수학의 중심에 있는 역설: 괴델의 불완전성 정리 - 마커스 두 사토이: 영어 학습 노트

분석할 문장을 소개하는 정확한 목표 표현을 완성하세요: ____: "Water freezes at zero degrees Celsius."

이 문제에서 “This statement is false.”가 역설을 만드는 이유는 무엇인가요?

1. “This statement”가 문장 자체를 가리킵니다.
2. “false”라는 단어는 수학에서만 사용할 수 있습니다.
3. 이 문장에는 주어가 없습니다.

“그것이 사실이라면”이라는 뜻의, 이번 수업에서 배운 두 단어 표현으로 문장을 완성하세요: The library may still be open. ____, we can return the books tonight.

would make + 목적어 + 형용사를 사용해 가정한 결과를 완성하세요: Removing the warning label ____ the box unsafe.

if ... then ...을 사용해 논리 문장을 완성하세요: ____ a number ends in zero, ____ it is divisible by ten.

by와 read의 -ing형을 사용해 문장을 완성하세요: ____ the instructions carefully, Mia finished the project correctly.

an unresolvable paradox라고 표현하기에 가장 알맞은 상황은 무엇인가요?

1. 아직 아무도 확인하지 않아서 질문에 답이 나오지 않았습니다.
2. 수학 문제가 어렵지만 알려진 답이 있습니다.
3. 어떤 규칙 때문에 같은 명제가 참이면서 동시에 거짓이 되고, 그 규칙 안에는 해결 방법이 없습니다.

이 문맥에서 강조된 질문의 주요 담화 기능은 무엇인가요?

1. 그 명제가 확실히 거짓이라고 발표합니다.
2. 그 명제가 물리적으로 어디에 있는지 묻습니다.
3. 일반적인 참과 거짓의 분류가 실패했음을 보여 주고 다음 생각으로 이어 갑니다.

완곡한 첫인상을 나타내는 세 단어짜리 목표 표현으로 문장을 완성하세요: This shortcut ____ a good idea, but it creates more work.

현실에서 수행하는 실험이 아니라 사고 실험에 해당하는 것은 무엇인가요?

1. Plant two seeds and record which one grows faster.
2. Imagine that nobody needed sleep and reason through how schools and jobs would change.
3. Measure how long three batteries power the same flashlight.

lead의 과거형과 필요한 전치사를 사용해 문장을 완성하세요: A strange clue ____ the detective ____ an important discovery.

She found an idea that would change her life라는 문장에서 would change는 무엇을 나타냅니까?

1. 아직 일어나지 않은 변화에 대한 현재 시점의 예측.
2. 그 생각이 자신의 삶을 바꾸어 달라는 정중한 요청.
3. 이야기의 이전 시점에서 바라본 나중의 변화.

have to do with의 과거형을 사용해 문장을 완성하세요: The delay ____ a damaged cable.

개별 증명의 오류가 아니라 증명 체계가 무엇을 증명할 수 있는지에 대한 경계를 뜻하는 표현은 무엇인가요?

1. mistakes in mathematical proofs
2. steps in mathematical proofs
3. limitations of mathematical proofs

용어 + is + 범주 + 기능을 설명하는 that절이라는 같은 정보 구조를 사용한 문장은 무엇인가요?

1. An algorithm can solve a specific problem very quickly.
2. Can an algorithm solve this specific problem?
3. An algorithm is a set of steps that solves a specific problem.

문장 안에 들어간 why절에서 올바른 어순을 사용한 문장은 무엇인가요?

1. Why was the answer correct?
2. The teacher explained why the answer was correct.
3. The teacher explained why was the answer correct.

‘기본 요소’를 뜻하는 이번 수업의 두 단어 표현으로 문장을 완성하세요: Trust and communication are the ____ of a strong team.

수동 명명 구조 be called를 사용해 문장을 완성하세요: Closed shapes with three sides ____ triangles.

the numbers involved에서 involved는 무슨 뜻인가요?

1. 해당 사안과 관련된 숫자
2. 이미 증명된 숫자
3. 계산하기 어려운 숫자

from ... to ...를 사용해 문장을 완성하고 전체 범위를 나타내세요: The workshop welcomes participants ____ complete beginners ____ experienced designers.

built와 constructed를 사용해 문장을 완성하세요: The platform is ____ open-source technology and ____ reusable modules.

