선형결합, 생성, 기저 벡터 | 선형대수학의 본질, 제2장: 영어 학습 노트

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

지난 영상에서는 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈의 개념과 함께, 벡터의 좌표에 대해 설명했습니다.

where there's this back and forth between, 관용구

여기서 두 가지 개념 사이를 왔다 갔다 하는 관계가 있었죠.

for example,

예를 들면,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

숫자 쌍과 2차원 벡터 사이에서 말입니다.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

이제 여러분 중 많은 분들이 벡터 좌표에 이미 익숙하실 거라 생각하지만,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, 전개 흐름

이 좌표들에 대해 생각하는 흥미로운 또 다른 방법이 있습니다.

which is pretty central to linear algebra.

이는 선형 대수학에서 아주 핵심적인 내용입니다.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, 문법

벡터를 설명하는 숫자 쌍이 있을 때,

like 3 -2,

예를 들어 3과 -2 같이 말이죠,

I want you to think about each coordinate as a scalar, 문법

저는 여러분이 각각의 좌표를 하나의 스칼라로 생각하길 바랍니다.

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

즉, 각각이 벡터를 어떻게 늘리거나 압축하는지 생각해보라는 뜻입니다.

In the XY coordinate system,

XY 좌표계에는,

there are two very special vectors.

매우 특별한 두 개의 벡터가 있습니다.

The one pointing to the right with length one,

길이가 1이면서 오른쪽을 가리키는 벡터는,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

흔히 i-hat(i햇), 또는 X 방향의 단위 벡터라고 불리며,

and the one pointing straight up with length one,

길이가 1이면서 위쪽을 곧장 가리키는 벡터는,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

흔히 j-hat(j햇), 또는 Y 방향의 단위 벡터라고 불립니다.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

이제 우리 벡터의 X 좌표를 i-hat의 크기를 조절하는 스칼라로 생각해 보세요.

stretching it by a factor of 3, 표현 묶음

이를 3배로 늘리는 거죠.

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

그리고 Y 좌표는 j-hat의 크기를 조절하는 스칼라로 생각해 보세요.

flipping it and stretching it by a factor of 2.

방향을 뒤집고 2배로 늘리는 겁니다.

In this sense,

이런 의미에서,

the vector that these coordinates describe

이 좌표들이 설명하는 벡터는

is the sum of two scaled vectors.

크기가 조정된 두 벡터의 합입니다.

That's a surprisingly important concept,

이것은 놀랍도록 중요한 개념입니다.

this idea of adding together two scaled vectors.

크기가 조정된 두 벡터를 더한다는 이 아이디어 말입니다.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

i-hat과 j-hat이라는 이 두 벡터는 특별한 이름을 가지고 있습니다,

by the way.

참고로 말하자면요.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

이 둘을 합쳐서 좌표계의 '기저'라고 부릅니다.

What this means basically

이것이 기본적으로 의미하는 바는

is that when you think about coordinates as scalars,

여러분이 좌표를 스칼라로 생각할 때,

the basis vectors are what those scalars actually,

기저 벡터는 그 스칼라들이 실제로,

you know, scale.

아시다시피, 크기를 조절하는 대상이라는 것입니다.

There's also a more technical definition,

더 기술적인 정의도 있지만,

but I'll get to that later.

그건 나중에 다루겠습니다.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, 표현 묶음

이 특별한 두 기저 벡터를 바탕으로 좌표계를 구성하면,

it raises a pretty interesting and subtle point. 표현 묶음

꽤 흥미롭고 미묘한 점이 제기됩니다.

We could have chosen different basis vectors 문법

우리는 다른 기저 벡터를 선택해서

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

완전히 합리적인 새로운 좌표계를 얻을 수도 있었습니다.

For example, take some vector pointing up and to the right,

예를 들어, 오른쪽 위를 향하는 어떤 벡터와,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

어떤 식으로든 오른쪽 아래를 향하는 다른 벡터를 선택해 보세요.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

여러분이 얻을 수 있는 모든 다양한 벡터들에 대해 잠시 생각해 보세요.

by choosing two scalars,

두 개의 스칼라를 선택하고,

using each one to scale one of the vectors,

각각을 사용해 두 벡터 중 하나를 스케일링한 다음,

then adding together what you get.

