なぜゼロで割ってはいけないのか? - TED-Ed:英語学習ノート
TED-Ed
動画概要:この動画は、割る数がゼロに近づくと商が無限大に近づくことと、ゼロ除算そのものが無限大に等しいことは別だと説明します。乗法逆元から除算を定義し、無限大をゼロの逆元と決めると 1 = 2 のような矛盾が生じることを示す一方、別の数学体系では規則を変えられる可能性にも触れます。 主な英語学習ポイント: 1. all we really know is that — 談話・ストーリーテリング・レトリック:根拠から確実に言える範囲へ議論を絞る表現として理解します。ここでは、除数がゼロへ近づくと値が限りなく大きくなるという極限の主張と、ゼロで割った値自体が無限大だという未証明の結論を区別できます。 2. If we want to divide by zero, we need to find its multiplicative inverse, — 文法・文型:If we want to..., we need to... を、目的と必要条件・必要な手順を結ぶ型として認識し、使えるようになります。手続きや論理上の要件を説明するとき、次の行動が恣意的な選択ではないことを明確にできます。 3. make up a new rule? — 句動詞:make up がここでは物を組み立てる意味ではなく、規則を考案・設定する意味だと理解します。仮の規則を置いて結果を検証する問いであり、作られた物語、説明、規則、体系についても応用できます。
解説一覧
In the world of math:話題の領域を先に示す
In the world of math は、次の内容がどの分野についてのものかを聞き手に示す導入の枠組みです。ここでの world は比喩で、物理的に別の世界ではなく、数学に関係する考え方、活動、ルールの領域を指します。 この句は文頭に置かれ、コンマで区切られるため、主となる内容の前に話の範囲を設定します。In the world of + 分野 の形で、ある話題の中で一般的なこと、重要なこと、可能なことを紹介できます。
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このレッスンとまったく同じ話題設定の枠組みを使って、導入を完成させてください:____ robotics, even tiny errors can matter.
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In the world of
change the rules:システムの基本条件を変える
ここで change the rules は、ある仕組みの中で何が起こり得るかを決める基本条件を変えるという意味です。数学では、そのルールは前提、定義、使ってよい演算などを指すことがあり、ルールが変われば異なる結果が可能になります。 ゲーム、組織、手順の動かし方を意図的に書き換える場合にも、数学以外でこの表現を使えます。
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ゲームデザイナーが得点の数え方を書き換えます。この状況を正確に表す文はどれですか。
- The designer decides to change the rules.
- The designer decides to break the rules.
- The designer decides to follow the rules.
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The designer decides to change the rules.
But there's one rule that most of us have been warned not to break. 文法
0:13しかし、私たちが破らないようにと警告されてきたルールが一つあります。
have been warned not to + 動詞
“have been warned”は“warn”の現在完了の受け身です。警告した人ではなく、警告を受けた人に焦点を当てます。現在完了は、警告が今より前に行われ、今も意味を持っていることを示します。 能動態の“warn someone not to do something”は、受け身では“someone has/have been warned not to do something”になります。ここで“not to break”は禁じられた行為を示し、“break a rule”は「規則を破る」という意味です。この文では、その警告がほとんどの人にすでに与えられていることを表しています。
練習
受け身の警告表現を使って文を完成させてください:For safety, visitors ____ enter the closed area.
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have been warned not to
divide A by B:AをBで割る
数学で“divide A by B”は A ÷ B を計算するという意味です。A は割られる数である被除数、そして“by”の後の B は除数です。したがって、“divide by zero”はゼロを除数にすることを意味します。通常の算数ではこの計算は定義されていないため、文ではしてはいけないと言っています。
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18 ÷ 6 を正しく読む表現はどれですか。
- eighteen divided into six
- eighteen divided by six
- six divided by eighteen
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eighteen divided by six
How can the simple combination of an everyday number and a basic operation cause such problems? 話の流れ
0:19日常的な数字と基本的な計算の単純な組み合わせが、なぜそんな問題を引き起こすのでしょうか。
How can ... cause such problems? を説明への導入に使う
How can X cause Y? という疑問文は、方法を尋ねる以上の働きをします。ここでは、ありふれた数字と基本的な演算を、それらが引き起こす予想外の問題と対比させ、驚きを生んでいます。 導入のフックとして、説明を始める前に謎を提示しています。このように、まず意外な結果を示し、その後でどのように、またはなぜ起きるのかを説明する形に情報を整理できます。
練習
説明で答えられる意外な謎を導入するために、How can...? を最も効果的に使っている冒頭の質問はどれですか。
- How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
- Where is the packet of seeds?
- Can you put this seed in the blue pot?
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How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
Normally, dividing by smaller and smaller numbers gives you bigger and bigger answers. 文法
0:26通常、より小さな数字で割っていくと、答えはどんどん大きくなります。
smaller and smaller ... bigger and bigger で継続する変化を表す
smaller and smaller と bigger and bigger では、同じ比較級を and でつないで繰り返しています。「比較級 + and + 比較級」は、ある性質が時間の経過や連続した段階の中で、一方向に変わり続けることを表します。 ここで smaller and smaller は数が段階的に小さくなること、bigger and bigger は答えが段階的に大きくなることを表します。単に「とても小さい」「とても大きい」という状態ではなく、続いている変化です。
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「だんだん音が大きくなる」という意味の比較級反復パターンで文を完成させてください:The music grew ____ as the parade came closer.