능력을 직접 단정하거나 의무를 나타내는 것이 아니라, 조건에 근거한 능력에 대한 합리적 기대를 표현하는 문장은 무엇인가요?

1. If the code is correct, the user can sign in.
2. If the code is correct, the user should be able to sign in.
3. If the code is correct, the user must sign in.

‘참임을 증명하거나 거짓임을 증명하다’라는 뜻의 이번 수업 표현을 넣어 문장을 완성하세요: A second measurement could ____ the scientist's claim.

‘조금의 의심도 없이’라는 뜻의 이번 수업 표현을 넣어 문장을 완성하세요: After checking the original file, Maya could identify the author ____.

‘그 전문 분야에서 일하기 시작했다’라는 뜻의 이 수업에 나온 세 단어 표현으로 문장을 완성하세요: After finishing her cybersecurity training, Ava ____.

어느 문장이 예문과 같은 추상적 의미로 threaten을 사용했나요?

1. Several errors threatened confidence in the report.
2. The child whispered a warning to her friend.
3. The speaker threatened the audience with punishment.

be eager to의 과거형으로 문장을 완성하세요: The researchers ____ confirm the result.

mathematics had no contradictions라는 문장의 올바른 해석은 무엇인가요?

1. 그 체계는 서로 충돌하는 결론을 도출할 수 없었다.
2. 수학자들은 모든 문제에 의견이 일치했다.
3. 수학 문제는 전혀 어렵지 않았다.

Gödel himself wasn't so sure에 가장 잘 맞는 해석은 무엇인가요?

1. 괴델은 그 문제를 전혀 알지 못했다.
2. 괴델은 모든 수학적 접근법을 강하게 거부했다.
3. 괴델 본인은 더 확신에 찬 집단과 달리 어느 정도 의심을 품고 있었다.

even + confident의 비교 표현을 사용해 확신이 더 낮아졌음을 나타내세요: After two more errors, the reviewers were ____ that the figures were accurate.

‘이 과업에 적합한 방법’이라는 뜻의 목표 표현을 넣어 문장을 완성하세요: A survey may be ____ understand why customers leave.

다음 중 예문과 같은 양보의 의미로 while을 사용한 문장은 무엇인가요?

1. While I was washing the dishes, the doorbell rang.
2. While the instructions look simple, the machine is difficult to operate.
3. Please wait here while I check the schedule.

a self-referential paradox를 가장 잘 설명한 것은 무엇인가요?

1. 문장이 다른 책에 있는 사실을 가리킨다.
2. 문장이 자기 자신을 가리켜 모순을 만든다.
3. 한 사람이 다른 사람과 나누기를 거부한다.

여기서 numbers don't typically talk about themselves는 무슨 뜻인가요?

1. 숫자는 일반적으로 자기 자신을 가리키거나 설명하지 않는다.
2. 숫자는 다른 숫자에 관해 이야기하기를 더 좋아한다.
3. 사람들이 숫자를 소리 내어 읽을 때 숫자는 보통 조용히 있는다.

강조된 절은 이 문장에서 어떤 역할을 하나요?

1. 수학의 모든 부분이 쉽다고 말한다.
2. 괴델의 생각을 자세히 설명한다.
3. 문장이 방향을 바꾸기 전에 익숙한 참과 거짓의 틀을 세운다.

but Gödel had an idea는 이야기에서 어떤 역할을 하나요?

1. 괴델의 생각이 이미 옳았음을 증명한다.
2. 방향을 바꾸지 않고 참과 거짓의 규칙을 반복한다.
3. 배경이 되는 규칙에서 다음에 설명할 새로운 생각으로 전환한다.

Translate A into B 구조를 완성하세요: The scanner translates printed pages ____ searchable text.

So that과 understand의 올바른 수동태를 사용해 문장을 완성하세요: The safety message was rewritten ____ it could ____ by children.

예문에서 This meant that은 어떤 역할을 합니까?

