次元の間の変換としての非正方行列 | 第8章、線形代数のエッセンス：英語学習ノート
3Blue1Brown
動画の概要：このレッスンでは、非正方行列が異なる次元の間でベクトルをどう写すかを幾何的に示し、列を入力の基底ベクトル、行を出力座標と結び付けます。 主な英語学習ポイント： 1. "I thought I'd" - 会話の語用論・態度：話し手が現在の意図を控えめな個人的考えとして提示し、頼まれていない説明でも唐突に押し付けず、親しみやすく導入する方法を理解します。 2. "out in the wild," - イディオム・比喩表現：自然界ではなく、授業外の実例や実際の利用場面で何かに出会うという意味を見分け、くだけた技術説明で使えるようにします。 3. "takes in" / "spits out" - 句動詞：処理がベクトルを受け取り数値を生成するという入出力の比喩を理解し、"spits out" が鮮明でくだけた表現だと判断できるようにします。
解説一覧
I've got another quick footnote for you between chapters today. 話の流れ
0:12今日はチャプターの間に、ちょっとした補足をしたいと思います。
章の間の quick footnote（短い補足）
ここでの quick footnote は、ページの下にある本当の脚注ではなく、たとえとして使われています。話し手は、メインの章と章の間に入れる、メインの内容とつながった短い補足説明をこう呼んでいます。 quick は短くて補足的な内容だと示し、footnote はメインの流れを支える情報だと示します。完全に新しい章を始めるという意味ではありません。
練習
メインの章の間に置く短い補足説明を表し、完全な新しい章ではないものはどの表現ですか？
- quick footnote
- full chapter
- quick aside
- main conclusion
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quick footnote
I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors
0:17基本的に2次元ベクトルから別の2次元ベクトルへの変換か、
But several commenters have asked about non-square matrices, 文化背景
0:29しかし、非正方行列について質問するコメントがいくつかあったので、
non-square matrices（非正方行列）
non-square matrices は、行数と列数が異なる行列を指します。この表現が説明しているのは行列の次元であり、外形が整っているか不規則に見えるかではありません。 たとえば、4行2列の行列は non-square です。行数と列数が同じ行列は square matrix です。この用語を使うと、働きについて話す前に行列の形を分類できます。
練習
行数と列数が異なる行列を正しく表す表現はどれですか？
- square numbers
- non-square matrices
- non-square numbers
- square matrices
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non-square matrices
so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. 解説
0:32それらが幾何学的に何を意味するのかを少し説明しようと思います。
I thought I'd で計画をやわらかく切り出す
この文の I thought I'd は、話し手がこれからすることを切り出しています。過去に抱いた考えを詳しく報告しているのではなく、現在の意図をやわらかく示しています。 型は I thought I'd + 動詞の原形 です。計画や申し出を、唐突ではなく、くだけて相手に配慮した響きにします。ここでの I'd は I would の意味なので、後ろには動詞の原形 take が続きます。
練習
次の文を読んでください：I thought I'd show you a simpler method. I thought I'd は何を伝えていますか？
- 話し手が過去にその動作を確実に完了したと伝えています。
- 話し手の現在の計画をやわらかく切り出しています。
- 誰かが話し手に行動を強制したと伝えています。
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話し手の現在の計画をやわらかく切り出しています。
take a moment to：少し時間を取って行う
take a moment to + 動詞の原形では、moment は短い時間を表します。この表現は、次の行動をするために少し立ち止まる、またはわずかな時間を取ることを示します。 ここでは、話し手が短い説明を始めるために使っています。同じ型で、確認する、感謝する、考える、何かに気づくといった行動も導入できます。
練習
「次の行動をするために少し時間を取る」という意味の目標表現を入れて、文を完成させてください：Before submitting the form, please ____ check your phone number.
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take a moment to
you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, フレーズ
0:36皆さんはすでにこのような問題を自分で考え始めるための背景知識をほとんど持っていますが、
on your own：自力で何かをする
ここで on your own は「自分で」または「話し手に導いてもらわずに」という意味です。どこにいるかではなく、どのようにその問いを考えるかを表しています。 形は on + 所有格 + own です。on my own、on your own、on her own など、誰について言うかによって所有格が変わります。
練習
「助けを借りずに」という意味になるように、レッスンの表現で文を完成させてください：You have enough information to solve the puzzle ____.