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louder and louder
By 1 ... By 1 millionth での省略
By 1 と By 1 millionth は、並列された項目を短くした形です。最初の計算で 10 divided by ... という繰り返しの枠組みが示されるため、後の項目は 10 divided by 1 と 10 divided by one millionth を意味します。 これは省略です。リストから共通情報を簡単に補えるので、その部分を言わずに済ませています。速い説明を聞くときは、共通の枠組みを後ろまで引き継ぎ、新しい除数を当てはめます。
練習
この計算の並びで、By 1 millionth を完全な形にするとどれですか?
- 10 divided by 1 millionth
- 10 multiplied by 1 millionth
- 1 millionth divided by 10
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10 divided by 1 millionth
未完のリストを And so on で締めくくる
And so on は、リストや一連の内容の最後に置きます。同じ種類やパターンに従う項目や手順がさらに続くものの、話し手はすべてを挙げないという意味です。 聞き手は、すでに示された例や規則から次に続く内容を推測できる必要があります。
練習
リストが続くことを示す、この課の表現を入れて文を完成させてください:We need paper, pencils, folders, ____.
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and so on
So it seems like if you divide by numbers that keep shrinking all the way down to zero, 解説
0:40つまり、ゼロに向かって縮小し続ける数字で割っていくと、
it seems like if ...:条件つきの暫定的な推論
it seems like if ... では、it seems like が後に続く内容を、すでに証明された結論ではなく、現時点で見えていることや分かっていることに基づく印象として示します。if は、その印象が成り立つ条件を導きます。 この言い方なら、考えられるパターンを示しながら、後で確かめたり、範囲を限定したり、修正したりする余地を残せます。
練習
条件を、証明済みの事実ではなく暫定的な推論として示している文はどれですか。
- Every battery definitely runs down faster in the cold.
- We have proved that every battery runs down faster in the cold.
- It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
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It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
keep shrinking:keep + -ing で変化の継続を表す
keep + 動詞の -ing 形は、動作や変化が続くこと、または繰り返し起こることを表します。ここで keep shrinking は「小さくなり続ける」という意味です。 固定された小さい状態ではなく、進行中の傾向を表します。動詞は主語に合わせて変化し、numbers keep shrinking に対して、a number keeps shrinking となります。
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keep + changing を正しい形にして文を完成させてください:The weather ____ throughout the day.
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keeps changing
all the way down to zero:下降の全範囲を強調する表現
all the way down to zero では、all the way が変化の範囲を強め、示された終点まで全範囲にわたって変化が続くことを表します。down は下がる方向を示し、to zero は終点がゼロであることを示します。 all the way down to + 低い到達点という形は、量、水準、温度、実際の移動などに使えます。最後の値だけでなく、下降の過程全体を強調します。
練習
「下降の全範囲を通ってゼロまで」という意味になる、このレッスンのフレーズを入れてください:The gauge fell ____.
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all the way down to zero
Then isn't ... actually ...?:予想される結論を示す形
Then は質問を直前の推論につなぎ、「それが正しいなら、この結論になるように見える」という流れを作ります。否定疑問文 isn't ...? は完全に中立ではなく、無限大を話し手が自然だと予想している答えとして提示します。 Actually は、それまでの考えに少し疑問を投げかけ、本当の結果はこちらではないかと問う働きをします。この質問は確認を求めたり、検討すべき考えを示したりしますが、結論が正しいことを証明するものではありません。
練習
この文の否定疑問文が主に伝えていることは何ですか?
- 特定の答えを示唆せず、どんな答えでもよい形で尋ねている。
- 話し手が自然に思えると予想している結論として、無限大を提示している。
- ゼロで割ると無限大になることを証明している。
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話し手が自然に思えると予想している結論として、無限大を提示している。
may sound plausible:一見もっともらしいが、未確認
この文の may sound plausible は「もっともらしく、または信じられそうに聞こえるかもしれない」という意味です。may は判断を不確かなままにし、sound はその考えが与える印象を表し、plausible は分かっている情報からすると正しい可能性があることを示します。 この表現は、議論を詳しく検討する前に、まず一見説得力があることを認めるときによく使います。その議論が正しいと断定しているわけではありません。
練習
説明がもっともらしく思えるものの、まだ証明されていないことを表す文はどれですか。
- The explanation is certainly true, so no evidence is needed.
- The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
- The explanation is easy to hear, but hard to understand.
