지수적 증가와 전염병: 영어 학습 노트

The phrase exponential growth is familiar to most people.

'지수학적 증가'라는 말은 대부분의 사람들에게 익숙합니다.

And yet, human intuition has a hard time really recognizing what it means sometimes. 표현 묶음

하지만 인간의 직관으로는 때때로 그 의미를 제대로 인식하기 어렵습니다.

We can anchor on a sequence of small-seeming numbers 관용구

우리는 작아 보이는 숫자들의 나열에 생각이 얽매여서

and then become surprised when suddenly those numbers look big,

갑자기 그 숫자들이 커 보일 때 놀라게 될 수 있습니다.

even if the overall trend follows an exponential perfectly consistently.

전체적인 추세가 완벽하게 일관되게 지수 함수를 따르고 있는데도 말이죠.

This right here is the data for the recorded cases of COVID-19,

바로 이것이 기록된 코로나19(COVID-19),

aka the coronavirus,

즉 코로나바이러스의 감염자 데이터입니다.

at least at the time that I'm writing this.

적어도 제가 이 글을 쓰고 있는 시점에서는요.

Never one to waste an opportunity for a math lesson, 문법

수학 수업의 기회를 절대 놓치지 않는 사람으로서,

I thought this might be a good time for all of us to go back to the basics 문법

지금이 우리 모두가 기본으로 돌아가

on what exponential growth really is,

지수학적 증가가 진짜로 무엇인지,

where it comes from,

어디서 비롯되는지,

what it implies,

무엇을 의미하는지,

and maybe most pressingly,

그리고 아마도 가장 시급하게,

how to know when it's coming to an end.

언제 끝이 날지 어떻게 알 수 있는지 살펴볼 좋은 시기라고 생각했습니다.

Exponential growth means that as you go from one day to the next, 문법

지수학적 증가란 하루가 지날 때마다

it involves multiplying by some constant.

어떤 상수를 곱하는 것을 의미합니다.

In our data, the number of cases in each day

우리 데이터에서 매일의 감염자 수는

tends to be a multiple of about 1.15 to 1.25 어휘 쓰임

이전 날 감염자 수의

of the number of cases the previous day.

약 1.15배에서 1.25배가 되는 경향이 있습니다.

Now, viruses are a textbook example of this kind of growth 표현 묶음

바이러스는 이런 종류의 성장에 대한 교과서적인 예입니다.

because what causes new cases are the existing cases.

왜냐하면 새로운 감염자를 유발하는 것이 기존 감염자이기 때문입니다.

So, if the number of cases on a given day is n,

그래서 어떤 날의 감염자 수가 n이고,

and we say that each individual with the virus is exposed to,

바이러스를 가진 각 개인이 특정 날에

on average, e people on a given day,

평균적으로 e명의 사람에게 노출된다고 가정합시다.

and each one of those exposures has a probability p

그리고 그 각각의 노출이 새로운 감염으로 이어질

of becoming a new infection,

확률이 p라고 한다면,

then the number of new cases on a given day

특정 날의 새로운 감염자 수는

is e * p * n.

e * p * n이 됩니다.

And the fact that n itself is a factor in its own change

그리고 n 자체가 자신의 변화에 한 요인이라는 사실이

is what really makes things go fast

상황을 정말 빠르게 전개시키는 원동력입니다.

because if n gets big,

왜냐하면 n이 커진다면,

it means the rate of growth itself is getting big.

그것은 증가율 자체도 커지고 있다는 뜻이기 때문입니다.

One way to think about this is that as you add the new cases 전개 흐름

이를 생각하는 한 가지 방법은 새로운 감염자 수를 더해

to get the next day's count,

다음 날의 감염자 수를 구할 때,

you can factor out the n. 구동사

n을 묶어낼 수 있다는 것입니다.

So, it's just the same as multiplying by some constant

따라서 이것은 1보다 큰 어떤 상수를

that's bigger than one.

곱하는 것과 똑같습니다.

This is sometimes easier to see

그래프의 y축을 로그 눈금으로 설정하면

if we put the y-axis of our graph on a logarithmic scale,

때때로 이것을 더 쉽게 볼 수 있습니다.

which means that each step of a fixed distance

이는 고정된 거리의 각 단계가

corresponds to multiplying by a certain factor.

특정 계수를 곱하는 것에 해당함을 의미합니다.

In this case, each step is another power of 10.

이 경우 각 단계는 10의 거듭제곱입니다.

On this scale,

이 눈금에서는

exponential growth should look like a straight line.

지수학적 증가가 직선처럼 보여야 합니다.