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on your own
but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. 解説
0:40少しだけ頭の準備運動として私からお話ししましょう。
talking through it：考え方を順を追って説明する
Talking through it は、問いと自分の考え方を、順序が分かるように声に出して説明することです。through には思考の始めから結論まで進む感じがあり、物理的に何かを通り抜ける意味ではありません。 ここで it は、すでに出た問いを指します。話し手が説明を始めるのは、聞き手に背景知識がまったくないからではなく、考え始める助けにするためです。
練習
Elena が考え方を順序立てて一つずつ説明することを表す文はどれですか？
- Elena will mention that a solution exists.
- Elena will talk through the solution.
- Elena will talk about the solution in general.
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Elena will talk through the solution.
give a little mental momentum の比喩的な意味
give a little mental momentum では、momentum が比喩として使われています。物理学の momentum は物体が動き続ける勢いを表しますが、ここでは話し手の思考を動かし、続けやすくする小さな最初のひと押しを意味します。 mental momentum は正確な物理量でも、正式な心理学用語でもありません。何かを始めると、考えや行動がそのまま前に進みやすくなる感覚を表す、分かりやすく柔軟な表現です。
練習
mental momentum を、思考や作業を続けやすくする最初のひと押しという意味で使っている文はどれですか。
- I outlined two ideas to build some mental momentum before writing the report.
- I waited for mental momentum to tell me whether the claim was true.
- I calculated the mental momentum of a moving bicycle.
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I outlined two ideas to build some mental momentum before writing the report.
It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions フレーズ
0:44異なる次元間の変換について考えるのは完全に理にかなっています。
It's perfectly reasonable to ... で完全に妥当だと示す
It's perfectly reasonable to + 動詞 は、ある行為が十分に理にかない、受け入れられ、正当化できると評価する形です。to の後の不定詞が評価される行為を示し、ここでは talk about transformations between dimensions がその行為です。 この形の perfectly は reasonable を強め、完全にという意味になります。非の打ち所がない方法で、という意味ではありません。相手を安心させたり、ある考えが妥当かどうかという疑いをはっきり取り除いたりするときに使います。
練習
その行為が理にかない、受け入れられると強く示す、正確な4語の形で文を完成させてください：____ ask for clarification when the instructions are unclear.
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It's perfectly reasonable to
What makes X Y is that... で決定条件を示す
what makes one of these linear は、文の主語として働く名詞節です。ここでの what は「～を成り立たせるもの・条件」という意味なので、疑問文ではなく説明の文です。 is that の後ろに、その判断を成り立たせる根拠が続きます。並列された2つの that 節は、格子線が平行かつ等間隔のままで、原点が原点に写されるとき、その変換が線形であることを示します。応用できる型は What makes X Y is that + 条件です。
練習
What makes X Y is that... の型を使って文を完成させてください：____ this bottle easy to carry ____ it is light and has a strong handle.
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What makes · is that
origin maps to the origin の map to
数学で A maps to B は、関数や変換によって入力 A が出力 B に送られるという意味です。ここで map は「地図を描く」という意味ではなく、map to は決められた対応関係を表します。 この文では、A と B はどちらも原点です。出力も原点なので、原点は変換によって動かず、不動点になります。A maps to B の型は、ほかの関数の出力にも使えます。
練習
“Under the function, 2 maps to 8,” という文で、maps to はどのような意味ですか？
- 2が物理的に8の方向へ移動する。
- この関数では、2の出力は8である。
- 2が8を示す地図を描く。
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この関数では、2の出力は8である。
What I have pictured here is ... の提示構文
「What I have pictured here」全体が主語として働く what 節です。「この図に示したもの」という意味で、この文の pictured は「頭の中で思い描いた」ではなく「視覚的に表した」という意味です。 is は、その主語全体と、主語が何であるかを示す後ろの名詞句を結びます。この枠組みを使うと、まず図に注意を向けさせ、そのあとで図の内容を示せます。
練習
図が示す内容を導入する正確な枠組みを使って、プレゼンの文を完成させてください：____ the route each packet takes.
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What I have pictured here is
input space と output of the transformation
input space は、変換を適用する前の値やベクトルが含まれる数学的な空間です。この文では、左側にある2次元空間を指します。 output of the transformation は、規則によって生成され、右側に示された結果または変換後の集合です。この2つの用語によって、図は「最初の対象、演算、結果」という流れで整理されます。入力と出力は次元の異なる空間に属することもあります。ここでの output は数学的な結果であり、表示装置やプログラムのログではありません。
練習
2つの目標用語を使って数学の説明を完成させてください：The ____ contains vectors before the rule is applied, and the ____ is the result produced by the rule.