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The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
but all we really know is that if we divide 10 by a number that tends towards zero, 解説
0:54しかし、私たちが本当に知っているのは、10をゼロに近づく数字で割ると、
all we really know is that:主張を証拠の範囲に限定する
all we really know is that... という構文は、話の範囲を、証拠が実際に裏づける内容だけに絞ります。文法上、all we really know が主語で、that節が「分かっていること」の全内容を示します。 ここで all は「唯一のこと」に近い限定の働きをし、really は本当に確かなことを強調します。この型は、自信過剰な推論を止め、証拠に基づく慎重な述べ方に置き換えるときに使います。
練習
足跡が一つあれば誰かがいたことは分かりますが、誰だったかは分かりません。証拠の範囲内にとどまる文はどれですか。
- All we really know is that someone was here.
- We know exactly who was here.
- The footprint proves that nobody was here.
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All we really know is that someone was here.
tends towards zero ... tends towards infinity:極限に近づく
ここで tends towards は、別の値が変化するにつれて「だんだん近づく」という意味です。towards の後ろの語や量が、極限の目標または方向を示します。tends towards zero と tends towards infinity は、どちらも変化の方向を表します。 数学では、この表現は極限へ向かう動きを述べるもので、すでにその値に到達したとは言いません。分母は 0 そのものにならずに 0 に近づくことがあり、無限大へ向かう結果は「無限大」という普通の数になるのではなく、限りなく大きくなります。
練習
ある値がだんだん 0 に近づいていますが、0 と等しくならない可能性があります。最も正確に表す文はどれですか。
- The value moves away from zero.
- The value tends towards zero.
- The value is equal to zero.
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The value tends towards zero.
And that's not the same thing as saying that 10 / 0 is equal to infinity. 解説
1:03そしてそれは、10 / 0 が無限大に等しいと言うことと同じではありません。
not the same thing as saying:誤った同一視を否定する
that's not the same thing as saying that X という型は、誤った同一視を否定します。前の発言から、saying that の後ろに置かれた、より強い主張や別の主張を導くことはできないと聞き手に伝えます。 この型は議論を二段階で整理します。まず元の主張を保ち、次にその主張が述べていない範囲を明確にします。この文では、「無限大へ近づくこと」と「0 で割ると無限大に等しくなるという主張」を区別しています。
練習
強調された型を使って文を完成させてください:The forecast says rain is possible. That is ____ it will definitely rain.
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not the same thing as saying
is equal to で表す数学上の厳密な等値
is equal to は厳密な等値関係を表し、その前の式と後ろの式がまったく同じ値であることを示します。形は A + be + equal to + B で、be動詞は A に合わせて変化します。 この文では、この表現は 10 / 0 についての主張の一部です。話し手は、ある考えがその等式を主張することと同じではないと言っています。is equal to は主張された関係を示しますが、それが正しいことを証明するわけではありません。
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be equal to の形を使って式を完成させてください:Twelve divided by three ____ four.
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is equal to
Well, let's take a closer look at what division really means. フレーズ
1:11では、割り算が本当に意味するところを詳しく見てみましょう。
詳しい分析へ移る take a closer look at
take a closer look at は、何かをもっと注意深く、または詳しく調べるという意味です。at の後ろには、写真のような具体的なものだけでなく、考えや問題のような抽象的なものも置けます。 Let's と一緒に使うと、話し手が聞き手にその話題を一緒に調べようと誘います。説明では、問題を提示する段階から分析する段階へ移る表現としてよく使われます。
練習
目標表現 take a closer look at を使って誘いかけを完成させてください:Let's ____ the evidence.
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take a closer look at
How many times must we ... to make ...?:目標達成に必要な回数を尋ねる表現
How many times は、動作を繰り返す回数を尋ねます。How many times must we + 動詞の原形 ... to + 動詞の原形 ...? では、must はその動作が必要であることを示し、to節は目標となる結果を示します。 ここで add 2 together は、合計が10になるまで和に2を繰り返し加えるという意味です。この問いは 10 ÷ 2 を「2はいくつあれば10になるか」と言い換えており、答えは5です。
練習
必要な繰り返し回数を尋ねる表現を入れて、疑問文を完成させてください:____ must we add 4 together to make 20?
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How many times
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it in the following way. 語彙
1:26ある数字で割ることは、次のような意味で、本質的にその数字を掛けることの逆なのです。
the reverse of multiplying by it / in the following way の区切り
the reverse of + 名詞または -ing形は、別の過程を元に戻す過程や、反対方向に進む過程を表します。A is the reverse of B では、AとBが互いに逆の過程として示されます。ここで it は a number を指し、その数で割ることが、その数を掛けることの逆として説明されています。 強調された範囲の最後にある in は、the reverse of の一部ではありません。これは in the following way の始まりで、次に説明や実演が続くことを示します。
練習
一方の過程がもう一方を元に戻す関係だとはっきり示している文はどれですか。
- Unzipping a jacket is similar to zipping it up.
- Unzipping a jacket happens after zipping it up.
- Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
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Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
a given number x:前もって指定された数 x
ここで given は形容詞で、「前もって指定された、または選ばれた」という意味です。a given number x では、x は実際の値が書かれていなくても、すでに設定されたものとして扱う数を表します。 数学や技術の文章では、given は問題によってすでに設定されている情報を示すことがよくあります。数を贈り物としてもらった、という意味ではありません。
練習
“Choose a given value for x”という指示で、given はどのような意味ですか?
