指数関数的増加と伝染病：英語学習ノート

The phrase exponential growth is familiar to most people.

「指数関数的増加」という言葉は、ほとんどの人にとっておなじみです。

And yet, human intuition has a hard time really recognizing what it means sometimes. フレーズ

しかし、人間の直感ではその意味を本当に認識するのが難しいことが時々あります。

We can anchor on a sequence of small-seeming numbers 慣用句

私たちは小さく見える数字の並びに考えを固定してしまい、

and then become surprised when suddenly those numbers look big,

突然その数字が大きく見えたときに驚いてしまうことがあります。

even if the overall trend follows an exponential perfectly consistently.

たとえ全体の傾向が完全に一貫して指数関数に従っていてもです。

This right here is the data for the recorded cases of COVID-19,

ここに示しているのは記録されたCOVID-19（新型コロナウイルス）の

aka the coronavirus,

症例データです。

at least at the time that I'm writing this.

少なくとも私がこれを書いている時点でのものです。

Never one to waste an opportunity for a math lesson, 文法

数学のレッスンの機会を決して無駄にしない私としては、

I thought this might be a good time for all of us to go back to the basics 文法

今が私たち全員にとって基礎に立ち返る良いタイミングかもしれないと考えました。

on what exponential growth really is,

指数関数的増加とは実際には何なのか、

where it comes from,

それはどこから来るのか、

what it implies,

それが何を意味するのか、

and maybe most pressingly,

そしておそらく最も緊急性の高い問題として、

how to know when it's coming to an end.

それがいつ終わるのかをどう知るのかについてです。

Exponential growth means that as you go from one day to the next, 文法

指数関数的増加とは、ある日から次の日へと進むときに、

it involves multiplying by some constant.

ある定数を掛けることを意味します。

In our data, the number of cases in each day

私たちのデータでは、各日の症例数は

tends to be a multiple of about 1.15 to 1.25 語彙

前日の症例数の

of the number of cases the previous day.

約1.15倍から1.25倍になる傾向があります。

Now, viruses are a textbook example of this kind of growth フレーズ

ウイルスは、この種の増加の教科書通りの例です。

because what causes new cases are the existing cases.

なぜなら、新たな症例を引き起こすのは既存の症例だからです。

So, if the number of cases on a given day is n,

したがって、ある日の症例数を n とし、

and we say that each individual with the virus is exposed to,

ウイルスを持っている各個人が、ある特定の日に

on average, e people on a given day,

平均して e 人に接触するとします。

and each one of those exposures has a probability p

そして、それらの接触のそれぞれが、新たな感染になる

of becoming a new infection,

確率 p を持っているとすると、

then the number of new cases on a given day

ある特定の日の新規症例数は

is e * p * n.

e * p * n となります。

And the fact that n itself is a factor in its own change

そして、n 自体がそれ自身の変化の要因になっているという事実が、

is what really makes things go fast

事態を本当に速く進ませる理由です。

because if n gets big,

なぜなら、n が大きくなれば、

it means the rate of growth itself is getting big.

それは増加率自体が大きくなることを意味するからです。

One way to think about this is that as you add the new cases 話の流れ

これについての1つの考え方は、新規症例を足して

to get the next day's count,

翌日の数値を出すときに、

you can factor out the n. 句動詞

n をくくり出すことができるということです。

So, it's just the same as multiplying by some constant

つまり、これは 1 より大きい

that's bigger than one.

ある定数を掛けることとまったく同じなのです。

This is sometimes easier to see

これは時々分かりやすくなります、

if we put the y-axis of our graph on a logarithmic scale,

グラフの Y軸を対数スケールに設定した場合です。

which means that each step of a fixed distance

これは一定の距離を進むごとの1ステップが、

corresponds to multiplying by a certain factor.

特定の係数を掛けることに対応することを意味します。

In this case, each step is another power of 10.

この場合、各ステップはさらに 10 倍されることになります。

On this scale,

このスケールでは、

exponential growth should look like a straight line.