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input space · output of the transformation
The reason ... is not just ...：一つの理由だけでは説明しきれない
The reason は、説明が必要な状況を示します。The reason と is の間にある節全体が、話し手が何について説明しているのかを表します。 is not just は、挙げられた原因だけでは説明が不十分だという意味で、その原因が完全に間違いだとは限りません。ここでは animation laziness も理由の一部かもしれませんが、この表現によって、あとにもっと重要な理由が続くと予告しています。
練習
The reason ... is not just ... の二つの部分を使って文を完成させてください：____ we canceled the picnic ____ the rain; the park is also closed.
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The reason · is not just
It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs 解説
1:122次元ベクトルの入力は、完全に切り離された無関係の空間に存在する
It's worth emphasizing that ...：重要な点を示す表現
It's worth emphasizing that は、後に続く内容が特に注目すべき点だと聞き手に示します。説明や議論の中で、周りの細部より重要な情報として目立たせる表現です。 ここで that の後には完全な節が続きます。形は It is worth + -ing なので、動名詞 emphasizing を使います。It's worth emphasizing that ... と言い、It's worth to emphasize that ... とは言いません。
練習
特に注目すべき点を正しく導入している文はどれですか。
- It's worth emphasizing that every team needs a backup plan.
- It's worth emphasize that every team needs a backup plan.
- It's worth to emphasize that every team needs a backup plan.
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It's worth emphasizing that every team needs a backup plan.
「very different animals from」の比喩表現
ここでの very different animals from は比喩表現です。2次元の入力と3次元の出力を同じ種類のベクトルデータとして扱うべきではない、という意味です。それぞれ異なる次元の空間に属し、変換の中で異なる役割を持ちます。 一般に、X is a different animal from Y は、XとYが単に程度の面で少し違うのではなく、種類、構造、動き方の面で異なることを表します。animals は本物の動物を指すわけでも、比較対象を悪く言う表現でもありません。
練習
文 "Managing one shop is a very different animal from running a national chain," の a different animal はどのような意味ですか？
- 一方の仕事では本物の動物を扱う。
- 2つ目の仕事のほうがほんの少し難しいだけである。
- 根本的に種類の違う仕事である。
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根本的に種類の違う仕事である。
Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. フレーズ
1:21このような変換を行列でエンコードすることは、これまでにやってきたことと全く同じです。
「Encoding ... with a matrix」の構造
Encoding one of these transformations with a matrix は、その変換の働きを行列の形で表すことを意味します。表される情報が変換であり、それを記録する表現方法が行列です。 encode A with B という構造は「Bを使ってAを表す」という意味です。この文脈での encode は数学的な表現を指し、情報を秘密にする暗号化や文字コードへの変換ではありません。
練習
「行列を使って回転を表す」という意味になるように、目的の動詞と前置詞を入れてください：We can ____ the rotation ____ a matrix.
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encode · with
really just the same thing as：本質的に同じであること
really just the same thing as は、新しい方法を、すでに知っている方法と本質的に同じものとして示します。really は話し手の確信を強め、just はここでは「単に」「要するに」という意味で、「たった今」ではありません。 形は be + really just the same thing as + 名詞または -ing 節です。見た目の細部が違っても、根本の考え方や手順は同じだと示し、新しい概念を身近にします。
練習
レッスンで学んだ比較表現全体を使って文を完成させてください：Learning the new shortcut may look different, but it is ____ using the old command with fewer steps.
