외적 | 제10장, 선형대수학의 본질: 영어 학습 노트

Last video, I talked about the dot product,

지난 영상에서는 내적에 대해 이야기하며,

showing both the standard introduction to the topic, 문법

해당 주제에 대한 표준적인 도입과,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

그것이 선형 변환과 어떻게 관련되는지에 대한 더 깊은 시각을 모두 보여드렸습니다.

I'd like to do the same thing for cross products,

저는 외적에 대해서도 똑같이 하고 싶습니다.

which also have a standard introduction

외적 역시 표준적인 도입과 함께

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. 관용구

선형 변환의 관점에서 보는 더 깊은 이해가 있습니다.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

하지만 이번에는 두 개의 별도 영상으로 나누려고 합니다.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. 관용구

여기서는 학생들이 외적에 대해 보통 배우는 주요 요점들을 다루려고 합니다.

And in the next video,

그리고 다음 영상에서는,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

일반적으로 덜 가르치지만,

but really satisfying when you learn it.

배우고 나면 정말 만족스러운 관점을 보여드릴 것입니다.

We'll start in two dimensions.

우선 2차원에서 시작하겠습니다.

If you have two vectors V and W,

두 벡터 V와 W가 있다면,

think about the parallelogram that they span out. 구동사

그들이 만들어내는 평행사변형을 생각해 보세요.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, 해설

이 말의 의미는 V의 복사본을 가져와 그 꼬리를 W의 끝으로 옮기고,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

W의 복사본을 가져와 그 꼬리를 V의 끝으로 옮기면,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

이제 화면에 있는 네 개의 벡터가 특정 평행사변형을 둘러싼다는 것입니다.

The cross product of V and W,

V와 W의 외적은,

written with the X-shaped multiplication symbol,

X자 모양의 곱셈 기호로 쓰이며,

is the area of this parallelogram.

이 평행사변형의 넓이입니다.

Well, almost. 전개 흐름

음, 거의 그렇습니다.

We also need to consider orientation.

우리는 방향(방위)도 고려해야 합니다.

Basically, if V is on the right of W,

기본적으로 V가 W의 오른쪽에 있다면,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

V 외적 W는 양수이고 평행사변형의 넓이와 같습니다.

But if V is on the left of W,

하지만 V가 W의 왼쪽에 있다면,

then the cross product is negative,

외적은 음수입니다.

namely the negative area of that parallelogram.

즉, 그 평행사변형의 음수 넓이입니다.

Notice, this means that order matters. 표현 묶음

이는 순서가 중요하다는 것을 의미합니다.

If you swapped V and W,

만약 V와 W를 바꿔서,

instead taking W cross V,

대신 W 외적 V를 계산한다면,

the cross product would become the negative of whatever it was before. 문법

외적은 이전 값의 음수가 될 것입니다.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

제가 여기서 순서를 항상 기억하는 방법은 두 기저 벡터의 외적을 순서대로 취했을 때,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-hat 외적 j-hat, 그 결과가 양수여야 한다는 것입니다.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

사실 기저 벡터의 순서가 방향을 정의하는 것입니다.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

따라서 i-hat이 j-hat의 오른쪽에 있으므로,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

V가 W의 오른쪽에 있을 때마다 V 외적 W는 양수여야 한다는 것을 기억합니다.

So, for example, with the vectors shown here,

예를 들어, 여기에 표시된 벡터들의 경우,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

그 평행사변형의 넓이가 7이라고 가정해 보겠습니다.

And since V is on the left of W,

그리고 V가 W의 왼쪽에 있으므로,

the cross product should be negative.

외적은 음수여야 합니다.

So, V cross W is negative seven.

따라서 V 외적 W는 음수 7입니다.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

하지만 물론, 여러분은 누군가 넓이를 알려주지 않아도 이것을 계산할 수 있기를 원할 것입니다.

This is where the determinant comes in. 구동사

여기서 행렬식이 등장합니다.

So, if you didn't see chapter five of this series, 문법

그래서, 만약 이 시리즈의 5장을 보지 않으셨다면,

where I talk about the determinant,

제가 행렬식에 대해 이야기한 그 영상을,

now would be a really good time to go take a look.

지금 가서 보시기에 정말 좋은 시간입니다.

Even if you did see it, but it was a while ago,

만약 보셨더라도 시간이 좀 지났다면,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. 관용구

그 개념들이 머릿속에 생생하게 남아 있는지 확인하기 위해 다시 한 번 보시는 것을 추천합니다.

For the 2D cross product, V cross W,

2차원 외적, V 외적 W의 경우,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

V의 좌표를 행렬의 첫 번째 열로 쓰고,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

W의 좌표를 두 번째 열로 만듭니다.