1. mathematics라는 단어의 사전적 정의를 제시합니다.
2. 앞의 부호화 단계와 그로 인해 생긴 결과를 연결합니다.
3. 앞 단계와 관련 없는 사실을 새로 제시합니다.

encoded statements of mathematics에서 encoded는 무엇을 알려 줍니까?

1. 그 명제들은 비밀을 유지하기 위해 분명히 숨겨졌습니다.
2. 그 명제들은 코드 형태로 변환되었습니다.
3. 그 명제들은 코드에서 원래 형태로 복원되었습니다.

이 문장에서 allowed mathematics to talk about itself는 무슨 뜻인가요?

1. 수학이 자기 자신에 관한 명제를 표현할 수 있게 했다.
2. 수학자들에게 부호화를 논의할 허가를 주었다.
3. 수학이 실제로 소리 내어 말하게 했다.

인용된 명제는 무엇을 주장하나요?

1. 이 명제가 다른 방정식을 증명할 수 없다고 말한다.
2. 해당 체계 안에서는 바로 이 명제 자체가 증명될 수 없다고 말한다.
3. 누구도 증명을 써서는 안 된다고 말한다.

as와 make의 -ing 형태를 사용해 목표 구조를 완성하세요: She rewrote the results ____ a chart, ____ the pattern easier to see.

목표 패턴 However, unlike + 명사구를 완성하세요: ____, ____ the old model, this one uses less energy.

mathematical statements must be true or false에서 must는 무엇을 나타내나요?

1. 논리 체계상 각 명제는 두 값 중 하나를 가져야 한다.
2. 누군가가 명제들에게 어떻게 행동할지 선택하라고 명령하고 있다.
3. 명제들이 진실을 말하겠다고 약속하고 있다.

두 가지 가능성을 제시한 뒤 So, which is it?은 어떤 역할을 하나요?

1. 앞선 추론과 관계없는 새로운 주제를 꺼낸다.
2. 논의를 다시 그 가능성들 가운데 하나를 고르는 문제로 가져온다.
3. 두 가능성이 모두 확실히 맞다고 말한다.

다음 문장을 읽으세요. “If the screen is blank, that means the computer is not receiving a signal.” “that means”는 어떤 역할을 하나요?

1. 관련 없는 새 주제를 시작합니다.
2. “blank”라는 단어를 번역합니다.
3. 조건에서 도출한 결론을 제시합니다.

강조용 does + 동사원형 have를 사용해 정정 문장을 완성하세요. “You said the plan has no benefit, but it ____ one important advantage.”

정확한 if ..., then it must ... 구조로 문장을 완성하세요: ____ an integer ends in 0, ____ it ____ divisible by 10.

이 논증에서 This contradiction means ...는 어떤 역할을 하나요?

1. 불일치를 요약하고 거기서 도출되는 결론을 제시합니다.
2. contradiction이라는 단어의 사전적 정의를 제시합니다.
3. 주제를 관련 없는 예로 바꿉니다.

“The answer can't be false because it follows from the rule”에서 can't는 무슨 뜻인가요?

1. 말하는 사람은 그 답을 거짓으로 만들 능력이 없다.
2. 그 답이 거짓인 것은 허용되지 않는다.
3. 그 답이 거짓인 것은 논리적으로 불가능하다.

격식 있는 결론 표현을 완성하세요: The machine accepts only valid tickets. This ticket was accepted, ____ this ticket is valid.

문장에서 강조된 도입부는 어떤 역할을 합니까?

1. 이유를 제시하지만 앞선 요점과 대조하지는 않습니다.
2. 그 결과가 아직 일어나지 않았다고 말합니다.
3. 앞선 요점과 대조하고, 평가를 강화하며, 이유를 제시합니다.

수학 논의에서 여기의 a true equation은 무엇을 뜻합니까?

1. 수학적 주장이 참인 방정식.
2. 실수만 사용하는 방정식.
3. 수학적 주장이 참인지와 관계없이 실제로 존재하는 방정식.

이 문장에서 asserts는 방정식에 대해 무엇을 나타냅니까?

1. 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 주장을 격식 있게 제시합니다.
2. 아주 큰 소리로 말합니다.
3. 뒷받침하는 이유를 제시해 그 주장을 증명합니다.

