3次元の線形変換 | 第5章 線形代数のエッセンス：英語学習ノート

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

皆さんこんにちは。今日は少し短めの動画をお届けします。

just sort of a footnote between chapters. 解説

章と章の間のちょっとした補足のようなものです。

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

過去2つの動画では、線形変換と行列についてお話ししましたが、

but I only showed the specific case of transformations

それは特定の変換のケースのみをお見せしました。

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

すなわち、2次元ベクトルを他の2次元ベクトルに変換するものです。

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

このシリーズ全体を通して、私たちは主に2次元で扱っていきます。

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. 慣用句

主な理由は、画面上で実際に見て理解するのが簡単だからです。

But more importantly than that, 話の流れ

しかしそれ以上に重要なのは、

once you get all the core ideas in two dimensions,

2次元での核となるアイデアをすべて理解すれば、

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. 句動詞

それらは高次元へも非常にスムーズに応用できるということです。

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then 解説

それでも、たまには平面の世界から少し顔を出してみるのも良いでしょう。

to, you know, see what it means to apply these ideas

これらのアイデアを適用するとはどういうことなのかを見るために、

in more than just those two dimensions. 文法

2次元を超える空間において。

For example, consider a linear transformation

例えば、線形変換を考えてみましょう。

with three-dimensional vectors as inputs

入力が3次元ベクトルで、

and three-dimensional vectors as outputs.

出力も3次元ベクトルのものです。

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space 語彙

これを視覚化するには、3次元空間のすべての点を動かして変形させます。

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced 文法

グリッドで表される空間で、グリッド線が平行かつ等間隔に保たれ、

and which fixes the origin in place. 語彙

かつ原点が固定されたままになるようにします。

And just as with two dimensions,

そして2次元の時と同様に、

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector 語彙

空間内を移動しているように見えるすべての点は、実際にはベクトルを代弁しており、

who has its tip at that point

その点に先端を持つベクトルのことです。

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. 話の流れ

私たちが実際に考えているのは、入力ベクトルが対応する出力ベクトルへと移動することです。

And just as with two dimensions,

そして2次元の場合と同じように、

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. フレーズ

これらの変換の1つは、基底ベクトルがどこへ行くかによって完全に記述されます。

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

しかし今回は、一般的に使用される標準的な基底ベクトルが3つあります。

The unit vector in the x direction, i-hat,

x方向の単位ベクトル、i-hat、

the unit vector in the y direction, j-hat,

y方向の単位ベクトル、j-hat、

and a new guy, 語彙

そして新しい仲間である、

the unit vector in the z direction, called k-hat.

z方向の単位ベクトル、k-hatです。

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

実際、すべての点を表す完全な3Dグリッドはごちゃごちゃしがちなので、

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

それらの基底ベクトルだけを追うことで、これらの変換を考えるほうが簡単だと思います。

By leaving a copy of the original axes in the background, 文法

背景に元の座標軸のコピーを残しておくことで、

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. 語彙

これら3つの基底ベクトルのそれぞれがどこに着地するかの座標を考えることができます。

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

これら3つのベクトルの座標を、3x3行列の列として記録します。

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

これにより、わずか9つの数字だけで変換を完全に記述する行列が得られます。

As a simple example,

簡単な例として、

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

空間をy軸を中心に90度回転させる変換を考えてみましょう。

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. 語彙

これは、i-hatをz軸上の座標 (0, 0, -1) に移すことを意味します。

It doesn't move j-hat,

j-hatは動かないので、

so it stays at the coordinates 0 1 0,

座標 (0, 1, 0) に留まり、

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

そして k-hatはx軸上の (1, 0, 0) に移動します。

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

これら3組の座標が、その回転変換を記述する行列の列になります。

To see where a vector with coordinates x y z lands,

座標 (x, y, z) のベクトルがどこに移動するかを見るには、

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. フレーズ

その推論は2次元の時とほぼ全く同じです。

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector 解説

これらの座標のそれぞれは、各基底ベクトルをどうスケーリングするかという指示として考えることができ、

so that they add together to get your vector.

それらを足し合わせることで、あなたのベクトルが得られます。

And the important part, just like the 2D case, 話の流れ

そして2Dのケースと同様に重要な点は、

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. 文法

このスケーリングと加算のプロセスが、変換の前後でどちらも機能するということです。

So to see where your vector lands,

したがって、ベクトルがどこに着地するかを見るには、

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix フレーズ

それらの座標に、行列の対応する列を掛けて、

and then you add together the three results.

その3つの結果を足し合わせます。

Multiplying two matrices is also similar.

2つの行列の掛け算も同様です。

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, 文法

2つの3x3行列が掛け合わされているのを見るたびに、

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, 語彙

まず右側の行列にコード化された変換を適用し、

then applying the transformation encoded by the left one.

次に左側の行列にコード化された変換を適用する、と想像すべきです。

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics 話の流れ

実のところ、3Dの行列乗算はコンピュータグラフィックスやロボット工学のような分野では非常に重要です。

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

なぜなら、3次元の回転のようなものは記述するのが非常に難しい場合があるからです。

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down 句動詞

しかし、個別の考えやすい回転の組み合わせとして

as the composition of separate, easier to think about rotations. 語彙

分解できれば、理解するのが簡単になります。

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

この行列の掛け算を数値的に実行することは、繰り返しますが

pretty similar to the two-dimensional case.

2次元の場合と非常に似ています。

In fact, a good way to test your understanding of the last video 文法

実際、前回の動画の理解度をテストする良い方法は、

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, 句動詞

この行列の掛け算が具体的にどのような形になるべきかを推論してみることでしょう。

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

空間において連続する2つの変換を適用するというアイデアに、それがどう関連するのかを注意深く考えながら。

In the next video,

次の動画では、

I'll start getting into the determinant. 句動詞

行列式について説明し始めます。