ベクトル | 第1章、線形代数のエッセンス：英語学習ノート

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

線形代数のすべての基礎であり、構成要素となるのがベクトルです。

So, it's worth making sure that we're all on the same page 解説

ですから、全員が同じ認識を持てるように、

about what exactly a vector is.

ベクトルとは正確には何なのかを確認しておく価値があります。

You see, broadly speaking, 話の流れ

実のところ、大まかに言って、

there are three distinct but related ideas about vectors,

ベクトルについては3つの異なる、しかし関連する考え方があります。

which I'll call the physics student perspective,

それらを物理学部の学生の視点、

the computer science student perspective,

情報工学部の学生の視点、

and the mathematician's perspective.

そして数学者の視点と呼ぶことにしましょう。

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

物理学部の学生の視点では、ベクトルは空間を指し示す矢印です。

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

あるベクトルを定義するのは、その長さと指し示す方向です。

But as long as those two facts are the same, 文法

しかし、その2つの事実が同じである限り、

you can move it all around and it's still the same vector.

それをどこに移動させても同じベクトルです。

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

平らな平面上に存在するベクトルは2次元であり、

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

あなたや私が住んでいるより広い空間に存在するベクトルは3次元です。

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

情報工学部の視点では、ベクトルは順序付けられた数字のリストです。

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

たとえば、あなたが住宅価格に関する分析をしていて、

and the only features you cared about were square footage and price.

気にする特徴が面積と価格だけだったとしましょう。

You might model each house with a pair of numbers,

あなたは各住宅を1組の数字でモデル化するかもしれません。

the first indicating square footage and the second indicating price.

1つ目は面積を示し、2つ目は価格を示します。

Notice the order matters here.

ここでは順序が重要になることに注意してください。

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

専門用語で言えば、住宅を2次元ベクトルとしてモデル化していることになります。

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

この文脈では、ベクトルというのはリストを少し気取って呼んだだけの言葉であり、

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

それを2次元にしているのは、そのリストの長さが2であるという事実です。

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, 話の流れ

一方、数学者はこれら両方の見方を一般化しようと努めます。

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

基本的には、2つのベクトルを足したり、ベクトルに数字を掛けたりするという

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

妥当な概念が存在するものであれば、何でもベクトルになり得ると言うのです。

operations that I'll talk about later on in this video.

これらの操作については、この動画の後半でお話しします。

The details of this view are rather abstract

この見方の詳細はかなり抽象的なので、

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

このシリーズの最後の動画までは無視して、

favoring a more concrete setting in the interim. 語彙

それまではより具体的な設定を好む方が健全だと私は思っています。

But the reason I bring it up here 句動詞

しかし、ここでそれを持ち出した理由は、

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

ベクトルの足し算という考え方や

and multiplication by numbers will play an important role

数字を掛けることが重要な役割を果たすと示唆しているからです。

throughout linear algebra.

線形代数全体を通して。

But before I talk about these operations,

しかし、これらの操作について話す前に、

let's just settle in on a specific thought to have in mind

私がベクトルという言葉を口にしたときに

when I say the word vector.

思い浮かべるべき具体的なイメージを定着させておきましょう。

Given the geometric focus that I'm shooting for here, 句動詞

ここで私が目指している幾何学的な焦点を踏まえると、

whenever I introduce a new topic involving vectors,

ベクトルが関わる新しいトピックを紹介する際には常に、

I want you to first think about an arrow,

まず矢印を思い浮かべてほしいのです。

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

具体的には、座標系の中にある矢印を考えてください。

like the XY plane,

XY平面のような座標系で、

with its tail sitting at the origin.

矢印の始点は原点に置きます。

This is a little bit different from the physics student perspective,

これは物理学部の学生の視点とは少し異なります。

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

物理学ではベクトルは空間の好きな場所に自由に存在できるからです。

In linear algebra,

線形代数においては、

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

ほとんど常にベクトルは原点を根元としています。

Then, once you understand a new concept

そして、空間内の矢印という文脈で

in the context of arrows in space, フレーズ

新しい概念を理解したら、

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

それを数字のリストとしての見方に変換します。

which we can do by considering the coordinates of the vector.

