동역학으로 3.14분 만에 이해하는 e^(iπ) | DE5: 영어 학습 노트

One way to think about the function e to the t is to ask what properties does it have? 전개 흐름

함수 e^t에 대해 생각하는 한 가지 방법은 '이 함수가 어떤 성질을 가지고 있을까?' 묻는 것입니다.

Probably the most important one,

아마도 가장 중요하고,

and from some points of view the defining property, 말투와 의도

어떤 관점에서는 함수를 정의하는 이 성질은,

is that it is its own derivative. 문법

도함수가 자기 자신과 같다는 것입니다.

Together with the added condition that inputting zero returns one, 어휘 쓰임

0을 입력하면 1을 반환한다는 추가 조건과 함께,

it's actually the only function with this property.

이것은 사실 이 성질을 가진 유일한 함수입니다.

And you can illustrate what this means with a physical model. 표현 묶음

물리적 모델을 통해 이것이 무슨 의미인지 설명할 수 있습니다.

If e to the t describes your position on a number line as a function of time, 어휘 쓰임

만약 e^t가 수직선 상에서 시간에 따른 당신의 위치를 나타내는 함수라면,

then you start at the number one,

당신은 숫자 1에서 시작하게 되고,

and what this equation is saying is that your velocity, 문법

이 방정식이 말하는 바는 당신의 속도,

the derivative of position,

즉 위치의 도함수가,

is always equal to that position.

항상 그 위치와 같다는 것입니다.

The farther away from zero you are, 문법

0에서 멀어질수록,

the faster you move.

더 빨리 움직이게 됩니다.

So even before knowing how to compute e to the t exactly, 문법

따라서 e^t를 정확히 계산하는 방법을 알기 전이더라도,

going from a specific time to a specific position,

특정 시간에서 특정 위치를 구할 때,

this ability to associate each position with a velocity 표현 묶음

각 위치를 속도와 연관시키는 이 능력은

paints a very strong intuitive picture of how the function must grow. 관용구

이 함수가 어떻게 증가해야 하는지에 대한 매우 강력하고 직관적인 그림을 그려줍니다.

You know that you'll be accelerating,

당신은 가속할 것이고,

and at an accelerating rate, 표현 묶음

점점 더 빠른 비율로 가속하여,

with an all-around feeling of things getting out of hand quickly. 관용구

상황이 빠르게 통제 불능이 되는 전반적인 느낌을 받게 될 것임을 압니다.

And if you add a constant to that exponent,

그리고 그 지수에 상수를 더한다면,

like e to the 2 times t,

예를 들어 e의 2t 제곱이라면,

the chain rule tells us that the derivative is now 2 times itself.

연쇄 법칙에 따라 도함수는 이제 자기 자신의 2배가 됩니다.

So at every point on the number line,

따라서 수직선 상의 모든 지점에서,

rather than attaching a vector corresponding to the number itself, 문법

숫자 자체에 해당하는 벡터를 붙이는 대신,

first double the magnitude of the position,

먼저 위치의 크기를 두 배로 만든 다음,

then attach it.

그것을 붙입니다.

Moving so that your position is always e to the 2t

당신의 위치가 항상 e^(2t)가 되도록 움직이는 것은

is the same thing as moving in such a way 문법

당신의 속도가 항상 위치의 두 배가 되도록

that your velocity is always twice your position.

움직이는 것과 같습니다.

The implication of that too

이것이 암시하는 바 또한

is that our runaway growth feels all the more out of control. 표현 묶음

우리의 폭발적인 성장이 더욱 통제할 수 없는 것처럼 느껴진다는 것입니다.

If that constant was negative,

만약 그 상수가 음수라면,

say negative 0.5,

예를 들어 -0.5라면,

then your velocity vector is always negative 0.5 times your position vector,

당신의 속도 벡터는 항상 위치 벡터의 -0.5배가 됩니다.

meaning you flip it around 180 degrees

즉 180도 뒤집고

and scale its length by a half. 어휘 쓰임

길이를 절반으로 줄인다는 뜻입니다.

Moving in such a way

당신의 속도가 이처럼 뒤집히고 축소된 위치 벡터의 복사본과 항상 일치하도록

that your velocity always matches this flipped and squished copy of your position vector,

움직인다면,

you go the other direction,

당신은 반대 방향으로 향하게 되고,

slowing down in an exponential decay towards zero. 어휘 쓰임

지수적 감쇠를 통해 0을 향해 속도를 줄이게 됩니다.