Then you just compute the determinant.

그런 다음 행렬식을 계산하기만 하면 됩니다.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

이는 V와 W를 열로 나타내는 행렬이 기저 벡터 i-hat과 j-hat을 V와 W로 이동시키는 선형 변환에 대응하기 때문입니다.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

행렬식은 변환으로 인해 넓이가 어떻게 변하는지를 측정하는 것입니다.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

그리고 우리가 살펴보는 전형적인 넓이는 i-hat과 j-hat 위에 놓인 단위 정사각형입니다.

After the transformation,

변환 후,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. 구동사

그 정사각형은 우리가 관심을 가지는 평행사변형으로 변합니다.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, 문법

따라서 일반적으로 넓이가 변하는 비율을 측정하는 행렬식은,

gives the area of this parallelogram,

이 평행사변형의 넓이를 제공합니다.

since it evolved from a square that started with area one.

왜냐하면 그것은 넓이가 1인 정사각형에서 발전했기 때문입니다.

What's more, if V is on the left of W,

게다가, V가 W의 왼쪽에 있다면,

it means that orientation was flipped during that transformation,

그 변환 과정에서 방향이 뒤집혔다는 뜻이고,

which is what it means for the determinant to be negative. 문법

그것이 바로 행렬식이 음수가 된다는 의미입니다.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

예를 들어, V의 좌표가 마이너스 3과 1이고,

and W has coordinates two one.

W의 좌표가 2와 1이라고 가정해 보겠습니다.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

해당 좌표들을 열로 가지는 행렬의 행렬식은 마이너스 3 곱하기 1 빼기 2 곱하기 1이며,

which is negative five.

이것은 마이너스 5입니다.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

따라서 분명히, 그들이 정의하는 평행사변형의 넓이는 5입니다.

And since V is on the left of W,

그리고 V가 W의 왼쪽에 있으므로,

it should make sense that this value is negative.

이 값이 음수라는 것은 이치에 맞을 것입니다.

As with any new operation you learn,

여러분이 새로운 연산을 배울 때처럼,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. 해설

저는 외적이 무엇인지 직관적인 느낌을 얻기 위해 이 개념을 머릿속에서 조금 가지고 놀아보는 것을 추천합니다.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

예를 들어, 두 벡터가 수직이거나,

or at least close to being perpendicular,

적어도 수직에 가까울 때,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, 문법

그들이 매우 비슷한 방향을 가리킬 때보다 그들의 외적이 더 크다는 것을 눈치채실 수 있습니다.

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

변들이 수직에 가까울수록 그 평행사변형의 넓이가 더 커지기 때문입니다.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, 구동사

또 하나 알아차릴 수 있는 것은 벡터 중 하나를 확대하면,

perhaps multiplying V by three,

아마도 V에 3을 곱한다면,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. 표현 묶음

그 평행사변형의 넓이도 3배로 커진다는 것입니다.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. 전개 흐름

따라서 이것이 연산에 의미하는 바는 3V 외적 W가 V 외적 W 값의 정확히 3배가 된다는 것입니다.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, 문법

자, 이 모든 것이 완벽하게 훌륭한 수학적 연산이지만,

what I just described is technically not the cross product. 어휘 쓰임

제가 방금 설명한 것은 엄밀히 말해 외적이 아닙니다.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

진정한 외적은 두 개의 다른 3D 벡터를 결합하여 새로운 3D 벡터를 얻는 것입니다.

Just as before, 전개 흐름

이전과 마찬가지로,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

우리는 여전히 우리가 외적을 취하는 두 벡터에 의해 정의된 평행사변형을 고려할 것입니다.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. 관용구

그리고 이 평행사변형의 넓이는 여전히 큰 역할을 할 것입니다.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. 전개 흐름

구체적으로 말하자면, 여기에 표시된 벡터들의 넓이가 2.5라고 해봅시다.

But as I said, the cross product is not a number,

하지만 말씀드렸듯이, 외적은 숫자가 아니라

it's a vector.

벡터입니다.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

이 새로운 벡터의 길이는 그 평행사변형의 넓이가 될 것이고,

which in this case is 2.5.

이 경우에는 2.5입니다.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

그리고 그 새로운 벡터의 방향은 평행사변형에 수직이 될 것입니다.

But which way, right?

하지만 어느 방향일까요?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

제 말은, 주어진 평면에 수직이면서 길이가 2.5인 벡터는 두 가지가 가능합니다.

This is where the right hand rule comes in. 어휘 쓰임

여기서 오른손 법칙이 등장합니다.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

오른손의 집게손가락을 V의 방향으로 가리키세요.