수업에서 배운 관용 표현을 사용해 문장을 완성하세요: Trust is ____ a healthy friendship.

Gödel's incompleteness theorem이라는 이름에서 incompleteness는 무엇을 뜻하나요?

1. 수학에는 타당한 증명이 없다는 주장.
2. 몇 페이지를 더 써야 하는 미완성 증명.
3. 일부 형식 체계의 한계: 참인 어떤 명제는 그 체계 안에서 증명할 수 없다는 것.

비제한적 설명을 덧붙이는 관계어로 문장을 완성하세요: The update adds a search tool, ____ makes old files easier to find.

이 문장에서 paradigm은 무엇을 뜻하나요?

1. 하나의 설명용 사례
2. 생각을 이해하고 정리하는 넓은 틀
3. 하나의 수학 공식

either ... or ...를 사용해 짝 구조를 완성하세요: A binary answer is ____ yes ____ no.

이 문장에서 강조된 구절은 무엇을 나타냅니까?

1. 모든 공리 집합이 그 명제를 증명한다는 것.
2. 그 명제가 물리적으로 공리들에 둘러싸여 있다는 것.
3. 증명 가능성을 지정된 한 공리 집합을 사용해 판단한다는 것.

unprovable true statements의 의미를 올바르게 유지한 것은 무엇입니까?

1. 그것들은 참이지만, 그 체계에서는 증명할 수 없다.
2. 증명이 존재하지 않으므로 그것들은 거짓이다.
3. 아직 증명이 발견되지 않은 참인 명제이지만, 반드시 나중에 발견될 것이다.

창문을 열 수 없다는 뜻이 되도록 목표 구조로 문장을 완성하세요: The broken handle ____ open the window.

한계가 계속됨을 나타내도록 there be의 미래형과 always로 문장을 완성하세요: ____ cases the rule does not cover.

양보-방법-역할의 틀을 완성하세요. Even if, by, as를 각각 한 번씩 사용하세요: ____ you improve the plan ____ adding a checklist ____ a safety tool, some risks may remain.

원문에서 account for는 무슨 뜻인가요?

1. 체계 안에서 그 명제들을 고려하고 처리하기
2. 그 명제들에 의지하기
3. 그 명제들이 왜 참인지 설명하기

“That very decision caused the delay,”에서 very는 무엇을 나타냅니까?

1. The decision was extremely difficult.
2. The exact decision already mentioned caused the delay.
3. A different decision prevented the delay.

‘수에 관계없이’라는 뜻이며 No로 시작하는 네 단어 표현을 넣어 문장을 완성하세요: ____ books you read, there will always be more to discover.

이 문장의 의미와 가장 잘 맞는 해석은 무엇인가요?

1. 그 체계에는 참이지만 체계 안에서는 증명할 수 없는 명제가 반드시 일부 존재한다.
2. 그 체계의 모든 참인 명제는 이미 증명되었다.
3. 그 체계에는 아마 참일 것 같은 명제가 있을 수도 있다.

여기서 It's Gödels all the way down은 무슨 뜻인가요?

1. 하나의 정리가 체계의 모든 가능한 확장을 해결한다.
2. Gödel이라는 이름의 여러 사람이 아래로 이동하고 있다.
3. 체계를 확장할수록 괴델식 한계가 계속 다시 나타난다.

이 문장에서 rocked the foundations of the field는 무슨 뜻인가요?

1. 그 분야에 작고 일상적인 변화를 주었다.
2. 건물의 토대를 물리적으로 손상시켰다.
3. 그 분야의 기본 신념에 깊은 충격을 주었다.

문장 끝의 -ing 구를 사용하여 앞선 사건의 결과를 덧붙인 문장은 어느 것인가요?

1. The storm closed the airport, leaving hundreds of travelers stranded.
2. The storm closed the airport and hundreds of travelers waited nearby.
3. Because the storm closed the airport, hundreds of travelers were stranded.

would one day와 solve의 수동태를 사용해 문장을 완성하세요: In 1995, researchers believed the puzzle ____.

이 문장에서 while은 어떤 역할을 하나요? “While most neighbors supported the plan, some opposed it.”

