インタラクティブに学ぶ！クォータニオンと3D回転：英語学習ノート

In a moment, I'll point you to a separate website hosting a short sequence of what we're calling explorable videos. 語彙

後ほど、私たちが「探索可能なビデオ」と呼んでいる短い動画シリーズをホストしている別のウェブサイトをご紹介します。

It was done in collaboration with Ben Eater, フレーズ

これはBen Eaterとのコラボレーションで制作されました。

who some of you may know is that guy who runs the excellent computer engineering channel.

素晴らしいコンピューターエンジニアリングのチャンネルを運営している人として、ご存知の方もいるかもしれません。

And if you don't know who he is,

もし彼が誰か知らなくても、

viewers of this channel would certainly enjoy the content of his.

このチャンネルの視聴者なら絶対に彼のコンテンツを楽しめるはずです。

So do check it out. 解説

なので、ぜひチェックしてみてください。

This collaboration was something a little different though,

しかし、今回のコラボレーションは少し違ったものでした、

for both of us.

私たち2人にとって。

And all of the web development that made these explorable videos possible

そして、これらの探索可能なビデオを実現させたウェブ開発のすべては、

is completely thanks to Ben.

完全にBenのおかげです。

I don't want to say too much about it here.

ここではあまり多くを語りたくありません。

It's really something you have to experience for yourself.

これは本当に皆さん自身で体験していただくべきものです。

Certainly one of the coolest projects I've had the pleasure of working on. フレーズ

私がこれまで関わらせていただいた中で、間違いなく最もクールなプロジェクトの1つです。

Before that though,

でもその前に、

if you can contain your excitement, 意図と語調

興奮を抑えられるようでしたら、

I want to use this video as a chance to tee things up with a little bit of surrounding context. 句動詞

この動画を使って、周囲の文脈を少し交えながら準備を整えたいと思います。

So to set the stage, 慣用句

さて、舞台を整えるために、

last video I described quaternions,

前回の動画で私はクォータニオンについて説明しました。

a certain four-dimensional number system

これはある4次元の数体系で、

that the 19th century versions of Wolverine and the old man from Home Alone

19世紀版のウルヴァリンや『ホーム・アローン』のおじいさんのような人々が

called evil for how convoluted it seemed at the time.

当時非常に複雑に見えたため、邪悪だと呼んだものです。

And perhaps you too are wondering

皆さんも不思議に思っているかもしれません、

why on earth anyone would bother with such an alien seeming number system. 解説

一体なぜこのような異星人のような数体系をわざわざ使う人がいるのかと。

Well,

そうですね、

one of the big reasons,

大きな理由の1つは、

especially for programmers,

特にプログラマーにとってですが、

is that they give a really nice way for describing 3D orientation,

それが3次元の向きを記述するための非常に優れた方法を提供し、

which is not susceptible to the bugs and edge cases of other methods. 解説

他の方法に見られるバグやエッジケースの影響を受けないからです。

I mean,

つまり、

they're interesting mathematically for a lot of reasons,

数学的にも多くの理由で興味深いのですが、

but this application for computer graphics and robotics and virtual reality

コンピューターグラフィックスやロボット工学、仮想現実、

and anything involving 3D orientation is probably the biggest use case for quaternions. 語彙

そして3次元の向きに関わるあらゆるものへの応用が、おそらくクォータニオンの最大の用途です。

To take one example, 話の流れ

1つの例を挙げると、

a friend of mine who used to work at Apple, 文法

かつてAppleで働いていた私の友人、

Andy Matuschak,

Andy Matuschakは、

delighted in telling me about shipping code to hundreds of millions of devices that uses quaternions to track the phone's model for how it's oriented in space. 語彙

何億ものデバイスに出荷されたコードの中で、携帯電話の空間的な向きのモデルを追跡するためにクォータニオンを使っていると嬉しそうに教えてくれました。

That's right.

その通りです。

Your phone almost certainly has software running somewhere inside of it that relies on quaternions.