これは、ベクトルの座標を考えることで実行できます。

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

さて、皆さんの多くはこの座標系にすでに馴染みがあると思いますが、

it's worth walking through explicitly

明確におさらいしておく価値があります。

since this is where all of the important back and forth happens

なぜなら、ここが線形代数の2つの視点の間で

between the two perspectives of linear algebra.

重要な行き来が起こる場所だからです。

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

とりあえず2次元に注目すると、

you have a horizontal line called the x-axis

x軸と呼ばれる水平な線と、

and a vertical line called the y-axis.

y軸と呼ばれる垂直な線があります。

The place where they intersect is called the origin,

それらが交差する場所を原点と呼び、

which you should think of as the center of space

これを空間の中心であり、

and the root of all vectors.

すべてのベクトルの根元であると考えるべきです。

After choosing an arbitrary length to represent one,

1を表す任意の長さを選んだ後、

you make tick marks on each axis to represent this distance.

各軸にこの距離を表す目盛りを付けます。

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

これらの動画で頻繁に登場することになりますが、

which you'll see comes up a lot in these videos, 句動詞

2D空間全体というアイデアを伝えたいときは、

I'll extend these tick marks to make grid lines.

これらの目盛りを延長してグリッド線を作ります。

But right now,

しかし今のところは、

they'll actually get a little bit in the way. 慣用句

それらはむしろ少し邪魔になります。

The coordinates of a vector is a pair of numbers

ベクトルの座標は1組の数字であり、

that basically gives instructions for how to get

基本的には、原点にあるそのベクトルの始点から終点まで、

from the tail of that vector at the origin to its tip.

どのように進めばよいかの指示を与えます。

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

1つ目の数字はx軸に沿ってどれだけ歩くかを示し、

positive numbers indicating rightward motion,

正の数は右向きの動きを、

negative numbers indicating leftward motion,

負の数は左向きの動きを示します。

and the second number tells you how far to walk

2つ目の数字は、その後y軸に平行に

parallel to the y-axis after that,

どれだけ歩くかを示し、

positive numbers indicating upward motion

正の数は上向きの動きを、

and negative numbers indicating downward motion.

負の数は下向きの動きを示します。

To distinguish vectors from points,

ベクトルと点を区別するために、

the convention is to write this pair of numbers vertically

この数字のペアを角括弧で囲んで

with square brackets around them.

縦に書くのが慣例です。

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

数字のすべてのペアは唯一のベクトルを与え、

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

すべてのベクトルは唯一の数字のペアと関連付けられています。

What about in three dimensions?

3次元ではどうでしょうか？

Well, you add a third axis, called the z-axis,

そうですね、z軸と呼ばれる3つ目の軸を追加します。

which is perpendicular to both the x and y-axes,

これはx軸とy軸の両方に垂直です。

and in this case,

この場合、

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

各ベクトルは順序付けられた3つの数字の組と関連付けられます。

The first tells you how far to move along the x-axis,

1つ目はx軸に沿ってどれだけ移動するかを示し、

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

2つ目はy軸に平行にどれだけ移動するかを示し、

and the third one tells you how far to then move

3つ目はそこからこの新しいz軸に平行に

parallel to this new z-axis.

どれだけ移動するかを示します。

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

すべての数字の3つ組は空間内の唯一のベクトルを与え、

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

空間内のすべてのベクトルは正確に1つの数字の3つ組を与えます。

All right,

さて、

so back to vector addition and multiplication by numbers.

ベクトルの足し算と数字の掛け算に戻りましょう。

After all, 話の流れ

結局のところ、

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

線形代数のすべてのトピックはこの2つの操作を中心に展開されます。

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

幸いなことに、どちらも定義は非常に簡単です。

Let's say we have two vectors,

2つのベクトルがあるとしましょう。

one pointing up and a little to the right

1つは上と少し右を向いており、

and the other one pointing right and down a bit.

