무한은 얼마나 클까요? - 데니스 와일드포겔 (Dennis Wildfogel): 영어 학습 노트

TED-Ed

학습 난이도
1,343단어 217단어/분

동영상 개요: 이 영상은 일대일 대응에서 출발해 칸토어의 대각선 논법을 거쳐 연속체 가설과 수학적 증명의 한계까지 나아가며, 무한집합의 크기가 왜 서로 다를 수 있는지 설명합니다. 주요 영어 학습 포인트: 1. So what we really mean when we say that two sets are the same size, is that — 담화·스토리텔링·수사. 직관적인 표현에서 엄밀한 정의로 전환하면서, 뒤따르는 절이 수학적 논증에 필요한 정확한 판정 기준임을 예고하는 방식을 이해하고 설명에 활용할 수 있습니다. 2. not because it's crazy or anything, but because — 문법·문장 패턴. not because ..., but because ...가 그럴듯한 오해를 먼저 배제한 뒤 실제 이유를 제시하는 대조 구조임을 파악하고, 용어를 명확히 설명하거나 청중의 잘못된 추정을 바로잡을 때 사용할 수 있습니다. 3. completely unexpected, paradigm-shattering way. — 어휘 의미·격식. paradigm-shattering이 기존의 틀을 뒤엎는 발견을 나타내는 강하고 학술적인 복합 형용사임을 이해하고, surprising이나 new 같은 일반적인 단어와 비교해 표현의 강도와 격식 차이를 구별할 수 있습니다.

해설 목록

When I was in fourth grade, 문법

0:13

제가 초등학교 4학년이었을 때,

my teacher said to us one day,

0:15

어느 날 선생님께서 저희에게 말씀하셨습니다.

문법

When I was in fourth grade: 과거의 시간 배경 설정하기

When I was in fourth grade는 이야기를 과거의 한 시기에 놓는 when절입니다. 먼저 듣는 사람에게 시간적 배경을 알려 주고, 이어지는 주절에서 무슨 일이 있었는지 말합니다. 추억을 이야기하기 시작할 때 When I was + 나이, 역할 또는 삶의 시기 형태를 다시 사용할 수 있습니다. 예를 들면 When I was ten이나 When I was a new student가 있습니다.

연습

문장에서 When I was in fourth grade는 어떤 역할을 합니까?

  1. 그 사건이 반복해서 일어났음을 나타냅니다.
  2. 선생님이 그렇게 말한 이유를 알려 줍니다.
  3. 과거 사건의 시간적 배경을 설정합니다.
정답 보기

과거 사건의 시간적 배경을 설정합니다.

"There are as many even numbers as there are numbers." 문법

0:16

"짝수도 모든 숫자만큼이나 많이 있단다."

문법

There are as many ... as there are ...: 같은 개수 비교하기

There are as many A as there are B 구조는 A의 개수와 B의 개수가 같다는 뜻입니다. many는 복수 가산 명사와 함께 쓰며, 두 번째 as는 비교절을 이끕니다. 그 비교절에서 there are는 ‘존재한다’는 뜻이며, there는 장소를 가리키지 않습니다. 여기서는 짝수를 numbers라고 부르는 집합과 비교합니다. 무한 집합에 관한 이 수학적 문장에서 크기가 같다는 것은 끝까지 세었다는 뜻이 아니라, 두 집합의 원소를 일대일로 짝지을 수 있다는 뜻입니다.

연습

as many ... as 구조를 사용하고 비교절에서 there are를 반복하세요: There are ____ blue cards ____ red cards.

정답 보기

as many · as there are

Really, I thought?

0:19

정말일까, 저는 생각했죠.

Well, yeah.

0:21

뭐, 그렇기도 하겠네요.

There are infinitely many of both, 어휘 쓰임

0:21

둘 다 무한히 많이 있으니까,

어휘 쓰임

infinitely many: 끝이 없는 수량

“infinitely many”는 아무리 많이 세어도 계속 더 있어서 개수가 끝나지 않는다는 뜻입니다. 이 문장에서 “many”는 두 그룹 각각의 원소를 대신하므로 두 그룹 모두 원소의 수가 무한하다는 의미입니다. “infinitely”는 “many”를 꾸미는 부사입니다. “infinitely many numbers”처럼 셀 수 있는 대상에 사용합니다. “infinite many”는 표준 영어 표현이 아닙니다.

연습

소수의 개수가 끝없이 많다는 뜻을 자연스럽게 표현한 문장은 무엇인가요?

  1. There are infinitely much prime numbers.
  2. There are infinite many prime numbers.
  3. There are infinitely many prime numbers.
정답 보기

There are infinitely many prime numbers.

so I suppose there are the same number of them.

0:23

그 개수가 같을 거라고 생각했습니다.

But on the other hand, 전개 흐름

0:25

하지만 다른 한편으로는,

the even numbers are only part of the whole numbers. 어휘 쓰임

0:26

짝수는 전체 정수의 일부일 뿐이잖아요.

전개 흐름

But on the other hand: 대조되는 다른 측면 제시하기

“But on the other hand”는 같은 문제의 다른 대조적인 측면으로 논의를 전환한다는 신호입니다. 이 표현은 논리의 흐름을 정리하며 단순히 ‘다음으로’를 뜻하거나 비슷한 사실을 하나 더 덧붙이는 것이 아닙니다. 앞에서는 두 집합이 모두 무한하다는 점을 말했습니다. 이 표현은 그다음 두 집합의 관계로 주의를 돌립니다. 즉, 짝수는 음이 아닌 정수 전체의 일부일 뿐이라는 점입니다. “But”을 붙이면 대조가 더 분명해지지만 “on the other hand”만 사용할 수도 있습니다.

연습

“on the other hand”를 사용해 실제적인 대조를 제시한 선택지는 무엇인가요?

  1. The laptop is light. On the other hand, I bought it on Tuesday.
  2. The laptop is light. On the other hand, its battery life is short.
  3. The laptop is light. On the other hand, it is easy to carry.
정답 보기

The laptop is light. On the other hand, its battery life is short.

어휘 쓰임

part of the whole numbers: 집합 관계

이 문장에서 part of는 집합 관계를 나타냅니다. 여기서 다루는 짝수는 더 큰 whole numbers 집합에 속하지만, 그 집합 전체를 이루지는 않습니다. whole numbers는 학교 수학에서 0, 1, 2, 3처럼 음이 아닌 정수를 가리키는 용어입니다. 여기서 whole은 완전하다거나 빠진 숫자가 없다는 뜻이 아니라 이 수 종류의 이름에 포함된 말입니다.

연습

예문의 집합 관계를 올바르게 설명한 문장은 무엇인가요?

  1. Even numbers and whole numbers are exactly the same set.
  2. The even whole numbers make up only part of the whole numbers.
  3. Every whole number is even.
정답 보기

The even whole numbers make up only part of the whole numbers.

All the odd numbers are left over. 구동사

0:29

모든 홀수가 남게 되죠.

구동사

are left over: 남은 것을 말하는 표현

are left over는 다른 것들을 분류하거나, 짝짓거나, 사용하거나, 가져간 뒤에 남는다는 뜻입니다. 여기서는 다른 그룹을 처리한 후 남는 수가 홀수입니다. 활용할 수 있는 형태는 be + left over입니다. be의 형태는 주어와 일치해야 합니다. one number is left over라고 하지만, 복수일 때는 several numbers are left over라고 합니다. over는 고정 표현의 일부이며 위에 또는 초과라는 뜻이 아닙니다.

연습

left over의 알맞은 형태로 문장을 완성하세요: After everyone takes one cookie, two ____.

정답 보기

are left over

So there's got to be more whole numbers than even numbers, 문법

0:30

그러니까 정수가 짝수보다 더 많아야만 하는 거,

right?

0:32

아닌가요?

문법

So there's got to be: 강한 결론 내리기

이 문장에서 So는 뒤의 주장을 화자의 추론에서 나온 결론으로 제시합니다. There's got to be는 “there has got to be”라는 뜻으로, 화자가 어떤 것이 반드시 존재하거나 어떤 판단이 틀림없이 맞는다고 강하게 믿는다는 의미입니다. 여기서는 more whole numbers than even numbers라는 내용을 이어 줍니다. Got to는 have got to 구조의 일부이며, 여기서 get은 ‘도착하다’라는 뜻이 아닙니다. 문장 끝의 right?는 화자가 이미 확신하는 듯한 어조를 보이면서도 상대에게 그 결론을 확인해 달라고 요청합니다.

연습

“there must be”라는 뜻을 가진 이번 수업의 구어 표현을 넣어 문장을 완성하세요: The totals do not match, so ____ a mistake somewhere.

정답 보기

there's got to be

To see what my teacher was getting at, 구동사

0:33

선생님께서 무엇을 의도하신 건지 알아보기 위해,

구동사

getting at: 상대가 정말 말하려는 핵심

여기서 get at은 ‘어떤 뜻을 전달하려 하거나 상대가 이해하도록 이끌다’라는 의미입니다. What my teacher was getting at은 선생님이 실제로 표현하려 했던 핵심이나 생각을 뜻하며, 특히 그것을 직접 말하지 않았을 때 사용합니다. 흔한 구조는 what + person + be + getting at입니다. 예를 들면 I see what you're getting at입니다. 여기서 what은 전달하려는 핵심을 가리키며, 실제로 손을 뻗어 닿으려는 물건을 뜻하지 않습니다.

연습

‘숨은 핵심을 전달하려 하다’라는 뜻의 이번 수업 표현을 넣어 문장을 완성하세요: I understand your example now, and I see what you're ____.

정답 보기

getting at

let's first think about what it means for two sets to be the same size. 문법

0:35

먼저 두 집합의 크기가 같다는 것이 무슨 의미인지 생각해 보겠습니다.

문법

what it means for ... to ...로 개념 정의하기

여기서 what it means for two sets to be the same size는 think about 뒤에 오는 명사절입니다. 이 절 안에서 for two sets는 to be the same size의 의미상 주어를 나타냅니다. what it means for A to do/be B 구조는 추상적인 표현을 정확한 정의나 성립 조건에 관한 질문으로 바꿉니다. 어떤 개념이 특정 대상이나 집단에 어떻게 적용되는지 설명할 때 유용합니다.

연습

what it means for ... to ... 구조로 문장을 완성하세요: Engineers must decide ____ a bridge to be safe.

정답 보기

what it means for

What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand 전개 흐름

0:39

제가 오른손의 손가락 개수와

as I do on my left hand?

0:42

왼손의 손가락 개수가 같다고 말할 때, 무슨 의미일까요?

전개 흐름

What do I mean when I say ...?로 자신의 말 명확히 하기

What do I mean when I say ...?는 말하는 사람이 자기 자신에게 던지는 질문입니다. when I say 뒤에서 자신의 주장을 다시 말하고, 그 주장을 어떻게 이해해야 하는지 묻습니다. 수업에서는 보통 말하는 사람이 이미 답을 알고 있습니다. 이 질문은 설명을 구성하며, 다음에 정의나 예시 또는 그 주장을 확인하는 방법이 나올 것임을 알립니다.

연습

발표자가 계획이 유연하다는 자신의 말을 잠시 멈춰 명확히 설명하려고 합니다. 의미가 맞는 질문은 무엇인가요?

  1. What do you mean when you say the plan is flexible?
  2. What do I mean when I say the plan is flexible?
  3. When do I say that the plan is flexible?
정답 보기

What do I mean when I say the plan is flexible?

Of course,

0:44

당연히,

I have five fingers on each.

0:44

각각 5개의 손가락이 있다는 뜻이겠죠.

But it's actually simpler than that.

0:46

하지만 사실 그것보다 더 간단합니다.

I don't have to count. 문법

0:48

저는 셀 필요가 없습니다.

문법

don't have to count: 필요 없음이지 금지가 아님

don't have to + 동사원형은 그 행동을 할 필요나 의무가 없다는 뜻입니다. 그래도 그 행동을 해도 됩니다. 여기서는 다른 방법으로 확인할 수 있으므로 세는 것은 선택 사항입니다. 부정어 don't는 have to가 나타내는 필요성을 없앨 뿐, 금지를 만들지는 않습니다. 이 구조로 '필요하지 않다'와 '허용되지 않는다'를 구분할 수 있습니다.

연습

점심이 제공되지만 개인 음식을 가져와도 됩니다. 음식을 가져오는 것이 불필요하지만 금지된 것은 아니라는 뜻의 문장은 무엇인가요?

  1. You mustn't bring food; lunch is provided.
  2. You can't bring food; lunch is provided.
  3. You don't have to bring food; lunch is provided.
정답 보기

You don't have to bring food; lunch is provided.

I only need to see that I can match them up one to one. 해설

0:49

단지 손가락들을 일대일로 짝지을 수 있다는 것만 확인하면 됩니다.

구동사

can match them up: 항목을 올바르게 짝짓기

can match them up은 각 항목이 다른 한 항목과 대응하도록 서로 짝지을 수 있다는 뜻입니다. 여기서는 일대일 대응이 가능한지만 확인하면 됩니다. match up은 목적어를 사이에 넣을 수 있는 구동사입니다. them 같은 목적격 대명사는 match와 up 사이에 놓아서 match them up이라고 합니다. 두 집단을 모두 말할 때는 match the names up with the photos처럼 match A up with B를 씁니다.