- 常に変化している
- 贈り物として受け取った
- 前もって指定または選択された
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前もって指定または選択された
get back to where we started:元の状態に戻る
get back to where we started では、get back to は「戻る」、where we started は最初の地点や状態を表します。 ここでは比喩的な表現です。もう一度掛け算をすると、値が一連の計算の前と同じ値に戻ります。同じ表現は、計画、話し合い、作業手順などで以前の状態を取り戻す場合にも使え、実際に場所を移動する必要はありません。
練習
変更を取り消したことで元の状態が復元された、という意味の文はどれですか?
- Undoing the update forced us to start from scratch.
- Undoing the update got us back to where we started.
- Undoing the update moved us to a new stage.
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Undoing the update got us back to where we started.
x の乗法逆元
数学で x の乗法逆元とは、x と掛けると 1 になる数です。0 でない x なら 1/x で表せます。たとえば、5 の乗法逆元は 1/5 です。 of x は、元の数が x であることを示します。0 に何を掛けても 1 にはならないため、0 には乗法逆元がありません。
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5 の乗法逆元はどれですか。
- 0
- -5
- 1/5
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1/5
As you might notice, でやわらかく観察へ導く
As you might notice, は文頭に置き、すでに示された情報から観察できるパターンや特徴に聞き手の注意を向ける表現です。前に出した根拠や例と、話し手が次に述べる内容をつなぎます。 might は「聞き手がすでに気づいている」という決めつけを弱めます。聞き手は気づいているかもしれませんが、話し手は必ず気づいているとは言い切りません。そのため、Notice that で始まる直接的な指示よりやわらかく聞こえます。
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観察できる特徴へ聞き手をやわらかく導く4語の表現を入れて、文を完成させてください:____, both bars reach the same height.
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As you might notice
the product of any number and its multiplicative inverse is always 1. 語彙
2:05任意の数字とその乗法逆元の積は常に 1 になります。
AとBの積
数学で the product of A and B は、A に B を掛けた結果を表します。ここで A は any number、B は its multiplicative inverse に当たります。product はここでは数学用語の「積」であり、日常語の「製品」や「商品」という意味ではありません。 ハイライトされた名詞句全体が文の主語です。後ろの is always 1 が、その積の値を示しています。
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掛け算の結果を表す名詞を入れて、数学の文を完成させましょう:The ____ of 4 and 3 is 12.
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product
「…したいなら、…する必要がある」
If we want to + 動詞, we need to + 動詞 という型は、目標とそのために必要な行動を結び付けます。if節が目標を示し、need to を含む主節が、その目標を目指すために必要なことを示します。 ここでは、この型が推論の一段階を作っています。0で割ることを考えるため、話し手はまず0の乗法逆元を探します。この構造は必要条件を示すだけで、その条件を実際に満たせるとは限りません。
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目標と必要な行動を結ぶ型を完成させましょう:If we want to protect our passwords, we ____ keep them private.
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need to
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give 1. 文法
2:19これは、ゼロを掛けると 1 になるような数字でなければなりません。
such a number that...:必要な性質を示す形
ここで such a number that... は、必要な種類の数を示し、その性質を後ろで説明する形です。構造は such + a/an + 単数の可算名詞 + that節 です。multiplying it by zero would give 1 という節が、その仮定上の数に必要な性質を示しています。 such...that は結果を導くこともよくありますが、ここでは数学的な議論の中で条件を定めています。that節は、その数が満たさなければならない条件として読み取ります。
練習
このレッスンの形 such a number that をそのまま使って、数学的な説明を完成させてください:We need ____ doubling it gives twelve.
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such a number that
anything multiplied by zero:受け身の関係節を短縮した形
multiplied by zero は anything の後ろに置かれた過去分詞句です。受け身の意味を持ち、anything がその動作を受けます。完全な形は anything that is multiplied by zero です。 これは受け身の関係節を短くした形で、that is が省略され、multiplied が残っています。このような簡潔な後置修飾は、数学、科学、その他の説明文でよく使われます。
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anything multiplied by zero と同じ意味になる完全な関係節はどれですか。
- anything that is multiplied by zero
- anything that has multiplied zero
- anything that multiplies zero
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anything that is multiplied by zero
zero has no multiplicative inverse における has no + 名詞
zero has no multiplicative inverse では、has no + 名詞は、欠けているものを主語が持たないものとして示します。ここでは数学上の事実を述べています。0と掛けて1になる数は存在しません。 主語 + has/have no + 名詞を使うと、物・結果・性質を持たないことを直接述べられます。no ですでに名詞句が否定されるので、not は加えません。
練習
「三角形には4本目の辺がない」という意味になる、正確な has no + 名詞の表現を入れてください:In ordinary geometry, a triangle ____.