Looking at our data,

우리 데이터를 보면,

it seems like it took 20 days to go from 100 to 1,000

100에서 1,000으로 가는 데 20일이 걸렸고,

and 13 days to go from that to 10,000.

거기서 10,000으로 가는 데 13일이 걸린 것처럼 보입니다.

And if you do a simple linear regression to find the best fit line, 어휘 쓰임

그리고 가장 잘 맞는 선을 찾기 위해 간단한 선형 회귀를 한다면,

you can look at the slope of that line to draw a conclusion 표현 묶음

그 선의 기울기를 보고 결론을 도출할 수 있습니다.

like we tend to multiply by 10 every 16 days,

평균적으로

on average.

우리는 16일마다 10을 곱하는 경향이 있다는 식입니다.

This regression also lets us be a little more quantitative

이러한 회귀 분석은 지수 함수의 적합도가 실제로 얼마나 가까운지에 대해

about exactly how close the exponential fit really is.

조금 더 정량적으로 파악할 수 있게 해줍니다.

And to use the technical statistical jargon here, 전개 흐름

여기서 전문적인 통계 용어를 빌려 말하자면,

the answer is that it's really freaking close. 어휘 쓰임

정답은 정말 미치도록 가깝다는 것입니다.

But it can be hard to digest exactly what that means if true. 관용구

하지만 만약 사실이라 해도 그것이 정확히 무엇을 의미하는지 소화하기 어려울 수 있습니다.

When you see one country with, say, 6,000 cases 말투와 의도

어느 국가의 감염자가 예를 들어 6,000명이고

and another with 60,

다른 국가가 60명이라고 할 때,

it's easy to think that the second is doing 100 times better,

두 번째 국가가 100배 더 잘하고 있고

and hence fine.

따라서 괜찮다고 생각하기 쉽습니다.

But if you're actually in a situation

하지만 만약 여러분이 실제로

where numbers multiply by 10 every 16 days,

숫자가 16일마다 10배씩 늘어나는 상황에 있다면,

another way to view the same fact 전개 흐름

같은 사실을 보는 또 다른 방법은

is that the second country is about a month behind the first.

두 번째 국가가 첫 번째 국가보다 약 한 달 뒤처져 있다는 것입니다.

Now, this is, of course, rather worrying

물론 이 선을 끝까지 그려본다면,

if you draw out the line.

이것은 상당히 우려스러운 일입니다.

I'm recording this on March 6th,

저는 이것을 3월 6일에 녹음하고 있는데,

and if the present trend continues,

만약 현재의 추세가 계속된다면,

it would mean hitting a million cases in 30 days,

30일 안에 감염자 100만 명에 도달하고,

hitting 10 million in 47 days,

47일 안에 1,000만 명,

100 million in 64 days,

64일 안에 1억 명,

and 1 billion in 81 days.

그리고 81일 안에 10억 명에 도달한다는 것을 의미합니다.

Needless to say, though, 전개 흐름

두말할 필요도 없이,

you can't just draw out a line like this forever.

이런 선을 영원히 계속 그릴 수는 없습니다.

It clearly has to start slowing down at some point.

분명히 어느 시점에서는 속도가 느려지기 시작해야 합니다.

But the crucial question is when?

하지만 중요한 질문은 '언제'인가 하는 것입니다.

Is it like the SARS outbreak of 2002,

약 8,000명의 감염자로 정점을 찍었던

which capped out around 8,000 cases, 구동사

2002년의 사스 발병과 같을까요,

or the Spanish flu of 1918,

아니면 결국 전 세계 인구의 약 27%를 감염시켰던

which ultimately infected about 27% of the world's population?

1918년의 스페인 독감과 같을까요?

In general, with no context,

일반적으로 아무런 맥락 없이,

just drawing a line through your data

데이터에 단순히 선을 긋는 것은

is not a great way to make predictions. 말투와 의도

예측을 하기에 좋은 방법이 아닙니다.

But remember,

하지만 기억하세요,

there's an actual reason to expect an exponential here.

여기서는 지수 함수를 예상할 만한 실제적인 이유가 있습니다.

If the number of new cases each day

매일 새로운 감염자 수가

is proportional to the number of existing cases, 어휘 쓰임

기존 감염자 수에 비례한다면,

it necessarily means each day you multiply by some constant.

그것은 필연적으로 매일 어떤 상수를 곱한다는 것을 의미합니다.

So, moving forward d days

그래서 d일 후로 나아간다는 것은

is the same as multiplying by that constant d times.

그 상수를 d번 곱하는 것과 같습니다.

The only way that stops 문법

이것이 멈추는 유일한 방법은

is if either the number e or p goes down.

숫자 e나 p가 내려가는 경우뿐입니다.

