벡터 | 제1장, 선형대수학의 본질: 영어 학습 노트

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

선형대수학의 근본적인 뿌리이자 모든 것의 구성 요소는 벡터입니다.

So, it's worth making sure that we're all on the same page 해설

그래서, 우리 모두가 같은 이해를 가지고 있는지 확인하는 것은 가치가 있습니다.

about what exactly a vector is.

벡터가 정확히 무엇인지에 대해서 말이죠.

You see, broadly speaking, 전개 흐름

보시다시피, 크게 말해서,

there are three distinct but related ideas about vectors,

벡터에 대해 구별되지만 서로 관련된 세 가지 관점이 있습니다.

which I'll call the physics student perspective,

저는 이를 물리학 학생의 관점,

the computer science student perspective,

컴퓨터 과학 학생의 관점,

and the mathematician's perspective.

그리고 수학자의 관점이라고 부르겠습니다.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

물리학 학생의 관점에서는 벡터가 공간을 가리키는 화살표입니다.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

주어진 벡터를 정의하는 것은 그 길이와 가리키는 방향입니다.

But as long as those two facts are the same, 문법

하지만 이 두 가지 사실이 같다면,

you can move it all around and it's still the same vector.

이리저리 옮겨도 여전히 같은 벡터입니다.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

평면에 존재하는 벡터는 2차원이고,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

여러분과 제가 살고 있는 더 넓은 공간에 있는 벡터는 3차원입니다.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

컴퓨터 과학의 관점에서는 벡터가 숫자들이 정렬된 목록입니다.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

예를 들어, 여러분이 집값에 대한 어떤 분석을 하고 있고,

and the only features you cared about were square footage and price.

여러분이 신경 쓰는 유일한 특징이 면적과 가격이라고 가정해 봅시다.

You might model each house with a pair of numbers,

각 집을 두 개의 숫자로 모델링할 수 있는데,

the first indicating square footage and the second indicating price.

첫 번째는 면적을 나타내고 두 번째는 가격을 나타냅니다.

Notice the order matters here.

여기서는 순서가 중요하다는 것을 주목하세요.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

전문 용어로, 여러분은 집을 2차원 벡터로 모델링하는 셈인데,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

이 문맥에서 벡터는 그저 목록을 뜻하는 멋진 단어일 뿐이고,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

그것을 2차원으로 만드는 것은 목록의 길이가 2라는 사실입니다.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, 전개 흐름

반면에 수학자는 이 두 관점을 모두 일반화하려고 하며,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

기본적으로 벡터란 두 벡터를 더하고 벡터에 숫자를 곱하는 개념이

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

말이 되는 모든 것이 될 수 있다고 말합니다.

operations that I'll talk about later on in this video.

이 연산들에 대해서는 이 영상의 뒷부분에서 이야기하겠습니다.

The details of this view are rather abstract

이 관점의 세부 사항은 꽤 추상적이어서

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

사실 이 시리즈의 마지막 영상 전까지는 무시하는 것이 좋다고 생각하며,

favoring a more concrete setting in the interim. 어휘 쓰임

그동안은 더 구체적인 설정을 선호합니다.

But the reason I bring it up here 구동사

하지만 제가 여기서 이 이야기를 꺼내는 이유는

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

벡터의 덧셈과

and multiplication by numbers will play an important role

숫자의 곱셈이라는 개념이 중요한 역할을 할 것임을 암시하기 때문입니다.

throughout linear algebra.

선형대수학 전반에 걸쳐서 말이죠.

But before I talk about these operations,

하지만 이 연산들에 대해 이야기하기 전에,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

제가 벡터라는 단어를 말할 때

when I say the word vector.

마음속에 가질 구체적인 생각을 하나 정립해 봅시다.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, 구동사

여기서 제가 목표로 하는 기하학적 초점을 고려할 때,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

벡터와 관련된 새로운 주제를 소개할 때마다,

I want you to first think about an arrow,

먼저 화살표를 생각해 보시길 바랍니다.

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

특히 좌표계 안에 있는 화살표를 생각해 보세요.

like the XY plane,

XY 평면과 같은 좌표계에서,

with its tail sitting at the origin.

꼬리가 원점에 놓인 화살표를 말이죠.

This is a little bit different from the physics student perspective,

이것은 벡터가 공간 어디에든 자유롭게 위치할 수 있는

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

물리학 학생의 관점과는 조금 다릅니다.

In linear algebra,

선형대수학에서는,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

여러분의 벡터가 원점에 뿌리를 두고 있는 경우가 거의 항상 있습니다.

Then, once you understand a new concept

그런 다음 공간의 화살표라는 맥락에서

in the context of arrows in space, 표현 묶음

새로운 개념을 이해하고 나면,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

벡터의 좌표를 고려함으로써

which we can do by considering the coordinates of the vector.