연습

이름 목록과 사진 묶음이 있습니다. 이름을 사진과 짝지으라고 할 때 대명사 them을 올바르게 사용한 지시는 무엇인가요?

  1. Match up them with the correct photos.
  2. Match them up with the correct photos.
  3. Match them out with the correct photos.
정답 보기

Match them up with the correct photos.

어휘 쓰임

one to one: 두 집합을 일대일로 짝짓기

여기서 one to one은 항목들을 어떻게 짝짓는지 설명합니다. 한 그룹의 각 항목을 다른 그룹의 서로 다른 항목 하나와 짝짓는 방식입니다. 이 문맥에서 화자는 어떤 항목도 중복해서 사용하거나 남기지 않고 두 그룹을 완전히 짝지을 수 있는지 확인하고 있습니다. 이 표현은 match them up 뒤에 놓여 “어떻게?”라는 질문에 답하는 부사 역할을 합니다. 명사 앞에서는 a one-to-one match 또는 a one-to-one relationship처럼 보통 하이픈을 넣어 씁니다.

연습

각 고객 기록이 서로 다른 계정 기록 하나와 짝지어진다는 뜻의 문장은 무엇인가요?

  1. Customer records are checked one by one before lunch.
  2. Each customer record is matched one to one with an account record.
  3. Each customer record is matched with every account record.
정답 보기

Each customer record is matched one to one with an account record.

In fact,

0:52

사실,

we think that some ancient people,

0:53

우리는 고대 사람들 중 일부가,

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three, 문법

0:54

3보다 큰 숫자에 대한 단어가 없는 언어를 사용하는 사람들이,

used this sort of magic.

0:58

이런 종류의 마법을 사용했을 거라고 생각합니다.

문법

who spoke languages that didn't have ...: 중첩된 두 관계절

쉼표로 구분된 who spoke ... 관계절은 some ancient people에 관한 추가 정보를 줍니다. 이 관계절 안에서 that didn't have words for numbers greater than three는 people이 아니라 languages를 수식합니다. 바깥쪽 관계대명사 who는 사람들을 가리키고, 안쪽 관계대명사 that은 languages를 가리킵니다. 문장을 분석할 때는 먼저 we think that 뒤의 내용을 some ancient people used this sort of magic이라는 기본 문장으로 줄입니다. 그런 다음 [who spoke languages [that didn't have ...]]를 people에 연결합니다. 바깥쪽에서 안쪽으로 읽으면 두 설명을 올바른 명사와 연결할 수 있습니다.

연습

the scientists를 설명하는 바깥쪽 관계절 안에 a language를 설명하는 두 번째 관계절이 들어 있는 문장은 무엇인가요?

  1. The scientists studied a language that has no written form, and they recorded its stories.
  2. The scientists, who carried audio recorders, studied a language and recorded its stories.
  3. The scientists, who studied a language that has no written form, recorded its stories.
정답 보기

The scientists, who studied a language that has no written form, recorded its stories.

For instance,

0:59

예를 들어,

if you let your sheep out of a pen to graze, 해설

1:00

풀을 뜯게 하려고 양을 우리에서 내보낼 때,

구동사

let your sheep out of a pen: 사람이나 동물을 어떤 장소에서 내보내기

let your sheep out of a pen은 양들이 우리 안에서 밖으로 이동할 수 있도록 나가는 것을 허락하거나 풀어 준다는 뜻입니다. 형태는 let + 목적어 + out of + 장소입니다. your sheep은 목적어이고 a pen은 양들이 나오는 장소입니다. 출발 장소가 이미 분명하면 let the sheep out이라고 말할 수 있습니다. 목적어가 대명사여도 let 바로 뒤에 둡니다. 예를 들어 let them out of the pen이라고 합니다.

연습

개가 문 앞에서 기다리고 있고 혼자 밖으로 나갈 수 있습니다. 개가 집에서 나가도록 허락해 달라고 요청하는 문장은 무엇인가요?

  1. Please let the dog out of the house.
  2. Please get the dog out of the house.
  3. Please take the dog out of the house.
정답 보기

Please let the dog out of the house.

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, 해설

1:02

한 마리당 돌멩이 하나씩을 따로 빼놓음으로써 몇 마리가 나갔는지 기록할 수 있고,

표현 묶음

can keep track of: 변하는 정보를 계속 파악하기

keep track of는 수, 위치, 진행 상황처럼 변하는 정보를 계속 알고 있거나 기록한다는 뜻입니다. 이 문장에서 can keep track of how many went out은 몇 개가 나갔는지 정확한 수를 계속 파악할 수 있다는 뜻입니다. keep track of를 하나의 표현으로 이해하세요. of 뒤에는 the score 같은 명사구가 올 수도 있고, how many went out처럼 어떤 정보를 파악하는지 나타내는 절이 올 수도 있습니다.

연습

‘계속 파악하다’라는 뜻의 표현을 넣어 문장을 완성하세요: Use this chart to ____ your weekly reading time.

정답 보기

keep track of

문법

by setting aside a stone: by + -ing로 방법 나타내기

by setting aside a stone은 수를 세는 데 사용한 방법을 설명합니다. 하나마다 돌 하나를 옆에 따로 놓는 행동으로 앞의 결과를 얻습니다. 어떤 일을 하는 방법을 말할 때는 by + -ing 형태를 씁니다. by setting이 맞고 by set이나 by to set은 쓰지 않습니다. 여기서 set aside는 어떤 것을 따로 두거나 특정 목적을 위해 남겨 둔다는 뜻입니다.

연습

by와 set aside의 -ing 형태를 사용해 문장을 완성하세요: You can save for the trip ____ a little money each week.

정답 보기

by setting aside

and then putting those stones back one by one when the sheep return, 표현 묶음

1:06

양들이 돌아올 때 그 돌멩이들을 하나씩 다시 제자리에 놓으면,

표현 묶음

one by one: 하나씩 순서대로 처리하기

one by one은 한 집단의 사람이나 사물을 한꺼번에 처리하지 않고 하나씩 차례로 처리한다는 뜻입니다. 이 문장에서는 양들이 돌아올 때 돌을 하나씩 다시 놓습니다. one by one은 설명하는 동작 뒤에 놓습니다. 사람, 사물 또는 과제마다 같은 동작이 순서대로 이루어진다는 것을 나타낼 수 있습니다.

연습

‘따로 하나씩, 순서대로’라는 뜻의 강조된 표현을 넣어 문장을 완성하세요: The coach checked the helmets ____.

정답 보기

one by one

so that you know if any are missing without really counting. 문법

1:09

실제로 세지 않고도 없어진 양이 있는지 알 수 있습니다.

문법

if you let your sheep out ... to graze: 조건과 목적 제시하기

if절은 양들을 우리에서 내보낸다고 가정하는 구체적이고 상상하기 쉬운 상황을 만듭니다. 이어지는 주절은 그 상황에서 무엇을 할 수 있는지 설명합니다. 추상적인 설명을 쉽게 떠올릴 수 있는 예로 바꾸는 일반적인 방식입니다. 이 조건 안에서 to graze는 양을 내보내는 목적을 나타냅니다. 즉, 풀을 먹게 하려고 내보낸다는 뜻입니다. 응용할 수 있는 형태는 if + 상황 뒤에 결과나 방법을 이어 쓰고, to + 동사원형으로 행동의 목적을 나타내는 것입니다.

연습

if로 상황을 설정하고 to + 동사로 목적을 설명한 자연스러운 문장은 무엇인가요?

  1. If you put the seed by the window for give it more light, check the soil each day.
  2. If you to put the seed by the window give it more light, check the soil each day.
  3. If you put the seed by the window to give it more light, check the soil each day.
정답 보기

If you put the seed by the window to give it more light, check the soil each day.

문법

so that you know if any are missing: 목적과 ‘~인지’ 간접 의문문

이 문장에서 so that은 앞선 행동의 목적을 나타냅니다. 돌을 이런 방식으로 다루는 목적은 빠진 것이 있는지 알아보기 위해서입니다. ‘행동 + so that + 완전한 절’ 구조는 방법과 그 방법으로 얻으려는 결과를 연결합니다. 이 절 안에서 if는 조건을 뜻하는 ‘만약’이 아니라 ‘~인지 아닌지’를 뜻합니다. know 뒤에서 예 또는 아니요로 답할 수 있는 간접 의문문 if any are missing을 이끕니다. 여기서 any는 그 집단의 어느 구성원이든 가리킵니다.

연습

행동과 그 목적을 올바르게 연결한 뒤, 빠진 것이 있는지를 간접적으로 묻는 문장은 어느 것인가요?

  1. Check the list for you know if any names are missing.
  2. Check the list so that knowing if any names are missing.
  3. Check the list so that you know if any names are missing.
정답 보기

Check the list so that you know if any names are missing.

As another example of matching being more fundamental than counting, 전개 흐름

1:12

짝짓기가 세는 것보다 더 근본적이라는 또 다른 예시로,

전개 흐름

As another example of ...: 같은 주장을 뒷받침하는 예 추가하기

As another example of ...는 화자가 주제를 바꾸는 것이 아니라 두 번째 또는 그 이후의 예를 추가한다는 뜻입니다. 새 사례도 같은 주장을 뒷받침합니다. 여기서는 matching이 counting보다 더 근본적이라는 주장입니다. 이 표현은 앞서 나온 예를 되짚고 곧 나올 새 예를 예고하여 설명의 흐름을 정리합니다. another는 이미 적어도 하나의 예가 나왔다는 것을 알려 줍니다.

연습

이 문장에서 As another example of ...는 무엇을 나타내나요?

  1. 화자는 관련 없는 주제로 넘어가고 있다.
  2. 화자는 같은 주장을 뒷받침하는 새 사례를 추가하고 있다.
  3. 화자는 앞의 주장을 바로잡고 있다.
정답 보기

화자는 같은 주장을 뒷받침하는 새 사례를 추가하고 있다.

if I'm speaking to a packed auditorium, 어휘 쓰임

1:15

제가 꽉 찬 강당에서 연설을 하고 있을 때,

어휘 쓰임

a packed auditorium: 사람들로 꽉 찬 강당

a packed auditorium에서 packed는 강당이 사람들로 가득 차 빈자리나 여유 공간이 거의 없다는 뜻입니다. 빽빽한 군중을 생생하게 떠올리게 하며, 건물이 포장되었다는 뜻이 아닙니다. a packed + 장소의 형태는 theater, stadium, train처럼 보통 사람들로 매우 가득 찬 장소에도 사용할 수 있습니다.

연습

packed를 사용해 사람들로 붐비는 장소를 나타낸 문장은 무엇인가요?

  1. We packed our costumes into two suitcases.
  2. The auditorium was packed with excited families.
  3. The lunches were packed before sunrise.
정답 보기

The auditorium was packed with excited families.

where every seat is taken and no one is standing, 문법

1:17

모든 좌석이 꽉 차고 서 있는 사람이 아무도 없다면,

문법

where every seat is taken ...: 관계절로 장소 설명하기

여기서 where는 앞서 언급된 auditorium, 즉 강당을 설명하는 관계절을 이끕니다. ‘그 강당에서’라는 뜻이며, 장소를 묻는 말이 아닙니다. where 뒤의 every seat is taken과 no one is standing은 모두 그 장소 안의 상태를 설명하는 완전한 절입니다. ‘장소 명사 + where + 주어 + 동사’ 구조로 그곳에서 일어나거나 사실인 일을 덧붙일 수 있습니다.

연습

장소 명사 바로 뒤에 where를 사용하여 그곳에서 일어나는 일을 설명한 문장은 어느 것인가요?

  1. The room that we reserved for meetings is upstairs.
  2. We asked where the meeting was.
  3. The room where we hold our meetings is upstairs.
정답 보기

The room where we hold our meetings is upstairs.

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

1:20

저는 의자의 수와 청중의 수가 같다는 것을 압니다.

even though I don't know how many there are of either. 문법

1:23

비록 둘 다 정확히 몇 개인지 모른다 하더라도 말이죠.

문법

even though I don't know ...: 제약을 인정하면서 결론 유지하기

even though는 양보 관계를 나타냅니다. 말하는 사람은 두 그룹의 정확한 수를 모른다는 실제 제약을 인정하지만, 앞서 내린 결론은 여전히 성립한다고 말합니다. 이 구조는 인정한 사실과, 그 사실에도 불구하고 참인 핵심 주장을 연결합니다. how many there are of either에서 either는 앞서 언급한 두 그룹 중 한쪽 또는 다른 쪽을 가리킵니다. 이 표현은 두 그룹의 수에 관한 것이며, 둘 중 하나를 선택하라는 뜻이 아닙니다.

연습

정확한 합계를 모른다는 사실을 인정하면서도 비교할 수 있다는 결론을 유지하는 문장은 어느 것인가요?

  1. Even if the exact total becomes known, the two groups can be compared.
  2. Even though the exact total is unknown, the two groups can still be compared.
  3. Because the exact total is unknown, the two groups cannot be compared.
정답 보기

Even though the exact total is unknown, the two groups can still be compared.

So what we really mean when we say that two sets are the same size, 전개 흐름

1:25

따라서 두 집합의 크기가 같다고 말할 때 우리의 진짜 의미는,

is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way.

1:29

그 집합들의 요소가 어떤 식으로든 일대일로 짝지어질 수 있다는 것입니다.

