力学を使って3.14分でわかる e^(iπ) | DE5：英語学習ノート

One way to think about the function e to the t is to ask what properties does it have? 話の流れ

関数 e^t について考える1つの方法は、それがどんな性質を持つか問うことです。

Probably the most important one,

おそらく最も重要な性質は、

and from some points of view the defining property, 意図と語調

見方によっては決定的な性質でもありますが、

is that it is its own derivative. 文法

その導関数がそれ自身であるということです。

Together with the added condition that inputting zero returns one, 語彙

0を入力すると1を返すという追加条件と合わせると、

it's actually the only function with this property.

実はこの性質を持つ関数はこれだけなのです。

And you can illustrate what this means with a physical model. フレーズ

これが何を意味するのか、物理モデルを使って説明できます。

If e to the t describes your position on a number line as a function of time, 語彙

もし e^t が、数直線上のあなたの位置を時間の関数として表しているとしたら、

then you start at the number one,

あなたは1という数字の場所からスタートし、

and what this equation is saying is that your velocity, 文法

この方程式が言っているのは、あなたの速度、

the derivative of position,

つまり位置の導関数が、

is always equal to that position.

常にその位置と等しいということです。

The farther away from zero you are, 文法

0から遠ざかるほど、

the faster you move.

移動する速度は速くなります。

So even before knowing how to compute e to the t exactly, 文法

だから、e^t を正確に計算する方法を知る前から、

going from a specific time to a specific position,

ある時間からある位置を求めることにおいて、

this ability to associate each position with a velocity フレーズ

各位置を速度と結びつけるこの能力は、

paints a very strong intuitive picture of how the function must grow. 慣用句

この関数がどう増えるべきかについて、非常に強力で直感的なイメージを与えてくれます。

You know that you'll be accelerating,

あなたは自分が加速していくこと、

and at an accelerating rate, フレーズ

しかも加速度的に加速し、

with an all-around feeling of things getting out of hand quickly. 慣用句

物事が急速に制御不能になっていくような感覚を覚えることでしょう。

And if you add a constant to that exponent,

そして、もしその指数に定数を加えたら、

like e to the 2 times t,

例えば e^(2t) のようにした場合、

the chain rule tells us that the derivative is now 2 times itself.

連鎖律によれば、その導関数は自身の2倍になります。

So at every point on the number line,

だから、数直線上のすべての点で、

rather than attaching a vector corresponding to the number itself, 文法

数字そのものに対応するベクトルを付けるのではなく、

first double the magnitude of the position,

まず位置の大きさを2倍にしてから、

then attach it.

それを付けるのです。

Moving so that your position is always e to the 2t

あなたの位置が常に e^(2t) になるように移動することは、

is the same thing as moving in such a way 文法

次のように移動するのと同じことです。

that your velocity is always twice your position.

つまり、あなたの速度が常に位置の2倍になるように移動するということです。

The implication of that too

それが意味することはまた、

is that our runaway growth feels all the more out of control. フレーズ

この暴走する成長が、さらに制御不能に感じられるということです。

If that constant was negative,

もしその定数が負だった場合、

say negative 0.5,

例えば -0.5 だとしたら、

then your velocity vector is always negative 0.5 times your position vector,

あなたの速度ベクトルは常に位置ベクトルの -0.5 倍になります。

meaning you flip it around 180 degrees

これは、それを180度反転させ、

and scale its length by a half. 語彙

長さを半分に縮めるということです。

Moving in such a way

次のように移動すること、

that your velocity always matches this flipped and squished copy of your position vector,

つまり速度が常に、この反転して縮小された位置ベクトルのコピーと一致するように移動することで、

you go the other direction,

あなたは逆方向へ進み、

slowing down in an exponential decay towards zero. 語彙

指数関数的減衰によって0に向かって減速していきます。

But what about if that constant was i, 意図と語調

しかし、もしその定数が i だったらどうでしょう？

the square root of negative one?

マイナス1の平方根のことです。

If your position was always e to the i t,

もしあなたの位置が常に e^(it) だとしたら、

how would you move as the time t ticks forward?

時間 t が進むにつれて、あなたはどのように移動するでしょうか？

Well, now the derivative of your position will always be i times itself,

さて、今やあなたの位置の導関数は常に自身の i 倍になります。

and multiplying by i has the effect of rotating numbers 90 degrees. フレーズ

そして i を掛けることは、数値を90度回転させる効果があります。

So, as you might expect, 話の流れ

だから、ご想像の通り、

things only make sense here if we start thinking beyond the number line 慣用句

ここでの物事は、数直線を越えて、

and in the complex plane.

複素平面上で考え始めて初めて意味を成すのです。

So, even before you know how to compute e to the i times t,

そのため、e^(it) の計算方法を知る前から、

you know that for any position this might give for some value of time,

ある時間 t の値によってどんな位置が与えられようとも、

the velocity at that time will be a 90 degree rotation of that position.

その時の速度は、その位置を90度回転させたものになると分かるのです。

Drawing this for all possible positions you might come across, 句動詞

あなたが遭遇するかもしれないすべての可能な位置についてこれを描くと、

you get a vector field,

ベクトル場が得られます。

where as usual with vector fields,

そこでは、ベクトル場でよくあるように、

you shrink things down to avoid clutter. 句動詞

見づらさを避けるためにそれらを縮小して描きます。

At time t equals zero,

時間 t が0のとき、

e to the i t will be one,

e^(it) は1になります。

that's our initial condition,

それが私たちの初期条件です。

and there's only one trajectory starting from that position

そして、その位置から始まる軌道は1つしかなく、

where your velocity is always matching the vector that it's passing through,

そこでの速度は、通過する点のベクトルに常に一致します。

a 90 degree rotation of the position.

すなわち、位置を90度回転させたものです。

It's when you go around a circle of radius one

それは、半径1の円の周りを、

at a speed of one unit per second. 語彙

毎秒1単位の速度で移動する場合です。

So, after pi seconds,

したがって、pi 秒後には、

you've traced a distance of pi around.

円周に沿って pi の距離をなぞったことになります。

So, e to the i times pi should be negative one. 文法

だから、e^(iπ) はマイナス1になるはずです。

After tau seconds,

tau 秒後には、

you've gone full circle.

ちょうど1周したことになります。

E to the i times tau equals one.

e^(iτ) は1に等しいのです。

And more generally, 話の流れ

そしてより一般的には、

e to the i times t equals a number

e^(it) は、複素平面上のこの単位円に沿って

that's t radians around this unit circle in the complex plane.

t ラジアンだけ回ったところにある数と等しくなります。

Nevertheless, 話の流れ

それでもなお、

something might still feel immoral about putting an imaginary number up in that exponent. 慣用句

あの指数の部分に虚数を置くことには、まだ何か道徳に反するような感覚があるかもしれません。

And you would be right to question that. 意図と語調

そして、それに疑問を持つのはもっともなことです。

What we write as e to the t is a bit of a notational disaster, 慣用句

私たちが e^t と書く表記法は、ちょっとした悲劇であり、

giving the number e and the idea of repeated multiplication

数 e や、繰り返しの掛け算という概念に、

way more emphasis than they deserve. 文法

ふさわしい以上の過剰な強調を与えてしまっています。

But my time is up, 慣用句

しかし、私の時間はここまでです。

so I'll spare you the full rant until the next video. 意図と語調

ですので、この不満の全貌は次の動画まで取っておくことにします。