso può allungare o continuare il segmento; il segmento non compie l'azione da solo. along the line indica il percorso o la direzione del prolungamento. La struttura riutilizzabile è can be + participio passato quando qualcosa può ricevere un'azione e non è importante specificare chi la compie.
Esercizio
Usa la forma passiva di extend per completare la frase: The marked segment ____ along the ruler if more space is needed.
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can be extended
with a base of that length and a 1 unit height, Espressioni
3:35con una base di quella lunghezza e un'altezza di 1 unità,
with a base of that length and a 1 unit height: with per esprimere proprietà
Qui, with significa «che ha» e introduce un sintagma nominale che aggiunge due proprietà a una figura: una base della lunghezza menzionata prima e un'altezza di 1 unità. that length rimanda alla lunghezza √2 stabilita subito prima. La struttura riutilizzabile with + sintagma nominale permette di aggiungere in modo compatto caratteristiche o misure a un oggetto, invece di usare un'altra proposizione come that has....
Esercizio
Quale frase usa naturalmente with per descrivere le dimensioni di una figura?
- Draw a rectangle with a width of four units and a height of two units.
- Draw a rectangle together a width of four units and a height of two units.
- Draw a rectangle with being four units wide and a height of two units.
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Draw a rectangle with a width of four units and a height of two units.
that decimals and ratios are only ways to express numbers. Discorso
3:45che i decimali e le frazioni sono solo modi per esprimere i numeri.
The key here is that: segnalare il punto principale
La struttura The key here is that + proposizione segnala all’ascoltatore che quella proposizione contiene l’idea più importante per capire la questione attuale. In questo uso, key significa “punto essenziale”, non una chiave fisica. Here significa “nella questione di cui si sta parlando”, non necessariamente un luogo. L’intera struttura organizza le informazioni spostando l’attenzione dai dettagli al punto centrale.
Esercizio
Completa la frase con la struttura obiettivo che segnala il punto centrale: ____ both plans require the same amount of time.
Mostra risposta
The key here is that
only ways to express numbers: rappresentazione, non esclusività
In are only ways to express numbers, only limita il ruolo dei decimali e dei rapporti: vengono presentati come metodi di rappresentazione, non come i numeri stessi né come elementi che creano i numeri. L’infinito to express numbers modifica ways e indica lo scopo di quei modi. Lo schema be only a way to + verbo può classificare qualcosa come un semplice mezzo per fare qualcos’altro.
Esercizio
Quale interpretazione corrisponde a only ways nella frase?
- Creano i numeri che rappresentano.
- Sono gli unici metodi di rappresentazione possibili.
- Sono metodi di rappresentazione, senza affermare che non esistano altri metodi.
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Sono metodi di rappresentazione, senza affermare che non esistano altri metodi.
simply is the hypotenuse: identificare direttamente √2
In questa frase, simply significa «semplicemente» o «in sostanza». Modifica is e presenta un’identificazione diretta: √2 è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo rettangolo descritto, non soltanto un’approssimazione di tale lunghezza. Mettere simply prima di is riorganizza la spiegazione. Si passa da un simbolo astratto a una quantità geometrica concreta e si dice a chi ascolta: «questo è ciò a cui il simbolo si riferisce davvero».
Esercizio
Qual è la funzione di simply is nell’esempio?
- Suggerisce che le due cose siano solo approssimativamente simili.
- Identifica direttamente una cosa con l’altra.
- Dice che il calcolo è facile da eseguire.
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Identifica direttamente una cosa con l’altra.
the famous irrational number pi is always equal to exactly what it represents, Grammatica
3:55il famoso numero irrazionale pi greco è sempre esattamente uguale a ciò che rappresenta,
equal to exactly what it represents: una proposizione con what come complemento
La proposizione what it represents significa «la cosa o il valore che rappresenta». È una relativa libera: what contiene già l’idea di «ciò che». Qui, it si riferisce a pi e l’intera proposizione funge da complemento di to in equal to. La proposizione usa l’ordine di un’affermazione: what + soggetto + verbo, non quello di una domanda. Exactly sottolinea che pi è identico al valore matematico preciso indicato dal simbolo, anche se un decimale come 3.14 è soltanto un’approssimazione.
Esercizio
Quale frase usa correttamente una proposizione con what dopo equal to?
- The total is equal to what the display shows.
- The total is equal what the display shows.
- The total is equal to what does the display show.
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The total is equal to what the display shows.
the ratio of a circle's circumference to its diameter. Cultura
4:00il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.
the ratio of a circle's circumference to its diameter: il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio
L’espressione the ratio of A to B significa A diviso per B. Qui la circonferenza di un cerchio viene divisa per il suo diametro; questo rapporto costante è pi (π). La circonferenza è la distanza intorno al cerchio. Il diametro è la distanza in linea retta che attraversa il centro del cerchio, non il raggio.
Esercizio
Completa la definizione di pi: Pi is the ratio of a circle's ____ to its ____.
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circumference · diameter
Approximations like 22 over 7 or 355 over 113 Lessico
4:04Approssimazioni come 22 fratto 7 o 355 fratto 113
Approximations like 22 over 7 or 355 over 113: approssimazioni come 22/7 o 355/113
La parola approximations indica valori vicini a un valore di riferimento, ma non esattamente uguali a esso. Qui, 22 over 7 e 355 over 113 sono vicini a pi, ma nessuna delle due frazioni è pi. Qui, like significa such as e introduce degli esempi; non è il verbo che significa apprezzare o gradire. Nel linguaggio matematico orale, over indica una frazione: si legge prima il numeratore e poi il denominatore. 22 over 7 significa 22/7.