もう1つは右と少し下を向いています。

To add these two vectors,

これら2つのベクトルを足すには、

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

2つ目のベクトルの始点が1つ目の終点にくるように移動させます。

Then, if you draw a new vector

そして、1つ目の始点から、

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

2つ目の終点が今ある場所に向かって新しいベクトルを描けば、

that new vector is their sum.

その新しいベクトルがそれらの和です。

This definition of addition, by the way, 話の流れ

ちなみに、この足し算の定義は、

is pretty much the only time in linear algebra

線形代数においてベクトルを原点から離れさせる

where we let vectors stray away from the origin.

ほぼ唯一の機会です。

Now,

さて、

why is this a reasonable thing to do?

なぜこれが理にかなっているのでしょうか？

Why this definition of addition and not some other one?

なぜ他のものではなく、この足し算の定義なのでしょうか？

Well,

そうですね、

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

私が好きな考え方は、各ベクトルが特定の動き、

a step with a certain distance and direction in space.

つまり空間内の特定の距離と方向を伴う一歩を表しているというものです。

If you take a step along the first vector,

最初のベクトルに沿って一歩を踏み出し、

then take a step in the direction and distance

次に2番目のベクトルが示す

described by the second vector,

方向と距離に一歩を踏み出した場合、

the overall effect is just the same as if you moved

全体的な結果は、最初からそれら2つのベクトルの和に沿って

along the sum of those two vectors to start with. フレーズ

移動したのとまったく同じになります。

You could think about this as an extension

これは、数直線上で数字を足す方法を

of how we think about adding numbers on a number line.

拡張したものと考えることができます。

One way that we teach kids to think about this,

子どもたちにこのことを教える方法の1つは、

say with 2 + 5,

たとえば 2 + 5 であれば、

is to think of moving two steps to the right,

右に2歩進み、

followed by another five steps to the right.

続いてさらに右に5歩進むと考えることです。

The overall effect is the same

全体的な結果は、

as if you just took seven steps to the right.

単に右に7歩進んだのと同じです。

In fact,

実際のところ、

let's see how vector addition looks numerically.

ベクトルの足し算が数値的にどうなるか見てみましょう。

The first vector here has coordinates 1 2,

最初のベクトルの座標は 1 2 で、

and the second one has coordinates 3 -1.

2つ目のベクトルの座標は 3 -1 です。

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, 語彙

この「始点と終点を繋ぐ」方法を使ってベクトルの和を求めるとき、

you can think of a four-step path

4歩の道のりを思い浮かべることができます。

from the origin to the tip of the second vector.

原点から2つ目のベクトルの終点までの道のりです。

Walk one to the right,

右に1つ歩き、

then two up,

次に上に2つ、

then three to the right,

次に右に3つ、

then one down.

次に下に1つ。

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

これらのステップを再構成して、最初にすべての右向きの動きを行い、

then do all the vertical motion,

次にすべての垂直な動きを行うようにすると、

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

最初に右に 1 + 3 移動し、

then move 2 -1 up.

次に上に 2 - 1 移動すると読み取ることができます。

So,

したがって、

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

新しいベクトルの座標は 1 + 3 と 2 + -1 です。

In general,

一般に、

vector addition in this list of numbers conception

この数字のリストの概念におけるベクトルの足し算は、

looks like matching up their terms and adding each one together.

それらの項を対応させてそれぞれを足し合わせるように見えます。

The other fundamental vector operation

もう1つの基本的なベクトル操作は

is multiplication by a number.

数字の掛け算です。

Now,

これは、

this is best understood just by looking at a few examples. 文法

いくつかの例を見るだけで最もよく理解できます。

If you take the number two and multiply it by a given vector,

数字の2をあるベクトルに掛けるとしたら、

it means you stretch out that vector 句動詞

それはそのベクトルを引き伸ばして、

so that it's two times as long as when you started. 文法

元の2倍の長さにすることを意味します。

If you multiply that vector by, say, 1/3,

もしそのベクトルに、たとえば1/3を掛けるなら、

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. 句動詞

それはベクトルを押しつぶして元の長さの1/3にすることを意味します。

When you multiply it by a negative number,

負の数、たとえば -1.8 を掛ける場合は、

like -1.8, then the vector first gets flipped around, 句動詞

まずベクトルの向きが反転し、

then stretched out by that factor of 1.8. フレーズ

その後 1.8 倍に引き伸ばされます。

This process of stretching or squishing

このようにベクトルを引き伸ばしたり押しつぶしたり、

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

あるいは時には方向を逆にするプロセスをスケーリングと呼びます。

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

そして、2や1/3、-1.8のような数字が

acting like this, scaling some vector,

このようにあるベクトルをスケーリングするように働くとき、

you call it a scalar.