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really just the same thing as
where each basis vector lands：各基底ベクトルの写る先
where each basis vector lands の lands は、変換によって得られる出力位置を表す空間的な比喩です。ベクトルが実際に移動したり着地したりするわけではなく、変換によってどこへ送られるかを尋ねています。 where 節全体が、確認する情報、つまり各基底ベクトルの行き先を表します。行列表現では、それらの出力ベクトルが行列の各列になります。
練習
“You look at where each basis vector lands” の lands は何を意味しますか？
- 各ベクトルが最初に作られた時点
- 各ベクトルが実際に地面へ着地する場所
- 変換が各ベクトルを送る先
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変換が各ベクトルを送る先
基底ベクトル
基底ベクトルは、選んだ基底を構成するベクトルの1つです。基底とは、座標を使って位置や方向を表すための、互いに独立なベクトルの組です。2次元空間の基底には2本、3次元空間の基底には3本のベクトルがあります。 ここで where each basis vector lands は、それぞれの基底ベクトルに線形変換を作用させ、どこに移るかを確かめるという意味です。その結果が分かれば、任意のベクトルに対して変換がどう働くかが分かります。
練習
線形代数で、ここでの basis vector は何を意味しますか？
- すべての学習者が暗記すべき基礎知識
- 座標を定めるために選ばれた組の中の1つのベクトル
- ベクトルが動きを止める点
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座標を定めるために選ばれた組の中の1つのベクトル
and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. フレーズ
1:29その着地点の座標を行列の列として書きます。
…を行列の列として書く
write A as B は「AをBという形で表す」という意味です。ここでAは移った先の座標、Bは行列の列です。 移った先の各点には座標の組があります。座標の組を1つずつ、そのまま行列の1列に入れます。列の順番は基底ベクトルの順番に合わせます。
練習
「この形で表す」という意味になる単語を入れて、指示文を完成させてください：Write the two output vectors ____ the columns of a matrix.
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as
For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat
1:33例えば、ここで見ているのは、iハットを
Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, 話の流れ
1:47注目すべきは、この変換をエンコードする行列が3つの行と2つの列を持っていること、
Notice, this means：結論の前に注意を向ける
Notice は、今重要になった観察内容に注意を向けるよう聞き手に促します。ここでは命令形の談話上の合図であり、「通知」を意味する名詞ではありません。 This means は、その観察から導かれる結論を示します。Notice, this means を続けて使うと、説明を証拠や観察した事実から、そこから推論できる結果へ進められます。this が前のどの内容を指すのかは明確でなければなりません。
練習
前提は Both teams scored ten points. です。次のうち、最初に注意を向け、その後で結論を示す文はどれですか。
- Notice, this means the two totals are equal.
- For example, the two totals are equal.
- Meanwhile, the two totals are equal.
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Notice, this means the two totals are equal.
which ... makes it a 3x2 matrix：前の事実から分類する
コンマと which は、直前の事実全体、つまり行列が3行2列であることについて補足します。文法的には非制限用法の関係節であり、which は直前の columns だけを指しているのではありません。 makes it a 3x2 matrix の make は、「それを～と見なされる状態にする」または「～に分類する」という意味です。make + 目的語 + 名称の形で結果や分類を示し、この寸法だから行列を 3x2 と呼べることを表します。挿入句 to use standard terminology は、3x2 が標準的な名称だと伝えています。
練習
'The box is 30 cm long and 20 cm wide, which makes it a 30-by-20 rectangle,' という文で、which は何を指しますか。
- 箱の長さと幅について述べた事実全体
- 英単語 rectangle
- 英語の句 20 cm wide だけ
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箱の長さと幅について述べた事実全体
to use standard terminology：専門的な名称を示す
挿入句の「to use standard terminology」は、このあとにその分野で正式に認められた専門的な名称を使うことを聞き手に知らせます。ここでは、その対象を「a 3x2 matrix」と呼ぶための前置きになっています。 この表現を使うと、考え方そのものを変えずに、日常的な説明から専門用語へ切り替えられます。「Terminology」は、ある分野で使われる用語のまとまりや体系を指し、単なる一つの普通の単語ではありません。
練習
正式な専門名称を使うことを示す4語の挿入句で文を完成させてください：A shape with five sides is, ____, a pentagon.
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to use standard terminology
In the language of...：以前の枠組みを再利用する
文頭の「In the language of last video」は、このあとに続く内容を、以前に定めた概念や用語を使って理解するよう聞き手に知らせます。現在の例を、前に説明した列空間とランクの話に結び付けています。 ここでの「language」は、英語やスペイン語のような自然言語ではなく、概念を表す語彙や考え方の枠組みを意味します。このフレーズは、次の言い換えで使う視点を先に示して情報を整理します。
練習
以前の概念体系を再利用することを示す4語の表現で文を完成させてください：____ our geometry lesson, the two lines are parallel.