전개 흐름

what we really mean ... is that ...: 정확한 정의 제시하기

what we really mean when we say X is that Y라는 틀은 익숙하지만 의미가 넓은 표현 X를 정확한 정의 Y로 바꿉니다. what절은 is의 주어이고, that절은 정확한 의미를 제시합니다. 여기서 X는 two sets are the same size이고, Y는 두 집합의 원소를 하나씩 짝지을 수 있다는 규칙입니다. So는 앞의 설명에서 이 정의로 듣는 사람을 이끕니다.

연습

이 문장에서 is that 뒤의 정보는 어떤 역할을 하나요?

  1. 화자가 그 표현에 의미가 있는지 확신하지 못함을 보여 준다.
  2. 그 표현과 관련 없는 별개의 주제를 꺼낸다.
  3. two sets are the same size라는 표현을 정확하게 정의한다.
정답 보기

two sets are the same size라는 표현을 정확하게 정의한다.

So my fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, 구동사

1:33

그래서 4학년 때 선생님은 저희에게 정수들을 일렬로 늘어놓아 보여주셨고,

구동사

laid out in a row: 한 줄로 배열해 보여 준

laid out in a row는 “한 줄로 배열해 보여 준”이라는 뜻입니다. 이 문장에서는 음이 아닌 정수들이 어떻게 보였는지, 즉 하나씩 차례로 한 줄에 놓였다는 것을 설명합니다. laid out은 꾸며 주는 명사 뒤에 놓인 과거분사구입니다. the whole numbers laid out in a row는 the whole numbers that were laid out in a row로 풀어 쓸 수 있습니다. lay의 과거분사는 layed가 아니라 laid입니다.

연습

카드가 한 줄로 배열되어 보였다는 뜻의 문장은 무엇인가요?

  1. The cards were laid out in a row on the table.
  2. The cards were spread randomly across the table.
  3. The cards were put back into a box on the table.
정답 보기

The cards were laid out in a row on the table.

and below each we have its double.

1:36

그 아래에 각각 두 배가 되는 숫자를 적으셨습니다.

As you can see, 전개 흐름

1:37

보시다시피,

the bottom row contains all the even numbers,

1:39

아랫줄에는 모든 짝수가 포함되어 있고,

전개 흐름

As you can see: 눈에 보이는 근거로 주의 이끌기

As you can see는 발표나 설명에서 쓰는 안내 표현입니다. 듣는 사람이 이미 볼 수 있는 근거에 주목하게 하고, 뒤이어 나올 관찰 내용으로 연결합니다. 이 문장에서는 맨 아래 줄에 무엇이 있는지 설명하기 전에 그 줄로 시선을 이끕니다. 설명의 흐름을 정리하는 표현이지, 청중에게 볼 수 있는지를 묻는 질문은 아닙니다.

연습

발표자가 차트를 보여 주고 있습니다. 눈에 보이는 변화로 청중의 주의를 가장 잘 이끄는 문장은 무엇인가요?

  1. To change the subject, the red line rises after June.
  2. As you can see, the red line rises after June.
  3. I cannot show you the chart, but the red line rises after June.
정답 보기

As you can see, the red line rises after June.

and we have a one-to-one match.

1:41

우리는 일대일 짝짓기를 완성했습니다.

That is,

1:42

즉,

there are as many even numbers as there are numbers. 문법

1:43

숫자 전체만큼이나 짝수도 많다는 것입니다.

문법

there are as many A as there are B: 개수가 같음

there are as many A as there are B 구조는 A 항목의 개수와 B 항목의 개수가 같다는 뜻입니다. 명사가 복수 가산 명사이므로 many를 쓰며, 두 번째 there are는 비교의 반대쪽도 완전한 절로 만듭니다. 여기서 A는 even numbers이고 B는 numbers입니다. 이 문장은 두 집단에 몇 개의 항목이 있는지를 비교하며, 개별 숫자의 크기나 값을 비교하지 않습니다.

연습

연필의 개수와 공책의 개수가 같다는 뜻을 올바르게 나타낸 문장은 무엇인가요?

  1. There are as much pencils as there are notebooks.
  2. There are as many pencils as there are notebooks.
  3. There are as many pencils than there are notebooks.
정답 보기

There are as many pencils as there are notebooks.

But what still bothers us is our distress over the fact 문법

1:45

하지만 여전히 우리를 괴롭히는 것은 이런 사실에 대한 불편함입니다.

that the even numbers seem to be only part of the whole numbers. 문법

1:48

짝수가 전체 정수의 일부일 뿐인 것처럼 보인다는 사실이죠.

문법

What still bothers us is ...: 걱정거리를 먼저 제시하기

“What still bothers us”는 what으로 시작하는 절이며, 절 전체가 문장의 주어 역할을 합니다. 여기서 what은“the thing that(…하는 것)”이라는 뜻이므로 이 절은 “여전히 우리를 괴롭히는 것”을 뜻합니다. 뒤의 is는 그 대상이 구체적으로“our distress over the fact ...”라고 밝혀 줍니다. what절을 앞에 두면 What ... is ...라는 초점 구조가 만들어집니다. 먼저 걱정거리를 제시하고 그 뒤에 구체적인 원인을 설명하는 방식입니다. 반응이나 문제의 정확한 원인에 듣는 사람의 주의를 모으고 싶을 때 유용합니다.

연습

what절을 사용해 주된 걱정거리를 먼저 제시한 문장은 어느 것입니까?

  1. What concerns the team is the missing safety report.
  2. The team is concerned about the missing safety report.
  3. The missing safety report concerns the team.
정답 보기

What concerns the team is the missing safety report.

문법

seem to be: 확정이 아닌 겉으로 보이는 판단 나타내기

seem to be 뒤에 보충 성분이 오면 어떤 결론을 확인된 사실이 아니라 겉으로 보이는 모습이나 인상으로 제시합니다. 원문의“seem to be only part”는 짝수가 음이 아닌 정수 전체 중 한 부분만 이루는 것처럼 보인다는 뜻입니다. 이런 거리 두기는 논증에서 중요합니다. 말하는 사람은 어떤 것이 처음에 어떻게 보이는지 말하면서도 그것이 최종적이거나 완전한 이해라고 단정하지 않을 수 있습니다.

연습

새 방법을 아직 시험하지 않았고 첫인상만 설명하려고 합니다. 어떤 문장이 가장 알맞습니까?

  1. The new method seems to be effective.
  2. The new method is definitely effective.
  3. The new method used to be effective.
정답 보기

The new method seems to be effective.

But does this convince you 말투와 의도

1:51

하지만 이것이 여러분을 설득할 수 있을까요?

that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left?

1:53

제 오른손과 왼손의 손가락 수가 같지 않다는 걸요.

말투와 의도

“But does this convince you ...?”로 증거가 충분한지 따져 묻기

Does this convince you that ...?는 그 증거가 뒤에 나오는 주장을 듣는 사람이 받아들일 만큼 충분히 강한지 묻습니다. convince 뒤에는 설득되는 사람인 you가 오고, that절은 받아들이게 하려는 주장을 나타냅니다. 여기서는 수사 의문문으로, 화자는 “아니다”라는 답을 예상합니다. 문장 첫머리의 But은 앞선 추론에 이의를 제기하고, 결론을 그대로 받아들이지 말고 직접 따져 보게 합니다.

연습

화자가“But does this convince you ...?”로 주로 하는 일은 무엇인가요?

  1. 증거가 정말 그 주장을 뒷받침하는지 듣는 사람에게 판단하도록 요구한다.
  2. 듣는 사람이 단어를 정확히 들었는지 확인한다.
  3. 그 주장이 이미 증명되었다고 말한다.
정답 보기

증거가 정말 그 주장을 뒷받침하는지 듣는 사람에게 판단하도록 요구한다.

Of course not.

1:56

물론 아니죠.

It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, 문법

1:57

어떤 방식으로 요소를 짝지어보려다 실패해도 상관없습니다.

that doesn't convince us of anything.

2:01

그것은 우리에게 아무것도 설득하지 못합니다.

문법

“It doesn't matter if ...”로 관련 없는 조건을 제외하기

It doesn't matter if ...는 if절의 상황이 현재의 판단이나 결론을 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 이 문장에서는 원소를 짝짓는 한 가지 방법이 실패할 수 있지만, 그 실패 자체는 유용한 증거가 아닙니다. 여기서 if는 even if 또는 whether or not과 비슷합니다. 결과를 좌우하는 조건을 제시하는 것이 아니라, 어떤 가능성을 인정한 뒤 관련 없는 것으로 제외하는 구조입니다.

연습

가능한 실패가 중요하지 않음을 나타내는 수업의 네 단어 표현으로 문장을 완성하세요: ____ our first plan fails; we can try a different one.

정답 보기

It doesn't matter if

If you can find one way 문법

2:02

만약 여러분이

in which the elements of two sets do match up,

2:04

두 집합의 요소가 짝지어지는 단 한 가지 방법이라도 찾을 수 있다면,

then we say those two sets have the same number of elements.

2:06

우리는 그 두 집합이 같은 개수의 요소를 가졌다고 말합니다.

문법

판정 기준을 세우는 If you can ..., then we say ...

If you can ..., then we say ... 패턴은 먼저 판정 조건을 제시하고, 그 조건이 충족되었을 때 쓰는 이름이나 결론을 이어서 제시합니다. if절이 조건을 나타내고, then we say는 조건을 충족한 대상을 어떻게 설명하는지 소개합니다. 여기서는 원소를 대응시키는 방법을 하나라도 찾으면 조건이 충족됩니다. we say는 단순히 ‘우리가 말한다’는 행동이 아니라 함께 사용하는 수학적 정의나 약속을 나타냅니다.

연습

먼저 조건을 제시한 다음, 그 조건이 충족될 때 사용하는 이름을 말하는 문장은 무엇인가요?

  1. If every side is equal, then we measure the triangle carefully.
  2. We say every side is equal if the triangle is equilateral.
  3. If every side is equal, then we say the triangle is equilateral.
정답 보기

If every side is equal, then we say the triangle is equilateral.

Can you make a list of all the fractions? 표현 묶음

2:10

모든 분수의 목록을 만들 수 있을까요?

표현 묶음

make a list of ...: 목록의 내용을 나타내기

Make a list of X는 X를 모으거나 각각의 항목으로 적어 목록을 만든다는 뜻입니다. of 뒤의 명사구는 목록에 무엇이 들어가는지를 나타냅니다. Can you make a list of ...?에서 Can you...?는 여기서 능력만 묻는 질문이 아니라, 상대에게 과제를 주거나 중립적으로 부탁하는 표현입니다.

연습

‘포함된 항목의 목록을 만들다’라는 뜻으로 make를 사용하는 네 단어 표현을 넣으세요: Can you ____ the materials we need for the experiment?

정답 보기

make a list of

This might be hard.

2:12

이건 어려울 수 있습니다.

There are a lot of fractions,

2:13

분수는 엄청나게 많고,

and it's not obvious what to put first 문법

2:15

무엇을 맨 처음에 두어야 할지,

or how to be sure all of them are on the list.

2:17

혹은 그것들이 모두 목록에 있는지 어떻게 확신할 수 있을지 분명하지 않기 때문입니다.

문법

it's not obvious what to ... or how to ...: 해결되지 않은 두 질문을 나란히 제시하기

여기서 it's not obvious는 답을 쉽게 알아내거나 결정할 수 없다는 뜻입니다. 이어지는 두 가지 미해결 질문 가운데 what to put first는 선택이나 순서를, how to be sure는 빠진 것이 없는지 확인하는 방법을 묻습니다. not obvious 뒤에서는 ‘의문사 + to + 동사원형’으로 해결되지 않은 질문을 간결하게 나타낼 수 있습니다. 두 절은 or로 연결되며, what to do, where to start, how to check처럼 두 측면 모두 분명하지 않을 수 있음을 보여 줍니다.

연습

not obvious 뒤에 두 개의 병렬 ‘의문사 + to + 부정사’ 절을 올바르게 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. It's not obvious to where begin or to how organize the files.
  2. It's not obvious where begin or how organizing the files.
  3. It's not obvious where to begin or how to organize the files.
정답 보기

It's not obvious where to begin or how to organize the files.

Nevertheless, 전개 흐름

2:19

그럼에도 불구하고,

there is a very clever way

2:20

아주 기발한 방법이 하나 있습니다.

that we can make a list of all the fractions.

2:22

모든 분수의 목록을 만들 수 있는 방법이죠.

전개 흐름

Nevertheless: 어려움에서 대조되는 결과로 전환하기

Nevertheless는 ‘방금 말한 내용에도 불구하고’라는 뜻입니다. 문장 맨 앞에서 연결 부사로 쓰이면, 앞서 나온 어려움이 뒤의 진술을 무효로 만들지는 않는다고 알려 줍니다. 여기서는 설명을 문제에서 그와 대조되는 해결책으로 진행시킵니다. 모든 분수를 나열하기는 어려워 보이지만, 영리한 방법은 여전히 존재한다는 흐름입니다.

연습

The trail was steep. 그 어려움과 대조되는 결과를 가장 잘 이끄는 문장은 무엇인가요?

  1. For example, we reached the top before sunset.
  2. Nevertheless, we reached the top before sunset.
  3. Therefore, we reached the top before sunset.
정답 보기

Nevertheless, we reached the top before sunset.

