I quaternioni e la rotazione 3D, spiegati in modo interattivo: appunti per imparare l’inglese

In a moment, I'll point you to a separate website hosting a short sequence of what we're calling explorable videos. Lessico

Tra un momento vi indicherò un sito web separato che ospita una breve sequenza di quelli che chiamiamo video esplorabili.

It was done in collaboration with Ben Eater, Espressioni

È stato realizzato in collaborazione con Ben Eater,

who some of you may know is that guy who runs the excellent computer engineering channel.

che alcuni di voi potrebbero conoscere come quel ragazzo che gestisce l'eccellente canale di ingegneria informatica.

And if you don't know who he is,

E se non sapete chi sia,

viewers of this channel would certainly enjoy the content of his.

gli spettatori di questo canale apprezzeranno sicuramente i suoi contenuti.

So do check it out. Note

Quindi andate a dargli un'occhiata.

This collaboration was something a little different though,

Questa collaborazione è stata però qualcosa di un po' diverso,

for both of us.

per entrambi.

And all of the web development that made these explorable videos possible

E tutto lo sviluppo web che ha reso possibili questi video esplorabili

is completely thanks to Ben.

è interamente merito di Ben.

I don't want to say too much about it here.

Non voglio dire troppo al riguardo qui.

It's really something you have to experience for yourself.

È davvero qualcosa che dovete sperimentare di persona.

Certainly one of the coolest projects I've had the pleasure of working on. Espressioni

Sicuramente uno dei progetti più belli a cui ho avuto il piacere di lavorare.

Before that though,

Prima di ciò, però,

if you can contain your excitement, Intento

se riuscite a trattenere l'entusiasmo,

I want to use this video as a chance to tee things up with a little bit of surrounding context. Phrasal verbs

voglio usare questo video come un'opportunità per preparare il terreno con un po' di contesto generale.

So to set the stage, Modi di dire

Quindi, per preparare la scena,

last video I described quaternions,

nello scorso video ho descritto i quaternioni,

a certain four-dimensional number system

un certo sistema numerico quadridimensionale

that the 19th century versions of Wolverine and the old man from Home Alone

che le versioni del diciannovesimo secolo di Wolverine e del vecchio di Mamma, ho perso l'aereo

called evil for how convoluted it seemed at the time.

chiamavano malvagio per quanto sembrasse contorto all'epoca.

And perhaps you too are wondering

E forse anche voi vi state chiedendo

why on earth anyone would bother with such an alien seeming number system. Note

perché mai qualcuno dovrebbe preoccuparsi di un sistema numerico che sembra così alieno.

Well,

Beh,

one of the big reasons,

uno dei motivi principali,

especially for programmers,

soprattutto per i programmatori,

is that they give a really nice way for describing 3D orientation,

è che forniscono un ottimo modo per descrivere l'orientamento 3D,

which is not susceptible to the bugs and edge cases of other methods. Note

che non è suscettibile ai bug e ai casi limite di altri metodi.

I mean,

Voglio dire,

they're interesting mathematically for a lot of reasons,

sono matematicamente interessanti per molti motivi,

but this application for computer graphics and robotics and virtual reality

ma questa applicazione per la computer grafica, la robotica, la realtà virtuale

and anything involving 3D orientation is probably the biggest use case for quaternions. Lessico

e qualsiasi cosa coinvolga l'orientamento 3D è probabilmente il principale caso d'uso per i quaternioni.

To take one example, Discorso

Per fare un esempio,

a friend of mine who used to work at Apple, Grammatica

un mio amico che lavorava in Apple,

Andy Matuschak,

Andy Matuschak,

delighted in telling me about shipping code to hundreds of millions of devices that uses quaternions to track the phone's model for how it's oriented in space. Lessico

si divertiva a raccontarmi della distribuzione di codice su centinaia di milioni di dispositivi che usa i quaternioni per tracciare il modello del telefono e il modo in cui è orientato nello spazio.

That's right.

Esatto.

Your phone almost certainly has software running somewhere inside of it that relies on quaternions.

Il vostro telefono ha quasi certamente un software in esecuzione da qualche parte al suo interno che si basa sui quaternioni.

The thing is, Discorso

Il fatto è,

there are other ways to think about computing rotations,

che ci sono altri modi per pensare al calcolo delle rotazioni,

many of which are way simpler to think about than quaternions. Grammatica

molti dei quali sono molto più semplici da pensare rispetto ai quaternioni.

