Matrici non quadrate come trasformazioni tra dimensioni | Capitolo 8, L'essenza dell'algebra lineare: appunti per imparare l’inglese

Hey everyone,

Ciao a tutti,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Discorso

oggi ho un'altra rapida nota a margine per voi tra un capitolo e l'altro.

When I've talked about linear transformations so far,

Finora, quando ho parlato di trasformazioni lineari,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

ho parlato quasi solo di trasformazioni da vettori 2D ad altri vettori 2D

represented with 2x2 matrices

rappresentate con matrici 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

o da vettori 3D ad altri vettori 3D

represented with 3x3 matrices.

rappresentate con matrici 3x3.

But several commenters have asked about non-square matrices, Cultura

Ma diversi commentatori hanno chiesto informazioni sulle matrici non quadrate,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Note

quindi ho pensato di prendermi un momento per mostrare cosa significano geometricamente.

By now in the series,

A questo punto della serie,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Espressioni

in realtà avete gran parte delle conoscenze necessarie per iniziare a riflettere su una domanda del genere da soli,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Note

ma inizierò a parlarne giusto per darvi un po' di slancio mentale.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Espressioni

È perfettamente ragionevole parlare di trasformazioni tra dimensioni diverse,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

come una che porta vettori 2D in vettori 3D.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Grammatica

Ancora una volta, ciò che rende una di queste lineare è che le linee della griglia rimangono parallele e uniformemente distanziate

and that the origin maps to the origin. Lessico

e che l'origine viene mappata nell'origine.

What I have pictured here is the input space on the left, Note

Quello che ho illustrato qui è lo spazio di input sulla sinistra,

which is just 2D space,

che è semplicemente lo spazio 2D,

and the output of the transformation shown on the right.

e l'output della trasformazione mostrato sulla destra.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Grammatica

Il motivo per cui non sto mostrando gli input che si spostano verso gli output come faccio di solito

is not just animation laziness.

non è solo per pigrizia nell'animazione.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Note

Vale la pena sottolineare che gli input di vettori 2D sono animali molto diversi rispetto a questi output di vettori 3D

living in a completely separate unconnected space.

che vivono in uno spazio completamente separato e non connesso.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Espressioni

Codificare una di queste trasformazioni con una matrice è in realtà la stessa cosa che abbiamo fatto in precedenza.

You look at where each basis vector lands Note

Si guarda dove atterra ciascun vettore di base

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Espressioni

e si scrivono le coordinate dei punti di atterraggio come le colonne di una matrice.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Per esempio, quello che state guardando qui è un output di una trasformazione che porta i-hat

to the coordinates 2 -1 -2

alle coordinate 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

e j-hat alle coordinate 0 1 1.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Discorso

Notate che questo significa che la matrice che codifica la nostra trasformazione ha tre righe e due colonne,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Note

il che, per usare la terminologia standard, la rende una matrice 3x2.

In the language of last video, Discorso

Nel linguaggio del video precedente,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Cultura

lo spazio dei vettori colonna di questa matrice, il luogo in cui atterrano tutti i vettori,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Lessico

è un piano 2D che taglia l'origine dello spazio 3D.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Cultura

Ma la matrice è ancora a rango massimo poiché il numero di dimensioni in questo spazio dei vettori colonna

is the same as the number of dimensions of the input space.

è uguale al numero di dimensioni dello spazio di input.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Note

Quindi, se vedete una matrice 3x2 in natura,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

potete sapere che ha l'interpretazione geometrica di mappare due dimensioni in tre dimensioni.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Poiché le due colonne indicano che lo spazio di input ha due vettori di base

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

e le tre righe indicano che i punti di atterraggio per ciascuno di quei vettori di base

is described with three separate coordinates.

sono descritti con tre coordinate separate.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

Allo stesso modo, se vedete una matrice 2x3 con due righe e tre colonne,

what do you think that means?

cosa pensate che significhi?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Beh, le tre colonne indicano che state partendo da uno spazio che ha tre vettori di base,

so we're starting in three dimensions.

quindi stiamo partendo da tre dimensioni.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

E le due righe indicano che il punto di atterraggio per ciascuno di questi tre vettori di base

is described with only two coordinates,

è descritto con solo due coordinate,

so they must be landing in two dimensions. Grammatica

quindi devono atterrare in due dimensioni.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Cultura

Pertanto, è una trasformazione dallo spazio 3D al piano 2D.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Modi di dire

Una trasformazione che dovrebbe sembrare molto scomoda se immaginate di subirla.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

Potreste anche avere una trasformazione da due dimensioni a una dimensione.

One-dimensional space is really just the number line, Cultura

Lo spazio unidimensionale è in realtà solo la retta dei numeri,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Phrasal verbs

quindi una trasformazione di questo tipo prende vettori 2D e sputa fuori dei numeri.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Lessico

Pensare alle linee della griglia che rimangono parallele e uniformemente distanziate è un po' confusionario a causa di tutto lo schiacciamento che avviene qui.

So, in this case,

Quindi, in questo caso,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Grammatica

la comprensione visiva di cosa significhi la linearità è che se avete una linea di punti uniformemente distanziati,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

rimarrebbero uniformemente distanziati una volta mappati sulla retta dei numeri.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

Una di queste trasformazioni è codificata con una matrice 1x2,

each of whose two columns has just a single entry. Note

in cui ciascuna delle due colonne ha una sola voce.

The two columns represent where the basis vectors land,

Le due colonne rappresentano dove atterrano i vettori di base,

and each one of those columns requires just one number,

e ciascuna di queste colonne richiede solo un numero,

the number that that basis vector landed on.

il numero su cui è atterrato quel vettore di base.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Espressioni

Questo è in realtà un tipo di trasformazione sorprendentemente significativo con stretti legami col prodotto scalare,

and I'll be talking about that next video.

e ne parlerò nel prossimo video.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Note

Fino ad allora, vi incoraggio a giocare con questa idea per conto vostro,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

contemplando i significati di cose come la moltiplicazione di matrici e i sistemi di equazioni lineari

in the context of transformations between different dimensions. Espressioni

nel contesto delle trasformazioni tra dimensioni diverse.

Have fun.

Buon divertimento.