This was first done by Georg Cantor in the late 1800s. 문법

2:24

이것은 1800년대 후반 게오르크 칸토어에 의해 처음 시도되었습니다.

문법

This was first done by ... in the late 1800s: 수동태로 최초 실행자와 시기 나타내기

이 문장은 단순과거 수동태를 사용합니다. This는 앞에서 이미 언급한 대상이나 방법을 가리키고, was done은 누군가 그것을 실행했다는 뜻이며, by Georg Cantor는 그 일을 한 사람을 밝힙니다. first는 알려진 것 중 가장 이른 시점임을 나타냅니다. 이 어순은 방법이나 성과를 중심 화제로 유지한 뒤 인물과 역사적 시기를 덧붙입니다. in the late 1800s는 19세기 후반을 뜻합니다. 누가 어떤 일을 처음 실행하거나 개발하거나 도입했는지 설명할 때 쓸 수 있는 구조입니다.

연습

발명품을 먼저 제시한 뒤 그것을 개발한 사람들을 밝히는 문장은 무엇인가요?

  1. The safety device was first developed by a small research team in 2005.
  2. A small research team was first developed by the safety device in 2005.
  3. The safety device first developed a small research team in 2005.
정답 보기

The safety device was first developed by a small research team in 2005.

First,

2:28

먼저,

we put all the fractions into a grid. 표현 묶음

2:28

우리는 모든 분수를 격자 모양으로 배열합니다.

표현 묶음

put ... into a grid: 항목을 격자에 배열하기

put + 목적어 + into a grid는 여러 항목을 행과 열로 배열한다는 뜻입니다. 여기서 all the fractions는 배열되는 대상이고, into a grid는 배열 후의 새로운 형태를 나타냅니다. 여기서 into는 실제 물건을 용기 안으로 옮긴다는 뜻에만 한정되지 않습니다. 데이터, 이미지 또는 숫자에 관한 지시에서는 특정 형식으로 정리한다는 뜻을 나타낼 수 있습니다.

연습

put ... into a grid를 사용해 다음 영어 문장을 완성하세요: Please ____ to make the menu easier to scan.

정답 보기

put the buttons into a grid

They're all there.

2:31

거기에 다 있습니다.

For instance, you can find, say, 말투와 의도

2:32

예를 들어, 당신은 찾을 수 있죠, 가령,

117 over 243 어휘 쓰임

2:33

243분의 117을요.

in the 117th row and 243rd column.

2:36

117번째 행, 243번째 열에서요.

말투와 의도

‘예를 들어’를 뜻하는 삽입어 say

여기서 say는 ‘예를 들어’ 또는 ‘하나를 골라 보자’라는 뜻의 삽입 표현입니다. 117 over 243을 가능한 값 하나로 제시하는 것이며, 누군가에게 그것을 소리 내어 말하라고 하는 것이 아닙니다. say를 빼도 주절은 문법적으로 완전합니다. 쉼표는 say가 중간에 삽입된 표현이며, 뒤의 숫자가 특별하거나 반드시 써야 하는 값이 아니라 설명을 위해 고른 예임을 보여 줍니다.

연습

삽입 표현 say로 예를 제시한 문장은 어느 것인가요?

  1. Say the number ten clearly.
  2. The display says ten.
  3. Choose a number, say, ten, and double it.
정답 보기

Choose a number, say, ten, and double it.

어휘 쓰임

117 over 243: over를 사용한 분수 읽기

117 over 243에서 over는 분수를 나타냅니다. 117은 분자이고 243은 분모입니다. 이 표현은 117/243을 뜻하며, over 앞의 수는 분수선 위에, 뒤의 수는 아래에 놓입니다. 이 구조는 큰 수가 들어간 분수를 읽을 때 유용합니다. 분자를 하나의 완전한 수로 읽고, over를 읽은 다음, 분모를 하나의 완전한 수로 읽습니다.

연습

영어 문장을 듣고 들린 분수를 고르세요. over 앞뒤의 숫자 덩어리에 주의하세요.

  1. The fraction is one hundred seventeen over two hundred forty-three.
  2. The fraction is one hundred seventy over two hundred forty-three.
  3. The fraction is one hundred seventeen over two hundred thirty-four.
정답 보기

The fraction is one hundred seventeen over two hundred forty-three.

Now, we make a list out of this 구동사

2:39

이제, 우리는 이것으로 목록을 만듭니다.

구동사

make a list out of this: make A out of B 구조

이 문장에서 make a list out of this는 “기존의 배열이나 정보를 목록으로 바꾸다”라는 뜻입니다. 결과물은 a list이고, this는 다시 정리되는 원래 자료를 가리킵니다. 활용할 수 있는 구조는 make + 결과물 + out of + 원래 재료나 내용입니다. 상자로 장난감을 만드는 것처럼 실제 재료를 사용할 때도 쓰고, 정보를 새로운 형태로 재구성할 때도 쓸 수 있습니다.

연습

make A out of B 구조를 만드는 두 단어를 넣어 문장을 완성하세요: The children made a puppet ____ a paper bag.

정답 보기

out of

by starting at the upper left

2:41

왼쪽 위에서 시작해서

and sweeping back and forth diagonally, 표현 묶음

2:42

대각선으로 왔다 갔다 훑어가며,

표현 묶음

back and forth: 반대 방향 사이의 반복적인 움직임

Back and forth는 한 방향으로 움직인 뒤 반대 방향으로 움직이는 동작을 반복한다는 뜻입니다. 여기서는 방향을 계속 바꾸며 대각선으로 훑어 가는 경로를 설명합니다. 사람이나 장소 사이에서 무언가가 반복해서 오가는 상황에도 쓸 수 있습니다. 예를 들어 메시지가 계속 주고받아지는 경우입니다.

연습

back and forth를 사용해 반대 방향 사이의 반복적인 움직임을 나타낸 문장은 무엇인가요?

  1. The fan turned once and then stopped.
  2. The fan turned back and forth as it cooled the room.
  3. The fan stayed in one position all afternoon.
정답 보기

The fan turned back and forth as it cooled the room.

skipping over any fraction like 2 over 2 구동사

2:44

2분의 2 같은 분수는 건너뜁니다.

that represents the same number as one we've already picked. 어휘 쓰임

2:46

우리가 이미 선택한 것과 같은 숫자를 나타내니까요.

구동사

skipping over: 항목을 처리하지 않고 건너뛰기

여기서 skipping over는 어떤 항목을 일부러 처리하지 않고 다음 항목으로 넘어간다는 뜻입니다. 2 over 2처럼 이미 선택한 값과 같은 값을 가진 분수는 제외합니다. skip over + 명사구의 형태로 씁니다. 글, 목록, 단계, 선택지를 차례로 살펴볼 때 흔히 사용합니다.

연습

이번 단원에서 배운 구동사로 지시문을 완성하세요: When checking the list, ____ any names that appear twice.

정답 보기

skip over

어휘 쓰임

represents the same number as: 다른 형태로 같은 값 나타내기

Represents the same number as는 한 수학적 형태가 다른 형태와 같은 수치를 가진다는 뜻입니다. 형태는 달라 보일 수 있습니다. 예를 들어 2/2와 1은 둘 다 값이 1입니다. A가 분수, 소수, 기호처럼 그 값을 해석해야 하는 형태일 때 A represents the same number as B 구조를 씁니다. 영어에서는 the same ... as 구조에 as를 씁니다.

연습

2/4와 1/2의 관계를 올바르게 설명한 문장은 무엇인가요?

  1. The fraction two fourths represents the same number as one half.
  2. The fraction two fourths represents a different number from one half.
  3. The fraction two fourths is written exactly the same way as one half.
정답 보기

The fraction two fourths represents the same number as one half.

And so, we get a list of all the fractions,

2:49

그래서, 우리는 모든 분수의 목록을 얻게 됩니다.

which means we've created a one-to-one match between the whole numbers 해설

2:51

이것은 우리가 정수와 분수 사이에

and the fractions,

2:54

일대일 짝짓기를 만들었다는 뜻입니다.

전개 흐름

which means we've created...: 결과를 결론으로 설명하기

여기서 which means는 앞에서 말한 결과 전체, 즉 모든 분수의 목록을 얻었다는 사실을 가리킵니다. 그리고 그 결과가 뜻하는 바, 곧 일대일 대응이 만들어졌다는 결론을 제시합니다. ‘상황, which means + 결론’ 구조는 구체적인 단계나 관찰에서 그 의미로 넘어갈 때 씁니다. 관계대명사 which는 바로 앞 명사만이 아니라 앞의 상황 전체를 가리킵니다.

연습

이 문장에서 which means는 어떤 역할을 합니까?

  1. 과정과 관계없는 새 단계를 제시합니다.
  2. 방금 언급한 결과의 의미를 설명합니다.
  3. 앞의 결과를 바로잡고 부정합니다.
정답 보기

방금 언급한 결과의 의미를 설명합니다.

어휘 쓰임

a one-to-one match between A and B: 두 집합의 일대일 대응

a one-to-one match between A and B 구조는 두 집합의 원소를 하나씩 짝짓는다는 뜻입니다. A의 각 원소는 B의 한 원소와 짝을 이루고, B의 각 원소도 한 번만 사용됩니다. 이 문장에서 A는 0을 포함한 자연수이고 B는 분수입니다. one-to-one은 match 앞에서 쓰이는 복합 형용사이므로 하이픈으로 연결합니다. between은 짝을 이루는 두 집합을 제시합니다.

연습

다음 문장을 올바르게 완성하는 구문은 무엇입니까? The database needs ___ customer records and account numbers.

  1. a one-on-one match between
  2. a one-to-one match between
  3. a one-to-one match among
정답 보기

a one-to-one match between

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. 문법

2:55

우리가 분수가 더 많아야 한다고 생각했음에도 불구하고 말이죠.

문법

despite the fact that + 완전한 절

despite the fact that은 다른 결과를 예상하게 만들 수 있는 사실을 제시합니다. “이것이 사실이기는 하지만”이라는 뜻이며, 중심 내용은 여전히 성립합니다. 뒤에는 despite the fact that + 주어 + 동사 형태의 완전한 절이 옵니다. 여기서는 “우리가 생각했던 것”을 화자의 최종 결론이 아니라 양보 내용으로 표시합니다.

연습

네 단어로 된 격식 있는 양보 표현을 넣어 문장을 완성하세요: The outdoor concert continued ____ heavy rain was falling.

정답 보기

despite the fact that

Okay.

2:58

좋습니다.

Here's where it gets really interesting. 전개 흐름

2:59

여기서부터 정말 흥미로워집니다.

전개 흐름

Here's where it gets really interesting: 전환을 알리는 이정표

Here's where...는 반드시 실제 장소가 아니라 설명 속의 한 단계를 가리킵니다. 이 표현은 이정표처럼 작용하여 화자가 도입이나 배경에서 특별히 주목할 부분으로 넘어가고 있음을 보여 줍니다. it gets really interesting은 다음 내용이 중요하거나 놀랍거나 새로운 사실을 드러낼 것이라고 예고해 기대감을 만듭니다. 문장 전체가 뒤에 올 정보를 정리하고 청자가 계속 듣도록 이끕니다.

연습

화자가 "Here's where it gets really interesting"이라고 말하는 주된 목적은 무엇인가요?

  1. 설명이 완전히 끝났다고 말하기
  2. 다음 부분에 특별히 주목해야 한다고 알리기
  3. 실제 장소로 가는 길을 안내하기
정답 보기

다음 부분에 특별히 주목해야 한다고 알리기

You may know that not all real numbers, 문법

3:01

여러분은 모든 실수,

that is,

3:03

즉,

not all the numbers on a number line, 어휘 쓰임

3:03

수직선 상의 모든 숫자가

어휘 쓰임

numbers on a number line: 위치를 나타내는 on

numbers on a number line은 ‘수직선 위에 표시되거나 위치한 수’를 뜻합니다. 영어에서는 점과 값이 선을 따라 표시된다고 보기 때문에 on을 사용합니다. number line은 위치로 수를 나타내는 선을 가리키는 표준 수학 용어입니다. 숫자를 평범하게 한 줄로 적어 놓은 것을 뜻하지 않습니다.

연습

표준 수학 표현을 완성하세요: Mark the point ____ the number line.

정답 보기

on

are fractions.

3:05

분수는 아니라는 걸 아실 겁니다.

문법

not all ... are ...: 부분 부정

Not all A are B는 “All A are B”라는 명제가 거짓이라는 뜻으로, 적어도 하나의 A는 B가 아닙니다. 이는 부분 부정이며, 더 강한 주장인 “No A are B”를 뜻하지 않습니다. 일부 A가 B일 가능성은 남아 있습니다. 이 문장에서 화자는 모든 실수가 분수라는 주장을 부정합니다. that is는 numbers on a number line을 이용한 바꿔 말하기를 이끌며, 이 바꿔 말하기는 not all의 부정 범위를 바꾸지 않습니다.

연습

“Not all real numbers are fractions”는 무슨 뜻인가요?

  1. 분수인 실수는 하나도 없다.
  2. 모든 실수는 분수이다.
  3. 적어도 하나의 실수는 분수가 아니지만, 이 문장은 분수인 실수가 하나도 없다고 말하지는 않는다.
정답 보기

적어도 하나의 실수는 분수가 아니지만, 이 문장은 분수인 실수가 하나도 없다고 말하지는 않는다.

