線形結合、スパン、基底ベクトル | 線形代数のエッセンス 第2章：英語学習ノート

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

前回の動画では、ベクトルの足し算とスカラー倍の概念に加えて、ベクトルの座標について説明しました。

where there's this back and forth between, 慣用句

そこでは、両者の間を行ったり来たりする関係がありましたね。

for example,

例えば、

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

数字のペアと2次元ベクトルの間で。

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

さて、皆さんの多くはすでにベクトルの座標に親しんでいると思いますが、

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, 話の流れ

これらの座標について、もう一つ興味深い考え方があります。

which is pretty central to linear algebra.

それは線形代数において非常に中心的な考え方です。

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, 文法

ベクトルを表すためのペアの数字があるとき、

like 3 -2,

例えば 3 と -2 のような場合、

I want you to think about each coordinate as a scalar, 文法

それぞれの座標をスカラーとして考えてみてください。

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

つまり、それぞれがベクトルをどのように伸ばしたり縮めたりするかを考えるのです。

In the XY coordinate system,

XY座標系には、

there are two very special vectors.

2つの非常に特別なベクトルがあります。

The one pointing to the right with length one,

1つは右を向いている長さ1のベクトルで、

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

一般に i-hat（iハット）、またはX方向の単位ベクトルと呼ばれます。

and the one pointing straight up with length one,

もう1つは真上を向いている長さ1のベクトルで、

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

一般に j-hat（jハット）、またはY方向の単位ベクトルと呼ばれます。

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

さて、ベクトルのX座標を、i-hatをスケーリングするスカラーとして考えてみましょう。

stretching it by a factor of 3, フレーズ

それを3倍に引き伸ばします。

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

そして、Y座標をj-hatをスケーリングするスカラーとして考え、

flipping it and stretching it by a factor of 2.

それを反転させて2倍に引き伸ばします。

In this sense,

この意味において、

the vector that these coordinates describe

これらの座標が表すベクトルは、

is the sum of two scaled vectors.

スケーリングされた2つのベクトルの和となります。

That's a surprisingly important concept,

スケーリングされた2つのベクトルを足し合わせるというこの考え方は、

this idea of adding together two scaled vectors.

驚くほど重要な概念です。

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

ちなみに、それら2つのベクトル i-hat と j-hat には、

by the way.

特別な名前がついています。

Together, they're called the basis of a coordinate system.

2つ合わせて、座標系の「基底」と呼ばれます。

What this means basically

これが基本的に意味するのは、

is that when you think about coordinates as scalars,

座標をスカラーとして考えるとき、

the basis vectors are what those scalars actually,

基底ベクトルとは、それらのスカラーが実際に、

you know, scale.

そう、スケーリングする対象であるということです。

There's also a more technical definition,

もっと専門的な定義もありますが、

but I'll get to that later.

それについては後で触れます。

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, フレーズ

これら2つの特別な基底ベクトルを使って座標系を枠組みづけることで、

it raises a pretty interesting and subtle point. フレーズ

非常に興味深く、微妙なポイントが浮かび上がってきます。

We could have chosen different basis vectors 文法

私たちは異なる基底ベクトルを選ぶことも可能であり、

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

それでも全く妥当な新しい座標系を得ることができたはずです。

For example, take some vector pointing up and to the right,

例えば、右上を向いているあるベクトルと、

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

何らかの形で右下を向いている別のベクトルを考えてみてください。

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

どんな異なるベクトルが得られるか、少し考えてみてください。

by choosing two scalars,

2つのスカラーを選び、

using each one to scale one of the vectors,

それぞれを使ってベクトルの1つをスケーリングし、

then adding together what you get.

それから、得られたものを足し合わせるのです。

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

スカラーの選び方を変えることで、どの2次元ベクトルに到達できるでしょうか？

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

答えは、あらゆるすべての2次元ベクトルに到達できる、です。

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

そして、それがなぜなのかをじっくり考えるのは、良いパズルだと思います。

A new pair of basis vectors like this

このような新しい基底ベクトルのペアでも、

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

数字のペアと2次元ベクトルの間を

and two-dimensional vectors,

行ったり来たりする有効な方法を提供してくれます。

but the association is definitely different from the one that you get

しかし、その対応関係は、より標準的な i-hat と j-hat の基底を使った場合に

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

得られるものとは明らかに異なります。

This is something I'll go into much more detail on later, 句動詞

これについては後でずっと詳しく説明し、

describing the exact relationship between different coordinate systems,

異なる座標系間の正確な関係について述べますが、

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

今のところは、この事実を理解してほしいのです。

any time we describe vectors numerically,

数値でベクトルを表すときにはいつでも、

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. フレーズ

どの基底ベクトルを使っているかという暗黙の選択に依存しているということを。

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

さて、このように2つのベクトルをスケーリングして足し合わせることを、

it's called a linear combination of those two vectors. 語彙

これら2つのベクトルの「線形結合」と呼びます。

Where does this word linear come from?