But what about if that constant was i, 말투와 의도

그렇다면 그 상수가 i라면 어떨까요?

the square root of negative one?

음수 1의 제곱근 말입니다.

If your position was always e to the i t,

당신의 위치가 항상 e^(it)라면,

how would you move as the time t ticks forward?

시간 t가 흘러감에 따라 당신은 어떻게 움직일까요?

Well, now the derivative of your position will always be i times itself,

글쎄요, 이제 위치의 도함수는 항상 자기 자신의 i배가 될 것이고,

and multiplying by i has the effect of rotating numbers 90 degrees. 표현 묶음

i를 곱하는 것은 숫자를 90도 회전시키는 효과가 있습니다.

So, as you might expect, 전개 흐름

그래서, 예상할 수 있듯이,

things only make sense here if we start thinking beyond the number line 관용구

수직선을 넘어서 생각하기 시작해야만 이 모든 것이 말이 됩니다.

and in the complex plane.

바로 복소 평면 위에서 말이죠.

So, even before you know how to compute e to the i times t,

따라서 e^(it)를 계산하는 방법을 알기 전이더라도,

you know that for any position this might give for some value of time,

특정 시간에 대해 이것이 어떤 위치를 주더라도,

the velocity at that time will be a 90 degree rotation of that position.

그 시간의 속도는 그 위치를 90도 회전한 것이 될 거라는 것을 알 수 있습니다.

Drawing this for all possible positions you might come across, 구동사

마주칠 수 있는 모든 가능한 위치에 대해 이것을 그려보면,

you get a vector field,

벡터장을 얻게 됩니다.

where as usual with vector fields,

벡터장에서 흔히 그렇듯,

you shrink things down to avoid clutter. 구동사

복잡해지는 것을 피하기 위해 크기를 줄여서 그립니다.

At time t equals zero,

시간 t가 0일 때,

e to the i t will be one,

e^(it)는 1이 될 것이고,

that's our initial condition,

이것이 우리의 초기 조건입니다.

and there's only one trajectory starting from that position

그리고 그 위치에서 시작하는 궤적은 단 하나뿐인데,

where your velocity is always matching the vector that it's passing through,

거기서 당신의 속도는 지나는 벡터와 항상 일치합니다.

a 90 degree rotation of the position.

바로 위치를 90도 회전시킨 것입니다.

It's when you go around a circle of radius one

그것은 반지름이 1인 원을 따라

at a speed of one unit per second. 어휘 쓰임

초당 1단위의 속도로 도는 경우입니다.

So, after pi seconds,

그래서 파이(pi) 초 후에는,

you've traced a distance of pi around.

원 둘레를 따라 파이만큼의 거리를 지나온 것입니다.

So, e to the i times pi should be negative one. 문법

따라서 e^(iπ)는 -1이 되어야 합니다.

After tau seconds,

타우(tau) 초 후에는,

you've gone full circle.

완전히 한 바퀴를 돌았습니다.

E to the i times tau equals one.

e^(iτ)는 1과 같습니다.

And more generally, 전개 흐름

그리고 더 일반적으로,

e to the i times t equals a number

e^(it)는 복소 평면의 이 단위 원을 따라

that's t radians around this unit circle in the complex plane.

t 라디안만큼 돈 위치의 숫자와 같습니다.

Nevertheless, 전개 흐름

그럼에도 불구하고,

something might still feel immoral about putting an imaginary number up in that exponent. 관용구

저 지수 자리에 허수를 올려놓는 것은 여전히 뭔가 도리에 어긋난다고 느껴질 수 있습니다.

And you would be right to question that. 말투와 의도

그리고 거기에 의문을 갖는 것은 당연합니다.

What we write as e to the t is a bit of a notational disaster, 관용구

우리가 e^t로 쓰는 것은 표기법상 약간의 재앙에 가깝습니다.

giving the number e and the idea of repeated multiplication

숫자 e와 반복되는 곱셈이라는 개념에

way more emphasis than they deserve. 문법

그들이 받을 자격이 있는 것보다 훨씬 더 많은 강조를 부여하니까요.

But my time is up, 관용구

하지만 제 시간이 다 되었군요.

so I'll spare you the full rant until the next video. 말투와 의도

그러니 이 모든 불만은 다음 영상까지 아껴두도록 하겠습니다.