The square root of 2 and pi,

3:06

루트 2와 파이,

for instance.

3:07

예를 들면요.

Any number like this is called irrational, 문법

3:09

이와 같은 숫자는 모두 무리수(irrational)라고 불리는데,

문법

is called irrational: be called로 범주 이름 붙이기

A is called B 구조에서 수동형 is called는 A에 이름을 붙이거나 A를 어떤 범주에 넣습니다. 여기서는 any number like this가 A이고, irrational이 수학적 분류명 B입니다. 이 표현은 이름을 정한 사람이 아니라 분류되는 대상에 초점을 맞추기 때문에 정의에서 자주 쓰입니다. 이 문장에서 irrational은 일상적인 의미의 ‘비이성적인’이라는 말이 아니라 수학 용어입니다.

연습

call의 수동형을 사용해 정의를 완성하세요: A shape with three sides ____ a triangle.

정답 보기

is called

not because it's crazy or anything, 해설

3:11

비이성적이거나(crazy) 이상해서가 아니라,

but because the fractions are ratios of whole numbers, 어휘 쓰임

3:13

분수가 정수의 비율(ratio)이어서

말투와 의도

it's crazy or anything에서 부정을 부드럽게 하는 or anything

여기서 or anything은 crazy 뒤에 붙어 부정의 범위를 넓힙니다. 그것이 말도 안 되기 때문이거나 그와 비슷한 일상적인 이유 때문은 아니라는 뜻입니다. Anything은 여기서 문자 그대로 어떤 물건을 가리키지 않습니다. 이 덧붙임은 정정하는 어조도 부드럽게 만듭니다. 화자는 한 가지 생각만 강하게 부정하지 않고, but because로 실제 이유를 말하기 전에 비슷한 오해의 가능성을 편한 말투로 함께 없앱니다.

연습

이 수업에서 배운, 부정의 어조를 부드럽게 하는 정확한 표현으로 문장을 완성하세요: I'm not angry ____; I just need a minute.

정답 보기

or anything

어휘 쓰임

ratios of whole numbers: 0 이상의 정수의 비

이 수학 표현에서 a ratio of whole numbers는 3/4처럼 0 이상의 정수를 다른 0 이상의 정수로 나누어 만든 몫입니다. 분모는 0일 수 없습니다. ratios가 복수형인 것은 여러 fractions를 일반적으로 말하기 때문입니다. of whole numbers는 각 비를 이루는 두 수가 어떤 종류인지 알려 줍니다. 초등 수학의 분수 맥락에서 whole numbers는 보통 0, 1, 2, 3 등을 뜻하며 소수나 분수는 포함하지 않습니다.

연습

이 수업의 정확한 목표 표현으로 문장을 완성하세요: Fractions such as 3/4 are ____.

정답 보기

ratios of whole numbers

and so are called rationals,

3:16

유리수(rationals)라고 불리기 때문입니다.

meaning the rest are non-rational,

3:17

그래서 나머지는 비율이 아닌,

that is, irrational.

3:19

즉, 무리수가 되는 것입니다.

문법

not because ... but because ...: 이유 바로잡기

not because X, but because Y 틀은 X를 이유로 부정하고 그 자리를 Y로 바꿉니다. 두 because절은 같은 결과를 설명하며, 핵심은 but because 뒤에 나옵니다. 여기서 crazy or anything은 irrational을 일상적인 의미로 장난스럽게 해석한 것이며, 화자는 이를 먼저 배제합니다. 그런 다음 ratio, rational, irrational의 관련성을 통해 의도한 수학적 설명을 제시합니다. 일반적으로 상대가 원인을 잘못 생각하고 있을 수 있을 때 이 틀을 사용합니다.

연습

추위는 이유가 아니었고 비가 실제 이유였습니다. 이 내용을 바로잡아 표현한 문장은 무엇인가요?

  1. The picnic moved indoors because it was cold, but not because it started to rain.
  2. The picnic moved indoors not only because it was cold, but also because it started to rain.
  3. The picnic moved indoors not because it was cold, but because it started to rain.
정답 보기

The picnic moved indoors not because it was cold, but because it started to rain.

Irrationals are represented by infinite non-repeating decimals. 어휘 쓰임

3:21

무리수는 무한히 반복되지 않는 소수로 나타납니다.

어휘 쓰임

infinite non-repeating decimals: 무한 비순환소수

infinite non-repeating decimals에서 decimals는 중심 명사입니다. infinite는 소수점 아래 자릿수가 끝없이 이어진다는 뜻이고, non-repeating은 고정된 숫자 묶음이 계속 반복되지 않는다는 뜻입니다. 수식어를 infinite + non-repeating + decimals로 묶어서 이해합니다. 두 성질이 모두 필요하며, 이 표현은 끝나지 않고 고정된 순환도 만들지 않는 소수를 가리킵니다. non-repeating은 명사 앞에서 하나의 수식어로 기능하므로 하이픈을 씁니다.

연습

infinite non-repeating decimal에 맞는 설명은 무엇인가요?

  1. 소수점 아래 자릿수가 고정된 순환을 반복하며 끝없이 이어집니다.
  2. 소수점 아래 자릿수가 고정된 순환 없이 끝없이 이어집니다.
  3. 소수점 아래 자릿수가 유한한 자리에서 끝납니다.
정답 보기

소수점 아래 자릿수가 고정된 순환 없이 끝없이 이어집니다.

So,

3:25

그렇다면,

can we make a one-to-one match between the whole numbers

3:25

우리는 정수와

and the set of all the decimals,

3:27

모든 소수의 집합,

both the rationals and the irrationals? 문법

3:29

유리수와 무리수 모두를 합친 것 사이에 일대일 짝짓기를 만들 수 있을까요?

That is,

3:31

다시 말해,

can we make a list of all the decimal numbers?

3:32

모든 소수의 목록을 만들 수 있을까요?

문법

both the rationals and the irrationals: 유리수와 무리수를 모두 포함하기

Both A and B는 A와 B를 둘 다 포함한다는 뜻입니다. 여기서 both the rationals and the irrationals는 all the decimals의 범위를 분명히 합니다. 즉, 둘 중 하나만이 아니라 유리수와 무리수라는 두 범주를 모두 포함합니다. both는 첫 번째 항목 앞에, and는 두 번째 항목 앞에 둡니다. A와 B는 문법적으로 나란한 형태여야 합니다. 여기서는 둘 다 the가 붙은 복수 명사구입니다.

연습

both ... and ...를 사용해 문장을 완성하세요: The course covers ____ grammar ____ pronunciation.

정답 보기

both · and

Cantor showed that you can't.

3:34

칸토어는 그럴 수 없다는 것을 보여주었습니다.

Not merely that we don't know how, 문법

3:36

단순히 우리가 그 방법을 모르는 것이 아니라,

but that it can't be done.

3:38

그것이 불가능하다는 것을요.

문법

Not merely ..., but ...: 지식 부족에서 불가능이라는 결론으로

Not merely A, but B는 A를 불완전하거나 충분히 강하지 않은 설명으로 제시한 뒤, B를 더 강한 핵심으로 내놓습니다. 이 문장에서 we don't know how는 우리 지식의 한계를 나타내지만, it can't be done은 그 일 자체가 불가능하다고 말합니다. 두 that절인 that we don't know how와 that it can't be done은 서로 평행한 구조입니다. 이 구조 덕분에 약한 생각에서 더 강한 결론으로 나아가는 흐름이 분명해집니다.

연습

예문이 강조하는 더 강한 결론은 무엇인가요?

  1. 단지 방법을 모르는 것이 아니라 그 일 자체가 불가능하다.
  2. 방법은 알지만 그 일을 하지 않기로 결정했다.
  3. 아직 방법을 모르지만 그 일은 가능할 수도 있다.
정답 보기

단지 방법을 모르는 것이 아니라 그 일 자체가 불가능하다.

Look,

3:40

보세요,

suppose you claim 문법

3:40

당신이 모든 소수의 목록을

you have made a list of all the decimals.

3:41

만들었다고 주장한다고 가정해 봅시다.

문법

suppose you claim: 검증할 주장을 설정하기

Suppose는 추론을 위해 듣는 사람이 잠시 받아들여야 할 상황을 제시합니다. suppose you claim ...에서 말하는 사람은 그 주장이 사실이라고 동의하는 것이 아니라, 그 주장을 가상의 상황 안에 놓습니다. Claim은 어떤 것이 사실이라고 말한다는 뜻이며, 그 말에 근거나 확인이 더 필요하다는 느낌을 주는 경우가 많습니다. suppose you claim은 그 주장을 따라갔을 때 모순이나 반례가 생기는지 살펴보는 등, 주장을 검증하기 시작할 때 유용합니다.

연습

논증에서 suppose you claim은 어떤 역할을 하나요?

  1. 듣는 사람이 일부러 거짓말한다고 비난한다.
  2. 결과를 검증할 수 있도록 어떤 주장을 잠시 설정한다.
  3. 그 주장이 이미 증명되었다고 발표한다.
정답 보기

결과를 검증할 수 있도록 어떤 주장을 잠시 설정한다.

I'm going to show you that you didn't succeed 전개 흐름

3:44

당신의 목록에 없는 소수를 제시함으로써

by producing a decimal that's not on your list. 문법

3:46

당신이 실패했음을 보여주겠습니다.

전개 흐름

I'm going to show you that ...: 증명할 주장을 미리 알리기

I'm going to show you that ...는 화자가 이제부터 입증할 결론을 미리 알리는 표현입니다. that절이 주장을 먼저 제시하므로, 듣는 사람은 뒤의 단계들이 무엇을 증명하려는지 알 수 있습니다. 여기서 show는 단순히 '보여 주다'가 아니라 '추론이나 증거를 통해 입증하다'라는 뜻입니다. 이 표현은 증명이나 설명보다 먼저 주장을 제시하는 길잡이 역할을 합니다.

연습

설명에서 I'm going to show you that ...는 어떤 역할을 합니까?

  1. 모든 증명 단계를 이미 생략했다고 말한다.
  2. 관련 없는 이야기를 시작한다.
  3. 다음 단계에서 입증할 주장을 미리 알린다.
정답 보기

다음 단계에서 입증할 주장을 미리 알린다.

문법

by producing ... that's not ...: 방법 설명하기

by + 동사의 -ing형은 어떤 결과를 얻거나 무언가를 입증하는 방법을 나타냅니다. 여기서 by producing ...는 I'm going to show you에 연결됩니다. 목록에 없는 소수를 하나 만드는 것이 그 주장을 입증하는 방법입니다. that's not on your list는 a decimal을 꾸미는 관계절입니다. 이 방법이 성립하려면 어떤 소수를 만들어야 하는지 구체적으로 알려 줍니다.

연습

방법을 설명하도록 by와 calculate의 올바른 형태를 사용해 문장을 완성하세요: We checked the result ____ it twice.

정답 보기

by calculating

I'll construct my decimal one place at a time. 표현 묶음

3:48

저는 제 소수를 한 자리씩 만들어갈 것입니다.

표현 묶음

one place at a time: one ... at a time 패턴

one + 단수 가산 명사 + at a time은 한 단위를 처리한 뒤 다음 단위로 넘어간다는 뜻입니다. 이 문장에서 place는 소수의 자릿값 위치를 가리키므로 소수를 한 자리씩 만든다는 의미입니다. 같은 패턴으로 순서에 따라 한 단계씩 진행하는 과정을 표현할 수 있습니다. 예를 들면 one question at a time, one page at a time, one step at a time이 있습니다.

연습

one ... at a time 패턴에서 빠진 말을 채우세요: Let's solve the problem one step ____.

정답 보기

at a time

For the first decimal place of my number,

3:51

제 숫자의 소수점 첫째 자리를 위해,

I'll look at the first decimal place of your first number.

3:53

저는 당신의 첫 번째 숫자의 소수점 첫째 자리를 볼 것입니다.

If it's a one,

3:55

만약 그것이 1이라면,

I'll make mine a two.

3:57

저는 제 것을 2로 만들 것입니다.

Otherwise, 전개 흐름

3:58

그렇지 않으면,

I'll make mine a one.

3:58

저는 제 것을 1로 만들 것입니다.

전개 흐름

Otherwise: if 조건이 거짓일 때의 갈래

Otherwise는 앞의 if절에 나온 조건이 참이 아닐 때 무슨 일이 일어나는지 나타냅니다. 여기서는 상대 숫자가 1이 아니면 화자가 자신의 숫자를 1로 만듭니다. 이 표현은 규칙을 서로 겹치지 않는 두 갈래로 정리합니다: If A, do B. Otherwise, do C. 따라서 두 번째 지시는 첫 번째 조건에 해당하지 않는 모든 경우에 적용됩니다.

연습

‘그 조건이 참이 아닐 경우’를 뜻하는 연결어로 두 번째 갈래를 완성하세요: If the card is red, put it in pile A. ____, put it in pile B.

정답 보기

Otherwise

For the second place of my number,

4:00

제 숫자의 둘째 자리를 위해,

I'll look at the second place of your second number.

4:02

저는 당신의 두 번째 숫자의 둘째 자리를 볼 것입니다.

Again,

4:05

다시,

if yours is a one, I'll make mine a two,

4:05

만약 당신 것이 1이면, 저는 제 것을 2로 만들고,

and otherwise, I'll make mine a one.

4:07

그렇지 않으면 제 것을 1로 만들 것입니다.