Esercizio
Che cosa significa la frase in questo contesto?
- Frazioni come 22/7 e 355/113 sono vicine a pi, ma non sono esattamente pi.
- 22/7 e 355/113 sono due valori esatti di pi.
- A qualcuno piacciono i numeri 22/7 e 355/113.
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Frazioni come 22/7 e 355/113 sono vicine a pi, ma non sono esattamente pi.
will never precisely equal pi: uguaglianza esatta e approssimazione
Will never presenta il risultato come certo: nessun calcolo futuro né l'uso continuato del valore lo renderà uguale a pi. Qui l'espressione può indicare un fatto matematico permanente, non soltanto una previsione. Precisely modifica equal e significa “senza alcuna differenza”. Quindi never precisely equal permette che un valore sia estremamente vicino a pi; esclude l'uguaglianza esatta, non l'approssimazione.
Esercizio
Che cosa significa will never precisely equal pi?
- Il valore deve essere molto lontano da pi.
- Il valore può essere vicino a pi, ma non è esattamente uguale a pi.
- Il valore non può essere confrontato in alcun modo con pi.
Mostra risposta
Il valore può essere vicino a pi, ma non è esattamente uguale a pi.
We'll never know what really happened to Hippasus, Grammatica
4:13Non sapremo mai cosa sia successo veramente a Ippaso,
know what really happened: ordine neutro dell'interrogativa indiretta
La proposizione what really happened to Hippasus è un'interrogativa indiretta e funziona come complemento oggetto di know. In un'interrogativa indiretta neutra si usa l'ordine della frase dichiarativa, invece di aggiungere l'inversione con l'ausiliare presente in molte domande dirette. Qui what è il soggetto di happened, quindi la forma neutra naturale è what really happened, senza did. Happen to someone significa che un evento o un'esperienza ha coinvolto quella persona.
Esercizio
Quale frase usa la forma neutra dell'interrogativa indiretta dopo tell me?
- Can you tell me what did really happen to the package?
- Can you tell me what to the package happened?
- Can you tell me what happened to the package?
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Can you tell me what happened to the package?
is that his discovery revolutionized mathematics. Lessico
4:17è che la sua scoperta ha rivoluzionato la matematica.
what we do know is that: enfasi su una conclusione certa
What we do know significa «ciò che sappiamo con certezza». Qui do è un ausiliare enfatico posto prima di know. Non significa «compiere un’azione»; rafforza l’affermazione positiva. L’intera proposizione con what viene prima di is, mentre la proposizione con that specifica ciò che è noto. Lo schema riutilizzabile What we do know is that + proposizione sposta l’attenzione dall’incertezza a una conclusione presentata come affidabile.
Esercizio
Completa la frase con l’ausiliare enfatico che presenta la conclusione come certa: Although the cause is still unclear, what we ____ know is that the system is safe.
Mostra risposta
do
discovery revolutionized mathematics: cambiamento fondamentale di un campo
In his discovery revolutionized mathematics, la scoperta provoca il cambiamento e la matematica è il campo interessato. Revolutionized significa che quel campo è cambiato in modo fondamentale e di vasta portata. È un uso figurato, non un riferimento a una rivoluzione politica. Rispetto a changed, presenta la scoperta come una svolta che ha rimodellato idee, metodi o sviluppi successivi.
Esercizio
Quale verbo completa meglio la frase se il cambiamento è stato fondamentale e ha rimodellato l’intero campo? The new imaging technique ___ medical diagnosis.
- described
- revolutionized
- improved
Mostra risposta
revolutionized
Whatever the myths may say: concessione con whatever...may...
Whatever the myths may say è una proposizione concessiva che significa qualunque cosa dicano i miti. Riconosce che possono esistere affermazioni diverse, ma indica che la conclusione principale non dipenderà da esse. La struttura è whatever + soggetto + may + forma base del verbo. Qui may comprende diverse affermazioni possibili; non esprime permesso. So collega la concessione al ragionamento precedente di chi parla.
Esercizio
Quale frase usa whatever...may... per indicare che una decisione non cambierà?
- I know what the reviews may say about the book.
- Whatever the reviews may say, I'll judge the book for myself.
- Because the reviews are positive, I'll buy the book.
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Whatever the reviews may say, I'll judge the book for myself.
don't afraid to explore the impossible. Grammatica
4:22non abbiate paura di esplorare l'impossibile.
don't afraid to → don't be afraid to: serve be
La parte evidenziata è incompleta nell'inglese standard. Bisogna dire Don't be afraid to explore the impossible. In un comando negativo, don't è seguito da un verbo alla forma base, quindi dopo don't deve esserci be. Afraid è un aggettivo. Il verbo copulativo be collega il soggetto sottinteso you ad afraid. La struttura riutilizzabile è Don't be afraid to + forma base del verbo e serve a incoraggiare qualcuno ad agire anche se l'azione sembra spaventosa o difficile.
Esercizio
Completa l'espressione standard con una parola: Don't ____ afraid to ask for help.
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be