It's inevitable that this will eventually happen,

이것은 결국 피할 수 없이 일어나게 됩니다.

even in the most perfectly pernicious model for a virus,

바이러스에게 가장 완벽하게 치명적인 모델, 즉

which would be where every day each person with the infection

감염된 각 사람이 매일

is exposed to a random subset of the world's population,

전 세계 인구의 무작위 하위 집단에 노출되는 모델에서조차도,

at some point most of the people they're exposed to

어느 시점이 되면 그들이 노출되는 대부분의 사람들은

would already be sick,

이미 병에 걸린 상태일 것이고,

and so they couldn't become new cases.

따라서 그들은 새로운 감염자가 될 수 없을 것입니다.

In our equation,

우리 방정식에서는

that would mean that the probability of an exposure becoming a new infection

노출이 새로운 감염이 될 확률에

would have to include some kind of factor

당신이 노출된 누군가가 이미 감염되어 있을 확률을 고려하는

to account for the probability that someone you're exposed to 구동사

어떤 종류의 계수를 포함해야 함을

is already infected.

의미합니다.

For a random shuffling model like this,

이와 같은 무작위 섞기 모델의 경우,

that could mean including a factor like 1 -

그것은 '1 -

the proportion of people in the world who are already infected.

이미 감염된 세계 인구의 비율'과 같은 계수를 포함한다는 것을 의미할 수 있습니다.

Including that factor,

그 계수를 포함시키고,

and then solving for how n grows,

n이 어떻게 증가하는지 풀면,

you get what's known in the business as a logistic curve, 표현 묶음

업계에서 '로지스틱 곡선'이라고 부르는 것을 얻게 됩니다.

which is essentially indistinguishable from an exponential at the beginning, 어휘 쓰임

이것은 처음에는 본질적으로 지수 곡선과 구별할 수 없지만,

but ultimately it levels out 구동사

궁극적으로 전체 인구 규모에 접근하게 되면

once you're approaching the total population size,

평평해집니다.

which is what you would expect.

이는 당연히 예상할 수 있는 결과입니다.

True exponentials essentially never exist in the real world.

진정한 지수 함수는 본질적으로 현실 세계에 존재하지 않습니다.

Every one of them is really the start of a logistic curve.

그것들은 사실 모두 로지스틱 곡선의 시작점일 뿐입니다.

Now, this point right here,

자, 바로 이 지점,

where that logistic curve goes from curving upward 문법

로지스틱 곡선이 위쪽으로 구부러지다가

to instead curving downward,

대신 아래쪽으로 구부러지게 되는 이 지점을

is known as the inflection point.

변곡점이라고 부릅니다.

There, the number of new cases each day,

그곳에서는 이 곡선의 기울기로 표현되는

represented by the slope of this curve, 문법

매일의 새로운 감염자 수가

stops increasing and instead stays roughly constant

증가하는 것을 멈추고 대신 대략 일정하게 유지되다가

before it starts decreasing.

감소하기 시작합니다.

So, one number that people often follow with epidemics

그래서 유행병 상황에서 사람들이 자주 주시하는 수치 중 하나가

is the growth factor,

증가 계수(성장률)입니다.

which is defined as the ratio 표현 묶음

이는 어느 날의 새로운 감염자 수와

between the number of new cases one day

그 전날의 새로운 감염자 수 사이의

and the number of new cases the previous day.

비율로 정의됩니다.

So, just to be clear, 전개 흐름

분명히 말씀드리자면,

if you were looking at all of the totals from one day to the next,

하루하루의 모든 총합을 살펴본 다음,

then tracking the changes between those totals,

그 총합 사이의 변화를 추적하고 있다면,

the growth factor is a ratio between two successive changes.

증가 계수는 연속된 두 변화 사이의 비율입니다.

While you're on the exponential part, 전개 흐름

지수 증가 구간에 있는 동안에는,

this factor stays consistently above one.

이 계수가 일관되게 1보다 높게 유지됩니다.

Whereas as soon as your growth factor looks closer to one,

반면에 증가 계수가 1에 가까워져 보이는 즉시,

it's a sign that you've hit the inflection.

그것은 변곡점에 도달했다는 신호입니다.

This can make for another counterintuitive fact 구동사

데이터를 추적할 때 이것은

while following the data.

또 다른 직관에 반하는 사실을 만들어낼 수 있습니다.

Think about what it would feel like 문법

어느 날의 새로운 감염자 수가

for the number of new cases one day

그 전날의 새로운 감염자 수보다

to be about 15% more

약 15% 더 많을 때

than the number of new cases the previous day.

어떤 느낌일지 생각해 보세요.

And contrast that with what it would feel like 전개 흐름

그리고 그것을 이전과 거의 비슷할 때의

for it to be about the same.