See how this is going? 말투와 의도

4:10

어떻게 되어가는지 보이시나요?

말투와 의도

See how this is going?:상대방이 설명을 따라오는지 확인하는 표현

이 질문에서 see는 단순히 눈으로 ‘보다’가 아니라 ‘이해하다’ 또는 ‘알아차리다’라는 뜻입니다. 말하는 사람은 이미 드러나기 시작한 규칙이나 과정에 주의를 돌립니다. 이 질문은 듣는 사람이 설명을 따라오고 있는지 확인하고 다음에 무엇이 올지 생각하게 합니다. 자세한 답을 요구하기보다는 참여를 이어 가기 위한 짧은 확인입니다.

연습

수업에서 말하는 사람이 처음 세 단계를 보여 준 뒤 “See how this is going?”이라고 묻습니다. 가장 가능성이 큰 의도는 무엇입니까?

  1. 듣는 사람이 멀리 있는 물체를 볼 수 있는지 묻기
  2. 과정이 실패했다고 발표하기
  3. 듣는 사람이 형성되고 있는 규칙을 알아차렸는지 확인하기
  4. 듣는 사람의 전반적인 근황을 보고해 달라고 하기
정답 보기

듣는 사람이 형성되고 있는 규칙을 알아차렸는지 확인하기

The decimal I've produced can't be on your list. 표현 묶음

4:11

제가 만든 소수는 당신의 목록에 있을 수 없습니다.

표현 묶음

can't be on your list:on으로 목록에 포함됨을 나타내기

Be on a list는 ‘목록의 항목 중 하나로 포함되어 있다’라는 뜻입니다. 여기서 can't be on your list는 그 소수가 듣는 사람이 나열한 수들 가운데 포함될 수 없다는 뜻입니다. 전치사 on은 목록에 속하거나 포함된다는 관계를 나타내며, 소수가 물리적으로 목록 위에 놓여 있다는 뜻이 아닙니다. Your는 누구의 목록인지만 알려 줍니다.

연습

‘초대 명단에 포함되어 있다’라는 뜻의 일반적인 표현으로 문장을 완성하세요: The host checked and said, “Yes, your name is ____.”

정답 보기

on the list

Why?

4:14

왜일까요?

Could it be, say,

4:15

그게 가령,

your 143rd number?

4:16

당신의 143번째 숫자일 수 있을까요?

No,

4:17

아닙니다.

because the 143rd place of my decimal

4:18

제 소수의 143번째 자리는

is different from the 143rd place of your 143rd number. 표현 묶음

4:20

당신의 143번째 숫자의 143번째 자리와 다르기 때문입니다.

표현 묶음

different from + 비교 대상

different from은 “~와 같지 않다”라는 뜻입니다. 이 문장에서는 말하는 사람의 소수에 있는 한 자리와 다른 수의 해당 자리를 비교합니다. 여기서 쓰인 일반적인 구조는 A + be + different from + B입니다. from 뒤에는 비교 기준이 되는 사람이나 사물이 옵니다.

연습

A is different from B 구조를 완성하세요: This answer is ____ mine.

정답 보기

different from

I made it that way.

4:24

제가 그렇게 만들었거든요.

Your list is incomplete.

4:26

당신의 목록은 불완전합니다.

It doesn't contain my decimal number.

4:27

제 소수를 포함하고 있지 않습니다.

And no matter what list you give me, 문법

4:29

당신이 어떤 목록을 주든,

I can do the same thing and produce a decimal that's not on that list.

4:31

저는 같은 방식으로 그 목록에 없는 소수를 만들어낼 수 있습니다.

문법

no matter what + 명사: 결과는 그대로 성립함

no matter what list you give me는 어떤 목록을 주는지가 바뀌어도 결과는 바뀌지 않는다는 뜻입니다. 달라질 수 있는 조건을 먼저 제시하고, 주절에서 계속 참인 내용을 말합니다. 여기서 what은 명사 list를 꾸밉니다. 활용할 수 있는 구조는 no matter what + 명사 + 주어 + 동사이고, 그 뒤에 주절이 이어집니다.

연습

길은 달라질 수 있지만 결과는 그대로라고 말하는 문장은 무엇인가요?

  1. Because we took this route, we got home before dark.
  2. We will get home before dark only if we take this route.
  3. No matter what route we take, we will get home before dark.
  4. What route should we take to get home before dark?
정답 보기

No matter what route we take, we will get home before dark.

So we're faced with this astounding conclusion. 표현 묶음

4:35

그래서 우리는 이 놀라운 결론에 직면하게 됩니다.

표현 묶음

be faced with this astounding conclusion: 놀라운 결론에 직면하다

이 문장에서 we're faced with는 “이제 그 사실을 인정하고 대처해야 한다”라는 뜻입니다. 몸을 어떤 방향으로 돌린다는 뜻이 아니라 this astounding conclusion이라는 추상적인 결과에 직면한다는 뜻입니다. So는 이 결론이 앞선 추론에서 나왔음을 나타냅니다. 이 표현은 그 결론을 놀랍고 쉽게 무시할 수 없는 것으로 제시합니다.

연습

be faced with를 알맞은 형태로 사용하여 문장을 완성하세요: After reading the report, we are ____ a difficult decision.

정답 보기

faced with

The decimal numbers cannot be put on a list. 문법

4:37

소수는 목록에 올릴 수 없습니다.

문법

cannot be put on a list: 조동사가 있는 수동태

Cannot be put은 조동사가 있는 수동태 구조로, cannot + be + 과거분사 형태입니다. 여기서 put은 과거분사이고, the decimal numbers는 동작을 하는 쪽이 아니라 동작을 받는 쪽입니다. Put something on a list는 어떤 것을 그 목록의 한 항목으로 넣거나 배열한다는 뜻입니다. 수동태를 쓰면 누가 목록을 만드는지가 아니라 그 숫자들이 그 동작을 받을 수 있는지에 초점이 맞춰집니다.

연습

cannot + put의 수동태 형태를 사용하여 문장을 완성하세요: These records ____ the public list.

정답 보기

cannot be put on

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

4:40

그것들은 정수의 무한함보다 더 큰 무한함을 나타냅니다.

So even though we're familiar with only a few irrationals,

4:44

따라서 비록 우리가 몇 개의 무리수,

like square root of 2 and pi,

4:46

루트 2나 파이 같은 것들에만 익숙하더라도,

the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions.

4:48

무리수의 무한함은 사실 분수의 무한함보다 더 큽니다.

Someone once said that the rationals, the fractions,

4:52

누군가 유리수, 즉 분수가

are like the stars in the night sky. 관용구

4:55

밤하늘의 별과 같다고 말한 적이 있습니다.

The irrationals are like the blackness.

4:58

무리수는 암흑과 같다고요.

관용구

are like the stars ... are like the blackness: 시각적 직유

A are like B라는 구조가 반복되면서 서로 연결된 두 개의 직유가 만들어집니다. 유리수는 별로, 무리수는 별 주변의 어둠으로 그려집니다. 평행한 표현 덕분에 두 집단을 한꺼번에 비교할 수 있습니다. 이 이미지는 추상적인 사실을 더 쉽게 떠올리게 합니다. 별이 아무리 많아도 어둠은 하늘의 거의 전부를 채우는 것처럼 보입니다. 이를 통해 무리수가 유리수보다 훨씬 많다는 점을 암시합니다.

연습

별과 어둠에 관한 두 직유의 주된 효과는 무엇인가요?

  1. 유리수는 천문학에서만 사용된다고 주장합니다.
  2. 무리수가 실제로 검은색이라고 말합니다.
  3. 각 별이 정확히 하나의 분수를 나타낸다는 것을 증명합니다.
  4. 두 수의 집합 사이에 있는 추상적인 차이를 시각적 대비로 바꿉니다.
정답 보기

두 수의 집합 사이에 있는 추상적인 차이를 시각적 대비로 바꿉니다.

Cantor also showed that for any infinite set, 어휘 쓰임

5:01

칸토어는 또한 어떤 무한 집합이든,

forming a new set made of all the subsets of the original set, 어휘 쓰임

5:03

원래 집합의 모든 부분집합으로 이루어진 새로운 집합을 만들면,

represents a bigger infinity than that original set.

5:07

그것이 원래 집합보다 더 큰 무한함을 나타낸다는 것을 보여주었습니다.

어휘 쓰임

for any infinite set: 수학에서 전체를 포괄하는 범위

for any infinite set에서 any는 전체를 포괄하는 역할을 합니다. 어떤 무한 집합을 선택하더라도 뒤따르는 내용이 성립한다는 뜻입니다. 편의를 위해 고른 한 가지 예만 가리키는 것이 아닙니다. for any + 단수 가산 명사 구조는 수학적 주장의 적용 범위를 정합니다. 여기서는 for every infinite set을 간결하게 나타낸 표현입니다.

연습

이 수학 문장에서 for any infinite set은 무엇을 의미하나요?

  1. 그 주장은 모든 무한 집합에 적용됩니다.
  2. 화자는 무한 집합이 존재하는지 확신하지 못합니다.
  3. 그 주장은 유한 집합에만 적용됩니다.
  4. 그 주장은 선택된 하나의 무한 집합에만 적용됩니다.
정답 보기

그 주장은 모든 무한 집합에 적용됩니다.

어휘 쓰임

subsets of the original set: 부분집합 관계

집합론에서 부분집합은 그 안의 모든 원소가 기준이 되는 집합에도 들어 있는 집합입니다. 따라서 subsets of the original set은 원래 집합의 원소만으로 이루어진 집합들을 뜻합니다. of는 어느 집합을 기준으로 삼는지 나타냅니다. all the subsets에는 공집합과 원래 집합 자체도 포함되며, 원소가 더 적은 공집합이 아닌 집합들만을 뜻하지는 않습니다.

연습

원래 집합의 부분집합을 올바르게 설명한 것은 무엇인가요?

  1. 부분집합에는 원래 집합에 속하는 원소만 들어 있습니다.
  2. 부분집합에는 원래 집합에 속하지 않는 원소가 적어도 하나 있어야 합니다.
  3. 부분집합은 항상 원래 집합보다 원소 수가 적어야 합니다.
정답 보기

부분집합에는 원래 집합에 속하는 원소만 들어 있습니다.

This means that once you have one infinity, 문법

5:10

이는 무한함 하나를 가지고 있다면,

you can always make a bigger one

5:12

언제든지 그 첫 번째 집합의 모든 부분집합들의 집합을 만듦으로써

by making the set of all subsets of that first set.

5:14

더 큰 무한함을 만들 수 있다는 것을 의미합니다.

문법

once you have ..., you can ...: 다음 단계를 가능하게 하는 조건

이 문장에서 once는 조건을 이끕니다. 하나의 무한을 갖는 것이 다음 단계를 가능하게 하는 출발점이라는 뜻입니다. 여기서 once는 ‘한 번’이나 ‘과거의 어느 때’를 뜻하지 않습니다. 활용할 수 있는 형태는 once + 현재 시제 조건 뒤에 결과나 다음 행동을 붙이는 것입니다: once you have X, you can do Y. 조건이 충족되면 다음 단계가 가능해지는 과정을 설명할 때 유용합니다.

연습

‘이 조건이 충족되는 즉시’라는 뜻의 목표 단어를 넣어 과정 문장을 완성하세요: ____ you know the password, you can log in.

정답 보기

Once

And then an even bigger one by making the set of all subsets of that one,

5:17

그리고 그 집합의 모든 부분집합을 모아 집합을 만들면 더 큰 무한함이 생기고,

and so on. 표현 묶음

5:21

이런 식으로 계속됩니다.

표현 묶음

and so on: 예측 가능한 패턴 이어 가기

and so on은 이미 언급한 항목이나 단계와 같은 예측 가능한 방식으로 내용이 더 이어진다는 것을 듣는 사람에게 알려 줍니다. 여기서는 같은 집합 구성 단계를 계속 반복할 수 있다는 뜻입니다. 다음 단계를 추론할 수 있으므로 말하는 사람은 모든 단계를 하나씩 나열하지 않습니다.

연습

같은 패턴이 계속된다는 뜻의 세 단어 표현으로 문장을 완성하세요: Count by twos: 2, 4, 6, 8, ____.

정답 보기

and so on

And so,

5:22

그래서,

there are an infinite number of infinities of different sizes. 어휘 쓰임

5:22

서로 다른 크기를 가진 무한 개의 무한함이 존재합니다.

어휘 쓰임

an infinite number of infinities of different sizes: 명사구 구조 분석하기

이 구는 an infinite number of로 시작하며, ‘무한히 많은’이라는 뜻입니다. 실제로 세는 대상은 복수 명사 infinities입니다. 마지막의 of different sizes는 number가 아니라 infinities를 꾸밉니다. an infinite number of [infinities of different sizes]로 묶으면, 무한이 무한히 많이 존재하고 그 무한들의 크기가 모두 같지는 않다는 뜻입니다.

연습

an infinite number of infinities of different sizes를 올바르게 분석한 설명은 무엇인가요?

  1. 하나의 무한이 무한히 많은 크기로 이루어져 있습니다.
  2. 무한이 무한히 많이 있고, 그 무한들은 크기가 서로 다릅니다.
  3. 무한은 유한하게만 존재하며 모두 같은 크기입니다.
  4. 하나의 보통 숫자 안에 크기가 다른 여러 무한이 들어 있습니다.
정답 보기

무한이 무한히 많이 있고, 그 무한들은 크기가 서로 다릅니다.

