数学の中心にあるパラドックス：ゲーデルの不完全性定理 - マーカス・デュ・ソートイ：英語学習ノート

分析する文を提示するための目標表現を完成させてください：____: "Water freezes at zero degrees Celsius."

この問題で “This statement is false.” がパラドックスになるのはなぜですか。

1. “This statement” が文そのものを指しているから。
2. “false” は数学でしか使えない単語だから。
3. この文には主語がないから。

「それが本当なら」という意味の、このレッスンで学んだ2語の表現を入れて文を完成させてください：The library may still be open. ____, we can return the books tonight.

would make + 目的語 + 形容詞を使って、仮定の結果を完成させてください：Removing the warning label ____ the box unsafe.

if ... then ... を使って論理文を完成させてください：____ a number ends in zero, ____ it is divisible by ten.

by と read の -ing 形を使って文を完成させてください：____ the instructions carefully, Mia finished the project correctly.

an unresolvable paradox と呼ぶのに最も適した状況はどれですか。

1. ある規則によって同じ命題が真にも偽にもなり、その規則内には解決方法がありません。
2. 数学の問題は難しいですが、答えはすでに分かっています。
3. まだ誰も確認していないため、質問への回答が出ていません。

この文脈で、強調された疑問文が話の流れの中で果たす主な役割は何ですか。

1. 通常の真偽による分類が成り立たないことを示し、次の考えへつなげます。
2. その命題が物理的にどこにあるのかを尋ねます。
3. その命題は間違いなく偽だと発表します。

やわらげた第一印象を示す3語の目標表現で文を完成させてください：This shortcut ____ a good idea, but it creates more work.

現実に実施する実験ではなく、思考実験に当たるものはどれですか。

1. Imagine that nobody needed sleep and reason through how schools and jobs would change.
2. Plant two seeds and record which one grows faster.
3. Measure how long three batteries power the same flashlight.

lead の過去形と必要な前置詞を使って文を完成させてください：A strange clue ____ the detective ____ an important discovery.

She found an idea that would change her life という文で、would change は何を表していますか？

1. まだ起きていない変化についての、現在からの予測。
2. 物語の以前の時点から見た、後に起きる変化。
3. その考えに人生を変えてもらうための丁寧な依頼。

have to do with の過去形を使って文を完成させてください：The delay ____ a damaged cable.

個々の証明の誤りではなく、証明体系が何を証明できるかという境界を意味する表現はどれですか？

1. mistakes in mathematical proofs
2. steps in mathematical proofs
3. limitations of mathematical proofs

「用語 + is + カテゴリー + 機能を説明するthat節」という同じ情報の組み立て方を使っている文はどれですか。

1. An algorithm is a set of steps that solves a specific problem.
2. An algorithm can solve a specific problem very quickly.
3. Can an algorithm solve this specific problem?

文に組み込まれた why節で正しい語順を使っている文はどれですか。

1. Why was the answer correct?
2. The teacher explained why was the answer correct.
3. The teacher explained why the answer was correct.

「基本要素」を意味する、このレッスンの2語の表現で文を完成させてください：Trust and communication are the ____ of a strong team.

受動態の命名表現 be called を使って文を完成させてください：Closed shapes with three sides ____ triangles.

the numbers involved という表現で、involved はどの意味ですか？

1. 計算するのが難しい数
2. その事柄に関係する数
3. すでに証明された数

from ... to ... を使って文を完成させ、範囲全体を示してください：The workshop welcomes participants ____ complete beginners ____ experienced designers.

built と constructed を使って文を完成させてください：The platform is ____ open-source technology and ____ reusable modules.

能力の直接的な断定や義務ではなく、条件に基づく能力への合理的な期待を表している文はどれですか。

1. If the code is correct, the user should be able to sign in.
2. If the code is correct, the user can sign in.
3. If the code is correct, the user must sign in.

「正しいと証明する、または誤りだと証明する」という意味の、このレッスンの対になった表現を入れてください：A second measurement could ____ the scientist's claim.

「少しの疑いもなく」という意味の、このレッスンの表現を入れてください：After checking the original file, Maya could identify the author ____.

「その専門分野で働き始めた」という意味になる、このレッスンの3語の表現を使って文を完成させてください：After finishing her cybersecurity training, Ava ____.