느낌과 비교해 보세요.

Just looking at the totals they result in,

그 결과로 나오는 총합만 보면

they don't really feel that different.

정말 크게 다르게 느껴지지 않습니다.

But if the growth factor is one,

하지만 증가 계수가 1이라면,

it could mean you're at the inflection point of a logistic,

그것은 당신이 로지스틱 곡선의 변곡점에 있다는 뜻일 수 있으며,

which would mean the total number of cases

이는 전체 감염자 수가

is going to max out at about two times 구동사

현재 당신이 있는 곳의 약 2배에서

wherever you are now.

최대치를 기록할 것임을 의미합니다.

But a growth factor bigger than one,

하지만 1보다 큰 증가 계수는

subtle though that might seem, 문법

아무리 미묘해 보일지라도

means you're on the exponential part,

당신이 지수 증가 구간에 있다는 것을 의미하며,

which could imply there are orders of magnitude of growth 어휘 쓰임

이는 앞으로도 엄청난 규모의 증가가

still waiting ahead of you.

기다리고 있을 수 있음을 암시합니다.

Now, while it's true that in the worst-case situation,

물론 최악의 상황에서는

the saturation point is around the total population,

포화점이 전체 인구 수치에 가깝다는 것이 사실이지만,

it's of course not at all true

바이러스를 가진 사람들이 이렇게 전 세계 인구 속에서

that people with the virus are randomly shuffled

무작위로 섞여 있다는 것은

around the world's population like this.

당연히 전혀 사실이 아닙니다.

People are clustered in local communities.

사람들은 지역 사회에 모여 있습니다.

However, if you run simulations

그러나 이와 같은 군집들 사이에

where there's even a little bit of travel

아주 약간의 이동만 있는

between clusters like this,

시뮬레이션을 실행하더라도,

the growth is actually not that much different.

증가는 실제로는 크게 다르지 않습니다.

What you end up with is a kind of fractal pattern, 문법

결국 얻게 되는 것은 일종의 프랙탈 패턴인데,

where communities themselves function like individuals.

여기서는 커뮤니티 자체가 개인처럼 기능합니다.

Each one has some exposure to others

각 커뮤니티는 감염을 퍼뜨릴 일정한 확률을 가지고

with some probability of spreading the infection,

다른 커뮤니티와 어느 정도 노출되어 있으므로,

so the same underlying and exponential inducing laws apply.

지수 함수를 유발하는 동일한 근본 법칙이 적용됩니다.

Fortunately, saturating the whole population

다행히도 전체 인구를 포화시키는 것만이

is not the only thing that can cause 문법

우리가 신경 쓰는 두 가지 요인을 떨어뜨리는

the two factors we care about to go down.

유일한 원인은 아닙니다.

The amount of exposure can also go down

사람들이 모이거나 여행하는 것을 멈출 때

when people stop gathering and traveling,

노출량 또한 감소할 수 있으며,

and the infection rate can go down

사람들이 손을 더 자주 씻는 것만으로도

when people just wash their hands more.

감염률은 낮아질 수 있습니다.

The other thing that's counterintuitive about exponential growth,

지수학적 증가에 대해 직관에 반하는 또 다른 점은,

this time in a more optimistic sense,

이번에는 좀 더 낙관적인 의미에서 볼 때,

is just how sensitive it is to this constant. 문법

이 상수에 대해 얼마나 민감하게 반응하는가 하는 것입니다.

For example, if it's 15%,

예를 들어 이 수치가 15%라면,

like it is as I'm recording this,

제가 이것을 녹음하고 있는 지금처럼 말이죠,

and we're at 21,000 cases now,

그리고 현재 21,000명의 감염자가 있다면,

that would mean that 61 days from now

그것은 지금부터 61일 후에는

you hit over 100 million.

1억 명을 넘어선다는 뜻입니다.

But, if through a bit less exposure and infection,

하지만 노출과 감염을 조금 줄여서

that rate drops down to 5%,

그 비율이 5%로 떨어진다고 해도,

it doesn't mean the projection also drops down

예측치 역시 3분의 1로

by a factor of three. 어휘 쓰임

감소한다는 의미는 아닙니다.

It actually drops down to around 400,000.

실제로는 약 40만 명 정도로 떨어집니다.

So, if people are sufficiently worried, 전개 흐름

그러므로 사람들이 충분히 걱정한다면,

then there's a lot less to worry about.

걱정할 일은 훨씬 줄어듭니다.

But if no one is worried,

하지만 아무도 걱정하지 않는다면,

that's when you should worry.

그때가 바로 당신이 걱정해야 할 때입니다.