If these ideas make you uncomfortable, 문법

5:26

만약 이런 개념들이 당신을 불편하게 만든다면,

문법

make you uncomfortable: make + 목적어 + 형용사

“make you uncomfortable”에서 make는 “만들다”가 아니라 “어떤 상태가 되게 하다”라는 뜻입니다. 구조는 make + 목적어 + 형용사이며, you는 영향을 받는 사람이고 uncomfortable은 그 결과로 생긴 감정이나 상태를 나타냅니다. 문장 앞의 If는 그 반응을 가능한 조건으로 제시합니다. 같은 구조로 어떤 일이 누군가를 기쁘게 하거나 긴장하게 하거나 혼란스럽게 한다고 표현할 수 있습니다.

연습

어떤 일 때문에 생긴 감정을 나타내는 make + 목적어 + 형용사 구조를 올바르게 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. The sudden silence made everyone nervous.
  2. The sudden silence made everyone nervously.
  3. The sudden silence made nervous everyone.
정답 보기

The sudden silence made everyone nervous.

you're not alone. 말투와 의도

5:28

당신만 그런 것이 아닙니다.

말투와 의도

You're not alone: 다른 사람들도 공유하는 감정이나 경험

여기서 “you're not alone”은 상대를 안심시키는 말로, 다른 사람들도 같은 감정이나 걱정, 어려움을 겪는다는 뜻입니다. 주로 누군가가 실제로 가까이에 있다는 뜻은 아닙니다. 그 반응이 흔하거나 이해할 만하다고 알려 줌으로써 듣는 사람이 느끼는 고립감을 줄여 줍니다.

연습

친구가 “This new school feels scary.”라고 말합니다. 이때 “You're not alone”은 가장 자연스럽게 어떤 역할을 하나요?

  1. 도움 없이 혼자 문제를 해결하라고 말한다.
  2. 근처에 다른 사람이 서 있다는 사실을 확인한다.
  3. 두려워하는 친구를 비판한다.
  4. 다른 사람들도 같은 감정을 느낀다고 말해 친구를 안심시킨다.
정답 보기

다른 사람들도 같은 감정을 느낀다고 말해 친구를 안심시킨다.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. 어휘 쓰임

5:29

칸토어 시대의 가장 위대한 수학자들 중 일부는 이런 것들에 매우 화를 냈습니다.

어휘 쓰임

of Cantor's day: 칸토어가 살던 시대의

여기서 of Cantor's day는 ‘게오르크 칸토어가 살면서 연구하던 시대의’라는 뜻입니다. day는 24시간짜리 하루가 아니라 특정 인물과 관련된 시대를 뜻합니다. of Cantor's day는 mathematicians를 꾸며 줍니다. 더 일반적으로 people or ideas of someone's day는 그 사람이 살던 시대의 사람들이나 사상을 뜻합니다.

연습

문장“The writers of Shakespeare's day performed for very different audiences,”에서 of Shakespeare's day는 무슨 뜻인가요?

  1. 셰익스피어의 생일과 달력상 같은 날짜의
  2. 밤이 아니라 낮에만 활동한
  3. 셰익스피어가 살면서 활동했던 시대의
정답 보기

셰익스피어가 살면서 활동했던 시대의

They tried to make these different infinities irrelevant, 문법

5:33

그들은 이 다양한 무한함들을 무의미하게 만들려고 했고,

to make mathematics work without them somehow.

5:35

어떻게든 그것들 없이 수학이 작동하게 하려 애썼습니다.

문법

tried to make these different infinities irrelevant: make + 목적어 + 형용사

make + object + adjective는 ‘목적어를 형용사가 나타내는 상태로 만들다’라는 뜻입니다. 여기서 these different infinities는 목적어이고 irrelevant는 형용사입니다. 이들의 목표는 수학이 이런 서로 다른 무한들을 더 이상 필요로 하지 않게 만드는 것이었습니다. Tried to make는 확실히 일어난 결과가 아니라 이루려고 시도한 결과를 나타냅니다. 실제 결과가 아니라 무엇을 이루고자 했는지를 알려 줍니다.

연습

이루려고 시도한 결과를 나타내기 위해 tried to make + object + adjective를 올바르게 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. They tried to make irrelevant to the old rule.
  2. They tried to make the old rule irrelevantly.
  3. They tried to make the old rule irrelevant.
정답 보기

They tried to make the old rule irrelevant.

Cantor was even vilified personally, 어휘 쓰임

5:38

칸토어는 개인적으로 비방까지 받았고,

어휘 쓰임

was even vilified personally: 개인을 겨냥한 심각한 공격

“was vilified”는 수동태로, 칸토르가 매우 나쁜 사람인 것처럼 묘사하는 거칠고 적대적인 언어 공격을 받았다는 뜻입니다. vilify는 criticize보다 훨씬 강하며, 흔히 부당하거나 악의적인 비난을 나타냅니다. “personally”는 공격이 수학적 생각만이 아니라 칸토르 본인을 겨냥했음을 보여 줍니다. “even”은 이러한 인신공격이 더 극단적이고 예상 밖의 단계였음을 나타냅니다.

연습

“The scientist was vilified personally”에 가장 잘 맞는 상황은 무엇인가요?

  1. 그 과학자는 끔찍한 사람인 것처럼 공개적으로 묘사되었다.
  2. 그 과학자의 논문은 평가 없이 요약되었다.
  3. 그 과학자는 계산 하나에 관해 정중한 제안을 받았다.
정답 보기

그 과학자는 끔찍한 사람인 것처럼 공개적으로 묘사되었다.

and it got so bad for him that he suffered severe depression 문법

5:40

상황이 너무 나빠져서 심각한 우울증을 겪었으며

and spent the last half of his life in and out of mental institutions. 표현 묶음

5:42

그의 인생 후반부를 정신병원에 입퇴원하며 보냈습니다.

문법

got so bad ... that ...: 정도가 결과로 이어지는 구조

“it got so bad for him that ...”에서 it은 칸토르가 처한 전반적인 상황을 가리키고, got bad는 그 상황이 악화되었다는 뜻입니다. “so + 형용사 + that + 결과” 구조는 정도가 매우 높아 뒤의 결과로 이어졌음을 보여 줍니다. 여기서는 상황의 악화가 그가 심각한 우울증을 겪은 결과와 연결됩니다.

연습

“so + 형용사 + that + 결과” 구조를 만드는 두 단어로 문장을 완성하세요: The backpack was ____ heavy ____ Mia could not lift it.

정답 보기

so · that

표현 묶음

in and out of mental institutions: 정신 의료 기관에 반복해서 입원했다가 퇴원하기

in and out of + 장소는 일정 기간 동안 그 장소에 반복해서 들어갔다가 나오는 것을 뜻하며, 한 번만 드나드는 것이 아닙니다. 여기서는 그가 인생 후반기에 정신 의료 기관에 여러 차례 머물렀다가 나온 일을 나타냅니다. 이 구조는 실제 이동뿐 아니라 어떤 상황이 반복해서 바뀌는 것도 표현할 수 있습니다. 시간 표현이 함께 나오면 변화가 한 번 이상 일어났다는 점을 파악하는 데 도움이 됩니다.

연습

‘반복해서 입원했다가 퇴원했다’는 뜻의 표현으로 문장을 완성하세요: Because of recurring complications, Maya was ____ the hospital for several months.

정답 보기

in and out of

But eventually,

5:46

하지만 결국,

his ideas won out. 구동사

5:47

그의 아이디어는 승리했습니다.

구동사

his ideas won out: 그의 생각이 결국 우세해졌다

Won out은 win out의 과거형입니다. 경쟁, 의견 충돌 또는 저항을 겪은 뒤 결국 우세해졌다는 뜻입니다. 여기서는 그의 생각이 마침내 받아들여졌다는 말이지, 실제로 어떤 상을 탔다는 뜻이 아닙니다. Win out은 보통 목적어를 직접 받지 않습니다. 계획, 생각 또는 힘이 wins out한다고 말할 수 있습니다. 무엇을 이겼는지 밝히려면 Safety won out over speed.처럼 win out over + 명사를 씁니다.

연습

‘결국 우세해졌다’라는 뜻의 과거형 구동사로 문장을 완성하세요: After weeks of debate, the safer plan ____.

정답 보기

won out

Today,

5:48

오늘날,

they are considered fundamental and magnificent. 문법

5:49

그것들은 기초적이고 훌륭한 것으로 여겨집니다.

문법

are considered fundamental and magnificent: 수동태로 평가 표현하기

여기서 are considered는 ‘판단된다’ 또는 ‘일반적으로 여겨진다’라는 뜻입니다. 수동태를 사용해 평가하는 사람보다 평가받는 대상인 they에 초점을 둡니다. 구조는 ‘주어 + be + considered + 형용사 또는 명사구’입니다. Fundamental과 magnificent는 주어를 설명하는 두 개의 병렬 형용사입니다. 이 구조로 평가를 전달할 수 있습니다. 예를 들면 The method is considered reliable 또는 The book is considered a classic이라고 할 수 있습니다.

연습

consider의 현재 단순 수동태를 사용해 문장을 완성하세요: The treatment ____ safe.

정답 보기

is considered

All research mathematicians accept these ideas, 전개 흐름

5:51

모든 연구 수학자들이 이 개념들을 받아들이며,

every college math major learns them,

5:54

모든 대학 수학 전공자들이 이를 배우고,

and I've explained them to you in a few minutes.

5:56

저는 몇 분 만에 여러분께 그것들을 설명해 드렸습니다.

전개 흐름

All ..., every ..., and ...: 병렬 절로 주장의 범위 넓히기

이 문장은 세 개의 완전한 절을 의도적인 순서로 배열합니다. 모든 연구 수학자가 그 생각을 받아들이고, 모든 대학 수학 전공자가 그것을 배우며, 마지막에는 화자가 청자에게 그것을 설명했다고 말합니다. All과 every는 앞의 두 주장의 범위를 넓히고, and는 마지막 단계를 이끕니다. 순서는 전문가에서 학생으로, 다시 현재의 청중으로 이동합니다. 이러한 병렬적 전개는 하나의 주장을 뒷받침하는 근거를 쌓고 화자 자신의 경험으로 마무리합니다. 그 생각들이 이미 확립되어 있고 짧은 시간에 설명할 수 있는 것으로 제시되지만, 청자가 그것을 이해했다는 사실까지 증명하지는 않습니다.

연습

전문가에서 학습자, 다시 초보자로 주장의 범위를 넓히기 위해 세 개의 병렬 절을 가장 잘 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. All senior engineers use the checklist, every trainee learns it, and even first-time volunteers can follow it.
  2. The checklist is detailed, but some volunteers find it confusing.
  3. Senior engineers use the checklist because trainees learn it.
정답 보기

All senior engineers use the checklist, every trainee learns it, and even first-time volunteers can follow it.

Someday, perhaps,

5:58

언젠가 아마도,

they'll be common knowledge. 표현 묶음

5:59

이것들은 상식이 될 것입니다.

표현 묶음

they'll be common knowledge: 널리 알려진 정보가 되다

common knowledge는 관련 집단의 대부분이 이미 알고 있어서 보통 따로 설명할 필요가 없는 정보를 뜻합니다. 여기서 they'll be common knowledge는 앞서 언급한 생각들이 언젠가 널리 알려질 수도 있음을 나타냅니다. be common knowledge에서 knowledge는 셀 수 없는 명사입니다. It is common knowledge 또는 The facts are common knowledge라고 하며, knowledge 앞에 a를 붙이지 않습니다.

연습

common knowledge를 ‘많은 사람이 이미 아는 사실’이라는 뜻으로 올바르게 쓴 문장은 무엇인가요?

  1. It is common sense that the library closes at six.
  2. It is common knowledge that the library closes at six.
  3. It is a common knowledge that the library closes at six.
정답 보기

It is common knowledge that the library closes at six.

There's more. 전개 흐름

6:01

더 있습니다.

전개 흐름

There's more: 추가 정보가 있음을 알리기

There's more.는 앞에서 말한 내용이 전부가 아니라는 것을 듣는 사람에게 알려 주는 짧은 전환 표현입니다. 또 다른 사실, 이유, 예시 또는 더 복잡한 내용이 이어질 것임을 예고합니다. more만으로 쓸 수 있는 이유는 ‘더 말하거나, 알거나, 설명할 내용’이라는 생략된 뜻을 문맥에서 알 수 있기 때문입니다. 이 문장은 듣는 사람의 주의를 유지하면서 다음 요점으로 넘어가도록 정보를 구성합니다.

연습

추가 정보가 이어질 것임을 알리는 이번 수업의 정확한 두 단어 전환 표현을 넣으세요: I found one clue. ____. Another clue is hidden under the table.

정답 보기

There's more

We just pointed out that the set of decimal numbers, 구동사

6:02

우리는 방금 소수의 집합,

that is, the real numbers,

6:04

즉 실수가,

구동사

just pointed out: 방금 한 설명을 다시 가리키기

point out은 사실, 세부 사항 또는 문제를 분명히 말하거나 그것에 주의를 돌리게 한다는 뜻입니다. 여기서 just pointed out은 “조금 전에 분명히 말했다”라는 뜻이며, 듣는 사람의 주의를 앞선 설명으로 되돌립니다. 형태는 point out + 명사 또는 point out that + 절입니다. 이 문장에서 that은 방금 말한 사실을 이끕니다. 여기서 just는 최근 시간을 나타내며, “오직”이라는 뜻이 아닙니다.