例文と同じ抽象的な意味で threaten を使っている文はどれですか？

1. The child whispered a warning to her friend.
2. Several errors threatened confidence in the report.
3. The speaker threatened the audience with punishment.

be eager to の過去形を使って文を完成させてください：The researchers ____ confirm the result.

mathematics had no contradictions という文の正しい解釈はどれですか。

1. その体系から互いに矛盾する結論を導くことはできなかった。
2. 数学者はすべての問題について意見が一致していた。
3. 数学の問題は決して難しくなかった。

Gödel himself wasn't so sure に最も合う解釈はどれですか。

1. ゲーデルはその問題についてまったく何も知らなかった。
2. ゲーデル本人は、より確信していた人々とは違って、いくらか疑いを持っていた。
3. ゲーデルはあらゆる数学的な方法を強く拒絶した。

even + confident の比較表現を使って、確信がさらに弱まったことを示してください：After two more errors, the reviewers were ____ that the figures were accurate.

「この作業に適した方法」という意味の目標表現を入れて文を完成させてください：A survey may be ____ understand why customers leave.

例文と同じ譲歩の意味で while を使っている文はどれですか。

1. Please wait here while I check the schedule.
2. While the instructions look simple, the machine is difficult to operate.
3. While I was washing the dishes, the doorbell rang.

a self-referential paradox に最も合う説明はどれですか。

1. ある文が別の本に書かれた事実を参照すること。
2. ある人がほかの人と物を共有するのを拒むこと。
3. ある文が自分自身を指すことで矛盾を生むこと。

ここで numbers don't typically talk about themselves はどのような意味ですか。

1. 数字はほかの数字について話すほうを好む。
2. 人が数字を声に出して読むとき、数字はたいてい黙っている。
3. 数字は通常、自分自身を指したり説明したりしない。

強調部分は、この文の中でどのような役割を果たしていますか。

1. ゲーデルの考えの詳しい内容を説明する。
2. 文の流れが変わる前に、なじみのある「真か偽か」という枠組みを示す。
3. 数学のあらゆる部分が簡単だと述べる。

but Gödel had an idea は物語の中でどのような働きをしていますか。

1. 方向を変えずに「真か偽か」というルールを繰り返す。
2. 背景となるルールから、次に説明される新しい考えへ話を移す。
3. ゲーデルの考えがすでに正しいと証明する。

Translate A into B の形を完成させてください：The scanner translates printed pages ____ searchable text.

So that と understand の正しい受動態を使って文を完成させてください：The safety message was rewritten ____ it could ____ by children.

例文の This meant that はどのような働きをしていますか。

1. 前の符号化の手順と、そこから生じた結果を結び付けています。
2. 前の手順と無関係な事実を導入しています。
3. mathematics という単語の辞書的な定義を示しています。

encoded statements of mathematics の encoded は何を示していますか。

1. その命題はコード形式に変換されています。
2. その命題は秘密にするため、確実に隠されています。
3. その命題はコードから元の形式へ戻されています。

この文の allowed mathematics to talk about itself は何を意味しますか。

1. 数学が自分自身についての文を表せるようにした。
2. 数学が実際に声を出して話すようにした。
3. 数学者に符号化について話す許可を与えた。

引用された文は何を主張していますか。

1. 誰も証明を書いてはいけないと述べている。
2. この命題は別の方程式を証明できないと述べている。
3. その体系の中では、この同じ命題を証明できないと述べている。

as と make の -ing 形を使って、目標の形を完成させてください：She rewrote the results ____ a chart, ____ the pattern easier to see.

目標の形 However, unlike + 名詞句 を完成させてください：____, ____ the old model, this one uses less energy.

mathematical statements must be true or false の must は何を表していますか。

1. 誰かが命題に、どう振る舞うかを選ぶよう命令している。
2. 論理体系上、各命題は二つの値のどちらかを持つ必要がある。
3. 命題が真実を話すと約束している。

二つの可能性を示した後の So, which is it? には、どのような働きがありますか。

1. それまでの推論と関係のない新しい話題を出す。
2. 話題を、示された可能性のどれを選ぶかという点に戻す。
3. 二つの可能性がどちらも確実に正しいと述べる。

次の文を読んでください。 “If the screen is blank, that means the computer is not receiving a signal.” 「that means」はどのような働きをしていますか。

1. 「blank」という単語を翻訳する。
2. 関係のない新しい話題を始める。
3. 条件から導かれる結論を導入する。

強調の does + 原形の have を使って訂正を完成させてください。 “You said the plan has no benefit, but it ____ one important advantage.”