For example,

Per esempio,

any of you familiar with linear algebra will know that 3 x 3 matrices can really nicely describe 3D transformations. Grammatica

chiunque di voi abbia familiarità con l'algebra lineare saprà che le matrici 3 x 3 possono descrivere molto bene le trasformazioni 3D.

And a common way that many programmers think about constructing a rotation matrix for a desired orientation

E un modo comune in cui molti programmatori pensano di costruire una matrice di rotazione per un orientamento desiderato

is to imagine rotating an object around three easy to think about axes,

è immaginare di ruotare un oggetto attorno a tre assi facili da immaginare,

where the relevant angles for these rotations are commonly called Euler angles.

dove gli angoli rilevanti per queste rotazioni sono comunemente chiamati angoli di Eulero.

And this mostly works,

E questo per lo più funziona,

but one big problem is that it's vulnerable to something called gimbal lock,

ma un grosso problema è che è vulnerabile a qualcosa chiamato blocco cardanico,

where when two of your axes of rotation get lined up, Phrasal verbs

in cui quando due dei tuoi assi di rotazione si allineano,

you lose a degree of freedom. Lessico

perdi un grado di libertà.

And it can also cause difficulties and ambiguities

E può anche causare difficoltà e ambiguità

when trying to interpolate between two separate orientations. Espressioni

quando si cerca di interpolare tra due orientamenti separati.

If you're curious for more of the details,

Se siete curiosi di conoscere maggiori dettagli,

there are many great sources online for learning about Euler angles and gimbal lock,

ci sono molte ottime fonti online per imparare sugli angoli di Eulero e il blocco cardanico,

and I've left links in the description to a few of them.

e ho lasciato i link nella descrizione ad alcune di esse.

Not only do quaternions avoid issues like gimbal lock, Grammatica

Non solo i quaternioni evitano problemi come il blocco cardanico,

they give a really seamless way to interpolate between two three-dimensional orientations,

ma forniscono un modo davvero fluido per interpolare tra due orientamenti tridimensionali,

one which lacks the ambiguities of Euler angles, Grammatica

uno che manca delle ambiguità degli angoli di Eulero,

and which avoids the issues of numerical precision and normalization

e che evita i problemi di precisione numerica e normalizzazione

that arise in trying to interpolate between two rotation matrices.

che sorgono nel tentativo di interpolare tra due matrici di rotazione.

To warm up to the idea of how multiplication in some higher-dimensional number system Phrasal verbs

Per riscaldarsi con l'idea di come la moltiplicazione in qualche sistema numerico a dimensione superiore

might be used to compute rotations,

possa essere usata per calcolare le rotazioni,

take a moment to remember how it is that complex numbers give a slick method for computing 2D rotations. Grammatica

prendetevi un momento per ricordare come i numeri complessi forniscano un metodo ingegnoso per calcolare le rotazioni 2D.

Specifically,

Nello specifico,

let's say you have some point in two-dimensional space, Discorso

supponiamo di avere un punto nello spazio bidimensionale,

like 4 1,

come (4, 1),

and you want to know the new coordinates you'd get if you rotate this point 30 degrees around the origin. Grammatica

e di voler conoscere le nuove coordinate che otterreste ruotando questo punto di 30 gradi attorno all'origine.

Complex numbers give sort of a snazzy way to do this.

I numeri complessi offrono un modo piuttosto elegante per farlo.

You take the complex number that's 30 degrees off the horizontal with magnitude one,

Prendete il numero complesso che è a 30 gradi rispetto all'orizzontale con magnitudine uno,

cosine 30 degrees plus sine of 30 degrees times I,

coseno di 30 gradi più seno di 30 gradi per I,

and then you just multiply this by your point,

e poi moltiplicate semplicemente questo per il vostro punto,

represented as a complex number.

rappresentato come un numero complesso.

The only rule you need to know to carry out this computation is that I squared equals negative one. Phrasal verbs

L'unica regola che dovete conoscere per eseguire questo calcolo è che I al quadrato è uguale a meno uno.

And then,

E poi,

in what might feel like a bit of black magic to those first learning it, Note

in quella che potrebbe sembrare un po' di magia nera a chi lo impara per la prima volta,

carrying out this product from that one simple rule gives the coordinates of a new point,

eseguire questo prodotto da quella singola semplice regola dà le coordinate di un nuovo punto,

the point rotated 30 degrees from the original.

il punto ruotato di 30 gradi rispetto all'originale.