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has no fourth side
Does that really settle things though? を使った疑問の転換
settle things は、問題を完全に解決するという意味です。この疑問文は単に情報を求めているのではありません。really によって、直前の結論で十分なのかを問い直しています。 文末の though は、「それでも」や「しかし」に近い対比を加えます。疑問文全体で議論をもう一度開き、いったん答えが出たように見えるところから、さらに深い問題へ説明を進めています。
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話し合いで Does that really settle things though? と尋ねるとき、話し手は何をしていますか。
- いくつかの物を順番に並べるよう頼んでいる
- 前の結論で問題が完全に解決するのかを疑っている
- 話し合いが完全に終わったと確認している
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前の結論で問題が完全に解決するのかを疑っている
支持する理由を導く After all
After all は、直前に述べた考えを支えたり強めたりする事実を導きます。聞き手も納得できそうな理由を思い出させる働きがあり、時間の順序を表すものではありません。 ここでは、数学者が以前にも規則を破ったという事実を、その前の主張や疑問と結び付けるよう聞き手に示しています。よくある情報の並べ方は、主張や提案 + after all + それを支える事実です。
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after all が前の発言を支える事実を導いている文はどれですか。
- After all the meetings, we finally made a decision.
- We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
- We cleaned the room after all.
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We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
for a long time there was no such thing as taking the square root of negative numbers. 解説
2:41長い間、負の数の平方根を求めることなど存在しませんでした。
過去の不存在を表す there was no such thing as ...
There was no such thing as ... は、ある種類の物、行為、概念が過去のある時点には存在しなかった、利用できなかった、または認められていなかったことを表します。応用できる形は there was no such thing as + 名詞または -ing 形です。 この文では、taking the square root of negative numbers という -ing 句が、数学上の行為や概念の名前になっています。現在について述べる場合は there is no such thing as ... を使います。
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過去形の no such thing as の形を使って文を完成させてください:In 1900, ____ online banking.
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there was no such thing as
taking the square root of negative numbers:負の数の平方根を求めること
take the square root of X は、2乗すると X になる数を求めるときの標準的な数学表現です。ここで taking が使われているのは、演算全体が no such thing as の後に置かれ、行為や概念として扱われているからです。 この数学表現の take は、物を実際に「運ぶ」または「取り去る」という意味ではありません。
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take + the square root + of の形を使って指示を完成させてください:To find the side length, ____ 81.
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take the square root of
But then mathematicians defined the square root of -1 as a new number called i, フレーズ
2:47しかしその後、数学者たちは -1 の平方根を i という新しい数字として定義し、
defined X as Y ... a new number called i:定義と名前を示す形
define X as Y は、Y が表す正確な意味や位置づけを X に与える形です。この文では X が the square root of -1、Y が a new number なので、この形によって数学上の定義を正式に導入しています。 called i は a new number を修飾する受け身の節を短くした形で、a new number that is called i と同じ意味です。2つの部分を合わせることで、定義と数の名前の両方を示しています。
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define X as Y と called を使って、定義と名前を示す文を完成させてください:We ____ a polygon with three equal sides ____ a special triangle ____ an equilateral triangle.
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define · as · called
open up a whole new world of:新しい可能性の世界を切り開く
ここで opening up は、新しい可能性や知識分野に触れられるようにするという意味で、物を実際に開けることではありません。a whole new mathematical world of... は、新しい分野を探索できる世界にたとえることで、その意味を強めています。 応用できる形は open up a whole new world of + 名詞です。何かによって、その分野の多くの新しい可能性に触れられるようになることを表します。
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opened up a whole new world of が「多くの新しい可能性が生まれた」という意味で使われている文はどれですか。
- Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
- Amir opened up a box of old photographs.
- Amir opened the kitchen window.
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Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
complex numbers:数学用語「複素数」
complex numbers は、a + bi の形で表せる数を指す標準的な数学用語「複素数」です。a と b は実数で、i² = -1 です。たとえば、3 + 2i は複素数です。 ここで complex は決まった用語の一部であり、単に「理解するのが難しい」という意味ではありません。complex number 全体を一つの数学上の名称として理解します。
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a + bi の形の数を表す標準的な数学用語を入れて文を完成させてください:Numbers such as 3 + 2i are called ____.
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complex numbers
make up a new rule:新しいルールを考え出す
make up a new rule の make up は、それまで存在しなかったルールを考え出す、または作り出すという意味です。ここでは句動詞であり、make と up をそれぞれの文字どおりの意味で解釈することはできません。 目的語の a new rule が、何を考え出すのかを示します。この用法は、ゲーム、想像上の状況、急ごしらえの解決策のためにルールを作る場面でよく使われます。
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「新しいルールを考え出す」という意味の強調表現を使って文を完成させてください:Before our new game begins, let's ____.
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make up a new rule
Say that ... で一時的な仮定を導入する
この文の冒頭にある Say that ... は、「仮定すると」や「ひとまずそうだと考えると」という意味です。言葉を声に出すよう求めているのではありません。 一時的な定義や条件を設定し、その結果を考えるよう聞き手に促します。この形は、口頭での説明や思考実験でよく使われます。
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Say が一時的な仮定を導入している文はどれですか?