얻은 것을 더해서 말이죠.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

스칼라의 선택을 바꾸면 어떤 2차원 벡터들에 도달할 수 있을까요?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

정답은 생각할 수 있는 모든 2차원 벡터에 도달할 수 있다는 것이며,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

이게 왜 그런지 숙고해 보는 것은 꽤 좋은 퍼즐이라고 생각합니다.

A new pair of basis vectors like this

이런 새로운 한 쌍의 기저 벡터는

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

여전히 숫자 쌍과 2차원 벡터 사이를

and two-dimensional vectors,

왔다 갔다 할 수 있는 유효한 방법을 제공합니다.

but the association is definitely different from the one that you get

하지만 그 연관성은 확실히 여러분이 더 표준적인

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

i-hat과 j-hat 기저를 사용할 때 얻는 것과는 다릅니다.

This is something I'll go into much more detail on later, 구동사

이 부분은 제가 나중에 훨씬 더 자세히 다루면서,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

서로 다른 좌표계 사이의 정확한 관계를 설명할 것입니다.

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

하지만 지금 당장은, 여러분이 이 사실 하나만 알아두셨으면 합니다.

any time we describe vectors numerically,

우리가 벡터를 숫자로 설명할 때마다,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. 표현 묶음

그것은 우리가 어떤 기저 벡터를 사용하고 있는지에 대한 암묵적인 선택에 달려있다는 것을요.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

따라서, 이처럼 두 벡터의 크기를 조절하고 더할 때마다,

it's called a linear combination of those two vectors. 어휘 쓰임

이를 그 두 벡터의 '선형 결합'이라고 부릅니다.

Where does this word linear come from?

이 '선형(linear)'이라는 단어는 어디서 왔을까요?

Why does this have anything to do with lines? 표현 묶음

왜 이것이 선(lines)과 관련이 있는 걸까요?

Well, this isn't the etymology,

글쎄요, 이것이 어원은 아니지만,

but one way I like to think about it is that 전개 흐름

제가 생각하기 좋아하는 방식 중 하나는

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

만약 그 스칼라 중 하나의 값을 고정하고 다른 하나가 값을 자유롭게 바꾸게 둔다면,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

결과로 나온 벡터의 끝점이 직선을 그린다는 것입니다.

Now, if you let both scalars range freely 문법

이제, 두 스칼라가 모두 자유롭게 움직이게 하고

and consider every possible vector that you can get,

여러분이 얻을 수 있는 모든 가능한 벡터를 고려한다면,

there are two things that can happen.

일어날 수 있는 두 가지 일이 있습니다.

For most pairs of vectors,

대부분의 벡터 쌍에 대해서는,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

평면의 가능한 모든 점에 도달할 수 있을 것입니다.

Every two-dimensional vector is within your grasp. 관용구

모든 2차원 벡터가 여러분의 손이 닿는 범위 안에 있습니다.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, 구동사

하지만 운이 나쁘게도 원래의 두 벡터가 일직선상에 겹쳐지게 되는 경우,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

결과 벡터의 끝점은 원점을 지나는 이 단일 직선으로만 제한됩니다.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

사실, 엄밀히 말하면 세 번째 가능성도 있습니다.

Both your vectors could be zero,

두 벡터 모두 0이 될 수도 있는데,

in which case you'd just be stuck at the origin. 문법

이 경우 여러분은 그냥 원점에 갇히게 될 것입니다.

Here's some more terminology.

여기에 몇 가지 용어가 더 있습니다.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

주어진 벡터 쌍의 선형 결합으로 도달할 수 있는 모든 가능한 벡터들의 집합을

is called the span of those two vectors. 어휘 쓰임

그 두 벡터의 '생성(span)'이라고 부릅니다.

So, restating what we just saw in this lingo,

그래서 우리가 방금 본 것을 이 전문 용어로 다시 말하자면,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

대부분의 2D 벡터 쌍의 생성은 2D 공간의 모든 벡터이지만,

but when they line up,

그들이 일직선상에 겹칠 때,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

그들의 생성은 끝점이 특정 직선 위에 있는 모든 벡터가 됩니다.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? 관용구

제가 선형 대수학이 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈을 중심으로 돌아간다고 말했던 거 기억하시나요?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

음, 두 벡터의 생성은 기본적으로 이렇게 묻는 방식입니다.

what are all the possible vectors you can reach

당신이 도달할 수 있는 모든 가능한 벡터는 무엇입니까?

using only these two fundamental operations,

오직 이 두 가지 기본적인 연산,

vector addition and scalar multiplication?