Using quaternions to describe 3D rotations is similar,

L'utilizzo dei quaternioni per descrivere le rotazioni 3D è simile,

though the look and feel is slightly different. Espressioni

sebbene l'aspetto e l'approccio siano leggermente diversi.

Let's say you want to rotate some angle about some axis.

Supponiamo che vogliate ruotare di un certo angolo attorno a un certo asse.

You first define that axis with a unit vector,

Per prima cosa definite quell'asse con un vettore unitario,

which we'll write as having I, J, and K components,

che scriveremo come avente componenti I, J e K,

normalized so that the sum of the squares of those components is one. Lessico

normalizzato in modo che la somma dei quadrati di questi componenti sia uno.

Similar to the case of complex numbers, Discorso

Similmente al caso dei numeri complessi,

you use the angle to construct a quaternion by taking cosine of that angle as the real part,

usate l'angolo per costruire un quaternione prendendo il coseno di quell'angolo come parte reale,

plus sine of that angle times an imaginary part,

più il seno di quell'angolo per una parte immaginaria,

except this time the imaginary part has three components,

solo che questa volta la parte immaginaria ha tre componenti,

the coordinates of our axis of rotation.

le coordinate del nostro asse di rotazione.

Well, Discorso

Beh,

actually you take half of the angle,

in realtà prendete metà dell'angolo,

which might feel totally arbitrary,

il che potrebbe sembrare totalmente arbitrario,

but hopefully that's going to make some sense by the end of this whole experience.

ma speriamo che abbia un senso alla fine di tutta questa esperienza.

Now let's say you have some 3D point,

Ora supponiamo di avere un punto 3D,

which we'll write with I, J, K components,

che scriveremo con i componenti I, J, K,

and you want to know the coordinates that you'd get when you rotate this point by your specified angle around your specified axis.

e vogliate sapere le coordinate che otterreste ruotando questo punto dell'angolo specificato attorno all'asse specificato.

What you do is not just a single quaternion product, Grammatica

Quello che fate non è un singolo prodotto di quaternioni,

but a sort of quaternion sandwich, Modi di dire

ma una sorta di sandwich di quaternioni,

where you multiply by Q from the left Espressioni

dove moltiplicate per Q da sinistra

and the inverse of Q from the right.

e per l'inverso di Q da destra.

If you know the rules for how I, J, and K multiply amongst themselves,

Se conoscete le regole su come I, J e K si moltiplicano tra loro,

you can carry out these two products by expanding everything out,

potete eseguire questi due prodotti espandendo tutto,

or more realistically by having a computer do it for you.

o, in modo più realistico, facendolo fare a un computer per voi.

And in what might feel like a bit of black magic,

E in quella che potrebbe sembrare un po' di magia nera,

this big computation will return for you the rotated version of the point.

questo grande calcolo vi restituirà la versione ruotata del punto.

Our goal is to break this down Phrasal verbs

Il nostro obiettivo è scomporre tutto questo

and visualize what's happening with each of these two products.

e visualizzare cosa sta succedendo con ciascuno di questi due prodotti.

I'll review the method for thinking about quaternion multiplication described last video

Rivedrò il metodo per pensare alla moltiplicazione dei quaternioni descritto nello scorso video

and explain why half the angle is used

e spiegherò perché viene usata la metà dell'angolo

and why you would multiply from the right by the inverse.

e perché dovreste moltiplicare da destra per l'inverso.

On the screen now and at the top of the description,

Sullo schermo ora e in cima alla descrizione,

you'll find a link to eater.net/quaternions,

troverete un link a eater.net/quaternions,

which is where Ben set up the explorable video tutorial where I explain what's going on with this rotation computation.

che è dove Ben ha allestito il tutorial video esplorabile in cui spiego cosa sta succedendo con questo calcolo della rotazione.

It's just really cool.

È davvero fantastico.

Eater did something awesome here.

Eater ha fatto qualcosa di straordinario qui.

So at the very least, Espressioni

Quindi, come minimo,

just take a couple minutes to go look at it.

prendetevi un paio di minuti per andare a vederlo.

But I'd love it if you went through the full experience. Intento

Ma mi piacerebbe se viveste l'esperienza completa.