それをスカラーと呼びます。

In fact, throughout linear algebra,

実際のところ、線形代数全体を通して、

one of the main things that numbers do is scale vectors.

数字が行う主な役割の1つはベクトルをスケーリングすることです。

So,

ですから、

it's common to use the word scalar

スカラーという言葉を数字という言葉と

pretty much interchangeably with the word number. フレーズ

ほぼ同じ意味で使うことは一般的です。

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

数値的には、ベクトルをたとえば2倍に引き伸ばすことは、

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

その各成分をその係数、

two.

つまり2で掛けることに対応します。

So,

したがって、

in the conception of vectors as lists of numbers,

ベクトルを数字のリストとする概念において、

multiplying a given vector by a scalar

あるベクトルにスカラーを掛けるということは、

means multiplying each one of those components by that scalar.

その成分のそれぞれにそのスカラーを掛けることを意味します。

You'll see in the following videos what I mean

これ以降の動画で、線形代数のトピックが

when I say that linear algebra topics tend to revolve フレーズ

これら2つの基本的な操作、つまり

around these two fundamental operations,

ベクトルの足し算とスカラーの掛け算を中心に展開する傾向がある、

vector addition and scalar multiplication.

と私が言った意味がわかるでしょう。

And I'll talk more in the last video

そして最後の動画では、

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

数学者がベクトルをどのように表現するかとは独立して抽象化され、

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. 句動詞

なぜこれらの操作だけを考えるのかについて詳しく話します。

In truth,

実のところ、

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, 文法

ベクトルを根本的には空間の矢印と考え、

like I'm suggesting you do,

私が勧めているように、

that happen to have a nice numerical representation, 文法

それがたまたま素晴らしい数値表現を持っていると考えるか、

or fundamentally as lists of numbers

それとも根本的には数字のリストであり、

that happen to have a nice geometric interpretation.

たまたま素晴らしい幾何学的解釈を持っていると考えるかは重要ではありません。

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views 文法

線形代数の有用性は、これらの見方のどちらか一方に依存するというよりも、

than it does with the ability to translate back and forth between them. フレーズ

それらの間を行き来して翻訳できる能力にあります。

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

それはデータアナリストに、多くの数字のリストを

many lists of numbers in a visual way,

視覚的な方法で概念化する素晴らしい手段を与え、

which can seriously clarify patterns in data

データ内のパターンを著しく明確にし、

and give a global view of what certain operations do.

特定の操作が何を行っているかの全体像を提供します。

And on the flip side, 話の流れ

その一方で、

it gives people like physicists and computer graphics programmers

物理学者やコンピュータグラフィックスのプログラマーのような人々に、

a language to describe space

コンピュータで計算し実行できる数字を使って、

and the manipulation of space

空間や空間の操作を説明するための

using numbers that can be crunched and run through a computer. 語彙

言語を与えます。

When I do math-y animations, for example, 語彙

たとえば私が数学的なアニメーションを作るとき、

I start by thinking about what's actually going on in space 慣用句

まず空間で実際に何が起こっているかを考え、

and then get the computer to represent things numerically,

次にコンピュータにそれらを数値で表現させ、

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. 文法

それによって画面上のどこにピクセルを配置するかを計算します。

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

そしてそれを行うには、通常、線形代数の多くの理解に依存します。

So,

というわけで、

there are your vector basics,

以上がベクトルの基礎です。

and in the next video,

次の動画では、

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

ベクトルを取り巻くいくつかの非常に素晴らしい概念、

like span, bases, and linear dependence.

スパン（張る空間）、基底、そして線形従属といったものに入っていきます。

See you then.

それではまた。