숫자 목록의 관점으로 그것을 번역해 볼 것입니다.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

자, 여러분 중 많은 분이 이 좌표계에 이미 익숙하시겠지만,

it's worth walking through explicitly

명시적으로 짚고 넘어갈 가치가 있습니다.

since this is where all of the important back and forth happens

왜냐하면 선형대수학의 두 관점 사이의

between the two perspectives of linear algebra.

중요한 오고 감이 모두 여기서 일어나기 때문입니다.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

잠시 2차원에 주의를 집중해 보면,

you have a horizontal line called the x-axis

x축이라고 부르는 수평선과

and a vertical line called the y-axis.

y축이라고 부르는 수직선이 있습니다.

The place where they intersect is called the origin,

이들이 교차하는 곳을 원점이라고 부르며,

which you should think of as the center of space

이를 공간의 중심이자

and the root of all vectors.

모든 벡터의 뿌리라고 생각하시면 됩니다.

After choosing an arbitrary length to represent one,

1을 나타낼 임의의 길이를 선택한 후,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

이 거리를 나타내기 위해 각 축에 눈금 표시를 합니다.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

이 영상들에서 자주 보게 될,

which you'll see comes up a lot in these videos, 구동사

2차원 공간 전체에 대한 아이디어를 전달하고 싶을 때,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

이 눈금 표시들을 연장해서 격자선을 만들 것입니다.

But right now,

하지만 지금 당장은,

they'll actually get a little bit in the way. 관용구

그것들이 사실 조금 방해가 될 겁니다.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

벡터의 좌표는 두 개의 숫자로 이루어진 쌍으로,

that basically gives instructions for how to get

기본적으로 원점에 있는 벡터의 꼬리에서

from the tail of that vector at the origin to its tip.

끝까지 가는 방법에 대한 지침을 제공합니다.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

첫 번째 숫자는 x축을 따라 얼마나 걸어가야 하는지 알려주며,

positive numbers indicating rightward motion,

양수는 오른쪽으로의 이동을,

negative numbers indicating leftward motion,

음수는 왼쪽으로의 이동을 나타냅니다.

and the second number tells you how far to walk

그리고 두 번째 숫자는 그 후에 y축과 평행하게

parallel to the y-axis after that,

얼마나 걸어가야 하는지 알려주며,

positive numbers indicating upward motion

양수는 위쪽으로의 이동을,

and negative numbers indicating downward motion.

음수는 아래쪽으로의 이동을 나타냅니다.

To distinguish vectors from points,

벡터를 점과 구별하기 위해,

the convention is to write this pair of numbers vertically

이 숫자 쌍을 대괄호로 묶어

with square brackets around them.

수직으로 쓰는 것이 관례입니다.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

모든 숫자 쌍은 오직 하나의 벡터만을 제공하고,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

모든 벡터는 오직 하나의 숫자 쌍과만 연관됩니다.

What about in three dimensions?

3차원에서는 어떨까요?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

글쎄요, x축과 y축 모두에 수직인

which is perpendicular to both the x and y-axes,

z축이라는 세 번째 축을 추가하면 됩니다.

and in this case,

이 경우,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

각 벡터는 순서가 있는 숫자의 세쌍과 연관됩니다.

The first tells you how far to move along the x-axis,

첫 번째는 x축을 따라 얼마나 이동할지 알려주고,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

두 번째는 y축에 평행하게 얼마나 이동할지 알려주며,

and the third one tells you how far to then move

세 번째는 이 새로운 z축에 평행하게

parallel to this new z-axis.

얼마나 이동할지 알려줍니다.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

모든 숫자의 세쌍은 공간에서 유일한 하나의 벡터를 제공하고,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

공간의 모든 벡터는 정확히 하나의 숫자 세쌍을 제공합니다.

All right,

좋습니다,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

그럼 벡터의 덧셈과 숫자의 곱셈으로 돌아가 보겠습니다.

After all, 전개 흐름

결국,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

선형대수학의 모든 주제는 이 두 연산을 중심으로 전개될 것입니다.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

다행히도, 각각을 정의하는 것은 꽤 간단합니다.

Let's say we have two vectors,

두 개의 벡터가 있다고 가정해 봅시다.

one pointing up and a little to the right

하나는 위쪽과 약간 오른쪽을 가리키고,

and the other one pointing right and down a bit.

다른 하나는 오른쪽과 약간 아래쪽을 가리킵니다.

To add these two vectors,

이 두 벡터를 더하려면,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

두 번째 벡터를 이동시켜 그 꼬리가 첫 번째 벡터의 끝에 오게 합니다.

