外積 | 第10章 線形代数のエッセンス：英語学習ノート

Last video, I talked about the dot product,

前回の動画では内積について話し、

showing both the standard introduction to the topic, 文法

その標準的な導入と、

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

線形変換とどのように関係しているかというより深い視点の両方を示しました。

I'd like to do the same thing for cross products,

外積についても同じことをしたいと思います。

which also have a standard introduction

外積にも標準的な導入と、

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. 慣用句

線形変換の観点からのより深い理解があります。

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

しかし今回は、2つの別々の動画に分けます。

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. 慣用句

ここでは、外積について学生が通常教わる主要なポイントを押さえます。

And in the next video,

そして次の動画では、

I'll be showing a view which is less commonly taught,

あまり一般的ではないものの、

but really satisfying when you learn it.

学ぶと非常に納得のいく視点を紹介します。

We'll start in two dimensions.

まずは2次元から始めましょう。

If you have two vectors V and W,

2つのベクトルVとWがあるとき、

think about the parallelogram that they span out. 句動詞

それらが張る平行四辺形について考えてみてください。

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, 解説

どういうことかというと、Vのコピーを取ってその始点をWの終点に移動させ、

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

Wのコピーを取ってその始点をVの終点に移動させると、

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

画面上の4つのベクトルがある平行四辺形を囲むということです。

The cross product of V and W,

VとWの外積は、

written with the X-shaped multiplication symbol,

X型の掛け算の記号で書かれ、

is the area of this parallelogram.

この平行四辺形の面積になります。

Well, almost. 話の流れ

まあ、ほぼそうです。

We also need to consider orientation.

向き（オリエンテーション）も考慮する必要があります。

Basically, if V is on the right of W,

基本的には、VがWの右側にある場合、

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

VとWの外積は正になり、平行四辺形の面積に等しくなります。

But if V is on the left of W,

しかし、VがWの左側にある場合、

then the cross product is negative,

外積は負になります。

namely the negative area of that parallelogram.

つまり、その平行四辺形の面積の負の値です。

Notice, this means that order matters. フレーズ

これは順序が重要であることを意味している点に注意してください。

If you swapped V and W,

VとWを入れ替えて、

instead taking W cross V,

代わりにWとVの外積をとると、

the cross product would become the negative of whatever it was before. 文法

外積は元の値の正負が逆になります。

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

ここでの順序を私がいつも覚えている方法は、2つの基底ベクトルの外積を順番に取ったとき、

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

iハットとjハットの外積は正になるべきだというものです。

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

実際、基底ベクトルの順序が向きを定義するものです。

So, since i-hat is on the right of j-hat,

したがって、iハットはjハットの右側にあるので、

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

VがWの右側にあるときはいつでもVとWの外積は正にならなければならないと覚えています。

So, for example, with the vectors shown here,

ですので、例えばここに示されているベクトルの場合、

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

その平行四辺形の面積は7だとだけお伝えしておきます。

And since V is on the left of W,

そしてVはWの左側にあるので、

the cross product should be negative.

外積は負になるはずです。

So, V cross W is negative seven.

したがって、VとWの外積はマイナス7です。

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

しかし当然、面積を誰かに教えられなくても計算できるようになりたいですよね。

This is where the determinant comes in. 句動詞

ここで登場するのが行列式です。

So, if you didn't see chapter five of this series, 文法

もしまだこのシリーズの第5章を見ていないなら、

where I talk about the determinant,

行列式について話しているその動画を、

now would be a really good time to go take a look.

今見に行くのがとても良いタイミングです。

Even if you did see it, but it was a while ago,

もし見たことがあっても、それが少し前だったなら、

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. 慣用句

それらの概念が頭の中で新鮮であることを確認するために、もう一度見ることをお勧めします。

For the 2D cross product, V cross W,

2次元の外積、VとWの外積については、

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

Vの座標を行列の最初の列として書き、

and you take the coordinates of W and make them the second column.

Wの座標を2番目の列にします。

Then you just compute the determinant.

そして、その行列式を計算するだけです。

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

これは、VとWを列として表す行列が、基底ベクトルiハットとjハットをVとWに移動させる線形変換に対応するからです。

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

行列式とは、変換によって面積がどのように変化するかを測定するものです。

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

私たちが注目する典型的な面積は、iハットとjハットの上にある単位正方形です。

After the transformation,

変換の後、

that square gets turned into the parallelogram that we care about. 句動詞

その正方形は私たちが関心を持っている平行四辺形に変わります。

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, 文法

したがって、通常は面積が変化する倍率を測定する行列式が、

gives the area of this parallelogram,

この平行四辺形の面積を与えてくれます。

since it evolved from a square that started with area one.

なぜなら、それは面積1で始まった正方形から進化したものだからです。

What's more, if V is on the left of W,

さらに、VがWの左側にある場合、

it means that orientation was flipped during that transformation,

それは変換中に向きが反転したことを意味し、

which is what it means for the determinant to be negative. 文法

これが行列式が負になるという意味です。

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

例として、Vの座標がマイナス3と1で、

and W has coordinates two one.

Wの座標が2と1だとします。

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

これらの座標を列とする行列の行列式は、マイナス3掛ける1引く2掛ける1となり、

which is negative five.

それはマイナス5です。

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

したがって、明らかに、それらが定義する平行四辺形の面積は5です。

And since V is on the left of W,

そして、VはWの左側にあるので、

it should make sense that this value is negative.