- Say the number five clearly.
- Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
- Lena said that each box was heavy.
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Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
see what happens:未知の結果を見届ける
この文の see what happens は、「何かを試し、その結果を確かめる」という意味です。ここでの see は単に「目で見る」ではなく、「観察して分かる」という意味です。 what happens は see の後ろに置かれた間接疑問です。結果を決めつけず、話し手がまだ何が起こるか分からないことを示します。
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「未知の結果を確かめる」という意味の、レッスンで学んだ3語の表現を入れてください:Let's change one setting and ____.
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see what happens
imagining we don't know...:仮定を付け加える表現
Imagining we don't know anything about infinity already は、主な動作を行う際の仮定を付け加える現在分詞節です。話し手は、思考実験のために今までの知識をいったん脇に置くよう求めています。 imagining の意味上の主語は we で、文脈にある主な動作をする人たちと同じです。完全な文では、while we imagine that we don't know anything about infinity already のように展開できます。
練習
主節の主語が imagining を行う人でもあることを、はっきり示している文はどれですか。
- The problem appeared on the screen, imagining that we knew nothing about the usual solution.
- We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
- Imagining that we knew nothing, the answer surprised us.
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We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Based on the definition of:結論の根拠となる定義を示す
Based on the definition of ... は、ある用語が定義上何を意味するかを根拠として、次の結論が導かれることを表します。最初に、推論の土台となる定義を示します。 形は Based on the definition of + 名詞句で、その後に結論を続けます。字幕では、乗法逆元の定義が話し手の次の推論の根拠です。
練習
「定義を根拠にする」という意味の目標表現を入れて、文を完成させてください:____ a square, we know that it has four equal sides.
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Based on the definition of
must be equal to:論理的に必然の結果を表す
ここで must は、命令や義務ではなく、論理的な必然性を表します。must be equal to 1 は、定義や推論によれば 1 以外の結果はあり得ないと話し手が示している表現です。 主語 + must be equal to + 値という形は、数学の説明でよく使われます。推論によって得られた等しさを示しますが、この表現だけで推論の正しさが証明されるわけではありません。
練習
規則によって結果が論理的に必然だと最も明確に表す文はどれですか。
- The result should be equal to ten.
- The result is equal to ten.
- The result must be equal to ten.
答えを見る
The result must be equal to ten.
That means 0 * infinity + 0 * infinity should equal 2. 文法
3:18つまり、0 * 無限大 + 0 * 無限大 は 2 に等しくなるはずです。
should equal 2:論理的に予想される結果
「should equal 2」の should は、現在の仮定や計算から予想される結果を示します。「ここまでの推論が正しければ、結果は 2 になる」という意味です。 ここでの should は論理的な予想を表し、助言や義務ではありません。形は should + 動詞の原形なので、should to equal ではなく should equal と言います。
練習
予想される結果を表すように、should equal を使って文を完成させてください:After counting both teams' points, the total ____ thirty.
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should equal
by the distributive property:規則を根拠として示す表現
「by the distributive property」の by は「~に従って」または「~を根拠として」という意味です。この句は、次の手順を正当化する数学上の規則を示します。 文や計算手順の先頭に by + 規則・定理・定義を置くと、結果より先に根拠を示して説明を組み立てられます。
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by + 規則名を使って説明を完成させてください:____, 3(x + 2) = 3x + 6.
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By the distributive property
the left side of the equation can be rearranged to 0 + 0 * infinity. 文法
3:26方程式の左辺は (0 + 0) * 無限大 に並べ替えることができます。
can be rearranged to + 変形後の形
can be rearranged to は、「法助動詞 can + 受動態 be rearranged + to」という形です。式が変形される対象なので、誰が代数操作をするかを示す必要はありません。 to の後には変形後の形が来ます。数学では通常、値を変えるのではなく、式を同値な形に書き換えることを表します。
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can + rearrange の受動態 + to を使って完成させてください:The equation ____ x = 6.
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can be rearranged to
reduces down to + 簡単にした結果
reduces down to は「簡単にした結果、より単純な形になる」という意味です。主語は元の式で、to の後に簡単にした結果が来ます。この文の that は、直前の簡単にしている式を指します。
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「簡単にすると~になる」という意味の会話的な表現を正確に入れてください:After combining like terms, the expression ____ 3x.
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reduces down to
while the other side of the equation is still telling us it's equal to 2. 話の流れ
3:43方程式の右辺は依然としてそれが 2 に等しいと示しています。
while the other side of the equation...:矛盾する結果を導く対比節
ここでの while は whereas や by contrast に近い「一方で」という意味で、「〜している間」ではありません。方程式のもう一方の辺の情報を、すでに話題になっている結果と矛盾する情報として導いています。 2つ目の結果を while 節に入れることで、食い違いがすぐ分かるようになります。is still telling us はくだけた擬人表現で、方程式が値は2だと引き続き示している、という意味です。
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2つの矛盾する報告を while で対比している文はどれですか。
- While the printer was running, I answered an email.
- The first report says the road is open, while the second says it is closed.