あなたの携帯電話の内部でも、ほぼ確実にクォータニオンに依存するソフトウェアがどこかで動いているのです。

The thing is, 話の流れ

問題は、

there are other ways to think about computing rotations,

回転の計算について考える他の方法があり、

many of which are way simpler to think about than quaternions. 文法

その多くがクォータニオンよりもはるかに簡単に考えられるということです。

For example,

例えば、

any of you familiar with linear algebra will know that 3 x 3 matrices can really nicely describe 3D transformations. 文法

線形代数に詳しい方なら、3x3の行列が3D変換を見事に記述できることをご存知でしょう。

And a common way that many programmers think about constructing a rotation matrix for a desired orientation

そして、多くのプログラマーが目的の向きに対する回転行列を構築する際に考える一般的な方法は、

is to imagine rotating an object around three easy to think about axes,

考えやすい3つの軸の周りで物体を回転させることを想像することです。

where the relevant angles for these rotations are commonly called Euler angles.

これらの回転に関連する角度は、一般にオイラー角と呼ばれます。

And this mostly works,

これはほとんどの場合うまくいきますが、

but one big problem is that it's vulnerable to something called gimbal lock,

しかし1つの大きな問題は、ジンバルロックと呼ばれる現象に弱いことです。

where when two of your axes of rotation get lined up, 句動詞

これは、2つの回転軸が一直線に並んだときに、

you lose a degree of freedom. 語彙

自由度が1つ失われてしまう現象です。

And it can also cause difficulties and ambiguities

さらに、これは困難や曖昧さを引き起こすこともあります、

when trying to interpolate between two separate orientations. フレーズ

2つの異なる向きの間を補間しようとするときに。

If you're curious for more of the details,

もし詳細に興味があれば、

there are many great sources online for learning about Euler angles and gimbal lock,

オイラー角やジンバルロックについて学ぶための素晴らしい情報源がオンラインにたくさんありますし、

and I've left links in the description to a few of them.

概要欄にいくつかのリンクを残しておきました。

Not only do quaternions avoid issues like gimbal lock, 文法

クォータニオンはジンバルロックのような問題を避けるだけでなく、

they give a really seamless way to interpolate between two three-dimensional orientations,

2つの3次元の向きの間を補間する、非常にシームレスな方法を提供します。

one which lacks the ambiguities of Euler angles, 文法

これはオイラー角のような曖昧さがなく、

and which avoids the issues of numerical precision and normalization

2つの回転行列の間を補間しようとする際に生じる

that arise in trying to interpolate between two rotation matrices.

数値精度や正規化の問題も回避できる方法です。

To warm up to the idea of how multiplication in some higher-dimensional number system 句動詞

ある高次元の数体系における掛け算が、

might be used to compute rotations,

どのように回転の計算に使われるのかというアイデアに慣れるために、

take a moment to remember how it is that complex numbers give a slick method for computing 2D rotations. 文法

複素数が2次元の回転を計算するための巧妙な方法をどう提供しているか、少し思い出してみてください。

Specifically,

具体的には、

let's say you have some point in two-dimensional space, 話の流れ

2次元空間にある点があるとします、

like 4 1,

例えば (4, 1) のような点で、

and you want to know the new coordinates you'd get if you rotate this point 30 degrees around the origin. 文法

この点を原点を中心に30度回転させたときに得られる新しい座標を知りたいとします。

Complex numbers give sort of a snazzy way to do this.

複素数を使うと、これをかなりスマートに行うことができます。

You take the complex number that's 30 degrees off the horizontal with magnitude one,

水平から30度の角度を持ち、大きさが1の複素数を取ります、

cosine 30 degrees plus sine of 30 degrees times I,

つまり cos(30°) に sin(30°) × i を足したもので、

and then you just multiply this by your point,

そして、これを単にあなたの点に掛け合わせます、

represented as a complex number.

この点は複素数として表されています。

The only rule you need to know to carry out this computation is that I squared equals negative one. 句動詞

この計算を実行するために知っておくべき唯一のルールは、i の2乗がマイナス1になるということです。

And then,

そして、

in what might feel like a bit of black magic to those first learning it, 解説

初めて学ぶ人にとっては少し黒魔術のように感じるかもしれませんが、

carrying out this product from that one simple rule gives the coordinates of a new point,

その1つのシンプルなルールからこの積を計算すると、新しい点の座標が得られます、

the point rotated 30 degrees from the original.