指数関数的増加は直線のように見えるはずです。

Looking at our data,

私たちのデータを見ると、

it seems like it took 20 days to go from 100 to 1,000

100 から 1,000 になるのに 20 日かかり、

and 13 days to go from that to 10,000.

そこから 10,000 になるのに 13 日かかったように見えます。

And if you do a simple linear regression to find the best fit line, 語彙

そして、最も当てはまる線を求めて単純な線形回帰を行えば、

you can look at the slope of that line to draw a conclusion フレーズ

その線の傾きを見て次のような結論を導くことができます。

like we tend to multiply by 10 every 16 days,

「平均して

on average.

16 日ごとに 10 倍になる傾向がある」と。

This regression also lets us be a little more quantitative

この回帰を使うと、指数関数的な当てはまりが実際にどの程度近いかについて、

about exactly how close the exponential fit really is.

より定量的に把握することもできます。

And to use the technical statistical jargon here, 話の流れ

ここで専門的な統計の専門用語を使えば、

the answer is that it's really freaking close. 語彙

答えは「めちゃくちゃ近い」ということです。

But it can be hard to digest exactly what that means if true. 慣用句

しかし、それが本当だとしても、それが正確に何を意味するのかを消化するのは難しいかもしれません。

When you see one country with, say, 6,000 cases 意図と語調

ある国の症例数が、例えば 6,000 で、

and another with 60,

別の国が 60 だった場合、

it's easy to think that the second is doing 100 times better,

2番目の国は100倍もうまくいっていて、

and hence fine.

だから問題ないと考えがちです。

But if you're actually in a situation

しかし、もしあなたが実際に、

where numbers multiply by 10 every 16 days,

数字が16日ごとに10倍になる状況にいるなら、

another way to view the same fact 話の流れ

同じ事実に対する別の見方は、

is that the second country is about a month behind the first.

2番目の国は最初の国よりも約1ヶ月遅れているということです。

Now, this is, of course, rather worrying

もちろん、もしこの線を伸ばしていけば、

if you draw out the line.

これはかなり心配なことです。

I'm recording this on March 6th,

私はこれを3月6日に録画していますが、

and if the present trend continues,

もし現在の傾向が続けば、

it would mean hitting a million cases in 30 days,

それは30日で100万件に達し、

hitting 10 million in 47 days,

47日で1,000万件に達し、

100 million in 64 days,

64日で1億件、

and 1 billion in 81 days.

そして81日で10億件に達することを意味します。

Needless to say, though, 話の流れ

言うまでもなく、しかし、

you can't just draw out a line like this forever.

このような線を永遠に引き続けることはできません。

It clearly has to start slowing down at some point.

明らかにどこかの時点で減速し始める必要があります。

But the crucial question is when?

しかし、重要な問題はいつかということです。

Is it like the SARS outbreak of 2002,

8,000件程度で頭打ちになった

which capped out around 8,000 cases, 句動詞

2002年のSARSの発生のようなものになるのか、

or the Spanish flu of 1918,

それとも最終的に世界人口の約27％が感染した

which ultimately infected about 27% of the world's population?

1918年のスペイン風邪のようなものになるのか？

In general, with no context,

一般的に、文脈なしに

just drawing a line through your data

データにただ線を引くだけでは、

is not a great way to make predictions. 意図と語調

予測を立てるための良い方法とは言えません。

But remember,

しかし覚えておいてください、

there's an actual reason to expect an exponential here.

ここには指数関数を予期する実際の理由があるのです。

If the number of new cases each day

もし毎日の新規症例数が

is proportional to the number of existing cases, 語彙

既存の症例数に比例しているなら、

it necessarily means each day you multiply by some constant.

それは必然的に、毎日ある定数を掛けることを意味します。

So, moving forward d days

したがって、d 日前に進むことは

is the same as multiplying by that constant d times.

その定数を d 回掛けることと同じです。

The only way that stops 文法

それが止まる唯一の道は、

is if either the number e or p goes down.