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In the language of
the column space of this matrix, the place where all the vectors land, 文化背景
1:59この行列の列空間、つまりすべてのベクトルが着地する場所は、
column space：行列の可能な出力の集合
column space は、行列の各列のすべての線形結合からなる集合で、行列が作り出せるすべての出力ベクトルを指します。 この文の the place where all the vectors land は、幾何学的にわかりやすく言い換えた表現です。実際の場所ではなく、行列の出力が取り得る範囲を指します。
練習
線形代数では、行列が作り出せるすべての出力の集合を、その ____ と呼びます。
答えを見る
column space
slicing through the origin of 3D space：3D空間の原点を通ることの表現
slicing through は、薄い刃物が何かを横切るイメージで、平面や線などが点や領域を通過することを表します。ここでは、2Dの平面が3D座標系の中心にある原点を通っています。 平面が原点を実際に切り分けているわけではありません。through は、その点を横切る位置関係を表します。
練習
平面が3Dモデルの中心点を横切っています。平面が中心をいくつかに切るという意味にせず、この関係を生き生きと表す文はどれですか？
- The plane is slicing into the origin of 3D space.
- The plane is slicing around the origin of 3D space.
- The plane is slicing through the origin of 3D space.
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The plane is slicing through the origin of 3D space.
full rank（フルランク）
線形代数で full rank（フルランク）とは、行列の階数がその大きさで可能な最大値に達していることです。階数は、その行列の列空間の次元です。 ここでは、3x2 行列の階数は最大で 2 です。列空間が二次元で、二次元の入力空間と一致するため、この行列はフルランクです。
練習
ある行列は 3 行 2 列です。full rank であることを示すのはどれですか。
- 列数が行数より少ないので、階数は 1 である。
- 階数は 2 で、この大きさで可能な最大値である。
- ほかの行列より上位に順位付けできる。
- 行列のすべての成分がゼロ以外である。
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階数は 2 で、この大きさで可能な最大値である。
out in the wild：管理された例の外で
ここでの out in the wild は、管理された授業、実演、テストの外、つまり現実の資料や実際の使用場面で出会うという意味です。行列が屋外にあるという意味ではなく、比喩表現です。 技術的な会話では、この慣用句によって、整った練習例と別の場所で出会う現実の例を、くだけた調子で対比できます。
練習
プログラマーが「The bug never appeared in testing, but users found it ___.」と言いました。「実際の使用中に」という意味になる選択肢はどれですか。
- under the open sky
- out in the wild
- among wild animals
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out in the wild
you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.
2:20それは2次元を3次元にマッピングするという幾何学的な意味を持っているとわかります。
If you see X, you can know that Y：X が見えれば、Y だと分かる
if 節は観察できるものを示します。それが if you see a 3x2 matrix です。主節は、その観察から裏付けられる結論を示します。つまり、you can know that、二次元の入力を三次元の出力へ写すということです。 ここで can know は、後から何かを知る能力が身に付くという意味ではありません。行列の見える形から、結論を出すのに十分な情報が得られるという意味です。If you see X, you can know that Y は、見分け方の規則や手がかりを説明するときに使えます。
練習
If you see X, you can know that Y の型を使って文を完成させてください：____ that all three sides of a triangle are marked equal, ____ it is equilateral.
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If you see · you can know that
Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors
2:25なぜなら、2つの列は入力空間に2つの基底ベクトルがあることを示しており、
and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors
2:293つの行はそれらそれぞれの基底ベクトルの着地点が
Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,
2:37同様に、2つの行と3つの列を持つ2x3行列を見かけたら、
Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,
2:43ええと、3つの列は3つの基底ベクトルを持つ空間から出発していることを示すので、
And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors
2:50そして2つの行は、それら3つの基底ベクトルの着地点が
must be landing：証拠に基づく強い推論
must be + 動詞の -ing 形は、証拠に基づいて、進行中の状況や繰り返されるパターンについて確信の強い結論を表します。命令を表す形ではありません。 この文では、それぞれの結果に座標が二つしかないことが証拠です。landing は、写像による出力が最終的にどこに行き着くかを「着地」にたとえています。そのため must be landing は、出力が二次元に行き着いているはずだという意味です。
練習
Sam はドアのそばにぬれた傘があるのを見ました。証拠に基づいて、今起きていることを強く推論する文はどれですか。
- It may be raining outside.
- It must be raining outside.
- It must rain outside.