正確な if ..., then it must ... の形で文を完成させてください：____ an integer ends in 0, ____ it ____ divisible by 10.

この議論で、This contradiction means ... はどのような働きをしていますか。

1. 矛盾する内容をまとめ、そこから導かれる結論を示します。
2. contradiction という単語の辞書的な定義を示します。
3. 話題を無関係な例に変えます。

「The answer can't be false because it follows from the rule」の can't はどういう意味ですか？

1. 話し手には、その答えを誤りにする能力がない。
2. その答えが誤りであることは許されていない。
3. その答えが誤りであることは、論理的にありえない。

正式な結論を示す型を完成させてください：The machine accepts only valid tickets. This ticket was accepted, ____ this ticket is valid.

文中の強調された冒頭部分には、どのような働きがありますか。

1. 前の点と対比し、評価を強め、理由を導入します。
2. 理由は導入しますが、前の点との対比は示しません。
3. 結果がまだ起きていないことを表します。

数学の議論で、ここでの a true equation は何を意味しますか。

1. 数学的な主張が真かどうかに関係なく、実際に存在する等式。
2. 数学的な主張が真である等式。
3. 実数だけを使う等式。

この文の asserts は、方程式について何を示していますか。

1. 方程式は、とても大きな声で話しています。
2. 方程式は、真か偽かを判断できる主張を正式に示しています。
3. 方程式は、根拠を示してその主張を証明しています。

レッスンのイディオムを使って文を完成させてください：Trust is ____ a healthy friendship.

Gödel's incompleteness theorem という名称で、incompleteness は何を指しますか。

1. 一部の形式体系が持つ限界。真であっても、その体系内では証明できない命題があること。
2. あと数ページ書く必要がある未完成の証明。
3. 数学には正しい証明が存在しないという主張。

非制限用法の補足を加える関係語で文を完成させてください：The update adds a search tool, ____ makes old files easier to find.

この文の paradigm はどのような意味ですか。

1. 一つの具体例
2. 一つの数式
3. 考えを理解し整理するための広い枠組み

either ... or ... を使ってペア構造を完成させてください：A binary answer is ____ yes ____ no.

この文で、強調された句は何を示していますか。

1. どの公理の集まりでも、その命題を証明できること。
2. 証明可能性が、指定された一組の公理を使って判断されること。
3. その命題が物理的に公理に囲まれていること。

unprovable true statements の意味を正しく保っているものはどれですか。

1. それらは真だが、その体系では証明できない。
2. 証明が存在しないので、それらは偽である。
3. それらはまだ証明が見つかっていない真の命題だが、必ずいつか証明される。

窓を開けられないことを表すように、目標の構文で文を完成させてください：The broken handle ____ open the window.

制約が続くことを表すように、there be の未来形と always を使って文を完成させてください：____ cases the rule does not cover.

「譲歩・方法・役割」の型を完成させてください。Even if、by、as をそれぞれ1回ずつ使います：____ you improve the plan ____ adding a checklist ____ a safety tool, some risks may remain.

元の文で account for はどのような意味ですか。

1. その命題に頼る
2. その命題が正しい理由を説明する
3. 体系の中でその命題を考慮し、対処する

“That very decision caused the delay,” という文で、very は何を表していますか？

1. The exact decision already mentioned caused the delay.
2. A different decision prevented the delay.
3. The decision was extremely difficult.

「数に関係なく」という意味になる、No で始まる4語の表現で文を完成させてください：____ books you read, there will always be more to discover.