연습

“조금 전에 이것을 분명히 말했다”라는 뜻의 목표 표현으로 문장을 완성하세요: As I ____, the rule has one exception.

정답 보기

just pointed out

is a bigger infinity than the set of whole numbers.

6:05

정수의 집합보다 더 큰 무한함이라는 점을 지적했습니다.

Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. 문법

6:08

칸토어는 이 두 무한함 사이에 다른 크기의 무한함들이 존재하는지 궁금해했습니다.

문법

wondered whether ...: 간접적인 예/아니요 의문을 전달하기

wondered whether는 예 또는 아니요로 답할 수 있는 간접 의문을 이끕니다. 즉, 칸토어는 어떤 가능성이 사실인지 생각하고 있었습니다. 이 문장은 청중에게 직접 묻는 대신 그의 의문을 전달합니다. whether 뒤에는 평서문의 어순을 사용하여 whether there are ...라고 합니다. whether are there ...라고 하지 않습니다. 이 구조는 답을 미리 암시하지 않으면서 불확실한 질문이나 연구 문제를 제시할 때 유용합니다.

연습

간접 의문을 올바르게 전달한 문장은 무엇인가요?

  1. She wondered whether the result was correct.
  2. She wondered whether was the result correct.
  3. She wondered whether did the result seem correct.
정답 보기

She wondered whether the result was correct.

He didn't believe there were,

6:12

그는 없다고 믿었지만,

but couldn't prove it.

6:13

증명할 수는 없었습니다.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. 표현 묶음

6:15

칸토어의 추측은 연속체 가설로 알려지게 되었습니다.

표현 묶음

became known as: 시간이 지나며 얻은 이름

become known as + 이름·칭호·정체성은 누군가나 어떤 것이 나중에 그 이름이나 지위로 인식되게 된다는 뜻입니다. 이 문장에서 became는 시간에 따른 변화를 나타냅니다. 즉, Cantor's conjecture가 나중에 the continuum hypothesis라는 이름을 얻었습니다. 현재 이름만 말할 때는 be known as를 씁니다. 그 이름이 나중에 자리 잡았다는 점이 중요할 때는 become 또는 became known as를 씁니다.

연습

became, known, as를 올바른 순서로 배열해 문장을 완성하세요: The old bridge ____ the Friendship Bridge.

정답 보기

became known as

In 1900,

6:19

1900년에,

the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis 표현 묶음

6:20

위대한 수학자 다비트 힐베르트는 연속체 가설을

as the most important unsolved problem in mathematics.

6:23

수학에서 가장 중요한 미해결 문제로 꼽았습니다.

표현 묶음

listed ... as ...: 범주나 순위를 부여하는 표현

list A as B는 A를 목록, 기록 또는 순위에 넣으면서 B로 분류하거나 평가한다는 뜻입니다. 이 문장에서 A는 the continuum hypothesis이고, B는 the most important unsolved problem in mathematics입니다. as 뒤의 부분은 A에 부여된 범주, 지위 또는 순위를 알려 줍니다. 단순히 A가 어떤 목록에 등장했다는 뜻만은 아닙니다.

연습

listed, the novel, as를 올바른 순서로 배열해 문장을 완성하세요: The magazine ____ one of the year's best books.

정답 보기

listed the novel as

The 20th century saw a resolution of this problem, 전개 흐름

6:26

20세기에 이 문제의 해결책이 나타났지만,

전개 흐름

The 20th century saw ...: 시간 표현을 주어로 사용하기

이 문장에서 saw는 무언가를 눈으로 보았다는 뜻이 아닙니다. 시간 표현인 The 20th century가 문법적 주어이고, a resolution of this problem이 그 시기에 일어난 사건입니다. time period + saw + event 구조는 특정 시대를 중심으로 정보를 정리합니다. 누가 그 일을 했는지 밝히지 않고도 중요한 역사적 변화를 간결하게 제시할 수 있습니다.

연습

역사적 변화를 정리하기 위해 시간 표현을 주어로 자연스럽게 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. The 1990s saw rapid growth in internet use.
  2. The 1990s saw the internet with their eyes.
  3. The 1990s looked rapid growth in internet use.
정답 보기

The 1990s saw rapid growth in internet use.

but in a completely unexpected, 어휘 쓰임

6:29

완전히 예상치 못한,

paradigm-shattering way.

6:30

패러다임을 뒤흔드는 방식이었습니다.

어휘 쓰임

completely unexpected, paradigm-shattering way: 전혀 예상하지 못한, 패러다임을 무너뜨리는 방식

completely unexpected와 paradigm-shattering는 둘 다 way를 수식합니다. 앞 표현은 그 방법을 전혀 예상하지 못했다는 뜻이고, 뒤 표현은 해당 주제를 이해하는 기존의 틀을 깨뜨렸다는 뜻입니다. Paradigm-shattering는 paradigm과 shattering가 결합한 복합 형용사입니다. ‘패러다임을 깨뜨린다’라는 강한 개념을 명사 앞에 압축해 넣어, 그 방법이 단순히 놀라운 정도가 아니라 근본적인 변화를 가져왔음을 나타냅니다.

연습

paradigm-shattering를 적절하게 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. The font change was paradigm-shattering because the letters became slightly larger.
  2. The meeting was paradigm-shattering because it started five minutes late.
  3. The discovery was paradigm-shattering because it forced scientists to replace the basic theory.
정답 보기

The discovery was paradigm-shattering because it forced scientists to replace the basic theory.

In the 1920s,

6:32

1920년대에,

Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. 문법

6:34

쿠르트 괴델은 연속체 가설이 틀렸다는 것을 결코 증명할 수 없음을 보여주었습니다.

문법

showed that ... prove that ...: 중첩된 that절

이 문장에서 showed that은 무언가를 ‘보여 주었다’가 아니라 ‘추론을 통해 …임을 밝혔다’는 뜻입니다. 첫 번째 that절은 괴델의 전체 결론, 즉 결코 증명할 수 없는 것이 있다는 내용을 제시합니다. 그 결론 안에서 prove는 자체 that절을 취해 증명할 수 없는 주장, 곧 연속체 가설이 거짓이라는 내용을 밝힙니다. 구조는 showed [that ... prove [that + 주장]]이며, 전달되는 하나의 결론 안에 또 다른 주장이 들어갑니다.

연습

showed와 prove 뒤에 중첩된 that절을 올바르게 사용한 문장은 어느 것인가요?

  1. The experiment showed that we could not prove that the drug caused the change.
  2. The experiment showed that could not we prove that the drug caused the change.
  3. The experiment that showed we could not prove that the drug caused the change.
정답 보기

The experiment showed that we could not prove that the drug caused the change.

Then in the 1960s,

6:38

그리고 1960년대에,

Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

6:39

폴 J. 코언은 연속체 가설이 참이라는 것도 결코 증명할 수 없음을 보여주었습니다.

Taken together, 전개 흐름

6:44

이를 종합하면,

these results mean that there are unanswerable questions in mathematics, 어휘 쓰임

6:45

이 결과들은 수학에 대답할 수 없는 질문들이 존재한다는 것을 의미하며,

전개 흐름

Taken together: 결론 전에 여러 근거 종합하기

Taken together는 문장 맨 앞에 오는 부가 표현으로, ‘이 결과들을 하나의 묶음으로 생각하면’이라는 뜻입니다. 앞에서 언급한 여러 결과를 가리키며, 뒤에 나오는 내용을 해석하기 전에 그 결과들을 합쳐 보라는 신호를 줍니다. 여기서는 여러 결과에서 하나의 전체 결론으로 정보가 이어지도록 정리합니다. When taken together, these results mean something.이라는 수동절을 줄인 형태이며, these results가 함께 고려되는 대상을 나타냅니다.

연습

결론을 내리기 전에 여러 근거를 종합하는 의미로 Taken together를 사용한 문장은 어느 것인가요?

  1. Taken together, the rainfall data and river levels show a growing flood risk.
  2. Taken together, this one isolated number has no other evidence to combine.
  3. Taken together, Leo carried the box into the kitchen.
정답 보기

Taken together, the rainfall data and river levels show a growing flood risk.

어휘 쓰임

are unanswerable questions: 가능한 답이 없는 질문

이 문장에서 are unanswerable questions는 이런 종류의 질문이 실제로 존재하며, 논의 중인 수학 체계 안에서는 답할 수 없다는 뜻입니다. 아직 아무도 풀지 못했다는 의미에 그치지 않습니다. Unanswerable은 answer에 ‘답할 수 있는’이라는 뜻의 -able과 부정을 나타내는 un-이 결합한 말입니다. 따라서 difficult보다 의미가 강합니다. difficult question은 여전히 답이 있을 수 있지만, unanswerable question은 관련 규칙이나 가정 아래에서 답이 없습니다.

연습

unanswerable을 정확하게 사용한 문장은 무엇인가요?

  1. I solved the question after one minute, so it was unanswerable.
  2. The problem is hard, but its solution appears at the back of the book.
  3. No answer is possible within the rules of the system, so the question is unanswerable.
정답 보기

No answer is possible within the rules of the system, so the question is unanswerable.

a very stunning conclusion.

6:48

이는 매우 놀라운 결론입니다.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, 관용구

6:50

수학은 정당하게 인간 이성의 정점으로 여겨지지만,

관용구

the pinnacle of human reasoning: 인간 이성의 가장 높은 표현

Pinnacle은 문자 그대로 건축물이나 산봉우리의 가장 높은 지점을 뜻합니다. 여기서는 비유로 사용되어, the pinnacle of human reasoning이 수학을 인간의 추론 능력이 보여 주는 가장 높은 경지로 표현합니다. 다른 상황에도 쓸 수 있는 형태는 the pinnacle of + 분야, 경력, 시기 또는 과정입니다. 단순히 매우 좋다는 뜻이 아니라, 해당 영역 안에서 가장 높은 수준이나 가장 위대한 성취를 나타냅니다.

연습

배운 목표 표현을 정확히 사용해 문장을 완성하세요: After years of research, the discovery was ____ her scientific career.

정답 보기

the pinnacle of

but we now know that even mathematics has its limitations. 표현 묶음

6:53

이제 우리는 수학조차도 한계가 있다는 것을 압니다.

표현 묶음

has its limitations: 자체적인 한계를 인정하기

has its limitations는 어떤 것에 능력이나 적용 범위의 한계가 있다는 뜻입니다. 즉, 모든 일을 할 수 있거나 모든 상황에서 통하는 것은 아닙니다. 그렇다고 전혀 가치가 없다는 뜻은 아닙니다. 이 문장에서 even은 수학도 의외의 예에 포함된다는 점을 강조합니다. 활용할 수 있는 틀은 X has its limitations이며, 주어가 복수이면 X have their limitations를 씁니다.

연습

has its limitations를 사용해 균형 잡힌 평가를 한 문장은 무엇인가요?

  1. The study failed once, so it can never teach us anything.
  2. The study is helpful, but it has its limitations.
  3. The study is helpful, so it has no limitations.
정답 보기

The study is helpful, but it has its limitations.

Still, 전개 흐름

6:57

그럼에도 불구하고,

mathematics has some truly amazing things for us to think about. 문법

6:57

수학은 우리가 생각할 만한 진정 놀라운 것들을 가지고 있습니다.

전개 흐름

Still,로 대조되는 내용으로 전환하기

문장 맨 앞의 Still,은 ‘그렇지만’ 또는 ‘그럼에도 불구하고’라는 뜻입니다. 앞의 내용을 사실로 인정한 뒤, 그와 대조되지만 여전히 중요한 내용을 제시합니다. 여기서는 수학에 한계가 있다는 말을 취소하지 않습니다. Still은 그 한계에서 수학의 긍정적인 면으로 관심을 옮겨, 결말을 균형 잡힌 결론으로 구성합니다.

연습

Still,을 사용해 어려움을 인정한 뒤 대조적인 긍정적 내용을 덧붙인 문장은 무엇인가요?

  1. The test was hard. For example, the final question had three parts.
  2. The test was hard. Still, I learned a lot from it.
  3. The test was hard. As a result, several people needed extra time.
정답 보기

The test was hard. Still, I learned a lot from it.

문법

things for us to think about: 명사 + for + 목적격 + to부정사

things for us to think about은 ‘명사 + for + 목적격 + to부정사’ 구조입니다. for 뒤의 목적격은 누가 동작을 하는지 나타내므로, 여기서는 we가 아니라 us를 씁니다. for us to think about 전체는 things 뒤에서 그 명사를 꾸밉니다. 즉, 우리가 생각할 수 있거나 생각해야 할 것들이라는 뜻입니다. about은 think 뒤에 그대로 둡니다. 보통 think about something이라고 하기 때문입니다. 여기서는 things가 의미상 그 something 역할을 합니다. 같은 구조는 a problem for you to solve와 a book for children to read에서도 볼 수 있습니다.

연습

Nora가 그 질문에 답해야 합니다. Nora를 나타내는 대명사, 동사 answer, ‘명사 + for + 목적격 + to부정사’ 구조를 사용해 문장을 완성하세요: This is a question ____.

정답 보기

for her to answer