この値が負であることは理にかなっているはずです。

As with any new operation you learn,

新しい演算を学ぶときと同じように、

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. 解説

外積がどういうものか直感的に理解するために、頭の中でこの概念を少し弄ってみることをお勧めします。

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

たとえば、2つのベクトルが垂直であるとき、

or at least close to being perpendicular,

あるいは少なくとも垂直に近いとき、

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, 文法

それらが非常に似た方向を向いている場合よりも外積が大きくなることに気付くかもしれません。

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

なぜなら、辺が垂直に近いほど、その平行四辺形の面積は大きくなるからです。

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, 句動詞

他にも気づくかもしれないことは、それらのベクトルの1つを拡大した場合、

perhaps multiplying V by three,

おそらくVを3倍にしたとすると、

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. フレーズ

その平行四辺形の面積も3倍に拡大されます。

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. 話の流れ

これが演算にとって意味するのは、3VとWの外積は、VとWの外積の値のちょうど3倍になるということです。

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, 文法

さて、これらすべては完全に立派な数学的演算ですが、

what I just described is technically not the cross product. 語彙

私が今説明したものは、厳密には外積ではありません。

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

真の外積とは、2つの異なる3次元ベクトルを組み合わせて新しい3次元ベクトルを得るものです。

Just as before, 話の流れ

以前と同じように、

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

これから掛け合わせる2つのベクトルによって定義される平行四辺形をやはり考えます。

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. 慣用句

そして、この平行四辺形の面積は依然として大きな役割を果たします。

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. 話の流れ

具体的に言うと、ここに示されているベクトルの面積が2.5だとしましょう。

But as I said, the cross product is not a number,

しかし、私が言ったように、外積は単なる数字ではなく、

it's a vector.

ベクトルなのです。

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

この新しいベクトルの長さは、その平行四辺形の面積になります。

which in this case is 2.5.

この場合は2.5です。

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

そして、その新しいベクトルの方向は、平行四辺形に対して垂直になります。

But which way, right?

でも、どっち向きでしょうか？

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

つまり、ある平面に対して垂直な長さ2.5のベクトルは2つ考えられます。

This is where the right hand rule comes in. 語彙

ここで右手の法則が登場します。

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

右手の人差し指をVの方向に向けます。

Then stick out your middle finger in the direction of W. 句動詞

次に、中指をWの方向に突き出します。

Then, when you point up your thumb,

そして、親指を上に向けると、

that's the direction of the cross product.

それが外積の方向になります。

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

たとえば、VがZ方向に真っ直ぐ上を向いている長さ2のベクトルで、

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

Wが純粋なY方向を向いている長さ2のベクトルだとしましょう。

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

この簡単な例でそれらが定義する平行四辺形は、実は正方形です。

since they're perpendicular and have the same length. 文法

なぜなら、それらは垂直で同じ長さだからです。

And the area of that square is four.

そして、その正方形の面積は4です。

So, their cross product should be a vector with length four.

したがって、それらの外積は長さ4のベクトルになるはずです。

Using the right hand rule,

右手の法則を使うと、

their cross product should point in the negative X direction.

それらの外積は負のX方向を指すはずです。

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

したがって、これら2つのベクトルの外積はマイナス4掛けるiハットです。

For more general computations,

より一般的な計算については、

there is a formula that you could memorize if you wanted, 意図と語調

暗記したければできる公式がありますが、

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

3次元の行列式を含む特定のプロセスを覚える方が一般的で簡単です。

Now, this process looks truly strange at first.

さて、このプロセスは最初は本当に奇妙に見えます。

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

第2列と第3列にVとWの座標を含む3次元の行列を書きます。

But for that first column,

しかし、最初の列には、

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

基底ベクトルiハット、jハット、kハットを書きます。

Then, you compute the determinant of this matrix.

そして、この行列の行列式を計算します。

The silliness is probably clear here.

ここでの馬鹿げた感じはおそらく明らかでしょう。

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? 慣用句

ベクトルを行列の要素として入れるとは、一体どういう意味でしょうか？

Students are often told that this is just a notational trick.

学生たちは、これは単なる表記上のトリックだとよく教えられます。

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, 解説

iハット、jハット、kハットが数字であるかのように計算を行うと、

then you get some linear combination of those basis vectors.

それらの基底ベクトルのある線形結合が得られます。

And the vector defined by that linear combination,

そして、その線形結合によって定義されるベクトルが、

students are told to just believe, 意図と語調

学生たちはただ信じるようにと言われますが、

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

VとWに垂直で、大きさが対応する平行四辺形の面積であり、

and whose direction obeys the right hand rule.

方向が右手の法則に従う唯一のベクトルなのです。

And sure, in some sense this is just a notational trick. 意図と語調

もちろん、ある意味ではこれは単なる表記上のトリックです。

But there is a reason for doing it.

しかし、そうするのには理由があります。

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. 話の流れ

行列式が再び重要になるのは、決して偶然ではありません。

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

また、基底ベクトルをそれらのスロットに配置することも、ただランダムにやっているわけではありません。

To understand where all of this comes from,

これらすべてがどこから来ているのかを理解するには、

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

前回の動画で紹介した双対性という考え方を使うと役立ちます。

This concept is a little bit heavy, 慣用句

ただし、この概念は少し重たいです。

though.

そのため、もっと知りたいという好奇心のある方のために、別のフォローアップ動画で説明することにします。

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

間違いなく、それは線形代数の本質からは外れています。

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. 解説

ここで重要な部分は、その外積ベクトルが幾何学的に何を表しているかを知ることです。

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

ですので、次の動画をスキップしたい場合は、

So, if you want to skip that next video,

ご自由にどうぞ。

feel free. 意図と語調

しかし、もう少し深く掘り下げたい方や、この計算と背後にある幾何学との関係に興味がある方にとって、

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, 慣用句

次の動画でお話しするアイデアは、本当にエレガントな数学の一部です。

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

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