この文の意味として最も適切なものはどれですか？

1. その体系には、おそらく真である命題が含まれるかもしれない。
2. その体系では、すべての真の命題がすでに証明されている。
3. その体系には、真ではあるが体系内では証明できない命題が必ず含まれる。

ここで It's Gödels all the way down はどのような意味ですか？

1. Gödel という名前の人が何人も下へ移動している。
2. 体系を拡張するたびに、ゲーデル型の限界が再び現れる。
3. 1つの定理が体系のあらゆる拡張を解決する。

この文で rocked the foundations of the field はどのような意味ですか？

1. 建物の土台を物理的に壊した。
2. その分野に小さな日常的変化を起こした。
3. その分野の基本的な信念を大きく揺るがした。

文末の -ing 句を使って、前の出来事の結果を付け加えている文はどれですか？

1. The storm closed the airport, leaving hundreds of travelers stranded.
2. Because the storm closed the airport, hundreds of travelers were stranded.
3. The storm closed the airport and hundreds of travelers waited nearby.

would one day と solve の受動態を使って文を完成させてください：In 1995, researchers believed the puzzle ____.

この文で while はどのような働きをしていますか？ “While most neighbors supported the plan, some opposed it.”

1. 2つの動作がまったく同じ長さだけ続いたことを示しています。
2. 2つのグループの反応を対比しています。
3. 一部の人が計画に反対した理由を示しています。

“Some fervently debated it,” の fervently は何を表していますか？

1. 注目を避けるために静かに議論した。
2. 強い感情と信念をもって議論した。
3. 何度も議論した。

others still を使って、別の集団の続いている反応を示している文はどれですか？

1. Most families went home, but others still waited for the final announcement.
2. The families stood still while they waited for the final announcement.
3. Most families went home, and every family left at the same time.

この文の newly uncovered hole in the heart of their field は何を意味しますか。

1. 農場の中央に最近掘られた実際の穴
2. 研究者たちの心臓に影響する病気
3. 学問分野の中心で新たに明らかになった重大な限界

強調された節と同じく、時間とともに進む変化を as で表している文はどれですか。

1. As more evidence emerged, the team grew more confident.
2. The box is as heavy as the chair.
3. She works as an engineer.

心配が始まった時点に焦点を当てている文はどれですか。

1. After an hour with no reply, Leo began to worry that something was wrong.
2. After an hour with no reply, Leo never worried that something was wrong.
3. After an hour with no reply, Leo had stopped worrying that something was wrong.

例文の their life's work は何を指していますか。

1. 彼らが毎日行っていた日常的な作業
2. 彼らが午後の間だけ行う予定だった仕事
3. 彼らが何年もかけて取り組んできた主要な仕事

規則によって機会が生まれた一方、同じくらい制限も生じたことを「扉」の比喩で最も適切に表す文はどれですか。

1. The new rule closed every door and created no new options.
2. The new rule opened as many doors as it closed.
3. The new rule opened a door after the office closed.

inspire + key innovations + in という4語の型を使い、inspire を過去形にしてください：The discovery ____ battery design.

dedicate her career to の過去形を使って文を完成させてください：Maria ____ improving rural health care.

provably unprovable statements に最も合う意味はどれですか？

1. その命題はおそらく証明するのが難しい。
2. その命題はすでに誤りだと証明されている。
3. その命題が証明不可能であることを、証明によって示せる。

次の譲歩を使ったまとめを、前向きな主要結論で最も自然に完成させるものはどれですか。“So while the trip may have cost more than expected, ...”

1. it also took two hours longer than planned.
2. we still made memories we will always value.
3. the tickets had blue numbers printed on them.

「〜のおかげで」という前向きな評価を伴う、2語の目標表現を入れて完成させてください。____ Noah's quick repair, the robot worked again.

この文を最もよく説明している選択肢はどれですか。

1. 不確実性を真理の探究の中心的な部分として受け入れることができる。
2. すべての事実が証明されるまで、答えのない疑問を避けることができる。
3. 旅の途中で未知の何かを物理的に抱えることができる。

Pythagorean theorem という名称の theorem は何を示していますか。

1. 一般的な教室の指示であること。
2. 証明によって確立された数学的命題であること。
3. すべての三角形についての未検証の推測であること。

この文で in the first place はどのような働きをしていますか。

1. その証明が1位になったかをたずねている。
2. 最初の証明が物理的にどこにあったかをたずねている。
3. その証明が最初にどのように確立されたかをたずねている。

one of the cornerstones of の形を使って文を完成させてください：Reliable evidence is one ____ good research.