즉 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈만을 사용해서요.

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

지금이 사람들이 흔히 벡터를 점으로 생각하는 방식에 대해 이야기하기 좋은 때입니다.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

직선 위에 모여있는 벡터들의 전체 집합을 생각하는 것은 정말 복잡해지고,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

모든 2차원 벡터가 한 번에 평면을 채우고 있다고 생각하는 것은 더욱 복잡해집니다.

So, when dealing with collections of vectors like this,

그래서 이런 벡터의 집합들을 다룰 때는,

it's common to represent each one with just a point in space.

각각을 공간의 단일 점으로 나타내는 것이 일반적입니다.

The point at the tip of that vector,

그 벡터의 끝점에 있는 점으로요,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

여기서 늘 그렇듯, 그 벡터의 꼬리가 원점에 있다고 생각하길 바랍니다.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

그런 식으로, 끝점이 특정 직선 위에 있는 모든 가능한 벡터에 대해 생각하고 싶다면,

just think about the line itself.

그냥 그 직선 자체에 대해 생각하면 됩니다.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

마찬가지로, 가능한 모든 2차원 벡터를 한 번에 생각하려면,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

각각을 끝점이 위치한 점으로 개념화하세요.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

그러면 결과적으로 여러분이 생각하게 될 것은 2차원 공간 자체의 무한히 평평한 면이며,

leaving the arrows out of it. 구동사

화살표는 거기서 빼버리는 것입니다.

In general, if you're thinking about a vector on its own, 표현 묶음

일반적으로, 벡터 하나를 단독으로 생각할 때는,

think of it as an arrow.

그것을 화살표로 생각하세요.

And if you're dealing with a collection of vectors,

그리고 벡터들의 집합을 다룰 때는,

it's convenient to think of them all as points.

그들 모두를 점으로 생각하는 것이 편리합니다.

So, for our span example,

그래서 우리 생성(span) 예제의 경우,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, 구동사

대부분의 벡터 쌍의 생성은 결국 무한한 2차원 공간의 평면 전체가 되지만,

but if they line up,

그들이 일직선상에 겹친다면,

their span is just a line.

그들의 생성은 단지 하나의 선이 됩니다.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

생성이라는 개념은 우리가 3차원 공간에서 벡터를 생각하기 시작하면 훨씬 더 흥미로워집니다.

For example,

예를 들어,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

3D 공간에서 같은 방향을 가리키지 않는 두 벡터를 택한다면,

what does it mean to take their span?

이들의 생성을 취한다는 것은 무슨 의미일까요?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

음, 이들의 생성은 그 두 벡터의 모든 가능한 선형 결합의 집합입니다.

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

즉, 두 벡터 각각을 어떤 식으로든 스케일링한 다음

and then adding them together.

그것들을 더해서 얻는 모든 가능한 벡터를 의미합니다.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, 관용구

두 개의 서로 다른 다이얼을 돌려 선형 결합을 정의하는 두 스칼라를 바꾸고,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

크기가 조정된 벡터들을 더하며 결과 벡터의 끝점을 따라가는 모습을 상상해 볼 수 있습니다.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

그 끝점은 3차원 공간의 원점을 가로지르는 어떤 종류의 평평한 면을 그려낼 것입니다.

This flat sheet is the span of the two vectors,

이 평평한 면이 바로 두 벡터의 생성(span)이며,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. 전개 흐름

더 정확히 말하면, 끝점이 그 평면 위에 있는 모든 가능한 벡터들의 집합이 두 벡터의 생성입니다.

Isn't that a beautiful mental image?

정말 아름다운 심상 아닌가요?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

그렇다면, 세 번째 벡터를 추가하고 그 셋 모두의 생성을 고려하면 어떻게 될까요?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

세 벡터의 선형 결합은 두 벡터일 때와 거의 같은 방식으로 정의됩니다.