数字の e か p が下がる場合だけです。

It's inevitable that this will eventually happen,

ウイルスにとって最も完全に有害なモデルであったとしても、

even in the most perfectly pernicious model for a virus,

これが最終的に起こることは避けられません。

which would be where every day each person with the infection

それは、感染者が毎日

is exposed to a random subset of the world's population,

世界人口のランダムな一部に接触するというものですが、

at some point most of the people they're exposed to

ある時点で彼らが接触するほとんどの人は

would already be sick,

すでに病気になっているはずで、

and so they couldn't become new cases.

そのため彼らが新しい症例になることはありません。

In our equation,

私たちの方程式では、

that would mean that the probability of an exposure becoming a new infection

それは接触が新たな感染となる確率に、

would have to include some kind of factor

あなたが接触した人がすでに感染している確率を考慮するための

to account for the probability that someone you're exposed to 句動詞

何らかの係数を含めなければならない

is already infected.

ということを意味します。

For a random shuffling model like this,

このようなランダムシャッフルモデルでは、

that could mean including a factor like 1 -

それは「1 マイナス

the proportion of people in the world who are already infected.

すでに感染している世界人口の割合」のような係数を含めることを意味するかもしれません。

Including that factor,

その係数を含めて、

and then solving for how n grows,

n がどのように増加するかを解くと、

you get what's known in the business as a logistic curve, フレーズ

専門用語で「ロジスティック曲線」と呼ばれるものが得られます。

which is essentially indistinguishable from an exponential at the beginning, 語彙

これは最初は本質的に指数関数と区別がつきませんが、

but ultimately it levels out 句動詞

最終的には総人口の規模に近づくにつれて

once you're approaching the total population size,

平坦になります。

which is what you would expect.

これは当然予想されることです。

True exponentials essentially never exist in the real world.

真の指数関数は、現実世界には本質的に存在しません。

Every one of them is really the start of a logistic curve.

それらのすべては、実際にはロジスティック曲線の始まりにすぎないのです。

Now, this point right here,

さて、ちょうどここのポイント、

where that logistic curve goes from curving upward 文法

つまりそのロジスティック曲線が上向きのカーブから

to instead curving downward,

下向きのカーブへと変わる点は、

is known as the inflection point.

変曲点として知られています。

There, the number of new cases each day,

そこでは、毎日の新規症例数は、

represented by the slope of this curve, 文法

この曲線の傾きで表されますが、

stops increasing and instead stays roughly constant

それは増加するのをやめ、代わりにほぼ一定にとどまり、

before it starts decreasing.

その後減少し始めます。

So, one number that people often follow with epidemics

そのため、人々が流行時にしばしば注目する1つの数字が、

is the growth factor,

成長係数（増幅率）です。

which is defined as the ratio フレーズ

これは、ある日の新規症例数と

between the number of new cases one day

前日の新規症例数との

and the number of new cases the previous day.

比率として定義されます。

So, just to be clear, 話の流れ

明確にしておきますが、

if you were looking at all of the totals from one day to the next,

もしある日から次の日へのすべての総数を調べ、

then tracking the changes between those totals,

それらの総数間の変化を追跡している場合、

the growth factor is a ratio between two successive changes.

成長係数は2つの連続する変化の間の比率になります。

While you're on the exponential part, 話の流れ

あなたが指数関数的な部分にいる間、

this factor stays consistently above one.

この係数は一貫して 1 より上にとどまります。

Whereas as soon as your growth factor looks closer to one,

一方、成長係数が 1 に近づいて見え始めるとすぐに、

it's a sign that you've hit the inflection.

それは変曲点に達したというサインになります。

This can make for another counterintuitive fact 句動詞

これはデータを追う上で、

while following the data.

もう一つの直感に反する事実をもたらす可能性があります。

Think about what it would feel like 文法

ある日の新規症例数が

for the number of new cases one day

前日の新規症例数よりも

to be about 15% more

約 15% 多いと、

than the number of new cases the previous day.

どのように感じるか考えてみてください。

And contrast that with what it would feel like 話の流れ

そしてそれを、ほぼ同じであった場合と

for it to be about the same.