- We waited inside while the storm passed.
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The first report says the road is open, while the second says it is closed.
Oddly enough:意外な内容を予告する表現
Oddly enough は、これから意外なことや予想に反することを述べると、聞き手に前もって知らせます。この文では、「その結果は間違いに違いない」という第一印象を考え直すよう促しています。 この表現は、後ろに続く文全体へのコメントです。enough は、何かが「十分に奇妙な程度に達した」という意味ではありません。2語が一緒になって固定表現として働きます。
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odd から作られ、意外な結果を示す2語の固定表現を入れて文を完成させてください:____, the old battery lasted longer than the new one.
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Oddly enough
not necessarily wrong:definitely right と同じではない
not necessarily wrong では、not が否定しているのは necessarily です。話し手は「必ず間違っている」という考えを退けているため、「間違っているかもしれない」と「間違っていないかもしれない」の両方が残ります。 これは慎重な訂正であり、「絶対に正しい」と断言しているわけではありません。絶対的な判断に疑問を示しつつ、反対の結論までは断言したくないときに、not necessarily + 形容詞 の形を使います。
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“The plan is not necessarily wrong” はどういう意味ですか?
- その計画は間違っているかもしれないし、間違っていないかもしれない。
- その計画は絶対に間違っている。
- その計画は絶対に正しい。
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その計画は間違っているかもしれないし、間違っていないかもしれない。
just not true in our normal world of numbers:適用範囲を限定する
in our normal world of numbers は not true につながり、その判断が当てはまる範囲を示しています。ここでは、話題になっている身近な数体系の中でその主張を否定しているのであり、想像できるすべての体系で不可能だと述べているわけではありません。 ここで just は simply という意味で、not true を強調します。only という意味ではなく、範囲を限定しているのは in で始まる部分です。この「判断 + 範囲」の形は、結論とその結論が当てはまる場所を一緒に示して議論を整理します。
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ある主張を一つの範囲に限定し、どこでも誤りだとは述べていない文はどれですか?
- Ordinary arithmetic is not a true rule.
- The rule is not true in ordinary arithmetic.
- The rule is never true in any system.
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The rule is not true in ordinary arithmetic.
mathematically valid:数学的に妥当
この文の mathematically valid は「数学の規則に照らして受け入れられる、または成り立つ」という意味です。mathematically は副詞で、valid を判断する基準が数学であることを示します。 ここでの valid は、その考えが採用した定義や規則に合っているという意味です。切符や書類についていう「有効期限が切れていない」ではなく、「論理的に妥当」という意味です。
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「数学の規則に照らして受け入れられる」という意味の2語の英語表現を入れて、文を完成させてください:This unusual proof is ____.
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mathematically valid
if ... were equal to zero:仮定条件を作る表現
if は想像上の条件を導きます。つまり、1、2、そしてほかのすべての数の値が0だと仮定しています。この節は事実を述べるのではなく、別の主張を検討できる、通常とは異なる数学的状況を作っています。 構造は if + 主語 + 動詞の過去形です。were equal to は「〜と同じ値だった」という意味です。主語には複数の数が並んでいるため、were は複数主語との一致でもあります。したがって、仮定の意味は were だけではなく、if 節全体と文脈から生まれます。
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if + 過去形で事実ではない条件を示し、would で結果を表している文はどれですか。
- If this map is accurate, we can follow it.
- Because the map was accurate, we reached the hotel.
- If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
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If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
But having infinity equal to zero is ultimately not all that useful to mathematicians or anyone else. 語彙
4:05しかし、無限大がゼロに等しいというのは、結局のところ、数学者にとっても誰にとってもそれほど有用ではありません。
not all that useful:否定的な評価をやわらげる表現
not all that useful では、否定の形の中で all that が「それほど高い程度まで」を表します。そのため、全体では「それほど役に立たない」「期待したほど役に立たない」という意味になり、通常は「まったく役に立たない」という意味ではありません。 not all that + 形容詞 は、否定的な評価をやわらげる型です。ここでは、その考えには実用的な価値があまりないと評価しています。
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「期待したほど役に立たない」という意味になる、このレッスンの4語の表現を入れてください:The extra feature looks impressive, but it is ____ for most users.
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not all that useful
There actually is something called the Riemann sphere that involves dividing by zero by a different method, 文化背景
4:13実際には、別の方法でゼロで割ることを含む、リーマン球面と呼ばれるものがありますが、
the Riemann sphere:数学上の固有名「リーマン球面」
the Riemann sphere(リーマン球面)は、複素平面に「無限遠点」と呼ばれる点を1つ加えた数学的モデルの固有名です。球面を使って図示できるため、名前に sphere が入っています。 ここでこの用語は、無限を扱う別の数学的枠組みを示しています。普通の物理的な球を指すわけでも、通常の算術でゼロ除算が認められるという意味でもありません。
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文中の名称 the Riemann sphere は何を指しますか。
- 通常の算術でゼロ除算を認める規則。
- 複素平面に無限遠点を加えた数学的モデル。
- 除算を実演するために使う普通の物理的な球。
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複素平面に無限遠点を加えた数学的モデル。
a story for another day:話題を後回しにする表現
慣用表現 a story for another day は、「今ではなく、後で話す話題や説明」という意味です。ここでの story は文字どおりの「物語」ではなく、背景、理由、詳細なども指します。 That's a story for another day と言うと、話し手はその脇道の話題を認めつつ、いったん切り上げて本題を続けます。
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緊急ではない細部をいったん後回しにして、本題の説明を続けたい場合、どの文が最も自然ですか。
- How the machine learned that trick is a story for another day.