You'll choose three different scalars,

세 개의 다른 스칼라를 선택하고,

scale each of those vectors,

그 벡터들 각각을 스케일링한 다음,

and then add them all together.

그것들을 모두 함께 더하는 거죠.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

그리고 다시 한 번, 이 벡터들의 생성은 모든 가능한 선형 결합의 집합입니다.

Two different things could happen here.

여기서 두 가지 다른 일이 일어날 수 있습니다.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

만약 세 번째 벡터가 마침 처음 두 벡터의 생성 평면 위에 놓여 있다면,

then the span doesn't change.

생성은 변하지 않습니다.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

여러분은 같은 평면에 갇힌 것과 같습니다.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination 전개 흐름

다시 말해, 그 세 번째 벡터의 스케일링된 버전을 선형 결합에 추가해도

doesn't really give you access to any new vectors.

어떤 새로운 벡터에 접근할 수 있게 해주는 것은 아닙니다.

But if you just randomly choose a third vector,

하지만 여러분이 그냥 무작위로 세 번째 벡터를 선택한다면,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

거의 확실히 그것은 처음 두 벡터의 생성 위에 놓여 있지 않을 것입니다.

Then, since it's pointing in a separate direction,

그러면, 그것은 별개의 방향을 가리키고 있기 때문에,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. 관용구

가능한 모든 3차원 벡터로의 접근을 열어줍니다.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

제가 생각하기 좋아하는 한 가지 방식은, 그 새로운 세 번째 벡터를 스케일링할 때,

it moves around that span sheet of the first two,

그것이 처음 두 벡터의 생성 평면 주위를 움직이며,

sweeping it through all of space.

공간 전체를 휩쓸고 지나간다는 것입니다.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal 관용구

이것에 대해 생각하는 또 다른 방식은, 여러분이 임의로 사용할 수 있는 자유롭게 변하는 3개의 스칼라를 충분히 활용하여

to access the full three dimensions of space.

공간의 전체 3차원에 접근하고 있다는 것입니다.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

이제, 세 번째 벡터가 이미 처음 두 벡터의 생성 위에 놓여 있던 경우나,

or the case where two vectors happen to line up,

두 벡터가 우연히 일직선상에 놓이는 경우,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, 어휘 쓰임

이러한 벡터 중 적어도 하나가 불필요하며

not adding anything to our span.

우리의 생성에 아무것도 더하지 못한다는 사실을 설명할 용어가 필요합니다.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

여러 벡터가 있을 때 생성을 줄이지 않고도 하나를 제거할 수 있는 이런 일이 일어날 때마다,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. 어휘 쓰임

이럴 때 쓰는 적절한 용어는 이들이 '선형 종속'이라고 하는 것입니다.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, 표현 묶음

이를 표현하는 또 다른 방법은 벡터 중 하나가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있다고 말하는 것입니다.

since it's already in the span of the others.

그것이 이미 다른 것들의 생성 안에 있기 때문이죠.

On the other hand, 전개 흐름

반면에,

if each vector really does add another dimension to the span, 문법

만약 각 벡터가 실제로 생성에 또 다른 차원을 더해준다면,

they're said to be linearly independent. 어휘 쓰임

이들은 '선형 독립'이라고 합니다.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

자, 이제 이 모든 용어들과 그것들에 어울리는 좋은 심상들을 머릿속에 담았기를 바라며,

let me leave you with a puzzle before we go. 표현 묶음

마치기 전에 퍼즐 하나를 남겨드리겠습니다.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. 어휘 쓰임

어떤 공간의 '기저'에 대한 기술적인 정의는, 그 공간을 생성(span)하는 선형 독립인 벡터들의 집합입니다.

Now, given how I described a basis earlier,

이제 제가 앞서 기저를 어떻게 설명했는지 떠올려보고,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

생성과 선형 독립이라는 단어에 대한 여러분의 현재 이해를 바탕으로,

think about why this definition would make sense.

왜 이 정의가 이치에 맞는지 생각해 보세요.

In the next video,

다음 영상에서는,

I'll get into matrices in transforming space.

공간을 변환하는 행렬에 대해 자세히 알아보겠습니다.

See you then.

그때 뵙겠습니다.