Then, if you draw a new vector

그런 다음, 첫 번째 벡터의 꼬리에서

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

두 번째 벡터의 끝이 지금 있는 곳까지

that new vector is their sum.

새로운 벡터를 그리면 그 새로운 벡터가 두 벡터의 합입니다.

This definition of addition, by the way, 전개 흐름

참고로 이 덧셈의 정의는,

is pretty much the only time in linear algebra

선형대수학에서 벡터가 원점에서 벗어나게 허용하는

where we let vectors stray away from the origin.

거의 유일한 경우입니다.

Now,

자,

why is this a reasonable thing to do?

이것이 왜 합리적인 방법일까요?

Why this definition of addition and not some other one?

왜 다른 덧셈의 정의가 아니라 이 방법일까요?

Well,

글쎄요,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

제가 생각하기 좋아하는 방식은 각 벡터가 특정한 움직임,

a step with a certain distance and direction in space.

즉 공간에서 특정한 거리와 방향을 가진 한 걸음을 나타낸다는 것입니다.

If you take a step along the first vector,

첫 번째 벡터를 따라 한 걸음 내디딘 후,

then take a step in the direction and distance

두 번째 벡터가 설명하는

described by the second vector,

방향과 거리로 한 걸음 내디디면,

the overall effect is just the same as if you moved

전체적인 효과는 애초에 이 두 벡터의 합을 따라

along the sum of those two vectors to start with. 표현 묶음

이동한 것과 똑같습니다.

You could think about this as an extension

여러분은 이것을 수직선 상에서 숫자를 더하는 방법에 대한

of how we think about adding numbers on a number line.

확장이라고 생각할 수 있습니다.

One way that we teach kids to think about this,

우리가 아이들에게 이것을 생각하도록 가르치는 한 가지 방법은,

say with 2 + 5,

예를 들어 2 + 5의 경우,

is to think of moving two steps to the right,

오른쪽으로 두 걸음 이동한 다음,

followed by another five steps to the right.

이어서 오른쪽으로 다섯 걸음 더 이동하는 것으로 생각하는 것입니다.

The overall effect is the same

전체적인 효과는

as if you just took seven steps to the right.

그저 오른쪽으로 일곱 걸음 이동한 것과 같습니다.

In fact,

사실,

let's see how vector addition looks numerically.

벡터의 덧셈이 숫자로는 어떻게 보이는지 확인해 봅시다.

The first vector here has coordinates 1 2,

여기 첫 번째 벡터는 좌표가 1 2이고,

and the second one has coordinates 3 -1.

두 번째 벡터는 좌표가 3 -1입니다.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, 어휘 쓰임

이 꼬리 물기 방식을 사용하여 벡터의 합을 구할 때,

you can think of a four-step path

원점에서 두 번째 벡터의 끝까지 가는

from the origin to the tip of the second vector.

네 단계의 경로를 생각할 수 있습니다.

Walk one to the right,

오른쪽으로 1만큼 걷고,

then two up,

위로 2만큼 걷고,

then three to the right,

오른쪽으로 3만큼 걷고,

then one down.

아래로 1만큼 걷습니다.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

이 단계들을 재조직하여 오른쪽으로의 이동을 모두 먼저 하고,

then do all the vertical motion,

수직 이동을 모두 나중에 하면,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

먼저 오른쪽으로 1 + 3만큼 이동한 다음,

then move 2 -1 up.

위로 2 - 1만큼 이동하라는 뜻으로 읽을 수 있습니다.

So,

그래서,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

새로운 벡터의 좌표는 1 + 3과 2 + -1이 됩니다.

In general,

일반적으로,

vector addition in this list of numbers conception

이 숫자 목록 개념에서의 벡터의 덧셈은

looks like matching up their terms and adding each one together.

그들의 항목을 서로 맞춰서 각각 더하는 것처럼 보입니다.

The other fundamental vector operation

또 다른 근본적인 벡터 연산은

is multiplication by a number.

숫자의 곱셈입니다.

Now,

자,

this is best understood just by looking at a few examples. 문법

이것은 몇 가지 예시를 살펴봄으로써 가장 잘 이해할 수 있습니다.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

숫자 2를 취해서 주어진 벡터에 곱한다면,

it means you stretch out that vector 구동사

그 벡터를 늘려서

so that it's two times as long as when you started. 문법

시작했을 때보다 길이가 2배가 되도록 한다는 뜻입니다.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

만약 그 벡터에 예를 들어 1/3을 곱한다면,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. 구동사

원래 길이의 1/3이 되도록 납작하게 줄인다는 뜻입니다.

When you multiply it by a negative number,

음수를 곱할 때,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, 구동사

예를 들어 -1.8이라면, 벡터는 먼저 반대로 뒤집히고,

then stretched out by that factor of 1.8. 표현 묶음

그런 다음 1.8배만큼 늘어납니다.