元の点から30度回転した点の座標です。

Using quaternions to describe 3D rotations is similar,

クォータニオンを使って3Dの回転を記述するのも似ています、

though the look and feel is slightly different. フレーズ

見た目や感覚は少し異なりますが。

Let's say you want to rotate some angle about some axis.

ある軸の周りで、ある角度だけ回転させたいとします。

You first define that axis with a unit vector,

まず、その軸を単位ベクトルで定義します、

which we'll write as having I, J, and K components,

これを i, j, k の成分を持つとして書き表し、

normalized so that the sum of the squares of those components is one. 語彙

それらの成分の2乗の和が1になるように正規化します。

Similar to the case of complex numbers, 話の流れ

複素数の場合と同様に、

you use the angle to construct a quaternion by taking cosine of that angle as the real part,

その角度を使ってクォータニオンを構築します。その角度のコサインを実部とし、

plus sine of that angle times an imaginary part,

それに、その角度のサインと虚部を掛けたものを足します、

except this time the imaginary part has three components,

ただし今回は、虚部が3つの成分を持っています、

the coordinates of our axis of rotation.

私たちの回転軸の座標です。

Well, 話の流れ

ええと、

actually you take half of the angle,

実際には角度の半分を取ります、

which might feel totally arbitrary,

これは完全に恣意的に感じるかもしれませんが、

but hopefully that's going to make some sense by the end of this whole experience.

この体験全体が終わる頃には、少しは理にかなっていると分かっていただけることを願っています。

Now let's say you have some 3D point,

さて、ある3Dの点があるとしましょう、

which we'll write with I, J, K components,

これを i, j, k の成分で書き表し、

and you want to know the coordinates that you'd get when you rotate this point by your specified angle around your specified axis.

この点を指定した軸の周りで、指定した角度だけ回転させたときに得られる座標を知りたいとします。

What you do is not just a single quaternion product, 文法

ここで行うのは、単なる1回のクォータニオンの掛け算ではなく、

but a sort of quaternion sandwich, 慣用句

一種の「クォータニオンのサンドイッチ」です。

where you multiply by Q from the left フレーズ

左から Q を掛け、

and the inverse of Q from the right.

右から Q の逆元を掛けます。

If you know the rules for how I, J, and K multiply amongst themselves,

もし i, j, k が互いにどのように掛け合わされるかのルールを知っていれば、

you can carry out these two products by expanding everything out,

すべてを展開することでこの2回の掛け算を実行できますし、

or more realistically by having a computer do it for you.

より現実的にはコンピューターにやらせることもできます。

And in what might feel like a bit of black magic,

そして、少し黒魔術のように感じるかもしれませんが、

this big computation will return for you the rotated version of the point.

この大掛かりな計算は、回転した後の点を返してくれます。

Our goal is to break this down 句動詞

私たちの目標は、これを分解し、

and visualize what's happening with each of these two products.

これら2つの掛け算のそれぞれで何が起こっているのかを視覚化することです。

I'll review the method for thinking about quaternion multiplication described last video

前回の動画で説明したクォータニオンの掛け算の考え方を復習し、

and explain why half the angle is used

なぜ角度の半分が使われるのか、

and why you would multiply from the right by the inverse.

そしてなぜ右から逆元を掛けるのかを説明します。

On the screen now and at the top of the description,

今画面上と概要欄のトップに、

you'll find a link to eater.net/quaternions,

eater.net/quaternions へのリンクがあります。

which is where Ben set up the explorable video tutorial where I explain what's going on with this rotation computation.

そこは、この回転計算で何が起こっているのかを私が説明する、探索可能なビデオチュートリアルをBenが設定した場所です。

It's just really cool.

本当に素晴らしい出来です。

Eater did something awesome here.

Eaterはここで最高のものを作ってくれました。

So at the very least, フレーズ

ですから、少なくとも、

just take a couple minutes to go look at it.

数分時間をとって見に行ってみてください。

But I'd love it if you went through the full experience. 意図と語調

でも、できればすべての体験をじっくり味わっていただけると嬉しいです。