この「線形」という言葉はどこから来たのでしょうか？

Why does this have anything to do with lines? フレーズ

なぜこれが線（lines）と関係があるのでしょうか？

Well, this isn't the etymology,

まあ、これは語源ではありませんが、

but one way I like to think about it is that 話の流れ

私が好む1つの考え方は、

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

スカラーのうちの1つを固定して、もう1つの値を自由に変化させると、

the tip of the resulting vector draws a straight line.

合成されたベクトルの先端が直線を引く、というものです。

Now, if you let both scalars range freely 文法

さて、両方のスカラーを自由に動かして、

and consider every possible vector that you can get,

得られるあらゆる可能性のあるベクトルを考えると、

there are two things that can happen.

2つのことが起こり得ます。

For most pairs of vectors,

ほとんどのベクトルのペアでは、

you'll be able to reach every possible point in the plane.

平面上のあらゆる点に到達できるでしょう。

Every two-dimensional vector is within your grasp. 慣用句

すべての2次元ベクトルがあなたの手の届くところにあります。

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, 句動詞

しかし、運悪く元の2つのベクトルが一直線に並んでしまった場合、

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

得られるベクトルの先端は、原点を通るこの1本の直線上に制限されてしまいます。

Actually, technically, there's a third possibility, too.

実は、厳密に言えば、3つ目の可能性もあります。

Both your vectors could be zero,

両方のベクトルがゼロになる場合で、

in which case you'd just be stuck at the origin. 文法

その場合は原点にとどまったままになります。

Here's some more terminology.

ここでもう少し専門用語を紹介します。

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

与えられたベクトルのペアの線形結合によって到達できる、あらゆる可能なベクトルの集合を、

is called the span of those two vectors. 語彙

それら2つのベクトルの「張る空間（スパン）」と呼びます。

So, restating what we just saw in this lingo,

つまり、今見たことをこの専門用語で言い換えると、

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

ほとんどの2Dベクトルのペアが張る空間は2D空間のすべてのベクトルですが、

but when they line up,

それらが一直線に並んだ場合、

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

それらが張る空間は、先端が特定の直線上にあるすべてのベクトルとなります。

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? 慣用句

線形代数はベクトルの足し算とスカラー倍を中心に回っていると言ったのを覚えていますか？

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

つまり、2つのベクトルが張る空間というのは、基本的には次のように問いかけているのです。

what are all the possible vectors you can reach

これら2つの基本的な操作、すなわち

using only these two fundamental operations,

ベクトルの足し算とスカラー倍だけを使って、

vector addition and scalar multiplication?

到達できるすべての可能なベクトルは何ですか？と。

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

今が、人々がベクトルを点として一般的にどう考えるかについて話す良い機会です。

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

ベクトルの集まり全体が1本の直線上にあると考えるのは非常に窮屈ですし、

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

すべての2次元ベクトルが一度に平面を埋め尽くすと考えるのはさらに窮屈です。

So, when dealing with collections of vectors like this,

そのため、このようなベクトルの集まりを扱うときは、

it's common to represent each one with just a point in space.

それぞれを空間内の単なる1つの点として表すのが一般的です。

The point at the tip of that vector,

そのベクトルの先端にある点です。

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

その際、いつものようにベクトルの始点を原点に置いた状態で考えてください。

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

そうすれば、先端が特定の直線上にあるすべての可能なベクトルについて考えたい場合、

just think about the line itself.

ただその直線自体を考えればよいのです。

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

同様に、考え得るすべての2次元ベクトルを一度に考えるには、

conceptualize each one as the point where its tip sits.

それぞれのベクトルをその先端がある点として概念化します。

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

そうすると、結果的にあなたが考えるのは、2次元空間自体の無限に広がる平らなシートであり、

leaving the arrows out of it. 句動詞

矢印はそこから除外されます。

In general, if you're thinking about a vector on its own, フレーズ

一般的に、ベクトルを単独で考えるときは、

think of it as an arrow.

それを矢印として考えます。

And if you're dealing with a collection of vectors,

そして、ベクトルの集まりを扱うときは、

it's convenient to think of them all as points.

それらすべてを点として考えるのが便利です。

So, for our span example,

ですから、スパンの例で言えば、

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, 句動詞

ほとんどのベクトルのペアの張る空間は、無限に広がる2次元空間のシート全体になりますが、

but if they line up,

もしそれらが一直線に並んだ場合は、

their span is just a line.

張る空間はただの直線になります。

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

3次元空間のベクトルについて考え始めると、スパンのアイデアはずっと面白くなります。

For example,

例えば、

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

3次元空間で同じ方向を向いていない2つのベクトルをとった場合、

what does it mean to take their span?