This process of stretching or squishing

벡터를 늘리거나 줄이거나,

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

때로는 방향을 뒤집는 이 과정을 스케일링(scaling)이라고 부릅니다.

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

그리고 2나 1/3, 또는 -1.8 같은 숫자가

acting like this, scaling some vector,

이렇게 어떤 벡터를 스케일링하는 역할을 할 때,

you call it a scalar.

그것을 스칼라(scalar)라고 부릅니다.

In fact, throughout linear algebra,

사실, 선형대수학 전반에 걸쳐,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

숫자가 하는 주요한 일 중 하나가 벡터를 스케일링하는 것입니다.

So,

그래서,

it's common to use the word scalar

스칼라라는 단어를

pretty much interchangeably with the word number. 표현 묶음

숫자라는 단어와 거의 상호 교환적으로 사용하는 것이 흔합니다.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

숫자로 볼 때, 벡터를 예를 들어 2배로 늘리는 것은

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

각 성분에 그 배수인

two.

2를 곱하는 것과 일치합니다.

So,

그래서,

in the conception of vectors as lists of numbers,

벡터를 숫자 목록으로 보는 개념에서,

multiplying a given vector by a scalar

주어진 벡터에 스칼라를 곱하는 것은

means multiplying each one of those components by that scalar.

그 성분들 각각에 해당 스칼라를 곱하는 것을 의미합니다.

You'll see in the following videos what I mean

다음 영상들에서 제가

when I say that linear algebra topics tend to revolve 표현 묶음

선형대수학 주제들이 이 두 가지 근본적인 연산을

around these two fundamental operations,

중심으로 전개되는 경향이 있다고 말할 때 그 의미를 보게 될 것입니다,

vector addition and scalar multiplication.

즉 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈입니다.

And I'll talk more in the last video

그리고 마지막 영상에서

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

여러분이 벡터를 어떻게 표현하기로 선택하든 독립적이고 추상적으로,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. 구동사

수학자가 왜 그리고 어떻게 이 연산들에 대해서만 생각하는지 더 이야기하겠습니다.

In truth,

사실,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, 문법

벡터를 근본적으로 공간의 화살표로 생각하든,

like I'm suggesting you do,

제가 제안하는 것처럼 말이죠,

that happen to have a nice numerical representation, 문법

그 화살표에 멋진 숫자 표현이 있다고 생각하든,

or fundamentally as lists of numbers

아니면 근본적으로 숫자 목록으로 생각하든,

that happen to have a nice geometric interpretation.

그 목록에 멋진 기하학적 해석이 있다고 생각하든 상관없습니다.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views 문법

선형대수학의 유용성은 이 두 관점 중 하나와 관련이 있다기보다

than it does with the ability to translate back and forth between them. 표현 묶음

그 둘 사이를 오가며 번역할 수 있는 능력에 더 관련이 있습니다.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

그것은 데이터 분석가에게 시각적인 방법으로

many lists of numbers in a visual way,

많은 숫자 목록을 개념화할 수 있는 훌륭한 방법을 제공하여,

which can seriously clarify patterns in data

데이터의 패턴을 크게 명확하게 하고

and give a global view of what certain operations do.

특정 연산이 하는 일에 대한 거시적인 관점을 제공할 수 있습니다.

And on the flip side, 전개 흐름

그리고 반대로,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

그것은 물리학자나 컴퓨터 그래픽 프로그래머 같은 사람들에게

a language to describe space

공간을 묘사하는 언어를 제공하고

and the manipulation of space

컴퓨터로 계산하고 실행할 수 있는 숫자를 사용하여

using numbers that can be crunched and run through a computer. 어휘 쓰임

공간을 조작하는 방법을 제공합니다.

When I do math-y animations, for example, 어휘 쓰임

예를 들어 제가 수학적인 애니메이션을 만들 때,

I start by thinking about what's actually going on in space 관용구

공간에서 실제로 무슨 일이 일어나고 있는지 생각하는 것부터 시작하고,

and then get the computer to represent things numerically,

그런 다음 컴퓨터가 사물을 숫자로 표현하게 하여,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. 문법

화면의 픽셀을 어디에 배치할지 알아냅니다.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

그리고 그렇게 하는 것은 대개 선형대수학에 대한 많은 이해에 의존합니다.

So,

자,

there are your vector basics,

이것이 벡터의 기초이며,

and in the next video,

다음 영상에서는,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

벡터와 관련된 꽤 멋진 개념들에 대해 다루기 시작할 것입니다,

like span, bases, and linear dependence.

예를 들어 생성(span), 기저(bases), 그리고 선형 종속성(linear dependence)과 같은 것 말이죠.

See you then.

그때 뵙겠습니다.