Then stick out your middle finger in the direction of W. 구동사

그런 다음 가운뎃손가락을 W의 방향으로 내미세요.

Then, when you point up your thumb,

그러고 나서 엄지손가락을 위로 향하게 하면,

that's the direction of the cross product.

그것이 외적의 방향입니다.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

예를 들어, V가 Z 방향으로 곧장 위를 향하는 길이가 2인 벡터이고,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

W가 순수한 Y 방향을 향하는 길이가 2인 벡터라고 가정해 봅시다.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

이 간단한 예에서 그들이 정의하는 평행사변형은 실제로는 정사각형입니다.

since they're perpendicular and have the same length. 문법

수직이고 길이가 같기 때문입니다.

And the area of that square is four.

그리고 그 정사각형의 넓이는 4입니다.

So, their cross product should be a vector with length four.

따라서 그들의 외적은 길이가 4인 벡터가 되어야 합니다.

Using the right hand rule,

오른손 법칙을 사용하면,

their cross product should point in the negative X direction.

그들의 외적은 음의 X 방향을 가리켜야 합니다.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

따라서 이 두 벡터의 외적은 마이너스 4 곱하기 i-hat입니다.

For more general computations,

더 일반적인 계산의 경우,

there is a formula that you could memorize if you wanted, 말투와 의도

원한다면 암기할 수 있는 공식이 있지만,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

대신 3D 행렬식을 포함하는 특정 과정을 기억하는 것이 흔하고 더 쉽습니다.

Now, this process looks truly strange at first.

자, 이 과정은 처음에는 정말 이상해 보입니다.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

두 번째와 세 번째 열에 V와 W의 좌표가 포함된 3D 행렬을 적습니다.

But for that first column,

하지만 첫 번째 열에는,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

기저 벡터 i-hat, j-hat, k-hat을 적습니다.

Then, you compute the determinant of this matrix.

그런 다음, 이 행렬의 행렬식을 계산합니다.

The silliness is probably clear here.

여기서 어리석은 점은 아마 분명할 것입니다.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? 관용구

행렬의 항목으로 벡터를 넣는다는 것이 도대체 무슨 의미일까요?

Students are often told that this is just a notational trick.

학생들은 종종 이것이 단지 표기법의 트릭일 뿐이라고 배웁니다.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, 해설

i-hat, j-hat, k-hat이 숫자 인 것처럼 계산을 수행하면,

then you get some linear combination of those basis vectors.

해당 기저 벡터들의 어떤 선형 결합을 얻게 됩니다.

And the vector defined by that linear combination,

그리고 그 선형 결합에 의해 정의된 벡터가,

students are told to just believe, 말투와 의도

학생들은 그냥 믿으라고 듣게 되는데,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

크기가 적절한 평행사변형의 넓이이고

and whose direction obeys the right hand rule.

방향이 오른손 법칙을 따르는 V와 W에 수직인 유일한 벡터입니다.

And sure, in some sense this is just a notational trick. 말투와 의도

그리고 물론, 어떤 면에서는 이것이 단지 표기법의 트릭입니다.

But there is a reason for doing it.

하지만 그렇게 하는 데는 이유가 있습니다.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. 전개 흐름

행렬식이 다시 한 번 중요해지는 것은 단순한 우연이 아닙니다.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

그리고 그 자리에 기저 벡터를 넣는 것은 단순한 무작위적인 행동이 아닙니다.

To understand where all of this comes from,

이 모든 것이 어디서 왔는지 이해하려면,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

제가 지난 영상에서 소개한 쌍대성(duality) 개념을 사용하는 것이 도움이 됩니다.

This concept is a little bit heavy, 관용구

하지만 이 개념은 약간 무겁습니다.

though.

그래서 더 알고 싶어 하는 호기심 많은 분들을 위해 별도의 후속 영상에 담을 예정입니다.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

틀림없이, 그것은 선형 대수학의 본질에서 벗어나는 내용입니다.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. 해설

여기서 중요한 부분은 그 외적 벡터가 기하학적으로 무엇을 나타내는지 아는 것입니다.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

그러니 다음 영상을 건너뛰고 싶으시다면,

So, if you want to skip that next video,

자유롭게 그렇게 하세요.

feel free. 말투와 의도

하지만 조금 더 깊이 파고들 의향이 있고, 이 계산과 그 바탕이 되는 기하학 사이의 연관성에 대해 호기심이 있는 분들에게는,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, 관용구

다음 영상에서 이야기할 아이디어들은 정말로 우아한 수학의 한 부분입니다.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

lang_name_reference_keep_safe_but_do_not_use