3차원 선형 변환 | 제5장, 선형대수학의 본질: 영어 학습 노트

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

안녕하세요 여러분, 오늘은 비교적 짧은 영상을 준비했습니다.

just sort of a footnote between chapters. 해설

챕터 사이의 일종의 각주 같은 거죠.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

지난 두 영상에서는 선형 변환과 행렬에 대해 이야기했지만,

but I only showed the specific case of transformations

특정 경우의 변환만 보여드렸습니다.

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

2차원 벡터를 다른 2차원 벡터로 가져가는 변환 말이죠.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

일반적으로 이 시리즈 전체에서 우리는 주로 2차원에서 작업할 것입니다.

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. 관용구

주된 이유는 화면에서 실제로 보거나 이해하기 더 쉽기 때문입니다.

But more importantly than that, 전개 흐름

하지만 그것보다 더 중요한 것은,

once you get all the core ideas in two dimensions,

2차원에서의 모든 핵심 개념을 이해하고 나면,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. 구동사

그것들은 고차원으로 꽤 매끄럽게 이어진다는 것입니다.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then 해설

그럼에도 불구하고 가끔은 평면계 밖으로 고개를 내밀어 보는 것도 좋습니다.

to, you know, see what it means to apply these ideas

이 아이디어들을 적용한다는 게 무슨 의미인지 확인하기 위해서 말이죠.

in more than just those two dimensions. 문법

단지 2차원 이상의 공간에서 말입니다.

For example, consider a linear transformation

예를 들어, 선형 변환을 생각해 보세요.

with three-dimensional vectors as inputs

3차원 벡터를 입력으로 하고

and three-dimensional vectors as outputs.

3차원 벡터를 출력으로 하는 변환을요.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space 어휘 쓰임

우리는 3차원 공간의 모든 점들을 이리저리 찌그러뜨려서 이것을 시각화할 수 있습니다.

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced 문법

격자로 표현되는 공간에서 격자선이 평행하고 일정한 간격을 유지하며

and which fixes the origin in place. 어휘 쓰임

원점이 고정되도록 말이죠.

And just as with two dimensions,

그리고 2차원일 때와 마찬가지로,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector 어휘 쓰임

이리저리 움직이는 것을 보는 공간의 모든 점은 사실 벡터의 대리인일 뿐이며,

who has its tip at that point

그 점에 끝을 두고 있는 벡터의 대리인이죠.

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. 전개 흐름

우리가 실제로 하고 있는 것은 입력 벡터들이 해당하는 출력으로 이동하는 것을 생각하는 것입니다.

And just as with two dimensions,

그리고 2차원일 때와 마찬가지로,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. 표현 묶음

이러한 변환 중 하나는 기저 벡터들이 어디로 가는지에 의해 완전히 설명됩니다.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

하지만 이제는 우리가 일반적으로 사용하는 세 개의 표준 기저 벡터가 있습니다.

The unit vector in the x direction, i-hat,

x 방향의 단위 벡터 i-hat,

the unit vector in the y direction, j-hat,

y 방향의 단위 벡터 j-hat,

and a new guy, 어휘 쓰임

그리고 새로운 친구인

the unit vector in the z direction, called k-hat.

z 방향의 단위 벡터 k-hat입니다.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

사실, 모든 점을 나타내는 전체 3D 격자는 꽤 복잡해질 수 있기 때문에

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

기저 벡터들만 따라가며 이러한 변환들을 생각하는 것이 더 쉽다고 생각합니다.

By leaving a copy of the original axes in the background, 문법

배경에 원래 축들의 복사본을 남겨둠으로써,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. 어휘 쓰임

이 세 개의 기저 벡터가 각각 어느 좌표에 떨어지는지 생각할 수 있습니다.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

이 세 벡터의 좌표를 3x3 행렬의 열로 기록합니다.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

이렇게 하면 단 9개의 숫자만 사용하여 변환을 완전히 설명하는 행렬을 얻게 됩니다.

As a simple example,

간단한 예로,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

공간을 y축을 중심으로 90도 회전시키는 변환을 생각해 보세요.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. 어휘 쓰임

이것은 i-hat을 z축의 좌표 0 0 -1로 이동시킨다는 뜻입니다.

It doesn't move j-hat,

j-hat은 움직이지 않으므로,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

좌표 0 1 0에 머물고,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

그리고 k-hat은 x축의 1 0 0으로 이동합니다.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

이 세 세트의 좌표는 해당 회전 변환을 설명하는 행렬의 열이 됩니다.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

좌표가 x y z인 벡터가 어디로 떨어지는지 확인하려면,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. 표현 묶음

그 추론 방식은 2차원일 때와 거의 동일합니다.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector 해설

이 좌표들 각각은 각 기저 벡터를 스케일링하는 지침으로 생각할 수 있으며,

so that they add together to get your vector.

그것들을 더해서 당신의 벡터를 얻게 됩니다.

And the important part, just like the 2D case, 전개 흐름

그리고 2D의 경우와 마찬가지로 중요한 부분은,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. 문법

이 스케일링과 덧셈 과정이 변환 전과 후 모두에 적용된다는 것입니다.

So to see where your vector lands,

따라서 당신의 벡터가 어디에 떨어지는지 보려면,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix 표현 묶음

해당 좌표들에 행렬의 대응하는 열을 곱하고

and then you add together the three results.

그 세 결과를 더하면 됩니다.

Multiplying two matrices is also similar.

두 행렬을 곱하는 것도 비슷합니다.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, 문법

두 개의 3x3 행렬이 곱해지는 것을 볼 때마다,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, 어휘 쓰임

오른쪽 행렬로 인코딩된 변환을 먼저 적용한 다음,

then applying the transformation encoded by the left one.

왼쪽 행렬로 인코딩된 변환을 적용하는 것을 상상해야 합니다.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics 전개 흐름

사실 3D 행렬 곱셈은 컴퓨터 그래픽스나 로봇 공학과 같은 분야에서 꽤 중요합니다.

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

왜냐하면 3차원 공간에서의 회전 같은 것은 설명하기 꽤 어려울 수 있는데,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down 구동사

그것들을 쪼갤 수 있다면 이해하기가 더 쉽기 때문입니다.

as the composition of separate, easier to think about rotations. 어휘 쓰임

개별적이고 생각하기 쉬운 회전들의 합성으로 말이죠.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

이 행렬 곱셈을 수치적으로 수행하는 것은 다시 말하지만

pretty similar to the two-dimensional case.

2차원일 때와 매우 비슷합니다.

In fact, a good way to test your understanding of the last video 문법

사실, 지난 영상에 대한 이해도를 테스트하는 좋은 방법은

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, 구동사

이 행렬 곱셈이 구체적으로 어떤 모습이어야 하는지 추론해 보는 것입니다.

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

공간에 두 번의 연속적인 변환을 적용한다는 개념과 이것이 어떻게 연관되는지 주의 깊게 생각하면서 말입니다.

In the next video,

다음 영상에서는

I'll start getting into the determinant. 구동사

행렬식에 대해 다루기 시작하겠습니다.