1. 두 집단의 반응을 대조합니다.
2. 두 행동이 정확히 같은 시간 동안 지속되었다고 말합니다.
3. 일부 사람들이 계획에 반대한 이유를 제시합니다.

“Some fervently debated it,”에서 fervently는 무엇을 나타내나요?

1. 그들은 강한 감정과 확신을 가지고 논쟁했습니다.
2. 그들은 여러 번 논쟁했습니다.
3. 그들은 관심을 끌지 않으려고 조용히 논쟁했습니다.

others still을 사용해 다른 집단의 계속되는 반응을 소개한 문장은 무엇인가요?

1. Most families went home, and every family left at the same time.
2. The families stood still while they waited for the final announcement.
3. Most families went home, but others still waited for the final announcement.

이 문장에서 newly uncovered hole in the heart of their field는 무엇을 뜻합니까?

1. 학문 분야의 중심에서 새롭게 드러난 심각한 한계
2. 연구자들의 심장에 영향을 주는 질병
3. 농장 한가운데 최근에 판 실제 구멍

어느 문장의 as가 강조된 절과 같은 뜻으로 시간에 따라 진행되는 변화를 나타냅니까?

1. The box is as heavy as the chair.
2. She works as an engineer.
3. As more evidence emerged, the team grew more confident.

걱정이 시작되는 순간을 중심으로 표현한 문장은 무엇인가요?

1. After an hour with no reply, Leo had stopped worrying that something was wrong.
2. After an hour with no reply, Leo never worried that something was wrong.
3. After an hour with no reply, Leo began to worry that something was wrong.

예문에서 their life's work는 무엇을 가리키나요?

1. 그들이 여러 해 동안 바쳐 온 주요 과업
2. 그들이 어느 날 오후에 하려고 했던 일
3. 그들이 매일 하던 일상적인 업무

어떤 문장이 규칙이 비슷한 정도로 기회를 만들고 제한했다는 뜻을 ‘문’의 비유로 가장 잘 표현합니까?

1. The new rule opened a door after the office closed.
2. The new rule opened as many doors as it closed.
3. The new rule closed every door and created no new options.

inspire + key innovations + in의 네 단어 구조를 사용하고 inspire를 과거형으로 바꾸세요: The discovery ____ battery design.

dedicate her career to의 과거형을 사용해 문장을 완성하세요: Maria ____ improving rural health care.

provably unprovable statements의 의미로 가장 알맞은 것은 무엇인가요?

1. 그 명제들은 이미 거짓이라고 증명되었다.
2. 그 명제들이 증명 불가능하다는 사실을 증명으로 보일 수 있다.
3. 그 명제들은 아마 증명하기 어려울 것이다.

다음 양보형 요약을 긍정적인 핵심 결론으로 가장 잘 완성하는 것은 무엇인가요? “So while the trip may have cost more than expected, ...”

1. the tickets had blue numbers printed on them.
2. it also took two hours longer than planned.
3. we still made memories we will always value.

‘~ 때문에’라는 원인과 긍정적인 공로를 함께 나타내는 두 단어의 목표 표현을 넣으세요: ____ Noah's quick repair, the robot worked again.

이 문장을 가장 잘 설명한 선택지는 무엇인가요?

1. 그들은 여행 중에 알 수 없는 무언가를 실제로 안을 수 있습니다.
2. 그들은 불확실성을 진리를 찾는 과정의 핵심으로 받아들일 수 있습니다.
3. 그들은 모든 사실이 증명될 때까지 답이 없는 질문을 피할 수 있습니다.

Pythagorean theorem이라는 이름에서 theorem은 무엇을 알려 주나요?

1. 모든 삼각형에 관한 검증되지 않은 추측입니다.
2. 증명으로 확립된 수학 명제입니다.
3. 일반적인 교실 지시입니다.

이 문장에서 in the first place는 어떤 역할을 하나요?

1. 첫 번째 증명이 물리적으로 어디에 있었는지 묻는다.
2. 그 증명이 1등을 했는지 묻는다.
3. 그 증명이 원래 어떻게 확립되었는지 묻는다.

one of the cornerstones of 구조를 사용해 문장을 완성하세요: Reliable evidence is one ____ good research.