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It must be raining outside.
from 3D space onto the 2D plane：3次元空間から2次元平面へ
from A onto B という形は、変換の向きを示します。A が入力空間で、B が結果の到達する対象空間です。この文では、入力は3次元空間から来て、出力は2次元平面上に置かれます。 onto には、対象へ向かってその上に到達するという方向のイメージがあります。つまり、ある空間から対象を取り、その結果を目的の平面上に移します。平面が何かの上に物理的に載っているという意味ではありません。
練習
from ... onto ... を使って写像の説明を完成させてください：The projection sends points ____ the globe ____ a flat map.
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from · onto
A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. 慣用句
3:05もし自分がその変換を経験すると想像したら、とても居心地が悪く感じるような変換です。
should feel ... if you imagine going through it：通り抜ける想像による感覚
この文の should feel は「そう感じるはずだ」という予想を表し、「そう感じるべきだ」という義務ではありません。if 節は、聞き手自身がその変換を受けるところを想像するよう促しています。 going through it は、意図的に身体感覚を使った表現です。3次元の物体を2次元へ押しつぶす過程を自分が通り抜ける、と想像させます。話し手は、この不可能な身体体験によって抽象的な圧縮を生々しく、少しおかしな不快感として伝えています。ここでは、go through something が「つらい時期を経験する」という一般的な慣用句の意味ではありません。
練習
話し手は 'if you imagine going through it' を使って何をしていますか？
- 変換を自分で体験するところを想像させ、その効果を身体的に感じさせる
- 変換が従うべき正式な規則を示す
- go through it を「つらい時期を乗り越える」という意味だけで使う
- 現実にその変換を受けるよう勧める
答えを見る
変換を自分で体験するところを想像させ、その効果を身体的に感じさせる
You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.
3:132次元から1次元への変換を考えることもできます。
the number line：一次元空間のモデルとなる数直線
数学でいう number line（数直線）は、点が実数を順に表す一本の直線です。数直線上の各点は、一つの実数に対応します。 数直線が一次元空間のモデルになるのは、一つの座標だけで位置を特定できるからです。この文では、この考え方によって、変換の出力が一つの数だけでよい理由が分かります。
練習
点が数を順に表す直線を指す標準的な数学用語を入れて、英文を完成させてください：Mark 4 on ____.
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the number line
so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. 句動詞
3:20このような変換は2次元ベクトルを受け取り、数字を吐き出します。
takes in ... spits out で入力と出力を表す
ここで takes in は「入力として受け取る」、spits out は「出力として生み出す」という意味です。この二つを組み合わせると、処理を機械のように説明できます。何かが入り、処理が行われ、結果が出てくるというイメージです。 この変換が実際に何かを取り込んだり吐いたりするわけではありません。2次元ベクトルを一つ受け取って一つの数に対応させており、生き生きした動詞によって抽象的な入出力の関係を思い浮かべやすくしています。
練習
takes in と spits out を使って英文を完成させてください：This tool ____ two dates and ____ the number of days between them.
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takes in · spits out
Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. 語彙
3:25グリッド線が平行で等間隔に保たれると考えるのは、ここで起きるあらゆる圧縮（押しつぶし）のせいで少しややこしくなります。
遊び心のある造語 squishification
Squishification は、squish に名詞を作る形の -ification を加えた、遊び心のある造語です。ここでは、二次元の格子が一次元の数直線へ押しつぶされる様子を表しています。正式な数学用語ではありません。 この造語によって、抽象的な圧縮が物理的で少しおかしい動作のように感じられます。このような語に出会ったら、正式な辞書定義があると思い込まず、知っている語幹、接辞、文脈から意図された意味を推測します。
練習
正式な数学論文では、遊び心のある squishification をどの表現に置き換えるのが最適ですか。
- 楽しい飾りの一種
- より低次元の空間への圧縮
- 格子の誤り
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より低次元の空間への圧縮
it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.
3:39それらが数直線上にマッピングされた後も等間隔のままであると考えることです。
if ... would remain ... once ... の構文
if 節は、間隔が等しい点の列がある、という仮定の場面を設定します。主節の would remain は、その場面で予測される結果を示します。ここでの would は仮想的なモデルを表し、過去から見た未来ではありません。 once 節は結果を確認する後の段階を加えます。点を数直線上に写した後も、間隔は均等です。They は dots を指します。この型は、ある性質が処理後も保たれることを説明するのに役立ちます：if [開始条件], [性質] would remain once [処理が完了]。
練習
処理後も性質が保たれることを表すために、if ... would remain ... once ... を正しく使っている文はどれですか。
- If two measurements are equal, they would become different once both are converted by the same scale factor.