- How the machine learned that trick is a story on another date.
- How the machine learned that trick is a story from the other day.
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How the machine learned that trick is a story for another day.
In the meantime:注意を現在に戻す
In the meantime は、予想される出来事、説明、次の段階までの時間を指し、その間に起こることやできることを導きます。 ここでは、情報を整理するつなぎ表現でもあります。前の脇道の話題を後回しにし、聞き手の注意を今重要なことへ戻します。完全な文の冒頭では、通常、現在の状況や行動を述べる節が続きます。
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最も適切なつなぎ表現を選んでください:The software update will finish in an hour. ____, you can back up your files.
- For the time being
- In the meantime
- At the same time
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In the meantime
dividing by zero in the most obvious way doesn't work out so great. 句動詞
4:23最もわかりやすい方法でゼロで割ることは、あまりうまくいきません。
doesn't work out so great:結果があまりよくない
ここでの work out は「ある結果に至る」「最終的にそうなる」という意味です。方法や状況が主語の場合、doesn't work out は結果が成功しない、または満足できないことを表します。 Doesn't work out so great は「結果があまりよくない」を表す、くだけた少し控えめな言い方です。fails と直接言うより、否定的な評価がやわらかく聞こえます。
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“The experiment didn't work out so great.” はどのような意味ですか。
- 実験は大成功だった。
- 実験には運動が含まれていた。
- 実験の結果は期待外れだった。
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実験の結果は期待外れだった。
shouldn't stop us from living dangerously:大胆な挑戦を妨げるべきではない
stop + 人 + from + -ing は「人が何かをするのを妨げる」という意味です。shouldn't stop us from living では、us が影響を受ける人、from が前置詞なので、その後の living は -ing 形になります。 shouldn't stop us from ... は、問題や失敗に次の行動を妨げさせるべきではない、という意味です。ここでの living dangerously はユーモラスな誇張で、大胆に試し続けるという意味であり、本当に危険を無視するよう勧めているのではありません。
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stop + 人 + from + -ing を使って文を完成させてください:One mistake shouldn't ____.
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stop us from trying again
experimenting with breaking:experiment with + -ing の形
experiment with doing something は、方法や行動を試して、何が起こるかを見るという意味です。ここでは breaking mathematical rules が試す対象の行動です。規則がすでに破られたという意味ではありません。 この形では with は前置詞なので、その後の動詞は -ing 形になります。experiment with breaking とし、experiment with break とはしません。
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experiment with + rearrange を正しい形にして文を完成させてください:The team is ____ the pieces to see what works best.
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experimenting with rearranging
to see if we can invent:目的を表す形
to see if we can invent は、前に述べた行動の目的を示します。その行動は、何かを生み出せるかどうかを確かめるために行われます。ここで see は「確かめる」、if は「〜かどうか」という意味で、条件を表す「もし〜なら」ではありません。 応用できる形は action + to see if + subject + can + base verb です。can の後は動詞の原形 invent を使い、invents や to invent は使いません。
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to see if... の目的を表す形を使って文を完成させてください:Let's test the materials ____ build a stronger bridge.
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to see if we can
fun new worlds to explore:抽象的な領域を「探索できる世界」にたとえる表現
ここで fun new worlds は、実在する惑星や場所のことではありません。新しい規則で作る数学の体系を、中に入って調べられる「世界」にたとえています。to explore は、その世界で何ができるかを示し、規則を試して、どんな可能性が生まれるかを見つけるという意味です。 この比喩によって、抽象的な活動が冒険のように感じられます。実際の旅行ではなく、好奇心を持って試し、発見する姿勢を表しています。
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次の文の new worlds は、何を意味する可能性が最も高いですか?A good story gives readers new worlds to explore.
- 新しく発見された惑星
- 新しい考えや想像上の可能性
- 本を保管するための新しい部屋
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新しい考えや想像上の可能性
mind-bending math:思考の枠を揺さぶる考えを表す複合形容詞
Mind-bending は、驚くほど奇妙だったり複雑だったりして、普段の考え方が揺さぶられることを表す複合形容詞です。ここで mind-bending math は、初めは想像したり理解したりしにくい一方で、驚きも感じさせる数学を指します。 心が物理的に曲がるという文字どおりの意味ではありません。ハイフンは mind と bending を結び、math の前で一つの形容詞として働かせています。
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このレッスンの複合形容詞を入れて文を完成させてください:The science show presents a ____ idea that challenges everything we assume about time.
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mind-bending