それらが張る空間とは何を意味するのでしょうか？

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

まあ、それらが張る空間とは、これら2つのベクトルの考え得るすべての線形結合の集まりです。

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

つまり、それら2つのそれぞれを何らかの方法でスケーリングし、

and then adding them together.

足し合わせて得られるすべての可能なベクトルを意味します。

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, 慣用句

線形結合を定義する2つのスカラーを変えるために2つの異なるノブを回し、

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

スケーリングされたベクトルを足して、結果のベクトルの先端をたどるようなところを想像してみてください。

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

その先端は、3次元空間の原点を貫くある種の平らなシートを描き出します。

This flat sheet is the span of the two vectors,

この平らなシートが2つのベクトルの張る空間であり、

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. 話の流れ

より正確に言えば、先端がその平らなシート上にあるすべての可能なベクトルの集合が、2つのベクトルの張る空間なのです。

Isn't that a beautiful mental image?

美しい心の中のイメージだと思いませんか？

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

では、3つ目のベクトルを追加して、それら3つすべての張る空間を考えるとどうなるでしょうか？

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

3つのベクトルの線形結合は、2つの場合とほぼ同じように定義されます。

You'll choose three different scalars,

3つの異なるスカラーを選び、

scale each of those vectors,

それらのベクトルをそれぞれスケーリングし、

and then add them all together.

それからすべてを足し合わせます。

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

ここでも、これらのベクトルが張る空間は、あらゆる可能な線形結合の集合です。

Two different things could happen here.

ここでは2つの異なる事態が起こり得ます。

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

もし3つ目のベクトルがたまたま最初の2つのベクトルが張る空間上にあった場合、

then the span doesn't change.

張る空間は変わりません。

You're sort of trapped on that same flat sheet.

あなたはその同じ平らなシートに閉じ込められているような状態です。

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination 話の流れ

言い換えれば、その3つ目のベクトルのスケーリングされたバージョンを線形結合に加えても、

doesn't really give you access to any new vectors.

新たなベクトルへのアクセスが実際に得られるわけではありません。

But if you just randomly choose a third vector,

しかし、もしランダムに3つ目のベクトルを選んだなら、

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

それはほぼ間違いなく最初の2つの張る空間上にはありません。

Then, since it's pointing in a separate direction,

その場合、それは別の方向を向いているため、

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. 慣用句

考え得るすべての3次元ベクトルへのアクセスを解放します。

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

私の好きな考え方の1つは、その新しい3つ目のベクトルをスケーリングするにつれて、

it moves around that span sheet of the first two,

最初の2つが張る平面を移動させ、

sweeping it through all of space.

その平面で空間全体を掃くように動かす、というものです。

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal 慣用句

別の考え方としては、自由に変更できる3つのスカラーをフルに活用して、

to access the full three dimensions of space.

空間の完全な3次元にアクセスしているというものです。

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

さて、3つ目のベクトルがすでに最初の2つの張る空間上にあった場合、

or the case where two vectors happen to line up,

あるいは2つのベクトルがたまたま一直線に並んだ場合、

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, 語彙

これらのベクトルのうち少なくとも1つは冗長であり、

not adding anything to our span.

スパンに何も追加していないという事実を説明するための専門用語が必要です。

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

複数のベクトルがあり、スパンを縮小することなくそのうちの1つを取り除くことができるような事態が発生したときはいつでも、

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. 語彙

関連する用語として、それらは「線形従属」であると言われます。

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, フレーズ

それを別の言葉で表現すると、ベクトルの1つが他のベクトルの線形結合として表現できる、ということです。

since it's already in the span of the others.

なぜなら、それはすでに他のベクトルが張る空間の中にあるからです。

On the other hand, 話の流れ

一方で、

if each vector really does add another dimension to the span, 文法

もし各ベクトルが本当に張る空間に別の次元を追加しているなら、

they're said to be linearly independent. 語彙

それらは「線形独立」であると言われます。

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

さて、これらすべての専門用語と、うまくいけばそれに伴う良い心のイメージを持ったところで、

let me leave you with a puzzle before we go. フレーズ

最後にパズルを残して終わりにしましょう。

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. 語彙

空間の「基底」の専門的な定義は、その空間を張る線形独立なベクトルの集合です。

Now, given how I described a basis earlier,

さて、私が先ほど基底をどのように説明したかを踏まえ、

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

そしてあなたが今持っているスパンと線形独立という言葉の理解を踏まえて、

think about why this definition would make sense.

なぜこの定義が理にかなっているのか考えてみてください。

In the next video,

次の動画では、

I'll get into matrices in transforming space.

空間を変換する行列について掘り下げていきます。

See you then.

それではまた。