- If two measurements are equal, they would remain equal once both are converted by the same scale factor.
- Once two measurements are equal, they would remain equal if only one is doubled.
答えを見る
If two measurements are equal, they would remain equal once both are converted by the same scale factor.
each of whose two columns has の主語と動詞の一致
each of whose + 複数名詞 という形は、前に出た名詞に属する各部分について情報を加えます。ここでは、whose が two columns と matrix の所属関係を示し、each of は「2つの列のそれぞれ」を意味します。 主語の中心は each なので、動詞は単数形の has になります。動詞の近くにある複数名詞 columns は、動詞の数を決めません。
練習
次の英文に入る正しい動詞を選んでください：The device, each of whose four buttons ___ a different function, is easy to use.
- have
- has
答えを見る
has
行列で使う a single entry
行列の用語では、entry は特定の行と列が交わる位置にある1つの値を指します。この行列には行が1つしかないため、各列には entry が1つずつあります。 ここで single は「ちょうど1つ」という意味です。entry の個数を表しており、人が未婚であるという意味や、entry の日常的な意味ではありません。
練習
行列の用語では、英文 “Each column has a single entry” はどのような意味ですか？
- 各列に辞書の定義が1つ入っている。
- 各列が入口への入り方を1つ示している。
- 各列には行列の値がちょうど1つ入っている。
答えを見る
各列には行列の値がちょうど1つ入っている。
This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, フレーズ
3:59これは実は、内積と密接な関係を持つ、驚くほど意味のある種類の変換であり、
with close ties to：強いつながりを示す
この文の with close ties to は「～と強いつながりがある」という意味です。この変換が内積と密接に関係していることを表します。 この表現は、二つの考えが同一だとか、一方が他方の原因だと言っているわけではありません。with close ties to + 名詞 という形は、概念・集団・組織などの強い関連を示すのに使えます。
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「～と強いつながりがある」という意味の4語の英語表現で文を完成させてください：This is a new approach ____ earlier research.
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with close ties to
Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, 解説
4:06それまでは、異なる次元間の変換という文脈において、
I encourage you to：相手を後押しする助言
I encourage you to は、話し手が前向きにすすめる行動を示します。ここでは、話し手が視聴者にこのアイデアを自分で探ってみるよう後押ししており、命令ではありません。 形は I encourage + 人 + to + 動詞の原形 です。行動を明確に示しながらも、通常は実行するかどうかを聞き手が決められます。
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聞き手に選択の自由を残しながら、前向きに行動をすすめる文はどれですか？
- I require you to submit the form today.
- I encourage you to try the practice problem.
- You must finish this before lunch.
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I encourage you to try the practice problem.
play around with this idea：決める前に自由に試す
この文の play around with this idea は、いろいろな形を試したり、何が起こるか確かめたりしながら、そのアイデアを自由に探るという意味です。アイデアをおもちゃのようにして遊ぶという意味ではありません。 play around with + 名詞 という形は、最終的な方法や答えを決める前に、気軽に試行錯誤することを表します。アイデア、デザイン、設定、ツール、解決策の候補などに自然に使えます。
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デザイナーが 'Let's play around with this layout before we decide.' と言いました。ここで play around with はどのような意味ですか？
- レイアウトをおもちゃとして扱う。
- 正式な手順を使ってレイアウトをすぐに完成させる。
- 可能性を探るため、レイアウトを自由にいろいろ試す。
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可能性を探るため、レイアウトを自由にいろいろ試す。
contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations
4:09行列の掛け算や連立一次方程式などの意味を熟考しながら、
in the context of transformations between different dimensions. フレーズ
4:14皆さん自身でこのアイデアをいろいろといじってみることをお勧めします。
in the context of：理解の枠組みを示す
in the context of は、ある概念を理解するための状況や枠組みを示します。ここでは、異なる次元間の変換が、数学的な考え方を理解する枠組みになっています。 形は in the context of + 名詞句 です。これは発言の範囲を限定します。つまり、あらゆる状況についてではなく、その分野や状況の中で述べていることを示します。
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'The rule makes sense in the context of this game,' という文で、in the context of はどのような働きをしていますか？
- ゲームと関係のない別の例を加える。
- ルールが物理的にゲームの中にあると述べる。
- その主張を、このゲームの状況や枠組みの中に限定する。
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その主張を、このゲームの状況や枠組みの中に限定する。