比べてみてください。

Just looking at the totals they result in,

それがもたらす総数を見るだけでは、

they don't really feel that different.

それほど違っているようには感じられません。

But if the growth factor is one,

しかし、もし成長係数が 1 なら、

it could mean you're at the inflection point of a logistic,

それはあなたがロジスティック曲線の変曲点にいることを意味する可能性があり、

which would mean the total number of cases

つまり総症例数は、

is going to max out at about two times 句動詞

あなたが今いる場所の約 2 倍で

wherever you are now.

最大になるだろうということです。

But a growth factor bigger than one,

しかし、成長係数が 1 より大きい場合、

subtle though that might seem, 文法

それがどんなにわずかに見えたとしても、

means you're on the exponential part,

あなたは指数関数の部分にいることを意味し、

which could imply there are orders of magnitude of growth 語彙

それはあなたを待っている桁違いの成長が

still waiting ahead of you.

まだ先にあることを暗示しているかもしれないのです。

Now, while it's true that in the worst-case situation,

さて、最悪の状況においては、

the saturation point is around the total population,

飽和点が全人口の周辺になるというのは本当ですが、

it's of course not at all true

ウイルスを持った人々がこのように世界人口の中で

that people with the virus are randomly shuffled

ランダムにシャッフルされるというのは、

around the world's population like this.

もちろんまったく事実ではありません。

People are clustered in local communities.

人々は地域のコミュニティに集まっています。

However, if you run simulations

しかし、もしこのようなクラスター間で

where there's even a little bit of travel

ほんの少しでも移動があるような

between clusters like this,

シミュレーションを実行すると、

the growth is actually not that much different.

その成長は実際にはそれほど変わりません。

What you end up with is a kind of fractal pattern, 文法

結果として生じるのは一種のフラクタルパターンであり、

where communities themselves function like individuals.

そこではコミュニティ自体が個人のように機能します。

Each one has some exposure to others

それぞれが感染を広げるある程度の確率を持って

with some probability of spreading the infection,

他とある程度接触するため、

so the same underlying and exponential inducing laws apply.

同じように根底にある指数関数を引き起こす法則が適用されます。

Fortunately, saturating the whole population

幸いなことに、全人口を飽和させることだけが、

is not the only thing that can cause 文法

私たちが気にしている 2 つの要因を

the two factors we care about to go down.

下げる原因になるわけではありません。

The amount of exposure can also go down

人々が集まったり旅行したりするのをやめれば、

when people stop gathering and traveling,

接触量も減らすことができますし、

and the infection rate can go down

人々がもっと手を洗うだけで

when people just wash their hands more.

感染率を下げることもできます。

The other thing that's counterintuitive about exponential growth,

指数関数的増加についての直感に反するもう 1 つの点は、

this time in a more optimistic sense,

今回はより楽観的な意味においてですが、

is just how sensitive it is to this constant. 文法

それがこの定数に対していかに敏感であるかということです。

For example, if it's 15%,

例えば、もしそれが 15% だとして、

like it is as I'm recording this,

私がこれを録音している今のように、

and we're at 21,000 cases now,

現在の症例数が 21,000 件だとすると、

that would mean that 61 days from now

今から 61 日後には

you hit over 100 million.

1 億人を超えることを意味します。

But, if through a bit less exposure and infection,

しかし、接触と感染を少し減らすことで、

that rate drops down to 5%,

その率が 5% に下がったとしても、

it doesn't mean the projection also drops down

予測も同じように 3 分の 1 に

by a factor of three. 語彙

減少するというわけではありません。

It actually drops down to around 400,000.

実際には約 40 万件にまで減少するのです。

So, if people are sufficiently worried, 話の流れ

ですから、もし人々が十分に心配していれば、

then there's a lot less to worry about.

心配すべきことはずっと少なくなります。

But if no one is worried,

しかし、もし誰も心配していなければ、

that's when you should worry.

それこそあなたが心配すべき時なのです。